υναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων
Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η υναµική u Ροµποτική υναµική q, q& Ροµποτική Κινηµατική Περιβάλλον Θέση, Προσανατολισµός & και αλληλε ίδραση Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται από τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν αναλυτικά τη σχέση ανάµεσα στις ροπές των κινητήρων που κινούν τις αρθρώσεις του βραχίονα και την κίνηση, και αλληλεπίδραση της κατασκευής (µέσα στο / µε το) περιβάλλον.
Μεθοδολογίες υναµικής Ροµποτικών Βραχιόνων Οι δυναµικές εξισώσεις είναι δυνατό να αναπτυχθούν στον τρισδιάστατο χώρο λειτουργίας του ροµπότ στον χώρο των µεταβλητών των αρθρώσεων του. Στα πλαίσια του µαθήµατος θα ασχοληθούµε µε το δυναµικό µοντέλο του χώρου αρθρώσεων. Για την εξαγωγή του εφαρµόζονται διάφορες µέθοδοι, όπως Euer-Lagrange, Newton-Euer Kane H πιο (εκπαιδευτικά) εισαγωγική είναι η µέθοδος Euer- Lagrange που θα παρουσιαστεί και στη συνέχεια.
H Μέθοδος Euer-Lagrange λ i i=,, n ( ) Γενικευµένες συντεταγµένες: περιγράφουν τις θέσεις των συνδέσµων. Λαγκρανζιανή (Lagrangian): συνάρτηση των γενικευµένων συντεταγµένων L= T U T: ολική κινητική ενέργεια του συστήµατος U: ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος. Ροµποτικός βραχίονας: ως γενικευµένες συντεταγµένες µπορούν να επιλεγούν οι µεταβλητές των αρθρώσεων, λ M λ n q M q = q= n Οι δυναµικές εξισώσεις του βραχίονα προκύπτουν από την παρακάτω σχέση ξ i d L L = ξi i=, K, n dt & λi λi όπου είναι η γενικευµένη δύναµηπου αντιστοιχεί στη γενικευµένη συντεταγµένη.
H Μέθοδος Euer-Lagrange Οι γενικευµένες δυνάµεις προκύπτουν από τις µησυντηρητικές δυνάµεις που ασκούνται στην κατασκευή, π.χ. τις ροπές των κινητήρων που οδηγούν τις αρθρώσεις, τις ροπές τριβής στις αρθρώσεις καθώς επίσης και τις ροπές που αναπτύσσονται στις αρθρώσεις ως αποτέλεσµα των δυνάµεων επαφής που ασκούνται στο εργαλείο. Η σχέση d L L = ξi i=, K, n dt & λi λi i=,, n όταν εφαρµοστεί για µας δίνει τις αναλυτικές σχέσεις που ισχύουν ανάµεσα στις γενικευµένες δυνάµεις που ασκούνται στο βραχίονα και στις µετατοπίσεις, τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις των αρθρώσεων. βασίζεται στην ολική κινητική και την ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος.
