( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε λέμε ότι η γρφική πράστση μις συνάρτησης f έχει πλάγι σύμπτωτη Μονάδες 5 την ευθεί με εξίσωση y= λ + ; Μονάδες Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη ) Μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο Α, ότν f f ( ) γι κάθε Α ) Αν μί συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f ( ) > γι κάθε πργμτικό ριθμό γ) Η εικόν f ( Δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστημ δ) Αν f, g, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο διάστημ,, τότε: = f g d f d g d ε) Αν >, τότε lim = Μονάδες Θέμ Β Δίνετι η συνάρτηση f :, με τύπο f = + + B Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο Μονάδες 8 Β Ν ρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f Μονάδες 8 B Ν ρείτε την ντίστροφη συνάρτηση f της συνάρτησης f Μονάδες 9 Θέμ Γ Γ Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ln+ = έχει μονδική ρίζ, η οποί περιέχετι στο διάστημ, Μονάδες 5 7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνοντι οι συνρτήσεις f = ( ln + ) + κι g= Γ Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικός θετικός ριθμός τέτοιος ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α, f ν είνι κάθετη στην εφπτομένη της ( ) ( ) γρφικής πράστσης της g στο σημείο Β, g Μονάδες 5 Γ Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητ Μονάδες 4 Γ4 Ν ρείτε όλους τους θετικούς ριθμούς γι, τους οποίους ισχύει ln + = e Μονάδες 6 Γ5 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι= Θέμ Δ e ln+ d Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f :, η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: f = γι κάθε ( + e ) f = + f f > f γι κάθε Μονάδες 5 Δ Ν ποδείξετε ότι f = e, Μονάδες 6 Δ Ν ρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g= f, Μονάδες 6 + e + e Δ Ν ποδείξετε ότι < ln γι κάθε,, με < Μονάδες 6 Δ4 Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, την προλή y= + κι την ευθεί με εξίσωση = Μονάδες 7 8

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σε έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν η f διτηρεί πρόσημο στο,,, ( ) ( ) τότε ν ποδείξετε ότι το f ( ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο, Μονάδες 7 Α Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες Α Ν διτυπώσετε το θεώρημ Rolle κι ν γράψετε τη γεωμετρική του ερμηνεί Μονάδες 5 Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη ) Κάθε συνάρτηση f που είνι στο πεδίο ορισμού της είνι γνησίως μονότονη ) Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο, τότε κι οι συνρτήσεις f + g, fg κι ν f είνι συνεχείς στο γ) Αν μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό δ) Η συνάρτηση f με f = είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ε) Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι ισχύει f ( ) < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Μονάδες Θέμ Β Δίνετι η συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής στο, κι ισχύει ότι f = f () κι f f () Β Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g με g = f + f είνι συνεχής στο, Μονάδες 8 Β Ν ποδείξετε ότι ισχύει g+ g g + = Μονάδες 5 Β Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση g= έχει μί τουλάχιστον λύση στο, Μονάδες 6 Β4 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είνι στο, Είνι η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο, ; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς Μονάδες 6 ) ) 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμ Γ Δίνετι συνάρτηση f : δύο φορές πργωγίσιμη στο, γι την οποί ισχύει f f γι κάθε () Γ Ν δείξετε ότι η C f διέρχετι πό τ σημεί Α(,, ) Β(,) κι Γ(,) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεί της C f με τετμημένες,, κι ότι στ οποί η C f δέχετι οριζόντι εφπτομένη Μονάδες 9 Γ Ν δείξετε ότι f ( ) = f = f () Μονάδες 5 Γ Ν δείξετε ότι η f έχει τέσσερ πιθνά σημεί κμπής Μονάδες 5 ) C g στο σημείο υτό ν είνι πράλληλη στην ευθεί ( ε ) e y e= Γ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση g = e + f,, + Ν δείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο της C g με τετμημένη, τέτοιο ώστε η εφπτομένη της : Μονάδες 6 Θέμ Δ Α Θεωρούμε συνάρτηση f :,, η οποί είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο,, η γρφική της πράστση εφάπτετι στον άξον στην ρχή των ξόνων κι η εφπτομένη της στο σημείο Β, f είνι πράλληλη προς τον άξον Ν ποδείξετε ότι: ( ()) ) f d = f d Μονάδες 4 ( ) ) Υπάρχει, τέτοιο ώστε f = f d Μονάδες 6 Β Δίνετι συνάρτηση f :, η οποί είνι πργωγίσιμη με f = γι κάθε + κι η γρφική της πράστση διέρχετι πό την ρχή των ξόνων ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής Μονάδες 4 ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f ( εϕ) = έχει άπειρες στο πλήθος λύσεις στο π διάστημ, π κι ν υπολογίσετε το f () Μονάδες 6 γ) Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι = Μονάδες 5

