Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει η ισότητα: OA 4BΓ ΑΓ Να αποδείξετε ότι: α) Για τις διανυσματικές ακτίνες των Α, Β, Γ ισχύει η σχέση OA 4ΟΒ 5ΟΓ β) Τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ είναι κάθετα γ) Για την γωνία των διανυσμάτων ΟΑ,ΟΓ είναι: συνοα,ογ 5 είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων ΟΑ, ΟΒ det ΟΑ,ΟΒ 1 δ) Αν det ΟΑ,ΟΒ, τότε Δίνονται τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύουν: α 4, β 5 και α β 10 α) Να βρείτε τη γωνία των α και β β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u α β ν α β α κβ, κ είναι κάθετο στο διάνυσμα β, να βρείτε την τιμή του κ γ) Αν το διάνυσμα Δίνονται τα διανύσματα α,β π με α, β και α,β Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάμεσός του για το οποίο ισχύουν: ΑΒ α β και ΑΜ α β α) Να βρείτε το α β β) Να εκφράσετε το ΑΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β γ) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ δ) Να αποδείξετε ότι η γωνία των ΑΜ και α είναι ίση με π 6 π 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ α β, ΑΓ α β με α, β 1 και α,β α) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις i α β ii α β iii α β β) Έστω Μ μέσο του ΒΓ Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΜ και ΒΓ σαν γραμμικό συνδυασμό των α και β ΑΜ,ΒΓ γ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας 5 Δίνονται τα διανύσματα α,β,γ με α, β, α α β και γ α β α) Να δείξετε ότι α β 4 και β γ 1 β) Να δείξετε ότι α β 5 γ α λ α β να βρείτε την τιμή του λ γ) Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι δ) Για λ= 4 να γραφεί το διάνυσμα γ σαν γραμμικός συνδυασμός των α και β και να δείξετε ότι η 1

γωνία των διανυσμάτων γ και α β είναι οξεία wwwaskisopolisgr 6 Δίνονται τα διανύσματα α,β για τα οποία ισχύει α, β 1 α) Να αποδείξετε ότι: α β 1 β) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α,β γ) Να αποδείξετε ότι: α β α β και α β α β 7 Δίνονται τα σημεία Α 1,, Β(, -1) και κ 4 Γ κ,, κ α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ και να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β, Γ είναι συνευθειακά β) Να αποδείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων ΑΒ και ΒΟ είναι αμβλεία, όπου O είναι η αρχή των αξόνων γ) Αν ΑΒ ΑΓ ΒΓ, να βρείτε τον αριθμό κ 8 Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύει α, β 4, γ α κβ με κ και π α, β α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α και β β) Να υπολογίσετε το κ ώστε α γ γ) Για κ 4 να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων β και γ 9 Δίνονται τα σημεία 1,, 1,4 και το διάνυσμα 4, α) Βρείτε το συμμετρικό Β, του σημείου Α ως προς το Κ β) Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ και του, που είναι η γ) Υπολογίστε το μέτρο 10Έστω δύο κυκλικά ρολόγια τοίχου µε δείκτες Το πρώτο βρίσκεται στην Αθήνα και το δεύτερο στο Λονδίνο Τα ρολόγια λειτουργούν άψογα και δείχνουν την ώρα στην Αθήνα και στο Λονδίνο αντίστοιχα Το ρολόι που βρίσκεται στην Αθήνα έχει λεπτοδείκτη μήκους 4cm και ωροδείκτη μήκους cm Το ρολόι που βρίσκεται στο Λονδίνο έχει λεπτοδείκτη μήκους 8cm Θεωρούμε το λεπτοδείκτη και τον ωροδείκτη του ρολογιού που βρίσκεται στην Αθήνα ως διανύσματα λ Α,ω Α, αντιστοίχως, µε κοινή αρχή το κέντρο του ρολογιού Αναλόγως λ Λ,ωΛ, είναι τα διανύσματα του λεπτοδείκτη και του ωροδείκτη αντιστοίχως, του ρολογιού που βρίσκεται στο Λονδίνο, µε κοινή αρχή το κέντρο του ρολογιού λ ω : α) Να βρείτε την τιμή του εσωτερικού γινομένου Α Α i) Όταν η ώρα στην Αθήνα είναι 06:00 πµ ii) Κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία η απόσταση του πέρατος του ω είναι 5cm Α λ Α από το πέρας του β) Να βρείτε το μήκος του ωροδείκτη του ρολογιού που βρίσκεται στο Λονδίνο αν στις 04:00πµ ώρα Αθήνας, ο λόγος του εσωτερικού γινομένου των δεικτών του ρολογιού που βρίσκεται στο Λονδίνο προς το εσωτερικό γινόμενο των δεικτών του ρολογιού που βρίσκεται στην Αθήνα, είναι ίσος µε 4 Δίνεται ότι η ώρα στο Λονδίνο είναι δύο ώρες ακριβώς πίσω από την ώρα στην Αθήνα

