Σημειώσεις στις Πιθαότητες Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα, ότα τα παρατηρούμε από κάποιο σταθερό σημείο, όπως επίσης και η περιοχή εκδήλωσης εός κεραυού Ομοίως έα πείραμα του οποίου δε μπορούμε α προβλέψουμε το αποτέλεσμα οομάζεται στοχαστικό ή πείραμα τύχης Τέτοιο πείραμα μπορεί α είαι η ρήψη εός κύβου ή η κλήρωση του λόττο Δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης οομάζεται το σύολο όλω τω δυατώ αποτελεσμάτω του και συμβολίζεται συήθως με Ω Κάθε στοιχείο του Ω οομάζεται απλό εδεχόμεο και κάθε υποσύολο του Ω, εδεχόμεο Δύο εδεχόμεα A, B οομάζοται ξέα μεταξύ τους ή ασυμβίβαστα α ισχύει A B = Παράδειγμα Στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ομισμάτω», ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 4 απλά εδεχόμεα, Ω= { ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ } και το υποσύολο { ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ } του Ω είαι το εδεχόμεο «α φέρω μια τουλάχιστο κεφαλή» Παράδειγμα 2 Στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ζαριώ» ο δειγματικός χώρος αποτελείται από διατεταγμέα ζεύγη, Ω= {(,),(,2),,(6,6) } και το εδεχόμεο «α φέρω διπλές» αποτελείται από 6 στοιχεία και είαι το υποσύολο {(,),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) } του Ω Παράδειγμα 3 Έστω ότι μετράμε το ύψος εός τυχαία επιλεγμέου άδρα σπουδαστή του τμήματος Διατροφής και Διαιτολογίας του ΤΕΙ Κρήτης Επειδή το αποτέλεσμα μπορεί α είαι οποιοσδήποτε αριθμός από 40(cm) έως 20(cm), μπορούμε α θεωρήσουμε ότι {[ 40,50 ),[ 60,70 ),,[ 200, 20] } Ω=, που περιέχει 7 απλά εδεχόμεα Εδώ στη πραγματικότητα το ύψος μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα [40, 20], όμως συήθως στη πράξη τέτοιους δειγματικούς χώρους οι στατιστικολόγοι τους χωρίζου σε κλάσεις Ο ορισμός της πιθαότητας Έστω τώρα ότι εκτελούμε έα πείραμα τύχης και Ω= { ω ω ω } ο δειγματικός χώρος του Α σε κάθε απλό εδεχόμεο { },,, 2 ατιστοιχίσουμε έα μη αρητικό αριθμό p έτσι ώστε α ισχύει ω του Ω,
p+ p2 + + p =, τότε έχουμε ορίσει μία πιθαότητα P για κάθε εδεχόμεο A του πειράματος τύχης ως εξής P( A) = p { ω A} Το παραπάω άθροισμα σημαίει ότι αθροίζω τα p για όλους τους δείκτες τω στοιχείω ω που περιέχοται στο A Α το A είαι το κεό σύολο, δηλαδή δε περιέχει καέα στοιχείο, τότε P( A ) = 0 Α θεωρήσουμε όλα τα απλά εδεχόμεα του πειράματος τύχης ισοπίθαα μεταξύ τους, τότε θα έχουμε p = p2 = = p = και για κάθε εδεχόμεο A θα ισχύει N( A) P( A) =, όπου με N( A ) συμβολίζουμε το πλήθος τω στοιχείω του A Παράδειγμα 4 Στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ομισμάτω», όλα τα απλά εδεχόμεα θεωρούται ισοπίθαα μεταξύ τους, ω ΚΚ ΚΓ ΓΚ ΓΓ p / 4 / 4 / 4 / 4 και για τη πιθαότητα του εδεχομέου A= { ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ } θα έχουμε P( A ) = + + 4 4 4 3 = 4 Επιλέξαμε τη παραπάω «μοτελοποίηση» γιατί δε υπάρχει καέας λόγος μια όψη τω ομισμάτω α είαι «πιθαότερη» στη εμφάιση της από τη άλλη Παράδειγμα 5 Ομοίως και στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ζαριώ», εφόσο αυτά είαι «δίκαια», σε κάθε απλό εδεχόμεο ατιστοιχούμε τη πιθαότητα / Συεπώς για το εδεχόμεο A= { διπλές} θα έχουμε