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε ν δείξετε ότι f = Μονάδες 7 Α Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f : Α είνι συνάρτηση ; Μονάδες 4 Α Ν γράψετε ποιες είνι οι πιθνές θέσεις σημείων κμπής μις συνάρτησης f σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της Μονάδες 4 Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη ) Κάθε συνάρτηση f η οποί είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (, ) έχει σύνολο τιμών το διάστημ lim f,lim f + ) Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο, τότε κι η συνάρτηση f g είνι συνεχής στο γ) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι,,γ Δ, τότε ισχύει γ = + f d f d d γ δ) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ, κι υπάρχει, τέτοιο = τότε θ ισχύει < ώστε f, f f ε) Αν η συνάρτηση Δ είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι ισχύει f > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Μονάδες Θέμ Β Δίνετι η συνάρτηση f, με f ln e, = ( + ) Β Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν ρείτε την ντίστροφή της Μονάδες 7 Β Αν ϕ = f = ln( e ), f ( Α), όπου f ( Α) είνι το σύνολο τιμών της f, ν μελετήσετε τη συνάρτηση ϕ ως προς τη μονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής Μονάδες 5 Β Ν γράψετε την εξίσωση της εφπτομένης ευθείς της γρφικής πράστσης της ϕ στο σημείο τομής της με τον άξον κι ν ποδείξετε ότι ln( e ) ln 4 γι κάθε, + Μονάδες 6

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Β4 Ν ρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της ϕ κι ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της ϕ Μονάδες 7 Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση f :, γι την οποί ισχύουν τ εξής: ) Eίνι δύο φορές πργωγίσιμη με συνεχή δεύτερη πράγωγο ) f = f = γ) f δ) ( ) f f d < < γι κάθε, 4 = 8 Γ Ν ποδείξετε ότι: ) f = κι ) f γι κάθε, Μονάδες 8 Γ Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν ξ ξ f f = f (),,, με ξ < ξ, έτσι ώστε ν ισχύει: ξ ξ Μονάδες 6 Γ Ν ποδείξετε ότι < f () < Μονάδες 5 Μονάδες 6 Γ4 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f + + = 6 f έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο διάστημ, Θέμ Δ Δίνετι η συνάρτηση f :, γι την οποί ισχύουν τ εξής: ) Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο () ) f + f = κι γ) f = 6 + f γι κάθε Δ Ν ποδείξετε ότι: ) f = f Μονάδες, ) Η συνάρτηση ( ) Δ Ν ποδείξετε ότι f d = g = f + f e,, είνι στθερή στο Μονάδες 4 Μονάδες 4 Δ Αν επιπλέον ισχύει f =, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι f e = ( e ), Μονάδες 4 ) N δείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν ρείτε την ντίστροφη συνάρτηση της f Μονάδες 5 Δ4 Ν υπολογίσετε το + + 6 ln d 4 Μονάδες 6

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ 4 Θέμ Α Α Αν μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει ότι f =, τότε ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Μονάδες 7 Α Αν γι μί συνάρτηση f ισχύει ότι lim f =, ποι είνι η σχέση του ημιάξον Ο με τη + γρφική πράστση της f κι τι σημίνει υτό; Μονάδες 4 Α Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano γι μι συνάρτηση f σε έν κλειστό διάστημ, κι με τη οήθει σχήμτος ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεί του θεωρήμτος Μονάδες 4 Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη ) Γι κάθε κ ισχύει ότι ( ) κ κ = κ ) Αν μί συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ κι η f είνι πργωγίσιμη στο g( Δ), τότε κι η f g είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει ότι ( f ( g )) = f ( g ) g ( ) γ) Αν μί συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ, τότε η πράγωγός της είνι θετική στο εσωτερικό του διστήμτος Δ δ) Αν μί συνάρτηση f προυσιάζει μέγιστο, τότε υτό θ είνι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ ε) Το ορισμένο ολοκλήρωμ f d δίνει το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = Μονάδες Θέμ Β Στο διπλνό σχήμ πεικονίζετι η γρφική πράστση της πργώγου συνάρτησης f μις συνάρτησης f, η οποί είνι πργωγίσιμη με συνεχή πρώτη πράγωγο στο διάστημ, κι η γρφική της πράστση διέρχετι πό την ρχή των ξόνων κι f ( ) Μονάδες 6 Β Αν ΕΩ =Ε Ω = ΕΩ =, ν υπολογίσετε τις τιμές f, f, f Β Ν ρείτε τ διστήμτ μονοτονίς της συνάρτησης f κι τ κρόττά της Μονάδες 7 - y Ο - - - -4-5 -6 Ω Ω Ω Β Ν μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής της Μονάδες 6 y