11Δίνονται τα διανύσματα u,k, v,, k 0 τα οποία έχουν ίσα μέτρα α) Να δείξετε ότι k β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u,v είναι κάθετα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u v δ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα u v και u wwwaskisopolisgr Ευθεία 1Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(-,) και η ευθεία ε: x y α 0 όπου α α) Αν η απόσταση του Α από το Β είναι ίση με την απόσταση του Α από την ευθεία ε, να βρείτε την τιμή του α β) Για την τιμή α 4 να βρείτε: i) Το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία Α, Β και το σημείο Γ που η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y y ii) Ποιο σημείο της ευθείας ε έχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων 1Δίνεται η εξίσωση α 1 x α 1 y 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε α β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του α οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από το σημείο Μ (-1,) γ) Δίνεται η ευθεία ε: x 5y 0 Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της ε με τις ευθείες που προκύπτουν από την (1) για α = 0 και α = -1 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ είναι τμ 14Στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy δίνονται τα σημεία Α(,0), Β(4,5), Γ(6,κ) με κ 10 α) Να δείξετε ότι: i Τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά ii H εξίσωση της ευθείας της διαμέσου (ε) που φέρουμε από την κορυφή Β του τριγώνου ΑΒΓ, είναι x=4 β) Να προσδιορίσετε την κορυφή Γ του τριγώνου ΑΒΓ, αν το εμβαδόν του είναι (ΑΒΓ)= 8 τετραγωνικές μονάδες γ) Για κ =,να βρείτε την εξίσωση του ύψους (η) που φέρουμε από την κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ καθώς και τις συντεταγμένες του σημείου Δ στο οποίο τέμνονται οι ευθείες (η) και (ε) 15Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με εξισώσεις διαγωνίων (ΒΔ): y x 1 και (AΓ): y x Η διαγώνιος ΒΔ είναι η μεσοπαράλληλη των ευθειών ε 1, ε,των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι ΑΔ 4,6, τότε: d = και οι οποίες διέρχονται από τις κορυφές Α και Γ αντιστοίχως Αν α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ β) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε 1, ε έχουν εξισώσεις (ε 1 ): x y 1 0 και (ε ): x y 0 γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ, Δ του παραλληλογράμμου δ) Να βρείτε το εμβαδόν (ΑΒΓΔ) του παραλληλογράμμου 16Δίνονται τα σημεία Α(-5,), Β(-1,-) και Γ(4,) του καρτεσιανού επιπέδου α) Να βρείτε τo εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΒΓ Ποιο είναι το συμπέρασμά σας για τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ ; β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι η γωνία φ των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ ισούται με 45

17Δίνεται η εξίσωση wwwaskisopolisgr 1 x λ 1 x λy 0 (1) 4 α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει, ευθείες για κάθε λ β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της μορφής (1) γ) Αν (ε 1 ), (ε ) είναι οι ευθείες που προκύπτουν από την (1) για λ = 1 και λ = -1 αντίστοιχα, να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζουν οι (ε 1 ), (ε ) με τον άξονα y y δ) Να βρείτε το σημείο της (ε 1 ) το οποίο απέχει από την αρχή των αξόνων τη μικρότερη απόσταση 18Δίνεται ευθεία ε με εξίσωση: x + 4y = 1 α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε και διέρχεται από το 9 σημείο A, β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας η των ευθειών ε και ζ γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Β και η ευθεία ζ τον άξονα x'x στο σημείο Γ, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 19Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 5,4 Η πλευρά ΑΒ έχει εξίσωση x y 4 0, ενώ το ύψος ΒΔ έχει εξίσωση y 11 5x α) Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Β β) Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ B 1,6 τότε βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ και το σημείο γ) Αν τομής Ζ, της μεσοκαθέτου με το ύψος ΒΔ 0 α) Δίνονται τα σημεία,5 και μέσου Μ του ΑΒ 4, 4, Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του β) Αν η ευθεία (ε) που διέρχεται από τα,5 και 4, 4 είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : y x 5 0, τότε να βρείτε το και να δείξετε ότι η ευθεία (ε) έχει εξίσωση: x y 1 0 γ) Έστω τα διανύσματα u και v, όπου, διανύσματα με, 1 και, i Βρείτε το γινόμενο u v και το v ii Βρείτε σημείο Γ της ευθείας (ε) του ερωτήματος Δ και τον ώστε: u v v 4, 1 1Δίνονται τα διανύσματα 1, j α) Δείξτε ότι το διάνυσμα,1 β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ διέρχεται από το σημείο, διάνυσμα, ενώ η πλευρά ΒΓ έχει εξίσωση και βρείτε τον αριθμό 4 και είναι κάθετη στο y 4 x τότε βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ΑΒ και ΒΓ και την κορυφή Β γ) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας γραμμής, στην οποία βρίσκονται τα σημεία 1,, δ) Αν η πλευρά ΑΓ είναι η ευθεία γραμμή που βρήκατε στο ερώτημα Β τότε να δείξετε ότι το μήκος του ύψους ΒΛ είναι 49 5 55 4

