ΠΔΕ35 Λύση ης γραπτής εργασίας 05-6. Λύση: Το ουσιαστικό επιτόκιο θα βρεθεί από er = ( + r m m όπου m= o αριθμός των ανατοκισμών στο έτος. Συνεπώς το ουσιαστικό επιτόκιο είναι er = ( + 0.09 = 0.093807 = 9.3807% Η μελλοντική των 0 ευρώ σε 3 χρόνια με μηνιαίο ανατοκισμό θα βρεθεί από FV = PV ( + r m n m FV = 0 ( + 0.09 3 FV = 0 ( + 0.0075 36 = 6.7907 Η μελλοντική των 0 ευρώ σε,5 χρόνια με μηνιαίο ανατοκισμό θα βρεθεί από FV = 0 ( + 0.09.5 FV = 0 ( + 0.0075 30 = 5.05435 H παρούσα αξία της σειράς ισόποσων καταθέσεων X=0 ευρώ στο τέλος κάθε μήνα για 8 μήνες είναι /( + r/n m PV = X ( r/ /( + 0.09/8 PV = 0 ( 0.09/ PV = 0 ( ( + 0.0075 8 0.0075
PV = 0 6.7798 = 335.5836. Λύση: Το ουσιαστικό επιτόκιο θα βρεθεί από όπου m= o αριθμός των ανατοκισμών στο έτος. er = ( + r m m er = ( + 0.07 = 0.0790 = 7.90% To ποσό της σταθερής δόσης του δανείου θα βρεθεί από /( + r/n m PV = X ( r/ /( + 0.07/48 000 = X ( 0.07/ /( + 0.00583348 000 = X ( 0.005833 000 = X 4.7600 X = 000 4.7600 = 3.94645 Επομένως το σταθερό τοκοχρεολύσιο (Δόση =3.94645 Για τις πρώτους μήνες έχουμε ( ( (3 = (7%/*( ( (3 ( (3 Οφειλόμενο Αποπληρωμή Δόση Τόκοι Υπόλοιπο Δανείου Κεφάλαιο Κεφαλαίου,000.00 3.94645 5.833333 8.9 98.887089 98.89 3.94645 5.77675 8.8570 963.66859
3. Το ουσιαστικό επιτόκιο θα βρεθεί από όπου m= o αριθμός των ανατοκισμών στο έτος. H παρούσα αξία των πρώτων 47 δόσεων είναι er = ( + r m m er = ( + 0.08 = 0.089995 = 8.9995% /( + 0.08/47 PV = X ( 0.08/ /( + 0.00666747 PV = ( 0.006667 PV = 885.6983 Συνεπώς από το συνολικο χρέος των 000 οι 47 δόσεις θα αποπληρώσουν 885.6983 Το υπόλοιπο 000-885.6983= 4.83068 θα αποπληρωθεί από την τελευταία δόση Συνεπώς η παρούσα αξία της τελευταίας δόσης Χ 48 θα πρέπει να είναι ίση με 4.83068 4.83068 = Χ 48 /( + 0.006667 48 Χ 48 = 4.89068 ( + 0.006667 48 = 57.967969 Συνεπώς το ποσό της τελευταίας δόσης είναι 57.967969 4. Η παρούσα αξία των μελλοντικών δόσεων θα πρέπει να είναι ίση με τη τρέχουσα αξία του δανείου /( + r/48 000 = 3 ( r/