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Β4 Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της f στο διάστημ, Μονάδες 6 Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση f, με f = e +, Γ Ν ποδείξετε ότι f + f =, γι κάθε Μονάδες 4 Γ Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι = Μονάδες 6 Γ Ν ποδείξετε ότι + e d 8 e + Μονάδες 8 8 e Γ4 Ν ποδείξετε ότι e e d 8 Μονάδες 7 + + Θέμ Δ Δ Δίνετι η συνάρτηση g :, + ) με g= e ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Μονάδες ) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της g έχει με τον άξον κριώς δύο κοινά σημεί (Δίνετι ότι ln,69) Μονάδες Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f :(, + ) με f = e ) Ν δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ν εκφράσετε την f ως συνάρτηση της g Μονάδες ) Ν ρείτε το πρόσημο της g κι ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Μονάδες ln γ) Ν ποδείξετε ότι ln f = ( + ) + ln e,, + υπολογίσετε το lim f, κι ν + Μονάδες Δ Ν ποδείξετε ότι: ) e e, γι κάθε, Μονάδες e ) u u e u u + + +, γι κάθε u, Μονάδες γ) f, e γι κάθε Μονάδες Δ4 Ν υπολογίσετε τ lim f + κι lim f + Μονάδες 4 4

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ 5 Θέμ Α Α Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ, Αν η f είνι συνεχής στο, κι f f, τότε ν ποδείξετε ότι γι κάθε ριθμό η μετξύ των f ( ) κι f ( ) υπάρχει ένς τουλάχιστον, τέτοιος ώστε f ( )= η Μονάδες 7 Α Ποι σημεί ενός διστήμτος Δ λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ; Μονάδες 4 Α Ν γράψετε ποιες είνι οι πιθνές θέσεις των τοπικών κρόττων μις συνάρτησης f σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της Μονάδες 4 Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη ) Η συνάρτηση f με τύπο f =,, είνι στθερή συνάρτηση ) Αν υπάρχει το lim f κι lim f, = τότε lim f = γ) Αν f d, τότε θ ισχύει πάντ ότι f γι κάθε, δ) Αν μί συνάρτηση είνι κοίλη σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους ε) Έστω f, gδύο συνρτήσεις ορισμένες κι συνεχείς σε έν διάστημ Δ τέτοιες ώστε f = g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Τότε ισχύει ότι f = g γι κάθε Δ Θέμ Β Α Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, γι την οποί ισχύει: Μονάδες f f lim = lim =, μεν + ν ν ν ν ) Ν υπολογίσετε: i το lim ( f + ) κι ii το lim ( f + ) Μονάδες 8 + ν ) Αν ο ν είνι περιττός, ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f + = έχει μί τουλάχιστον πργμτική ρίζ Μονάδες 7 Β Δίνετι συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη στο =, η γρφική της πράστση διέρχετι πό την ρχή των ξόνων κι επιπλέον ισχύει ότι f ηµ f ηµ, γι κάθε Ν υπολογίσετε τον πράγωγο ριθμό της f στο = Μονάδες 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμ Γ Α Δίνετι συνάρτηση f πργωγίσιμη στο =, με f = κι f = f Ν υπολογίσετε το lim e ηµ Β Δίνετι συνάρτηση h πργωγίσιμη στο, με h h Μονάδες = =, η οποί είνι δύο φορές h, πργωγίσιμη στο =, με h = Ορίζουμε τη συνάρτηση g, με g =, = ) Ν ρείτε τον g Μονάδες 7 ) Ν ποδείξετε ότι η g είνι συνεχής στο = Μονάδες 8 Θέμ Δ Έστω συνάρτηση f :, + ), γι την οποί ισχύουν: ) f = ) H f είνι πργωγίσιμη στο, + ) γ) f + f = e (, ) γι κάθε, + ) f Δ Ν ποδείξετε ότι lim = κι ν γράψετε την εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο της με τετμημένη = Μονάδες 5 Δ Ν ρείτε τον τύπο της συνάρτησης f κι ν δείξετε ότι f = f γι κάθε, + ) Μονάδες 5 Δ ) Ν ποδείξετε ότι + γι κάθε > Μονάδ ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση g = e e ηµ,, ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Μονάδες 4 γ) Ν λύσετε την εξίσωση f = ηµ Μονάδες 4 Δ4 N υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, 5 τον άξον yy κι την ευθεί y = 4 Μονάδες 6 6