Προσδιορισµός της Ολικής Κινητικής Ενέργειας Θεωρούµε ένα ροµποτικό βραχίονα µε n συνδέσµους. Η ολική κινητική ενέργεια ενός βραχίονα προκύπτει ως άθροισµα των συνεισφορών κινητικής ενέργειας λόγω κίνησης των συνδέσµων και των συνεισφορών κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης των επενεργητών των αρθρώσεων: T i n i= T = ( T + T m ) είναι η κινητική ενέργεια του i- συνδέσµου, και T mi είναι η κινητική ενέργεια του κινητήρα που κινεί την i-άρθρωση. i i z 0 x 0 y 0 p p i p& i p i p& mi ω i p mi r i ω mi
Προσδιορισµός της Ολικής υναµικής Ενέργειας Η ολική δυναµική ενέργεια ενός βραχίονα προκύπτει ως άθροισµα των συνεισφορών δυναµικής ενέργειας των συνδέσµων και των επενεργητών των αρθρώσεων p i & p i p i ω i r i n = + i i= δυναµική ενέργεια του συνδέσµου i ( ) ( ) ( ) U q ( U q U q ) m i ω mi p& mi p mi δυναµική ενέργεια του κινητήρα που επενεργεί στην άρθρωση i
Προσδιορισµός των Εξισώσεων Κίνησης Με δεδοµένες την ολική κινητική και την ολική δυναµική ενέργεια από τις σχέσεις που έχουν προηγηθεί, προκύπτει η Λαγκρανζιανή: L q, q& = T q, q& U q ( ) ( ) ( ) Οι εξισώσεις Euer-Lagrange, και d L L = ξi i=, K, n dt q& i q i Οι δυναµικές εξισώσεις του ροµπότ B( q) q&& + C( q, q& ) q& + G( q) = ξ
Με βάση τη παραπάνω µεθοδολογία το δυναµικό µοντέλλο ενός ροµποτικού βραχίονα είναι όπου B( q) : µητρώο αδράνειας. Το υναµικό Μοντέλλο B( q) q&& + C( q, q& ) q& + G( q) = ξ Τα διαγώνια στοιχεία του b ii αναπαριστούν τη ροπή αδράνειας του άξονα της άρθρωσης, στην εκάστοτε θέση του βραχίονα,, όταν οι υπόλοιπες αρθρώσεις είναι ακίνητες.. Τα µη διαγώνια στοιχεία του b ij περιγράφουν το αποτέλεσµα της επιτάχυνσης της άρθρωσης j στην άρθρωση i. C( q, q& ) : µητρώο, το οποίο περιέχει τις φυγόκεντρες ροπές και τις ροπές Coriois που αναπτύσσονται στο βραχίονα. Προκύπτει από το µητρώο κινητικής ενέργειας, µετά από παραγωγίσεις. G( q) : διάνυσµα βαρυτικών όρων, εξαρτώνται µόνο από τις µετατοπίσεις των αρθρώσεων του βραχίονα και προέρχονται από την ολική δυναµική ενέργεια και συνιστούν. Αναπαριστούν τη ροπή που αναπτύσσεται στον άξονα µιας άρθρωσης, στην εκάστοτε θέση του βραχίονα, λόγω βαρύτητας. ξ : µη συντηρητικές δυνάµεις που παράγουν έργο στις αρθρώσεις του βραχίονα: F, F ξ = τ F q& F sgn( q& u i s i x< 0 sgn(x) = 0 x= 0 + x > 0 : διαγώνια µητρώα των σταθερών ιξώδους και στατικής τριβής του, αντίστοιχα. u s )
Το υναµικό Μοντέλο συνεχ. Στην περίπτωση που το εργαλείο του βραχίονα βρίσκεται σε επαφή µε το περιβάλλο ένα µέρος των ροπών χρησιµοποιείται για να αντισταθµίσει τις ροπές που αναπτύσσονται στις αρθρώσεις λόγω των δυνάµεων επαφής: J ( q) T τ contact = J ( q) h : γεωµετρική Ιακωβιανή που έχει προκύψει από τη διαφορική κινηµατική και T T T 6 h f µ 3 3 = R : διάνυσµα δυνάµεων και ροπών µ R που ασκούνται ( f R ) ( ) από το εργαλείο του βραχίονα στο περιβάλλον. Συνοψίζοντας όσα αναφέραµε πιο πάνω, το υναµικό µοντέλο χώρου αρθρώσεων ενός ροµποτικού βραχίονα µπορούν να γραφτούν σε µητρωϊκή µορφή ως εξής: T B( q) q&& + C( q, q& ) q& + F q& + F sgn(q& ) + G( q) + J ( q) h= τ u s Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του υναµικού Μοντέλου T B( q ) B( q) = B ( q) ( B q ) Το µητρώο αδράνειας είναι συµµετρικό, θετικά ορισµένο, και γενικά εξαρτώµενο από την εκάστοτε θέση του βραχίονα. Αντισυµµετρικότητα (δηλ.ν=-ν Τ )τουµητρώου: δηλαδή Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους : (, &,&&) Y q q q π = τ N( q, q& ) = B& ( q) C( q, q& ) T w N( q, q& ) w= 0 w (κατάλληλο για αναγνώριση παραµέτρων)
H Μέθοδος Euer-Lagrange: Παράδειγµα τ :ΡοπήΚινητήρα Μ Ι : Ροπή Αδράνειας θ m : µάζα οµογενούς συνδέσµου : µήκος συνδέσµου L = m g sinθ θ L = I & θ & θ d L L ξ dt = & θ θ T = I & θ U = m g cos θ = = & θ L T U I m g I ( ) ( cosθ) && θ + m g sinθ = τ Απλός και ευθύς τρόπος. Ενδείκνυται όταν η απλότητα της διάταξης το επιτρέπει. Τι γίνεται όµως όταν έχουµε πολύπλοκους µηχανισµούς?
