Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Cash-flow matching Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos 1
Ορισμός προβλήματος Το ταίριασμα χρηματοροών (cash-flow matching) αναφέρεται στον σχεδιασμό ενός χαρτοφυλακίου που ταιριάζει (βέβαιες) υποχρεώσεις με την αγορά ανάλογων περιουσιακών στοιχείων. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται συχνά dedication και το χαρτοφυλάκιο που ονομάζεται dedicated portfolio. Σκοπός του χαρτοφυλακίου είναι να ταιριάξει ακριβώς τα έσοδα από των περιουσιακών στοιχείων με τις υποχρεώσεις σε κάθε χρονική στιγμή (συνήθως σε μηνιαία βάση). Δηλαδή, το ταίριασμα είναι τόσο στο μέγεθος όσο και στο χρόνο (size and time matching). Πρόκειται για συντηρητική και παθητική στρατηγική, όπου ο κίνδυνος περιορίζεται μόνο στην σωστή εκτίμηση του reinvestment interest rate (και βεβαίως στο πάντα παρόντα πιστωτικό κίνδυνο). Ωστόσο και οι δύο κίνδυνοι μπορούν να εξαλειφτούν ή να μειωθούν. Η μέθοδος του cash-flow matching μπορεί να εφαρμοστεί και σε περιπτώσεις όπου τόσο οι υποχρεώσεις όσο και τα στοιχεία του χαρτοφυλακίου δεν έχουν απαραίτητα βέβαιες, αλλά αναμενόμενες χρηματοροές. Ωστόσο στην περίπτωση αυτή ο κίνδυνος να μην είναι επιτυχημένο το ταίριασμα είναι ασφαλώς μεγαλύτερος. 2
Dedication vs immunization Επειδή το dedicated portfolio είναι σχεδιασμένο να ταιριάζει ακριβώς τις υποχρεώσεις θα έχει το ίδιο duration με τις υποχρεώσεις. Επομένως, το dedicated portfolio μπορεί να θεωρηθεί μια ειδική (πιο περιορισμένη) περίπτωση μιας στρατηγικής immunization. Το ταίριασμα δεν γίνεται μόνο σε παράλληλες μετατοπίσεις της καμπύλης επιτοκίων. Με την dedication στρατηγική γίνεται στην ουσία πλήρης αντιστάθμιση των υποχρεώσεων (full hedging), μέσα από την αγορά των κατάλληλων περιουσιακών στοιχείων. Σε αντίθεση με την immunization portfolio, ένα dedicated portfolio συχνά εμπεριέχει πολλά αξιόγραφα που έχουν διαφορετική διάρκεια. Αυτό το καθιστά πιο ακριβό και δυσκολότερο στην διαχείρισή του ( it lacks flexibility ). Τα dedicated portfolios προτιμούνται ωστόσο όταν πρόκειται να καλυφθούν υποχρεώσεις που συνδέονται με εγγυημένα επενδυτικά προγράμματα (guaranteed investment contracts, GICs) ή με πολύ σημαντικές για την εταιρία υποχρεώσεις. 3
Βήματα μιας dedication strategy 1. Επιλογή χρονικού ορίζοντα (Time horizon choice) Άλλος ο τρόπος χρηματοδότησης βραχυπρόθεσμων υποχρεώσεων και άλλος μακροπρόθεσμων. Στις βραχυπρόθεσμες υποχρεώσεις το ταίριασμα γίνεται πιο συχνά (ανά βδομάδα ή ακόμα και ανά ημέρα). 2. Προσδιορισμός των υποχρεώσεων (Determining the liabilities) Οι υποχρεώσεις που λογίζονται θα πρέπει να είναι καλά εκτιμημένες ή βέβαιες. Για παράδειγμα, πληρωμές συντάξεων/ζημιών, πληρωμές σε GICs, πληρωμές δανειακών υποχρεώσεων, συμφωνημένες πληρωμές επενδυτικών πλάνων κτλ. 3. Καθορισμός περιορισμών χαρτοφυλακίου (setting portfolio constrains) Τίθενται συγκεκριμένα κριτήρια στα αξιόγραφα που μπορεί να αγοράσει η εταιρία για να φτιάξει ένα τέτοιο χαρτοφυλάκιο. Τα κριτήρια αναφέρονται στον τομέα του εκδότη, στη ποιότητα, το μέγεθος αγοράς, στο νόμισμα του αξιόγραφου, στην διάρκεια κτλ. Τίθενται επίσης κριτήρια διαφοροποίησης στο χαρτοφυλάκιο, όπως πχ ότι θα πρέπει το χαρτοφυλάκιο να έχει τουλάχιστον 20% κρατικών αξιόγραφων ή ότι δεν θα μπορεί να έχει περισσότερο από 10% αξιόγραφα του τραπεζικού κλάδου κτλ. 4