6 P( A ) = Παράδειγμα 6 Στο παράδειγμα 2 δε γωρίζουμε πως καταέμοται τα ύψη τω σπουδαστώ στις κλάσεις του δειγματικού χώρου και για το λόγο αυτό δε μπορούμε α προχωρήσουμε στη μοτελοποίηση, δηλαδή α ατιστοιχήσουμε μια πιθαότητα p σε κάθε κλάση Μπορούμε όμως α εκτιμήσουμε αυτή τη πιθαότητα, μετρώτας το ύψος σε έα τυχαίο δείγμα σπουδαστώ Α 75 δείγμα, τότε 70,80 στο είαι η συχότητα της κλάσης [ ) 75 p 75 = Όπου p 75 είαι η πιθαότητα που ατιστοιχούμε στη κλάση [ 70,80 ) και ομοίως για όλες τις υπόλοιπες κλάσεις Ο προσθετικός όμος τω πιθαοτήτω Έστω { ω ω ω } Ω=, 2,, ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης, όπου έχουμε ορίσει μία πιθαότητα P και A, B δύο εδεχόμεα Τότε ισχύει ότι P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Α θέλετε α δείτε γιατί ισχύει ο παραπάω τύπος μπορείτε α ξεκιήσετε από το ορισμό, δηλαδή P( A B) = p { ω A B} = p + p p { ω A} { ω B} { ω A B} = P( A) + P( B) P( A B) και παρατηρήστε ότι προσθέτουμε τα p τω στοιχείω που αήκου στο A μαζί με τα p τω στοιχείω που αήκου στο B και αφαιρούμε τα p τω στοιχείω που αήκου και στα δύο, δηλαδή στο A B Α κάποιος δυσκολεύεται α καταλάβει το παραπάω συμβολισμό αρκεί α καταλάβει ότι N( A B) = N( A) + N( B) N( A B) Παράδειγμα 7 Στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ζαριώ» θεωρούμε τα εδεχόμεα, A= B= { α φέρω διπλές} { } το άθροισµα τω εδείξεω είαι 0 Τότε εφαρμόζοτας το προσθετικό όμο θα έχουμε
6 3 P( A B ) = + 8 = Αεξάρτητα εδεχόμεα Έστω Ω ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης Δύο εδεχόμεα A, B οομάζοται αεξάρτητα μεταξύ τους α ισχύει P( A B) = P( A) P( B) Στη πράξη ότα δύο εδεχόμεα είαι αεξάρτητα μεταξύ τους, το έα δε επηρεάζει τη πραγματοποίηση του άλλου Δηλαδή, δεδομέου της πραγματοποίησης του A, δε επηρεάζεται η πιθαότητα πραγματοποίησης του B και ατιστρόφως Παράδειγμα 8 Στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ζαριώ» θεωρούμε τα εδεχόμεα και βρίσκουμε ότι A= B= { στο πρώτο ζάρι άρτιο} { στο δεύτερο ζάρι περιττό} P( A) = P( B) =, 2 P( A B) = 4 Σύμφωα λοιπό με το παραπάω ορισμό, τα εδεχόμεα A, B είαι αεξάρτητα γιατί ισχύει η ισότητα P( A B) = P( A) P( B) = 4 Είαι κάτι που το περιμέαμε γιατί το αποτέλεσμα στο έα ζάρι δε επηρεάζει το αποτέλεσμα στο άλλο Θεωρήστε τώρα και το εδεχόμεο C= { άθροισµα εδείξεω ίσο µε 0} Τότε τα εδεχόμεα A C είαι αεξάρτητα μεταξύ τους; 2 Τυχαία μεταβλητή Ω=, 2,, είαι ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης, τότε μια Α { ω ω ω } τυχαία μεταβλητή X ατιστοιχεί σε κάθε στοιχείο ω του Ω έα αριθμό a και γράφουμε X ( ω ) = a Παράδειγμα 9 Στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ομισμάτω» ορίζουμε μία τυχαία μεταβλητή X ως εξής,