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμ Α Α Σ, Λ, γ Λ, δ Λ, ε Σ Θέμ Β + + + Β f = = >, φού + + Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο, γι κάθε Β Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο, το σύνολο τιμών της είνι το f ( ) = ( lim f, lim f ) + Είνι f ( ) ( ) ( + ) + lim = lim + + == = lim = lim = + + + lim f = lim + + = lim + + =+ + + + Eπίσης Οπότε το σύνολο τιμών της f είνι το f =, + B Η f είνι γνησίως ύξουσ στο, άρ κι, επομένως ορίζετι η f f :, ( + ), με f = Θέτουμε y = f = y y Άρ Θέμ Γ Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση h = ln+, > με H h είνι πργωγίσιμη στο (, + ), h = + = + + = + >,,, οπότε η εξίσωση h = θ έχει το πολύ μί θετική ρίζ είνι γνησίως ύξουσ στο ( + ) γι κάθε (, + ), άρ η h Είνι h()= κι h = ln > Οπότε πό το θεώρημ Bolzano υπάρχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (,,η ) οποί είνι μονδική Γ f = = ln +, g = Αρκεί ν δείξουμε ότι υπάρχει μονδικός θετικός f g =, δηλδή ότι η εξίσωση + () ln = έχει κρι- τέτοιος ώστε 7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ώς μί θετική ρίζ Είνι ln + δηλδή h =, που πό το (Γ) έχει κριώς μί θετική ρίζ Γ Η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη, με = ln + = ln + =, f = = ln ln Είνι f = = ln = ln = = e κι > ln f > > ln > < e Άρ η f είνι κυρτή στο (, e κι είνι κοίλη στο + e, ) Προυσιάζει κμπή στο = e, με σημείο κμπής το Α ( e, f ( e) ) Γ4 Από το (Γ) έχουμε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, e κι είνι γνησίως φθίνουσ στο e, + ), άρ η f προυσιάζει ολικό μέγιστο γι = e το ln e f ( e) = + = + e e, κι συνεπώς έχουμε f ( ) < f ( e) ln + e + ln e Ομοίως f ( ) < f ( e) ln + e + ln, οπότε με πρόσθεση των δύο e ln ln σχέσεων κτά μέλη έχουμε + Το «=» ισχύει γι = = e e ln+ ln = + d f g d = Γ5 Ι= d = + = f + e e e e g ( ) Θέμ Δ Δ Γι κάθε είνι f > f f e = + + = e + e + e 8 ln 4 4e ( + e ) f = f + f f + f ( ) f = + e f ln f + f = ( + e ) c τέτοιο ώστε ν ισχύει έχουμε ln f + f = + c κι επειδή = + f = + e ln f + f = lne + e + = + () Άρ υπάρχει Γι = Άρ ln f ln f f ln e e, Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με ht ()= ln t+ t, με t > + f = ( + e ) f ln f + f = + e + c, γι κάθε f, προκύπτει c = 74