Βήματα μιας dedication strategy 4. Επιπλέον περιορισμοί (Additional constrains) Τα αξιόγραφα δεν θα πρέπει να είναι ανακλητά (callable) από τον εκδότη. Δεν επιλέγονται αξιόγραφα στα οποία υπάρχει μεγάλος κίνδυνος πρόωρης αποπληρωμής (prepayment risk). 5. Προσδιορισμός του κίνδυνου επανεπένδυσης (Determining the reinvestment risk) Επειδή μπορεί το καλύτερο dedicated portfolio να έχει σε κάποιες περιόδους πλεόνασμα καθαρής χρηματοροής, θα πρέπει να προσδιοριστεί/εκτιμηθεί ένα επιτόκιο επανεπένδυσης αυτών των πλεονασμάτων (όταν υπάρχουν). Όσο πιο συντηρητική είναι η εκτίμηση για το reinvestment rate, τόσο πιο πολύ στενές είναι οι επιλογές χαρτοφυλακίου. 6. Επιλογή βέλτιστου χαρτοφυλακίου (Selection of the optimal dedicated portfolio) Το κριτήριο είναι η επιλογή του χαρτοφυλακίου που κάνει ταίριασμα χρηματοροών αλλά έχει το μικρότερο δυνατό κόστος ή το μεγαλύτερο πλεόνασμα κεφαλαίου στο τέλος του χρονικού ορίζοντα. Το μαθηματικό πρόβλημα που καλείται η επιχείρηση να λύσει είναι ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης γραμμικής συνάρτησης με γραμμικούς περιορισμούς. 5
Παράδειγμα βραχυπρόθεσμου ορίζοντα Για να καταλάβουμε καλύτερα πως γίνεται η μοντελοποίηση ενός προβλήματος cash-flow matching θα δούμε πρώτα ένα απλό παράδειγμα βραχυπρόθεσμης χρηματοδότησης. Έστω ότι μία επιχείρηση αντιμετωπίζει τις παρακάτω καθαρές (εκτιμώμενες) χρηματοροές σε χιλιάδες ευρώ στους επόμενους έξι μήνες: Μήνας Ιαν Φεβ Μαρτ Απρ Μαϊ Ιουν Καθαρή Χρηματοροή -150-100 200-200 50 300 Η επιχείρηση έχει τις παρακάτω πηγές βραχυπρόθεσμης χρηματοδότησης: 1) Μπορεί να δανειστεί για ένα μήνα μέχρι και 100χιλ ευρώ με 1%. 2) Σε κάθε ένα από τους τρεις πρώτους μήνες μπορεί να εκδώσει ένα γραμμάτιο 90 ημερών με συνολικό επιτόκιο 2%. 3) Αν έχει πλεόνασμα κεφαλαίου μπορεί να επενδύσει μηνιαίως με επιτόκιο 0,3%. Πώς θα επιλέξει την χρηματοδότηση; Ποιο είναι το κριτήριο; 6
Μοντελοποίηση Πρόκειται για ένα απλό πρόβλημα μοντελοποίησης. Επειδή τόσο το κριτήριο μεγιστοποίησης όσο και οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις, το πρόβλημα αυτό ονομάζεται: πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (linear programming). Η μοντελοποίηση γίνεται σε τρία βήματα: Εντοπισμός των μεταβλητών ελέγχου (control or decision variables) Ποια είναι η συνάρτηση που θα πρέπει να βελτιστοποιήσουμε (αντικειμενική συνάρτηση, objective variable). Ποιοι είναι οι ενδογενείς περιορισμοί στο πρόβλημα (constrains). Έστω x i το ποσό που δανείζεται η επιχείρηση στην αρχή του μήνα i. Έστω y i το ποσό της έκδοσης γραμματίου στην αρχή του μήνα i. Έστω z i το ποσό που επενδύει η επιχείρηση στην αρχή του μήνα i (δηλαδή το πλεόνασμα κεφαλαίου). 7
Μοντελοποίηση Ο περιορισμός της μη αρνητικότητας: x, y, z 0 i 1,..., 5 Επίσης λόγω του περιορισμού στον βραχυπρόθεσμο δανεισμό θα πρέπει να έχουμε τις ανισότητες: Στον πρώτο μήνα ο δανεισμός μαζί με την έκδοση θα πρέπει να καλύπτουν τουλάχιστον την υποχρέωση των 150χιλ. ευρώ: Στον δεύτερο μήνα ο περιορισμός γίνεται: Ομοίως, για τον τρίτο μήνα έχουμε ότι: i i x i i 100 i 1,..., 5 x 1 y1 z1 150 x 2 y2 1, 003z1 101, x1 z2 100 x 3 y3 1, 003z2 101, x2 z3 200 8