ω ΚΚ ΚΓ ΓΚ ΓΓ X ( ω) 0 2 3 Επίσης στο ίδιο πείραμα τύχης μπορούμε α ορίσουμε μια τυχαία μεταβλητή Y η οποία α «μετράει» τις Κορώες, δηλαδή ω ΚΚ ΚΓ ΓΚ ΓΓ Y ( ω) 2 0 Παράδειγμα 0 Στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ζαριώ» μπορούμε α ορίσουμε δύο τυχαίες μεταβλητές X, Y ως εξής X = άθροισµα τω εδείξεω Y = απόλυτη τιµή της διαφοράς τους Η X μπορεί α πάρει τις τιμές 2,3,,2 και η Y τις τιμές 0,,,5 Για παράδειγμα X (3, 5) = 8 εώ Y (3, 5) = 2 Παράδειγμα Σε μια κάλπη με 8 κόκκιες και 8 μαύρες μπάλες εκτελούμε το πείραμα τύχης «τραβάμε δύο μπάλες διαδοχικά χωρίς επαάθεση» Έχουμε λοιπό έα δειγματικό χώρο Ω= { ΚΚ, ΚΜ, ΜΚ, ΜΜ } και θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητές X : Μετράει τις Μαύρες στη πρώτη δοκιµή Y : Μετράει τις Μαύρες στη δεύτερη δοκιµή Οι τυχαίες μεταβλητές X, Y παίρου τις ακόλουθες τιμές X Y ΚΚ ΚΜ ΜΚ ΜΜ 0 0 0 0 Αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Έστω Ω ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης Δύο τυχαίες μεταβλητές X, Y οομάζοται αεξάρτητες α για κάθε δύο σύολα αριθμώ Α, Β ισχύει P( X Α, Y Β ) = P( X Α) P( Y Β ), δηλαδή α για κάθε δύο σύολα αριθμώ Α, Β, τα εδεχόμεα ( X Α ) και ( Y Β ) είαι αεξάρτητα Το εδεχόμεο ( X Α ), του οποίου η πιθαότητα εμφαίζεται στο παραπάω ορισμό, περιέχει τα στοιχεία εκεία του Ω για τα οποία η τιμή της τυχαίας μεταβλητής X αήκει στο σύολο Α Μη ξεχάτε ότι η τιμή της X είαι πάτα κάποιος αριθμός Ομοίως
και για το εδεχόμεο ( Y Β ) Τέλος το εδεχόμεο ( X Α, Y Β ) είαι η τομή τω εδεχομέω ( X Α ), ( Y Β ) και ισχύει ( X Α, Y Β ) = ( X Ακαι Y Β ) = ( X Α) ( Y Β) Τέλος α a είαι έας αριθμός, τότε το εδεχόμεο ( X = a) περιέχει τα στοιχεία του Ω για τα οποία η X παίρει τη τιμή a Παράδειγμα 2 Στο πείραμα τύχης «ρήψη δύο ζαριώ» θεωρούμε τις ακόλουθες τυχαίες μεταβλητές X : Μετράει τη έδειξη του πρώτου ζαριού Y : Μετράει τη έδειξη του δευτέρου ζαριού, οι οποίες μπορού α πάρου τις τιμές,2,,6 Όπως μπορείτε α διαπιστώσετε και μόοι σας οι X, Y είαι αεξάρτητες που είαι ααμεόμεο γιατί το αποτέλεσμα στο έα ζάρι δε επηρεάζει το αποτέλεσμα στο δεύτερο Παράδειγμα 3 Στο ίδιο πείραμα τώρα, δηλαδή στη ρήψη δύο ζαριώ, θα θεωρήσουμε τις ακόλουθες δύο τυχαίες μεταβλητές, X : Μετράει το άθροισµα τω εδείξεω Y : Μετράει τη απόλυτη τιµή της διαφοράς τους Η X μπορεί α πάρει τις τιμές 2,3,,2 και η Y τις 0,,,5 Με έα παράδειγμα μπορούμε α αποδείξουμε ότι οι X, Y δε είαι αεξάρτητες Έτσι θα έχουμε από όπου προκύπτει ότι 6 P(2 X 5, 0 Y ) = 0 P(2 X 5) = 6 P(0 Y ) =, P(2 X 5,0 Y ) P(2 X 5) P(0 Y ) Παράδειγμα 4 Στο πείραμα τύχης του παραδείγματος θα κάουμε τη παρακάτω μοτελοποίηση ω P( ω) ΚΚ ΚΜ ΜΚ ΜΜ 7 8 8 7 2 5 2 5 2 5 2 5 και θα θεωρήσουμε τις ακόλουθες δύο τυχαίες μεταβλητές
Παρατηρούμε λοιπό ότι από όπου προκύπτει ότι X : Μετράει τις Μαύρες στη πρώτη δοκιµή Y : Μετράει τις Μαύρες στη δεύτερη δοκιµή 7 P( X =, Y = ) = 2 5 P( X = ) = 2 P( Y = ) =, 2 P( X =, Y = ) P( X = ) P( Y = ) Δηλαδή οι X, Y δε είαι αεξάρτητες και συμπεραίουμε ότι το αποτέλεσμα τις πρώτης δοκιμής επηρεάζει το αποτέλεσμα της δεύτερης