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ = + >, άρ η h είνι t,, οπότε είνι κι H h είνι πργωγίσιμη στο (, + ), με h () t γνησίως ύξουσ στο ( + ) Έτσι, πό τη σχέση () έχουμε ( ) = Δ Είνι g ( )= f = e, e lim g= lim e = lim + + + h f h e, άρ f = e, Θέτουμε u = + κι έχουμε lim u = lim + + =+, οπότε u ( e ) ( u) u + e e u lim g = lim e = lim = lim = lim = lim e =+ + + + u + u u + u + Άρ η ευθεί = είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της C Επειδή η g είνι συνεχής στ διστήμτ (,) κι ( + ) Επίσης είνι,, δεν υπάρχουν άλλες κτκόρυφες σύμπτωτες e = = g lim lim lim e = κι ± ± ± = = (( ± ) ) lim g lim e lim e == = lim ± ± ± e e = lim = lim = lim e = ± ± ± g ± e = Άρ η ευθεί y = + είνι πλάγι σύμπτωτη της C g στο + κι στο + Δ Ισχύει ότι < < Η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στ διστήμτ + + +, κι,, επομένως υπάρχουν ξ, κι + ξ, + f τέτοιοι ώστε f f ξ = κι f ( ξ ) ( ) Έχουμε f = e >, γι κάθε = f ( ) + f, άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο, οπότε έχουμε 75

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ γι ξ < ξ f ξ + + e e < e < Δ4 Θεωρούμε + + f ( ξ ), δηλδή f < f + e < ln e + f ( ) Φ = e, Φ = e, Έχουμε Φ Η Φ προυσιάζει ελάχιστο γι = γι κάθε, οπότε η Φ είνι γνησίως ύξουσ στο Φ =, άρ η = Φ =, κι επειδή Είνι Φ = e,, κι > e > > ln ln το Φ ( ln ) = ( ln) >, άρ Φ Φ Ακόμη είνι μονδική ρίζ της Φ(, ) =, e, έχουμε Φ, γι κάθε, Το ζητούμενο εμδόν είνι d e d ( e ) 7 = e = e Ε= Φ = = = ln > Θέμ Α Α4 Λ, Σ, γ Σ, δ Λ, ε Σ Θέμ Β Β Η συνάρτηση g, με g = f +, είνι σύνθεση της ϕ = +, D =!, με την f, ϕ η οποί είνι συνεχής στο,,δηλδή g = f ( ϕ ) Άρ D g = { D ϕ ϕ Df } =! +, / / Είνι + + Άρ = D, g Η συνάρτηση g είνι άθροισμ των g, f, οπότε = = = D D D,,, g f g Τελικά η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, ως άθροισμ συνεχών συνρτήσεων Β Στη σχέση g ( ) = f + f θέτουμε διδοχικά =, = κι = κι έχουμε 76

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ g = f f g = f f = ( ), κι g f () f Προσθέτουμε τις τρεις σχέσεις κτά μέλη κι προκύπτει ότι g ( )+ g + g = Β Αν f = f, τότε g =, δηλδή η εξίσωση g= έχει λύση τη = Είνι f f f f, άρ g Συνεπώς πό τη σχέση g ( )+ g + g = έχουμε ότι δύο πό τους ριθμούς g (, ) g g, είνι ετερόσημοι Εφρμόζουμε το θεώρημ Bolzano στο ντίστοιχο διάστημ των τιμών της μετλητής κι έχουμε ότι η εξίσωση g= έχει μί τουλάχιστον λύση στο, Τελικά η εξίσωση g= έχει μί τουλάχιστον λύση, Β4 Από το (Β) έχουμε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον, έτσι ώστε = f + g f = f + = f ( )Επειδή,, έχουμε < + < Άρ η f δεν είνι στο, ) Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, ),οπότε, ν ήτν γνησίως μονότονη, θ ήτν κι Θέμ Γ Γ Γι = πό () έχουμε f f () =, οπότε ()= f ( ) = κι γι = έχουμε = f f f + f f Άρ το σημείο Α(, ) C Ομοίως γι = f f Άρ τ σημεί Β (,) C κι Γ f, άρ πό () έχουμε, C Η συνάρτηση f πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle στ διστήμτ, κι,, οπότε υπάρχουν (, ) κι (, ), έτσι ώστε f ( ) = f ( ) = Άρ υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεί της C f με τετμημένες, (, ) στ οποί η C f δέχετι οριζόντι εφπτομένη Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση Είνι h = f ( ) f f, γι κάθε κάθε Έχουμε h( ) =, άρ ( ) h= f f, Από την () έχουμε h γι h h γι κάθε, δηλδή η h προυσιάζει ολικό ελάχιστο f 77

