ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Λογικι πρόταςθ: Με τον όρο λογικι πρόταςθ (ι απλά πρόταςθ) ςτα μακθματικά, εννοοφμε μια ζκφραςθ με πλιρεσ νόθμα που δζχεται τον χαρακτθριςμό ι μόνο αλθκισ ι μόνο ψευδισ. Παραδείγματα: α) «Ο αρικμόσ 3 είναι κετικόσ», είναι μια πρόταςθ αλθκισ ι μια πρόταςθ με τιμι αλθκείασ Α. β) «Ο -3 είναι κετικόσ», είναι μια πρόταςθ ψευδισ ι αλλιϊσ μια πρόταςθ με τιμι αλθκείασ Ψ. γ) «Που πθγαίνεισ;» είναι μια ζκφραςθ που για τα μακθματικά δεν είναι πρόταςθ αφοφ δεν μπορεί να χαρακτθριςτεί ωσ ψευδισ ι αλθκισ. υνικωσ τισ προτάςεισ τισ παριςτάνουμε με μικρά γράμματα του λατινικοφ αλφαβιτου όπωσ p,,r κλπ. Σισ λογικζσ προτάςεισ όπωσ και ςτθν κακθμερινι ηωι τισ ςυνδζουμε μεταξφ του με λζξεισ τισ οποίεσ καλοφμε λογικοφσ ςυνδζςμουσ καταςκευάηοντασ νζεσ ςφνκετεσ προτάςεισ. Θα μελετιςουμε ςτθν ςυνζχεια κάποιουσ λογικοφσ ςυνδζςμουσ και πωσ επιδροφν ςτθν ςθμαςία των προτάςεων. 1. Σφηευξθ: Καλοφμε ςφηευξθ δφο προτάςεων p και τθν πρόταςθ «p και», ςυμβολικά p τθν οποία δεχόμεκα αλθκι μόνον όταν και οι δφο προτάςεισ p και είναι αλθκείσ. υγκεκριμζνα για τθν ςφηευξθ ιςχφει ο παρακάτω πίνακασ αλθκείασ: p p A Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Παραδείγματα: α) Η Πάτρα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα και θ Ρϊμθ ςτθν Αγγλία. (Ψευδισ) β) Η Πάτρα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα και 2+3=5. (Αλθκισ) γ) Η Πάτρα βρίςκεται ςτθν Γαλλία και 2+3=5 (Ψευδισ) δ) Η Πάτρα βρίςκεται ςτθν Γαλλία και 2+3=6 (Ψευδισ) ε) φηευξθ των προτάςεων: «Ο Κϊςτασ βρίςκεται ςτο γραφείο του», «Ο Νίκοσ βρίςκεται ςτο δικό του γραφείο». 1
2. Εγκλειςτικι Διάηευξθ: Καλοφμε εγκλειςτικι διάηευξθ ι απλϊσ διάηευξθ δφο προτάςεων p και τθν πρόταςθ «p είτε» ι «p ι», ςυμβολικά p τθν οποία δεχόμεκα ψευδι μόνον όταν και οι δφο προτάςεισ p και είναι ψευδείσ. υγκεκριμζνα για τθν διάηευξθ ιςχφει ο παρακάτω πίνακασ αλθκείασ: p p A Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Παραδείγματα: α) Η Πάτρα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα ι θ Ρϊμθ ςτθν Αγγλία. (Αλθκισ) β) Η Πάτρα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα ι 2+3=5. (Αλθκισ) γ) Η Πάτρα βρίςκεται ςτθν Γαλλία ι 2+3=5 (Αλθκισ) δ) Η Πάτρα βρίςκεται ςτθν Γαλλία ι 2+3=6 (Ψευδισ) 3. Αποκλειςτικι διάηευξθ: Καλοφμε αποκλειςτικι διάηευξθ δφο προτάςεων p και τθν πρόταςθ «ι μόνο p ι μόνο» ι «ι p ι», ςυμβολικά p τθν οποία δεχόμεκα ψευδι μόνον όταν και οι δφο προτάςεισ p και ζχουν τθν αυτι τιμι αλθκείασ. υγκεκριμζνα για τθν αποκλειςτικι διάηευξθ ιςχφει ο παρακάτω πίνακασ αλθκείασ: p p A Α Ψ A Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ 2