Μοντελοποίηση Στον τέταρτο μήνα δεν μπορεί να εκδοθούν επιπλέον γραμμάτια, άρα y 4 = y 5 = 0. Από τον τέταρτο μήνα θα αρχίσει και η πληρωμή των γραμματίων: Τέλος, θα έχουμε: x 4 1, 003z3 101, x3 102, y1 z4 Ποιος θα είναι ο τελικός πλούτος της επιχείρησης μετά από 6 μήνες; Αυτό ακριβώς είναι και το κριτήριο που μπορεί να βάλει η επιχείρηση για να βρει το καλύτερο τρόπο για να ταιριάξει τις χρηματοροές: κάτω από όλους τους περιορισμούς που αναφέραμε. 200 x 5 1, 003z4 101, x4 102, y3 z5 50 V 1,01x 1,02y3 1,003z5 5 max{ 1,01x 1,02y3 1,003z5 5 300} 300 Ακριβώς επειδή τόσο το κριτήριο μεγιστοποίησης όσο και οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών απόφασης, το πρόβλημα ονομάζεται: πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (linear programming). 9
Λύση προβλήματος Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού λύνονται με την μέθοδο simplex. Η μέθοδος αυτή (που είναι χρονοβόρα όταν γίνεται χωρίς υπολογιστή) δίνει την βέλτιστη μοναδική λύση μετά από δοκιμές των πιθανών λύσεων του προβλήματος. Με την βοήθεια ενός λογισμικού (πχ του solver στο πρόγραμμα της Microsoft Excel) μπορούμε εύκολα να πάρουμε την μοναδική βέλτιστη λύση. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα η λύση είναι x 2 =50,98 y 1 =150 y 2 =49,01 y 3 =203,43 z 3 =351,94 Ενώ η μέγιστη τιμή x i = 0, για κάθε i 2 και z i = 0, για κάθε i 3 V= 92,49. 10
Υποθέσεις του μοντέλου Για να μπορέσουμε να δουλέψουμε με αυτό το γραμμικό υπόδειγμα έχουμε (σιωπηρά) υποθέσει τα εξής: Υπάρχει αναλογικότητα στα μεγέθη που εξετάζονται/ αναφέρονται/ αναζητούνται. Δεν υπάρχει αλληλεξάρτηση ανάμεσα στις μεταβλητές ελέγχου πέρα από αυτές που αναφέρονται στους περιορισμούς. Μπορούν οι μεταβλητές να πάρουμε δεκαδικές τιμές. Υπάρχει βεβαιότητα ως προς τις πληρωμές των επενδύσεων, αλλά και ως προς τις παραμέτρους που αναφέρονται. 11
Ανάλυση ευαισθησίας Για να μπορέσει να γίνει η καλύτερη δυνατή ανάλυση στο πρόβλημα θα πρέπει να εξετάσουμε και την ευαισθησία που έχει τόσο η λύση όσο και η βέλτιστη τιμή του προβλήματος όταν αλλάξουν κάποιες από τις παραμέτρους του προβλήματος. Η ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis ή what if analysis) μελετά τις αλλαγές που μπορούν να γίνουν στις παραμέτρους του προβλήματος έτσι ώστε η λύση να παραμείνει η ίδια. Αν τα διαστήματα των επιτρεπτών αλλαγών είναι μικρά, τότε η στρατηγική θεωρείται εύθραυστη. Σε περιπτώσεις όπου οι χρηματοροές που αναφέρονται στο πρόβλημα είναι εκτιμημένες (αβέβαιες), τότε θα πρέπει τα εύρη των αλλαγών να είναι μέσα στο διάστημα εμπιστοσύνης των εν λόγω εκτιμήσεων. Για παράδειγμα, η επιλογή του χαρτοφυλακίου θα παραμείνει η ίδια ακόμα και η γραμμή μηνιαίου δανεισμού ήταν 50,98 χιλιάδες. 12
Homework #3 1) Έστω το εξής βραχυπρόθεσμο πρόγραμμα καθαρών χρηματοροών σε χιλ ευρώ: 1 ος μήνας 2 ος μήνας 3 ος μήνας 4 ος μήνας 5 ος μήνας -200-300 350 200-50 Η επιχείρηση έχει τις παρακάτω πηγές βραχυπρόθεσμης χρηματοδότησης: i. Μπορεί να δανειστεί για ένα μήνα μέχρι και 200χιλ ευρώ με 2%. ii. Σε κάθε ένα από τους τρεις πρώτους μήνες μπορεί να εκδώσει ένα γραμμάτιο 60 ημερών με συνολικό επιτόκιο 3%. iii. Αν έχει πλεόνασμα κεφαλαίου μπορεί να επενδύσει μηνιαίως με επιτόκιο 1%. a) Μοντελοποιήστε το πρόβλημα εύρεσης του καλύτερου χρηματοδοτικού σχεδιασμού. b) Λύστε το πρόβλημα με την βοήθεια του solver. c) Θα αλλάξει η λύση που βρήκατε στο πρόβλημα εάν το επιτόκιο μηνιαίου δανεισμού ήταν 3%; 2) Επαληθεύστε την λύση που σας δόθηκε στο παράδειγμα της σελίδας 13. 13