3 ( ( + r 48 r 000 = 0 Το ζητούμενο επιτόκιο r είναι εκείνο που μηδενίζει τη καθαρή παρούσα αξία (ΝPV που έχει η Τράπεζα από το δάνειο αυτό. Με δοκιμές στο excel Βρίσκουμε Επιτόκιο r NPV 0.049 0.69575 0.049 0.4985 0.049 0.30309 0.0493 0.04456 0.0494-0.09343 To ζητούμενο επιτόκιο είναι μεταξύ του r =0.0493 και r =0.0494 και θα βρεθεί με γραμμική παρέμβολή r r r r = 0 NPV NPV NPV r r r r = 0 ( 0.09343 0.09343 0.04456 r = 0,04935 Συνεπώς το ετήσιο επίτοκιο του δανείου είναι 4,935% Μια επένδυση απαιτεί αρχικό κόστος I = 0.000 και θα αποφέρει ετήσια έσοδα Rev(t = 500.000( + t / και ετήσια λειτουργικά έξοδα X t = 00.000 + t Εάν το κόστος κεφαλαίου με συνεχή ανατοκισμό είναι K=0% αξίζει να πραγματοποιηθεί η επένδυση; Λύση 5. Λύση:
Αξιολόγηση με απλή ΚΠΑ Έργο Α ΚΠΑ Α = 4.5 [ ( + 0. ] 6 = 0.8750 > 0 0. Έργο Β ΚΠΑ Β = 5 [ ( + 0. 3 ] 8 =.534 > 0 0. Aποδεκτό θα πρέπει να γίνει το έργο Β που έχει μεγαλύτερη ΚΠΑ από το έργο Α Αξιολόγηση με ΚΠΑ με άπειρες επαναλήψεις Επένδυση Α Επένδυση Β KΠΑ Α (, = ΚΠΑ Α( + 0. ( + 0. KΠΑ Β (, 3 = ΚΠΑ Β( + 0. 3 ( + 0. 3 = 0.8750 ( + 0. ( + 0, =.534 ( + 0.3 ( + 0. 3 =.8636 = 6.0098 Σύμφωνα με τη ΚΠΑ με άπειρες επαναλήψεις καλύτερη επένδυση είναι η επένδυση Β 6. Αρχικά βρίσκουμε τη βέλτιστο χρόνο του επενδυτικού προγράμματος μεγιστοποιώντας τη παρακάτω συνάρτηση της καθαρής παρούσας αξίας Γνωρίζουμε ότι Rev(t = 0.000 + t Στο σημείο μεγιστοποίησης της NPV ισχύει Όπου K = drev(t/ Rev(t drev(t = (0.000 + t
drev(t = 0.000 + t ( + t drev(t = 5000 + t Συνεπώς για K = drev(t/ Rev(t Έχουμε K = 5000 + t 0000 + t Για Κ=0.5 προκύπτει 0.5 = 5000 + t 0.000 + t 50 + t = 5000 + t 500( + t = 5000 ( + t = 3,333 3.3333 = + t t =.3333 Η καθαρή Παρούσα Αξία στη περίπτωση αυτή είναι ίση με NPV(.3333 = [e 0.5.3333 (0.000 +.3333.000] = 865.7854 > 0 Συνεπώς θα πρέπει να πραγματοποιηθεί η επένδυση Την παρακάτω ανάλυση με το κόκκινο δεν χρειάζεται να τη γράψετε
Εναλλακτικά ο βέλτιστος χρόνος του προγράμματος μπορεί να βρεθεί από Η συνάρτηση που πρέπει να μεγιστοποιήσουμε είναι max NPV(t = [e K t (Rev(t I] max NPV(t = [e K t 0.000 + t.000] H συνάρτηση έχει μέγιστο όταν ικανοποιείται η συνθήκη α τάξης και η συνθήκη β τάξης d NPV(t < 0 dnpv(t = 0 Αρχικά βρίσκουμε τη πρώτη παράγωγο της συνάρτησης της καθαρής παρούσας αξίας dnpv(t dnpv(t = (e K t (0.000 + t + (e K t (0.000 + t = (e K t ( Κ t (0.000 + t + (e K t 0.000 ( + t + t dnpv(t = Κ(e K t (0.000 + t + (e K t 5.000 + t dnpv(t = e K t [5000 0.000K + t] + t Σύμφωνα με τη συνθήκη α τάξης έχουμε dnpv(t = 0 e K t [5000 0000K + t] = 0 + t Με δεδομένο ότι e K t > 0 για κάθε t η πρώτη παράγωγος θα είναι ίση με το μηδέν όταν θα έχουμε 5000 0.000K + t = 0 +t Για Κ= 5% = 0.5 έχουμε 5.000 = 0.000K + t + t = K + t + t = 0.5 + t + t