Ευθεία & Αντίστροφη υναµική Το υναµικό µοντέλο χώρου αρθρώσεων ενός ροµποτικού βραχίονα γράφεται σε µητρωϊκή µορφή ως εξής: T B( q) q&& + C( q, q& ) q& + Fu q& + Fs sgn(q& ) + G( q) + J ( q) h= τ Αυτό είναι η µορφή αντίστροφης δυναµικής που ουσιαστικά αφορά τον προσδιορισµό των ροπών που είναι αναγκαίες για να υλοποιήσουν αυτή την κίνηση του βραχίονα, η οποία περιγράφεται από συγκεκριµένες µετατοπίσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις ( q, q&, q&& ) των αρθρώσεων. Αυτή η µορφή είναι κατάλληλη για προσοµοίωση ενός ροµπότ Η ευθεία δυναµική συνίσταται στον προσδιορισµό των επιταχύνσεων και (µέσω αριθµητικής ολοκλήρωσης) των ταχυτήτων & µετατοπίσεων των αρθρώσεων που προκαλούνται από την εφαρµογή κάποιων συγκεκριµένων συναρτήσεων ροπών στις αρθρώσεις του βραχίονα, όταν είναι γνωστή η αρχική κατάσταση του συστήµατος (δηλ. οι θέσεις και οι ταχύτητες): T q&& = B ( q) { τ C( q, q& ) q& + Fu q& + Fs sgn(q& ) + G( q) + J ( q) h } q t = 0 = q, q & t = 0 = q & τ q&& q& q ( ) ( ) Έχει νόηµα γιατί B( q ) > 0 0 0 B ( q) F q& + F sgn(q& ) u s Αυτή η µορφή είναι κατάλληλη για έλεγχο C( q, q& ) q& G( q)
Παράδειγµα (θέµα) d Ένας ροµποτικός βραχίονας-pr αποτελείται από ένα περιστροφικό βαθµό ελευθερίας (q : η γωνία του πρώτου συνδέσµου από τον άξονα - x του αδρανειακού συστήµατος) και ένα πρισµατικό (µεταφορικό) βαθµό ελευθερίας (q >0 : η απόσταση του κέντρου µάζας του δεύτερου συνδέσµου). Το κέντρο µάζας του πρώτου συνδέσµου ευρίσκεται σε σταθερή απόσταση r από τη πρώτη άρθρωση. Ο ος σύνδεσµος θεωρειται ότι έχει ροπή αδράνειας Ι ως προς το κέντρο µάζας του και µάζα m. Ο ος σύνδεσµος έχει ροπή αδράνειας Ι ως προς το κέντρο µάζας του µάζα m. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι gκαι κατά τον άξονα -y. r q q x Κινητική Ενέργεια T = ( I+ mr ) q& T = m q& + ( I + m q ) q& y g
υναµική Ενέργεια Παράδειγµα (θέµα) ( sin ) U = m g r sin q = m r q g ( sin ) U = m g q sin q = m q q g d y g Λαγκρανζιανή L= T + T U U = ( I+ mr ) q& + m q& + ( I+ mq) q& m r sin q g m q sin q g ( ) ( ) r q q x Εξισώσεις Euer-Lagrange d L L d L L dt q q τ u & dt q q = = d L L f & dt q q &
Εξισώσεις Euer-Lagrange Παράδειγµα (θέµα) L = ( I ) ( ) + mr q& + I+ mq q& = q& d L L d L L dt q q τ u & dt q q = = d L L f & dt q q & d L = ( I + m r + I + m q ) q& = ( I + m r + I + m q ) q&& + m q q& q& dt q& L d L = m q& = m q&& q& dt q& L = ( m r cos q) g ( m q cos q) g = ( m r + m q) cos q g qq L = m q q& m sin q g q υναµικές εξισώσεις ( ) && & & ( ) I + m r + I + m q q + m q q q + m r + m q cos q g=τ m q&& m q q& + m sin q g = f