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ στο = Άρ πό το θεώρημ Fermat ισχύει ότι h f f = 6 f ( ) = κι επειδή f ( ) =, προκύπτει Ομοίως έχουμε h = h( ) γι κάθε = Άρ πό το θεώρημ Fermat ισχύει ότι h Είνι όμως f =, οπότε Επίσης έχουμε h = h() f = = Άρ πό το θεώρημ Fermat ισχύει ότι h Είνι όμως f ()=, οπότε () = f =, δηλδή η h προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 6 f f f = γι κάθε, δηλδή η h προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 6 f f f = f Τελικά ισχύει f ( ) = f = f () = Γ Έχουμε f f ( ) f f ( ) f () = = = = = κι επειδή η f είνι δύο φορές πρ- γωγίσιμη, έχουμε ότι η f ικνοποιεί τις συνθήκες του θεωρήμτος Rolle σε κθέν πό τ διστήμτ,,,,, κι, Άρ υπάρχουν ξ (, ), ξ (,, ) ξ (, ) κι ξ (,) f ( ξ ) = f ( ξ ) = f ( ξ ) = f ( ξ ) =, 4 τέτοι ώστε 4 δηλδή η f έχει τέσσερ πιθνά σημεί κμπής Γ4 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ( ε ): e y e= είνι λ ε = ότι η εξίσωση g e = έχει μί τουλάχιστον λύση ξ h = g e,, Η h είνι πργωγίσιμη στο,,με h g e κι ισχύουν h = g = f = κι h() = g() e= e+ f () e= f () =, άρ h = h(), οπότε πό το θεώρημ Rolle υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε h ( ξ ) = g e, οπότε ρκεί ν δείξουμε, Θεωρούμε τη συνάρτηση =,, ( ξ ) = e Θέμ Δ A Η γρφική πράστση της f εφάπτετι στον άξον, στην ρχή των ξόνων, άρ έχουμε f = κι f = Επίσης, επειδή η εφπτομένη της C f στο σημείο Β(, f () ) είνι πράλληλη προς τον άξον, έχουμε f () = ) Είνι = ( ) = ( ) ( ) = f ( ) f d = ( ) f d, φού f = f d f d f f d = ) Η συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο,, άρ η f είνι συνεχής στο,, οπότε πίρνει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή Αν m, Μ είνι η ελάχιστη κι η μέγιστη τιμή της f στο,, τότε έχουμε ότι γι κάθε m f Μ Γι κάθε, είνι, οπότε πό την () έχουμε: ( )m ( ) f ( )Μ m ( )d ( ) f d Μ,, ισχύει () f ( )d 78

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ d = = =, οπότε πό την πρπάνω σχέση έχουμε ότι: m ( ) f d Μ m ( ) f d Μ, κι επειδή πό () έχουμε Είνι ( ) f d = ( ) f d, συμπερίνουμε ότι m f d,, f ( ) = f d f d Μ, δηλδή ότι η τιμή είνι τιμή που μπορεί ν πάρει η συνάρτηση f, άρ υπάρχει έν τουλάχιστον τέτοιο ώστε (θεώρημ ενδιάμεσων τιμών) B ) Η γρφική πράστση της f διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, άρ f = Η f είνι πργωγίσιμη στο, με f = + = + Είνι f = = = κι ( +) f ( ) > + Άρ η f είνι κυρτή στο (, κι είνι κοίλη στο, + ) Προυσιάζει κμπή στο σημείο Ο(, f ( )),δηλδή στο Ο, ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h = f ( εϕ), με Η h είνι πργωγίσιμη στο με h ( ) = = f εϕ π π, + εϕ εϕ = συν άρ η h είνι στθερή συνάρτηση, δηλδή υπάρχει h = c f ( εϕ) = c γι κάθε Γι = έχουμε f εϕ π π, = c, δηλδή f = f ( εϕ) =, γι κάθε π π, άπειρες στο πλήθος λύσεις στο διάστημ π π, Γι = π 4 πό την () έχουμε f εϕ π 4 = π 4 f γ) Το ζητούμενο εμδόν είνι > < π π, π =, γι κάθε συν c τέτοιο ώστε c,κι επειδή f =, έχουμε c =, άρ π,,, οπότε η εξίσωση f ( εϕ) = f ( εϕ) = έχει Ε= f d = π 4 Έχουμε ότι f, άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο Οπότε γι > = > + γι κάθε f f > f = Άρ 79