Παραδείγματα: α) 3 2 ςθμαίνει «ι 3>2 ι 3=2» και είναι μία αλθκισ πρόταςθ. β) 3 3 ςθμαίνει «ι 3>3 ι 3=3» και είναι μία αλθκισ πρόταςθ. 4. Άρνθςθ. Καλοφμε άρνθςθ μιασ προτάςεωσ p τθν πρόταςθ «όχι p» ι «είναι ψεφδοσ ότι p», ςυμβολικά ~p, ι p, ι ακόμα και p. Η άρνθςθ τθσ p είναι αλθκισ όταν θ p είναι ψευδισ, ενϊ είναι ψευδισ όταν θ p είναι αλθκισ. υγκεκριμζνα για τθν άρνθςθ ιςχφει ο παρακάτω πίνακασ αλθκείασ: p A Ψ ~ p Ψ Α Παραδείγματα: α) (1) Η Ακινα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα. (2) Είναι ψεφδοσ ότι θ Ακινα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα. (3) Η Ακινα δεν βρίςκεται ςτθν Ελλάδα Οι προτάςεισ (2) και (3) είναι άρνθςθ τθσ (1). β) (1) 2+2=5, (2) Είναι ψεφδοσ ότι 2+2=5, (3) 2+2 5 Οι προτάςεισ (2) και (3) είναι άρνθςθ τθσ (1). 5. Συνεπαγωγι: Καλοφμε ςυνεπαγωγι δφο προτάςεων p και τθν πρόταςθ «αν p τότε» ι «p ςυνεπάγεται», ςυμβολικά «p» τθν οποία δεχόμεκα ψευδι μόνον όταν θ p είναι αλθκισ και θ ψευδισ. υγκεκριμζνα για τθν ςυνεπαγωγι ιςχφει ο παρακάτω πίνακασ αλθκείασ: p p A Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α 3
Παραδείγματα: α) (1) Αν θ Ακινα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα τότε 2+2=5. (2) Αν θ Ακινα βρίςκεται ςτθν Γαλλία τότε 2+2=4. (3) Αν θ Ακινα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα τότε 2+2=4. (4) Αν θ Ακινα βρίςκεται ςτθν Γαλλία τότε 2+2=5. Οι προτάςεισ (2), (3) και (4) είναι αλθκείσ ενϊ θ (1) είναι ψευδισ. Άλλοι τρόποι διατυπϊςεωσ τθσ ςυνεπαγωγισ p είναι οι εξισ: «p είναι ικανι ςυνκικθ για», «είναι αναγκαία ςυνκικθ για p». Η ςυνεπαγωγι p καλείται αντίςτροφοσ τθσ p, ενϊ θ ςυνεπαγωγι ~p ~ λζγεται αντίςτροφοσ τθσ p. Σζλοσ θ ςυνεπαγωγι ~p ~ καλείται αντικετοαντρίςτροφοσ τθσ p. τθ ςυνεπαγωγι p θ πρόταςθ p καλείται το πρϊτο μζλοσ ι υπόκεςθ ενϊ το δεφτερο μζλοσ ι ςυμπζραςμα τθσ ςυνεπαγωγισ. Η ςυνεπαγωγι καλείται και υποκετικι πρόταςθ. Παράδειγμα: Ζςτω θ ςυνεπαγωγι: «Αν δφο τρίγωνα ζχουν τισ πλευρζσ τουσ ίςεσ μία προσ μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίςα». Η υπόκεςθ: «τα τρίγωνα ζχουν τισ πλευρζσ τουσ ίςεσ μία προσ μία», είναι ικανι ςυνκικθ για το ςυμπζραςμα τθσ ιςότθτασ των δφο τριγϊνων. Σο ςυμπζραςμα: «τα τρίγωνα