υναµικές εξισώσεις Παράδειγµα (θέµα) ( ) && & & ( ) I + m r + I + m q q + m q q q + m r + m q cos q g=τ m q&& m q q& + m sin q g= f υναµικές Εξισώσεις σε Μητρωϊκή Μορφή 444 4444443 ( ) I+ mr + I+ mq 0 q&& mqq& 0 q& m r + m q cos q τ g 0 m q + + = m q q 0 q m sin q f && & & 44 444443 444 4444443 } 64748 } T B( q) q&& + C( q, q& ) q& + Fu q& + Fs sgn(q& ) + G( q) + J ( q) h= u Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του υναµικού Μοντέλου T B( q ) B( q) = B ( q) ( ) Το µητρώο αδράνειας είναι συµµετρικό, θετικά ορισµένο, και γενικά εξαρτώµενο από την εκάστοτε θέση του βραχίονα. Αντισυµµετρικότητα (δηλ.ν=-ν Τ )τουµητρώου: Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους : N( q, q& ) = B& ( q) C( q, q& ) (,&,&&) Y q q q π = u
Παράδειγµα (θέµα) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του υναµικού Μοντέλου Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους : Y( q, q&, q&& ) π = u υναµικές εξισώσεις ( ) && & & ( ) I + m r + I + m q q + m q q q + m r + m q cos q g= =ττ m q&& m q q& + m sin q g= f && ( ) ( cos ) ( && & & cos ) ( q&& q q& + sin q g) m = f q I + m r + I + q g m r + q q + q q q + q q g m =τ I + mr + I q&& cos q g q q&& + qq& q& + q cos q g τ m r = 0 0 q q q sin q f + g && & 444444444444444443 m { 44443 64748 Y q q q ( ) } }, &,&& π = u
Παράδειγµα 3 (επόµενο θέµα?) Επίπεδος Βραχίονας DOF υναµική Euer-Lagrange Πιστοποίηση Ιδιοτήτων Πινάκων Y-π µορφή [ ] T q= ϑ ϑ : διάνυσµα των γενικευµένων συντεταγµένων a, a:µήκητωνσυνδέσµων και,αντίστοιχα : αποστάσεις των κέντρων µάζας των δύο συνδέσµων από τους, αντίστοιχους άξονες περιστροφής m,m : µάζες των δύο συνδέσµων m m,m : µάζες των κινουµένων µερών των δύο κινητήρων m I m,i : ροπές αδράνειας των κινητήρων ως προς τους άξονες m περιστροφής τους I,I : ροπές αδράνειας των συνδέσµων ως προς τα κέντρα µάζας τους αντίστοιχα pm = p : οι κινητήρες βρίσκονται τοποθετηµένοι στους i i, zm = z i i, i =, άξονες των αρθρώσεων, µε Κ.Μ. τοποθετηµένα στις αντίστοιχες αρχές των συστηµάτων
Παράδειγµα : (επόµενο θέµα?) y z 0 x z z ( I + m + k I + I + m ( a + + a c ) + I + m a )&& ϑ + ( I + m ( + a c ) + k I )&& ϑ r m m m r m m a s & ϑϑ & m a s & ϑ + ( m + mm a + m a )gc + m gc = τ ( I + m ( + a c ) + k I )&& ϑ + ( I + m + k I )&& ϑ + m a s & ϑ + m gc = τ r m r m
Παράδειγµα : Μητρώο Αδρανείας y z 0 x z z b = I + m + k I + I + m ( a + + a c ) + I + m a r m m m ( ) B q b = b = I + m ( + a c ) + k I r m b I m k I = + + r m b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b ( ϑ) b T ( ) = ( ) B q B q Το µητρώο αδράνειαςείναι προφανώς συµµετρικόκαι µπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι είναι θετικά ορισµένο.