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f d f d f d f f d f () Ε= = = = = π ( + ) π = π = ( ( + )) = ( + ) + = π d ln d 4 4 4 ln 4 d = + ln Θέμ Α Α4 ) Λ, ) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ Θέμ Β Β Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο ως σύνθεση πργωγίσιμων συνρτήσεων, με e f = ( ln( + e )) = >γι κάθε, άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο κι + e συνεπώς είνι κι Άρ η f ντιστρέφετι Το πεδίο ορισμού της f είνι το σύνολο τιμών της f Η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο Α=, οπότε το σύνολο τιμών της f είνι το f ( Α ) = ( lim f, lim f ) + lim f = lim ln+ e =, lim + e =, οπότε Είνι ( ) διότι u=+ e lim f = lim ( ln ( + e )) === = lim( lnu) = κι f ( ( e )) u + + u=+ e lim ( + e ) =+, οπότε lim f = lim ( ln ( + e )) === = lim ( ln u) =+ = + + u + Θέτουμε y = f y = ln( e +) e += e y e = e y = ln e y Η ντίστροφη συνάρτηση της f ορίζετι ως εξής: f :(, + ) f = ln e με τύπο lim = lim ln + =+, διότι Άρ f ( Α ) = (, + ), y > Β Η συνάρτηση ϕ είνι πργωγίσιμη στο (, + ) ως σύνθεση πργωγίσιμων συνρτήσεων με ϕ = ( ln( e ) ) = e e >, γι κάθε (, + ), άρ η ϕ είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ), οπότε δεν υπάρχουν κρόττ Η ϕ είνι πργωγίσιμη στο ( + ) άρ ηϕ είνι κοίλη στο ( + ) e,, με ϕ e = e = ( e ) < γι κάθε (, + ),,, οπότε δεν υπάρχουν σημεί κμπής 8

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Β Είνιϕ = ln( e ) = e = = ln Άρ η C ϕ τέμνει τον άξον σημείο Μ( ln, ) Η εφπτομένη ( ε ) της C ϕ στο Μ( ln, ) έχει εξίσωση στο ( ε ): y ϕ ( ln) = ϕ ( ln) ( ln) Είνι ϕ ( ln) = eln e ln = Άρ ( ε ): y = ( ln) y = ln y = ln4 Έχουμε ότι η ϕ είνι κοίλη στο (, + ), οπότε η C ϕ ρίσκετι «κάτω» πό την εφπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της, με εξίρεση το σημείο επφής Άρ θ ισχύει ότι ϕ, + ln4 ln( e ) ln4, γι κάθε = lim ( ln( e ) ) = Β4 Είνι lim +ϕ + κτκόρυφη σύμπτωτη της C ϕ u=e === lim lnu u + =, άρ η ευθεί με εξίσωση = είνι Η ϕ είνι συνεχής στο (, + ), άρ δεν υπάρχουν άλλες κτκόρυφες σύμπτωτες της C ϕ + + ( ln( e ) ) e ϕ ln e Είνι lim = lim = lim = lim + + + + e = κι ( + ) lim ϕ + = lim ln( e ) + = lim ln( e ) lne + = e lim ln =, φού + e e lim = Άρ η ευθεί + ( η): y= είνι πλάγι σύμπτωτη της C e ϕ στο + y y = Η γρφική πράστση της ϕ είνι: Ο ln y Θέμ Γ f ( 4) f f d f d = 8 4 f f + f d f d = 8 4 f = 8 f = ) Είνι f > γι κάθε (, ),άρ η f = Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο f = Γ ) 4 f d = 8 4 f d f d = 8 γι f γι f f είνι γνησίως ύξουσ στο,,οπότε,, συνεπώς 8

