Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική



Σχετικά έγγραφα
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

t = (iv) A B (viii) (B Γ) A

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία

Συνδυαστική Ανάλυση. Ρίζου Ζωή

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση Μεταθέσεις

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Συνδυαστική Απαρίθμηση

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

Συνδυαστική. Σύνθετο Πείραμα. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Τρίτη, 17/04/2018

Gutenberg

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

ονομασία αριθμός ψηφίων αριθμοί έχουν 1 ψηφίο έχουν 2 ψηφία έχουν 3 ψηφία έχουν 4 ψηφία...

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Συνδυαστική Απαρίθµηση

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»).

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

τρόπους, i = 1,2,3,, j = 1,2,3,, ν i j τότε οποιοδήποτε από τα

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ης. Όνομα: Ημ/νία: 1. Βρίσκω το γινόμενο στους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς: 3 Χ 9 = 8 Χ 8 = 10 Χ 8 = 9 Χ 9 =

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

a = a a Z n. a = a mod n.

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

B A B A A 1 A 2 A N = A i, i=1. i=1

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

Transcript:

Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012

Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται τόσο με την εξεύρεση χρήσιμων τρόπων μέτρησης, όσο και με την πραγματοποίηση των μετρήσεων καθαυτών. 2

Αρχή της Απαρίθμησης Ο απλούστερος τρόπος είναι απλώς να απαριθμήσουμε ένα προς ένα τα στοιχεία του συνόλου. Δείχνουμε δηλαδή κάθε ένα στοιχείο διαδοχικά και αυξάνουμε κατά ένα το πλήθος των μετρημένων ως εκείνη τη στιγμή στοιχείων, έως ότου δείξουμε (και μετρήσουμε) όλα τα στοιχεία του συνόλου ακριβώς από μια φορά το καθένα τους. Αυτή η μέθοδος είναι η απλούστερη δυνατή, αλλά και η ϐασικότερη όλων. Κάθε άλλη μέθοδος μέτρησης εξαρτάται από αυτή άμεσα ή έμμεσα. 3

Πληθικότητα - Διαμέριση S : Σύνολο S : πληθικότητα ή πληθικός αριθμός του S (ϕυσικός αριθμός) εκφράζει το πλήθος των στοιχείων του S. : κενό σύνολο ( S = = 0). Το S μπορεί να διαμερίζεται σε πεπερασμένο πλήθος άλλων συνόλων S 1, S 2,..., S n., ανά δύο τα σύνολα S 1, S 2,..., S n δε έχουν κοινά στοιχεία (ϑα είναι δηλαδή ξένα μεταξύ τους όπως λέμε αλλιώς) και ταυτόχρονα η ένωσή όλων τους ϑα είναι το S. 4

Προσθετική Αρχή Αν ένα πεπερασμένο σύνολο αντικειμένων S διαμερίζεται σε (ϑυμηθείτε : ξένα μεταξύ τους) υποσύνολα S 1, S 2,..., S n, τότε το πλήθος των αντικειμένων του S ισούται με το άθροισμα των πληθών των αντικειμένων στα S 1, S 2,..., S n, δηλαδή S = S 1 + S 2 +... + S n 5

Προσθετική Αρχή (δεύτερη διατύπωση) Αν S 1, S 2,..., S n είναι κάποια πεπερασμένα σύνολα αντικειμένων ξένα μεταξύ τους ανά δύο, τότε το πλήθος των τρόπων με τους οποίους επιλέγουμε ένα αντικείμενο από κάποιο σύνολο από τα S i ισούται με S = S 1 + S 2 +... + S n 6

Πολλαπλασιαστική Αρχή Αν S 1, S 2,..., S n είναι κάποια πεπερασμένα σύνολα αντικειμένων ξένα μεταξύ τους ανά δύο, τότε το πλήθος των τρόπων με τους οποίους επιλέγουμε ένα αντικείμενο από κάθε ένα σύνολο από τα S i ισούται με S 1 S 2... S n. (Για δύο σύνολα) : Αν μια επιλογή μπορεί να γίνει κατά m τρόπους και μια επόμενη επιλογή κατά n τρόπους, τότε υπάρχουν n m τρόποι με τους οποίους οι επιλογές αυτές μπορούν να γίνουν διαδοχικά. 7

Προσθετική - Πολλαπλασιαστική Αρχή Την Πολλαπλασιαστική αρχή τη χρησιμοποιούμε όταν επιλέγουμε ένα αντικείμενο από κάθε ένα σύνολο από τα Si δηλαδή ένα από το S 1 και ένα από το S 2 κ.ο.κ. και ένα από το Sn. Την Προσθετική Αρχή τη χρησιμοποιούμε όταν επιλέγουμε ένα αντικείμενο από κάποιο σύνολο από τα Si δηλαδή ένα από το S1 ή ένα από το S2 κ.ο.κ. ή ένα από το Sn. Όταν χωρίζουμε το πρόβλημά μας σε ξεχωριστές περιπτώσεις, τις αναλύουμε ανεξάρτητα και ΑΘΡΟΙΖΟΥΜΕ τα επιμέρους αποτελέσματα. Όταν μας ενδιαφέρουν οι τρόποι με τους οποίους συνδυάζονται τα αποτελέσματα των περιπτώσεων, ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΥΜΕ τα επιμέρους αποτελέσματα 8

Παραγοντικό (n!) 9 Το παραγοντικό ορίζεται ως εξής Δηλαδή 3!=, 4!=24, 1!=1. 0!=1 n n 3 2 1! n n n )! 1 (! 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 5! 7!

ΓΕΝΙΚΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ να διαλέξουμε k αντικείμενα από ένα σύνολο n αντικειμένων Αν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιλεγμένα αντικείμενα μιλάμε για ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Αν δεν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιλεγμένα αντικείμενα μιλάμε για ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥΣ. 10

Συνδυασμοί : k αντικειμένων από n ( ή πιο σωστά n ανά k) χωρίς επανάληψη 11

Ιδιότητες 12

Τυπολόγιο 13

ΔΙΑΝΟΜΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΣΕ ΥΠΟΔΟΧΕΣ 14

Ασκήσεις 1. Αν κάποιος διαθέτει 3 σακάκια, 4 παντελόνια, 5 πουκάμισα, 10 ζευγάρια κάλτσες και 2 ζευγάρια παπούτσια, α) με πόσους τρόπους μπορεί να ντυθεί, φορώντας από όλα τα είδη; β) με πόσους τρόπους μπορεί να ντυθεί, φορώντας τουλάχιστον ένα από όλα τα είδη; γ) με πόσους τρόπους μπορεί να ντυθεί, φορώντας από όλα τα είδη αλλά ένα συγκεκριμένο σακάκι ; 2. Πόσες πινακίδες κυκλοφορίας μπορούμε να κατασκευάσουμε που να περιέχουν στη σειρά τρία κεφαλαία γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου ακολουθούμενα από έναν τετραψήφιο αριθμό; Πόσες είναι οι πινακίδες που αρχίζουν με φωνήεν και τελειώνουν σε άρτιο ψηφίο; 15

Ασκήσεις 3. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 άτομα σε 6 θέσεις μιας σειράς Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν εάν η τελευταία θέση να μείνει κενή; 4. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να μπουν σε μια σειρά 4 αγόρια και 3 κορίτσια; Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να μπουν σε μια σειρά είναι όλα μαζί τα αγόρια και όλα μαζί τα κορίτσια; 5. Σε έναν κύκλο δίνονται 8 σημεία A1, A2,..., A8. Πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν τα σημεία αυτά; Πόσα από αυτά δεν διέρχεται από το σημείο A1 ; 16

Ασκήσεις 6. Με τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5 φτιάχνουμε τετραψήφιους αριθμούς στους οποίους το κάθε ψηφίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί περισσότερο από μια φορά. Πόσους αριθμούς μπορούμε να δημιουργήσουμε; Πόσους αριθμούς με όλα τα ψηφία τους να είναι διαφορετικά; 7. Δέκα φίλοι, μεταξύ των οποίων ο Κώστας και ο Νίκος, θα καθίσουν τυχαία ο ένας δίπλα στον άλλον. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν όλοι μαζί ο ένας δίπλα στον άλλο; Με πόσους τρόπους ο Κώστας και ο Νίκος μπορεί να καθίσουν σε διπλανές θέσεις; 17

Ασκήσεις 8. Πιο είναι το πλήθος των περιπτώσεων τέσσερα άτομα να έχουν γεννηθεί σε τέσσερις διαφορετικές εποχές του έτους; 9. Από ένα σύλλογο καθηγητών με 7 άνδρες και 6 γυναίκες επιλέγουμε τυχαίως 4 άτομα. Να βρείτε το πλήθος των περιπτώσεων : i) τα άτομα να είναι γυναίκες ii) ένας τουλάχιστον να είναι άνδρας iii) να υπάρχει μία μόνο γυναίκα. 10. Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2. Στην ε1 ορίζουμε 10 σημεία και στην ε2 ορίζουμε 20 σημεία. Πόσα τρίγωνα ορίζουν τα σημεία αυτά; Πόσα τρίγωνα έχουν την μία πλευρά στην ε1; 18

Ασκήσεις 11. Ο υπάλληλος ενός χώρου στάθμευσης δίνει τυχαία τα τρία κλειδιά αυτοκινήτων στους τρεις κατόχους των αυτοκινήτων αυτών. Να βρείτε το πλήθος των περιπτώσεων : Α: Κάθε οδηγός να πάρει το δικό του κλειδί Β: Μόνο ένας οδηγός να πάρει το δικό του κλειδί Γ: Κανένας οδηγός να μην πάρει το δικό του κλειδί. 19

Παράδειγμα 20

Διωνυμικό Θεώρημα 21