= 0.3( + t 3.3333 = + t t =.3333 Eπομένως ο βέλτιστος χρόνος του προγράμματος είναι.3333 έτη 7. Γενικά τα επιτόκια κάθε περιόδου θα βρεθούν από Όπου ΟΑ= Ονομαστική αξία και P= τρέχουσα τιμή S n = [( ΟΑ P n ] Ή S n = [( ΟΑ P n] Το spot επιτόκιο του ου εξαμήνου θα βρεθεί από το zero coupon bond του ου εξαμήνου και είναι ίσο με S = [( 00000 99058.94 ] = 0.09 =.9% Αυτά με τα κόκκινο δεν χρειάζεται να τα γράψετε Ο τύπος αυτός προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης P = ΟΑ ( + S 99058.94 = 00.000 ( + S S = [( 00000 99058.94 ] S = [( 00000 99058.94 ] = 0.09 =.9% Το spot επιτόκιο του 3 ου εξαμήνου θα βρεθεί από το zero coupon bond του 3 ου εξαμήνου και είναι ίσο με S 3 = [( 00000 9594.9 3] = 0.08 =.8% Ο τύπος αυτός προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης
P = ΟΑ ( + S 3 3 9594.9 = 00.000 00000 ( + S S 3 = [( 3 3 9594.9 3 ] S 3 = [( 00000 9594.9 3] = 0.08 =.8% H τρέχουσα τιμή του ομολόγου που λήγει σε εξάμηνα προκύπτει ως P = ΟΑ ( + S P = 00.000 ( + 0.03 = 97739.08 H τρέχουσα τιμή του ομολόγου που λήγει σε 4 εξάμηνα προκύπτει ως P 4 = ΟΑ ( + S 4 4 P 4 = 00.000 ( + 0.033 4 = 93663.5 8. Για κάθε εξάμηνο οι αποδόσεις στη λήξη των Par bonds είναι Υ = 0.05, Y = 0.035, Y 3 = 0.046, Y 4 = 0.058 To αρχικό επιτόκιο είναι ίσο με S = Y = 0.05 Τα υπόλοιπα spot επιτόκια υπολογίζονται σύμφωνα με τη παρακάτω φόρμουλα n + Y n S n = Y n n i= [ ( + S i i ]
Aυτό σημαίνει ότι το spot επιτόκιο για το ο εξάμηνο σε ετήσια βάση είναι S = [ + Y Y ( + S ] + 0.035 S = 0.035 [ ( + 0.05 ] = 0.035088 Το spot επιτόκιο για το 3 ο εξάμηνο σε ετήσια βάση είναι 3 S 3 = [ Y 3 ( + S + Y 3 Y 3 ( + S ] 3 S 3 = [ + 0.046 0.046 ( + 0.05 0.046 ( + 0.035088 ] = 0.046335 Το spot επιτόκιο για το 4 ο εξάμηνο σε ετήσια βάση είναι
4 S 4 = [ Y 4 ( + S + Y 4 Y 4 ( + S Y 4 ( + S 3 3 ] 4 S 4 = [ 0.058 ( + 0.05 + 0.058 0.058 ( + 0.035088 0.058 ( + 0.046335 3 ] = 0.058863 9. Το ομόλογο αποδίδει εξαμηνιαίο τοκομερίδιο ίσο με C = ( cr OA = (4.4% 000 = H τρέχουσα αξία του ομολόγου θα είναι ίση με P = C ( + S C C + ( + S + ( + S + 3 3 C + OA ( + S 4 4 P = ( + 0.08 + ( + 0.05 + + 000 ( + 0.03 + 3 ( + 0.04 4 = 008.44847