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ H f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στ διστήμτ, κι,, άρ υπάρχουν ξ (, ) κι ξ (, ) έτσι ώστε: f () f f ( ξ ) = = f () f κι f ( ξ ) Άρ f ( ξ ) f ( ξ ) = f f () + f f ( ξ ) f ( ξ ) = f () f () f = = f f () κι επειδή f = κι f =, έχουμε Γ Έχουμε ξ < ξ κι επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, ισχύει < > Από (Γ) έχουμε f ( ξ ) f ( ξ ) = f () < Επίσης επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, έχουμε ότι f ξ f ξ f ξ f ξ άρ f > f f () > f = Τελικά ισχύει < f () <, Γ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση g = f ( + ) + 6 + f, στο, ως πράστση συνεχών συνρτήσεων Είνι g f () f f () f = κι g() = f + 6+ f () === = + f () <, φού f ()< Άρ g g()< πό το θεώρημ Bolzano υπάρχει έν τουλάχιστον (,) g Η g είνι συνεχής = + = > πό (Γ), οπότε τέτοιο ώστε = Ομοίως με εφρμογή του θεωρήμτος Bolzano στο διάστημ,,έχουμε f = g = f () + f === = + f () >, άρ υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) g( )= Τελικά η εξίσωση f ( + ) + = 6 f διάστημ (, ) τέτοιο ώστε έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο Θέμ Δ Δ ) Η f είνι πργωγίσιμη στο, άρ κι η f = 6 + f f f f f με f = = = f () 6 + f f είνι πργωγίσιμη στο ) Η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο, ως πράστση πργωγίσιμων συνρτήσεων με ( ) ( ) κι επειδή πό () έχουμε f = f ( ), προκύπτει ότι = g = e f + f f f = e f f, c τέτοιο ώστε g = c, Δ = = f d f d f = + f () + f ( ) Eίνι όμως f + f ( ) = f ( ) = f, οπότε f d = g γι κάθε, άρ υπάρχει 6 6 8

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Πράγωγος σικών σύνθετων συνρτήσεων f ν = ν ν { } ν,, ( f g) ν = ν g ν g g, ν D f ( ) =, =, + ), D = (, + ) f ( g ) g =, g > g ( ηµ ) = συν ( ) ηµ g = συν ( g ( )) g ( ) ( συν) = ηµ ( ) συν g = ηµ ( g ( )) g ( ) ( e ) = g e = g e e g ( ln ) =, > ( g ) g ln =, g > g g ln =, ln g =, g g ( εϕ) = συν ( σϕ) = ηµ ( ) = > ( ) εϕ g ( ) σϕ g g = συν g g = ηµ g g ln, g = ln g = e ln g ( ), < 8

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Κάθε συνάρτηση f συνεχής στο, είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ υτό Το ορισμένο ολοκλήρωμ είνι στθερός ριθμός, οπότε f ( ) d = Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος Αν f, gείνι συνεχείς συνρτήσεις στο, κι λ, τότε ισχύουν: λ f d = λ f d + = + f g d f d g d Αν η f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι,,γ Δ, τότε ισχύει: γ = + f d f d f d Έστω f μί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ, Αν f γι κάθε, κι η συνάρτηση f δεν είνι πντού μηδέν στο διάστημ υτό, τότε f ( ) d > f d = f d f ( ) d = Βσικά ορισμέν ολοκληρώμτ = = ( ) ν + v ν + ν + cd c c d = =, ν ν + + γ ν ηµ ( κ ) = συν κ d κ συν ( κ ) d = εϕ κ κ = κ κ e e d κ συν( κ ) ηµ κ = ηµ κ d κ d = σϕ κ κ = d,< ln = d ln d = κ ln κ 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Πργοντική ολοκλήρωση ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ f g d = f g f g d, f κ Ρ e d = Ρ κ e κ d Ρ ln f d= Η ln f d κ κ e e ηµ ( λ) d = ηµ ( λ) κ d, g συνεχείς συνρτήσεις Ρ = Ρ συν κ ηµ κ d d κ ηµ κ Ρ συν( κ) d = Ρ κ d κ κ e e συν( λ) d = συν( λ) κ d Όπου Ρ είνι πολυωνυμική συνάρτηση κι Η μί ρχική συνάρτηση της Ρ( ) Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ( ) Ι= f g g d Θέτουμε u= g( ), τότε = u u = g( ) κι γι = είνι u = g ( ) Οπότε Συνήθεις περιπτώσεις du g d Νέ όρι ολοκλήρωσης: Γι = είνι Ι= f u du u ν f f d = + ( f ) ν f = d ν ν f ( f ) ν κ f f d = + ( f ) { } κ 4 5 κ f = f d ln f f f d = f ν +, ν { }, ν κ +, κ f = e f d e f 6 7 ηµ ( f ) f d = συν ( f ) 8 συν( f ) f d ηµ ( f ( )) 9 f συν f f ηµ f d d = = εϕ f = σϕ f