ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Αριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 7 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 5 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 76 μόνο η διατύωση του θεωρήματος ου βρίσκεται στο λαίσιο. Α4. α)λάθος, β) Λάθος, γ) Σωστό, δ)λάθος, ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Η f αραγωγίσιμη στο [ ),+ με = + + + = + = f e e e e e για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο για = Άρα f γνησίως φθίνουσα στο [,+ ) και στη θέση = η f αρουσιάζει (ολικό) μέγιστο το f = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Η f αραγωγίσιμη στο [,+ ) με = = + = f e e e e, f = e = = = f > e > > > f < e < < < <, +. Άρα η f κοίλη στο [,] και κυρτή στο [ ) Η f για = αρουσιάζει καμή και M, είναι το σημείο καμής. e Β. Εειδή + + e + lim f = lim + e = lim μορφή + + + ( + ) = lim = lim = αφού + + e lim e + ( e ) = + η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμτωτη της C f στο + Πίνακας μεταβολών της f - Γραφική αράσταση ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Β3. Η συνάρτηση f g ορίζεται όταν Α' = { Αg και g Αf} Εομένως ρέει > > άρα ln Άρα A f g= [, + ) g ( f g) = f( g ) = ( + g ) e και ο τύος της είναι : + ln + ln = ( + ) = = e ln ln e, ln + ln Β4. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι E = d + > για κάθε [, λ] Όμως ln Άρα λ αφού ln για ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 ΘΕΜΑ Γ λ λ λ + ln ln E = d = d d + λ λ = ( ln ) d ( ln ) + ln d λ λ = [ ln ] + ( ln ) = ln λ + ( ln λ ),λ > Πρέει : Ε 3 ln λ ( ln λ) 3 = + = ln λ + ( ln λ) = 3 ( ln λ) + ln λ 3 = ± 4 κ = 3 Αν ln λ = κ έχουμε κ + κ 3 = κ = κ = Άρα 3 ln λ =3 λ = e = < αορρίτεται 3 e ή ln λ = λ = e> δεκτή. ( ) Γ. Έστω A,f ( ) το σημείο και ε:y f( ) f ( ) της εφατομένης σ αυτό. Η ε διέρχεται αό το Μ(α,) όταν: = η εξίσωση f = f α f = α f f () Είναι f = e + οότε η () γράφεται: Άρα e + α= α e + e + e α α e α e + = + e αe + e = α+ e = α+ = = + α H f αραγωγισιμη τουλάχιστον φορές στο με f = e + και f = e > για κάθε εομένως η f κυρτή στο. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Γ. Άρα η εφατομένη ( ε ) της σημείο εαφής. Δηλαδή η εξίσωση εφατομένης της αυτή. Εειδή C f βρίσκεται κάτω αό αυτήν με εξαίρεση το C f στο Α δεν έχει άλλο κοινό σημείο με f = e + > για κάθε, η f είναι γνησίως αύξουσα στο lim f = lim e + α = α = και lim f = lim e + α = + + α = + + + Άρα f ( R ) = lim f ( ), lim f = + Το f( R) και f γνησίως αύξουσα, εομένως η εξίσωση ακριβώς μια λύση. Γ3. Ισχύει Γ4. f = έχει f = e + α= α = e > άρα < α. α α e α e α Έχουμε e + < < e + e + < < e + () e α Ισχύει το Θ.Μ.Τ για την f στο [,α ] διότι η f είναι αραγωγίσιμη στο άρα και συνεχής Εομένως υάρχει ξ (,α) τέτοιος ώστε: α f ( α) f( ) f ( α) e f ( ξ) = = = α α α Η () γράφεται f ( ) f ( ξ) f ( α) < < ου ισχύει διότι < ξ< α και f γνησίως αύξουσα εφόσον η f κυρτή στο α) Για κάθε, g e g α h = g e g α,. Έστω Για =, ( ) ( ) ( ) h = g e g α = g e g e = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 h h, Άρα ου σημαίνει ότι η h για = αρουσιάζει μέγιστο, είναι αραγωγίσιμη σ αυτό και το είναι εσωτερικό σημείο του εδίου ορισμού της. h =. Σύμφωνα με το Θ.Fermat = + ( ) h g e e g α Άρα h = g e e + g α = g e e + g e = ( )( ) ( g e e g e ) e + + = = ύ Εομένως η εφατομένη της C g στο σημείο με τετμημένη = e είναι αράλληλη στον. β) Αφού η g είναι κοίλη, η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. g e =, οότε και < e g e > g e g e > > e g e < g e g e < Το ρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνεται στον ίνακα ου ακολουθεί Άρα η g γνησίως αύξουσα στο (,e e, + ) και η g γνησίως φθίνουσα στο ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 ΘΕΜΑ Δ Δ. Για κάθε, η ισότητα f f e =ημ γράφεται f e = ( συν) Άρα Για Εομένως = η e γίνεται : f f e = συν + c f e = συν+ c e = + c c= = συν, οότε f = = ln e ln συν f ln συν f = + ln ( συν ),, Δ. Η f αραγωγίσιμη στο, με ( συν) ημ συν ημ f = + = =,, συν συν συν = και συν > στο Ισχύει f, Αρκεί να αοδείξουμε ότι η = είναι μοναδική ρίζα και στη συνέχεια ότι f > στο διάστημα, και f < στο διάστημα, ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 7 ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 φ = συν ημ,, η οοία έχει ροφανή ρίζα την = και είναι αραγωγίσιμη στο, με Έστω φ = συν ημ συν = ημ = = φ = ημ = ή ή για κάθε, ημ = = Το ρόσημο της φ και η μονοτονία της φ φαίνονται στον αρακάτω ίνακα Άρα φ γνησίως φθίνουσα στο, Για κάθε < < ισχύει φ > φ φ > Για κάθε < < ισχύει φ > φ φ < ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 8 ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Εομένως για κάθε, έχουμε : φ f = = φ = = συν φ f > > φ > < < συν φ f < < φ < > συν Άρα στο διάστημα, η f γνησίως αύξουσα και στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα συνεώς η f για = αρουσιάζει μοναδικό μέγιστο το Σημείωση: f = ln συν = ln = Μορούσαμε να βρούμε την f" ( ).Θεωρήσαμε τη βρήκαμε το ρόσημό της, το οοίο χρειάζεται στο ερώτημα Δ3. φ = συν ημ και ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 9 ΑΠΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Δ3. lim ημ + lim f = lim ln συν + + = = και Σύμφωνα με τον κανόνα του D Hospital έχουμε ημ ( ημ) συν lim = lim = lim = lim συν + + + + f f συν ημ συν ημ συν Αλλά lim συν συν lim συν ημ + = = και + και συν ημ < στο, (ερώτημα Δ ) οότε lim = + συν ημ ημ Άρα lim lim συν lim f = + + + συν ημ = = Δ4. Σύμφωνα με το ερώτημα Δ η f για = αρουσιάζει μέγιστο το f =. Άρα για κάθε, 6 ισχύει f + ln ( συν) ln ( συν) ln( συν) e e συν e e συν Η h = e συν είναι συνεχής στο, 6 και δεν είναι αντού ίση με μηδέν, διότι η ισότητα στην () ισχύει μόνο για =. Εομένως 6 6 6 6 h d > e συν d > e d συνd > 6 6 6 e d > συνd [ ] 6 e d > ημ = ημ = 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