είναι ίςα» είναι αναγκαία ςυνκικθ για τθν ιςότθτα των πλευρϊν, δθλαδι δεν κα είναι ίςεσ οι πλευρζσ αν τα τρίγωνα δεν είναι ίςα. 6. Διπλι ςυνεπαγωγι ι ιςοδυναμία: Καλοφμε ιςοδυναμία δφο προτάςεων p και τθν πρόταςθ «p αν και μόνο αν» ι «p ςυνεπάγεται και αντιςτρόφωσ», ςυμβολικά «p» τθν οποία δεχόμεκα αλθκι μόνον όταν και οι δφο προτάςεισ ζχουν τθν ίδια τιμι αλθκείασ. υγκεκριμζνα για τθν ιςοδυναμία ιςχφει ο παρακάτω πίνακασ αλθκείασ: p p A Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Παραδείγματα: α) (1) Η Ακινα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα αν και μόνο αν 2+2=5. 4
(2) Η Ακινα βρίςκεται ςτθν Γαλλία αν και μόνο αν 2+2=4. (3) Η Ακινα βρίςκεται ςτθν Ελλάδα αν και μόνο αν 2+2=4. (4) Η Ακινα βρίςκεται ςτθν Γαλλία αν και μόνο αν 2+2=5. Οι προτάςεισ (3) και (4) είναι αλθκείσ ενϊ θ (1) και θ (2) είναι ψευδείσ. Άςκθςθ: Ζνασ φποπτοσ για φόνο ρωτικθκε αν ιταν αυτόσ ο δράςτθσ. Απάντθςε ωσ εξισ: «Θα ςασ ζλεγα τθν αλικεια αν και μόνο αν είχα κάνει τον φόνο». Με δεδομζνο ότι πάντα λζει ι μόνο τθν αλικεια ι μόνο ψζματα, να βρείτε αν είναι ζνοχοσ. Λφςθ: Θεωροφμε τισ προτάςεισ: p: «λζω τθν αλικεια» και : «ζχω κάνει τον φόνο». Ο φποπτοσ ιςχυρίηεται ότι «λζω τθν αλικεια αν και μόνο αν ζχω κάνει το ζγκλθμα», δθλαδι ςυμβολικά p. Καταςκευάηουμε τον παρακάτω πίνακα αλθκείασ: p: «λζω τθν αλικεια» : «ζχω κάνει τον φόνο» p Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Αφοφ ο φποπτοσ λζει μονίμωσ ι αλικεια ι ψζματα κα πρζπει οι προτάςεισ p και p να ζχουν τθν ίδια τιμι αλικειασ (1 θ και 3 θ γραμμι). Αλλά και ςτθν 1 θ και ςτθν 3 θ γραμμι ο τφποσ παίρνει τθν τιμι Α που ςθμαίνει ότι θ είναι αλθκισ, δθλαδι είναι ζνοχοσ. Μια ςφνκετθ πρόταςθ που καταςκευάηεται από άλλεσ προτάςεισ με τθν βοικεια λογικϊν ςυνδζςμων καλείται λογικόσ τφποσ. Παράδειγμα: p p Ζνασ λογικόσ τφποσ λζγεται ταυτολογία αν και μόνο αν κακίςταται αλθκισ πρόταςθ για κάκε ςυνδυαςμό τιμϊν αλθκείασ των προτάςεων που τον απαρτίηουν. Παραδείγματα: α) p p Νόμοσ τθσ ταυτότθτασ 5
β) p ~(~p) Νόμοσ τθσ διπλισ αρνιςεωσ γ) p (~p) Νόμοσ τθσ του τρίτου αποκλείςεωσ δ) ~*p (~p)] Νόμοσ τθσ αντιφάςεωσ Δφο προτάςεισ p και κα λζγονται λογικά ιςοδφναμεσ, αν οι πίνακεσ αλθκείασ τουσ είναι ταυτόςθμοι, δθλαδι αν θ ιςοδυναμία p είναι ταυτολογία. Γράφουμε τότε p. Παραδείγματα λογικϊν ιςοδυναμιϊν: α) Νόμοι De Morgan: β) p (~p) ~(p ) (~p) (~) γ) p [(~p) )] [p (~)] ~(p ) (~p) (~) δ) p [(~p) )] [p (~)] 6