Παράδειγµα : Μητρώο Φυγόκεντρων & Coriois y z 0 x z z C( q,q & ) m a s ϑ m a s ( ϑ ϑ ) & & + & & m a s ϑ 0 =
Παράδειγµα : ιάνυσµα Βαρύτητας y z 0 G q ( ) x z z g ( m + m a + m a ) g c + m g c g m g c m = = = ( m + m a + m a ) c + m c m c m = g
z 0 Παράδειγµα : υναµική y B( q ) q && C( q,q & ) q & g( q ) τ x z z ( ) G q + + = h & ϑ h ( & ϑ + & ϑ ) C( q,q & ) = h & ϑ 0 ( m + mm a + m a )gc + m gc = m gc r m m m r m ( ) B q I + m + k I + I + m ( a + + a c ) + I + m a I + m ( + a c ) + k I = I + m ( + a c ) + kr I m I + m + kr I m ( I + m + k I + I + m ( a + + a c ) + I + m a )&& ϑ + ( I + m ( + a c ) + k I )&& ϑ r m m m r m m a s & ϑϑ & m a s & ϑ + ( m + mm a + m a )gc + m gc = τ ( I + m ( + a c ) + k I )&& ϑ + ( I + m + k I )&& ϑ + m a s & ϑ + m gc = τ r m r m
Παράδειγµα : Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες υναµικού Μοντέλου y Αντισυµµετρικότητα N ( q, q& ) = B& ( q ) C ( q, q& ) Πίνακα x z z z 0 z & ϑ & ϑ & ϑ & ϑ + & ϑ h h h h ( ) N( q,q & ) = B( & q ) C( q,q & ) = h & ϑ 0 h & ϑ 0 0 h & ϑ h & ϑ h & ϑ + h & ϑ 0 = h= m a s T N ( q, q& ) = N ( q, q& )
Παράδειγµα : Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες υναµικού Μοντέλου y Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους (, &,&&) Y q q q π = τ x z z z 0 y = a && ϑ + a gc y = a && ϑ + gc y3 = && ϑ y = k && ϑ 4 r ( ) ( ) ( ) && ϑ ( ) && ϑ & ϑϑ& & ϑ z y = a + a a c + a && ϑ + a a c + a && ϑ a a s & ϑϑ& a a s & ϑ + a gc + a gc 5 y = a c + a + a c + a a s a s + gc y y 6 = y = && ϑ + && ϑ = && ϑ + k && ϑ 7 7 8 r 3 4 y = y = y = y = 0 ( ) ( ) y = a a c + a && ϑ+ a && ϑ + a a s & ϑ + a gc 5 y = a c + a && ϑ + a && ϑ + a s & ϑ + gc 6 y = k && ϑ + k && ϑ 8 r r π y y y π K 8 τ y y y = 8 τ K M π 8 π = m + m m ( a ) π = m ( ) π = I + m a + I π 3 4 5 ( a ) 6 ( ) 7 8 I I m π = m π = m π = I + m a π = = m m
κ κ