5 wwwaskisopolisgr κ 1 1 Δίνεται η ευθεία ε: y x και τα σημεία του επιπέδου A,κ, κ και Βμ, μ, μ 0 α) i Αν η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Α, να βρείτε τις συντεταγμένες του Α ii Αν ισχύει ΟΒ 5, όπου Ο η αρχή των αξόνων, να βρείτε τις συντεταγμένες του Β Θεωρούμε τα διανύσματα α ΟΑ 1,, β ΟΒ,1, γ x, y και δ y,x με xy 0 ω α,β φ γ,δ και α γ να αποδείξετε ότι: β) Αν, 4 i συνω 5 ii x y και β δ iii οι γωνίες φ και ω είναι παραπληρωματικές γ) Να αποδείξετε ότι: i Τα διανύσματα γ και δ δεν είναι παράλληλα ii Το παραλληλόγραμμο που κατασκευάζεται από τα διανύσματα γ και δ είναι ρόμβος Δίνεται η ευθεία (ζ) με εξίσωση: y x 017 4 α) i Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία (ζ) και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α µε τεταγμένη ii η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι x 4y 1 0 να βρείτε το σημείο τομής Β της ευθείας (ε) µε τον άξονα x x A 0, και Β 4,0 τότε: β) Αν είναι i Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ αν ισχύει: 9 ΑΔ ΑΒ 5 6 48 ii Αν είναι Δ,, να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα Ο είναι το ύψος του 5 5 ορθογωνίου τριγώνου ΑΟΒ προς την υποτείνουσα Γ,0 Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του ευθυγράμμου ΟΜ ΟΑ ΟΜ ΟΓ ΟΜ γ) Θεωρούμε το σημείο τμήματος ΑΓ ισχύει: 4Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α1,1,Β,, Γ5, α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ β) i Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ της πλευράς ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες ii Να δείξετε ότι η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ έχει εξίσωση (ε): y x 8 γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ για το οποίο το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο 5Δίνεται η ευθεία (ε): y α x α β τέμνει τον άξονα y y στο σημείο ότι: α) i α 1 β) α β ii β 1, η οποία σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο και β 1, β 1 να δείξετε A 0, Αν για το διάνυσμα β ισχύει γ) Οι ευθείες ε 1 : y x λ και ε : y λx λ λ, τέμνοντα για κάθε λ σε σημείο το οποίο κινείται πάνω στην (ε)

wwwaskisopolisgr Κωνικές τομές Κύκλος 6Ο κύκλος C του σχήματος έχει κέντρο το σημείο Κ(0, 1) Μ α,β είναι εσωτερικό και ακτίνα ρ = Το σημείο του C α) Να αποδείξετε ότι i Οι συντεταγμένες του σημείου Μα,β επαληθεύουν την σχέση: x y 1 4 ii Η ευθεία x =, αν προεκταθεί, εφάπτεται στον κύκλο C λ x λ y 1 x 0 (1), όπου λ β) Δίνεται η εξίσωση i Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία ii Θεωρούμε τα σημεία Ν x 0, y0 με x o τα oποία δεν ανήκουν σε ευθεία με εξίσωση της μορφής (1) Να βρείτε το γεωμετρικό τους τόπο x y ημθ x συνθ y, θ (1) 7Δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να αποδείξετε ότι, όταν το θ μεταβάλλεται, τα κέντρα των κύκλων C κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση θ 0,π αν είναι γνωστό ότι ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο γ) Να βρείτε τις τιμές του Μ(1,-1) δ) Έστω Κ το κέντρο του κύκλου C και Α, Β τα σημεία τομής του με την ευθεία ΟΚ (όπου Ο η αρχή των αξόνων) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις (ΟΑ) και (ΟΒ) 8Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α,β εξίσωση: x y α x β y α β 0, τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ = π, και η (1) α) Να αποδείξετε ότι: i α β 1 ii Η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ α β β) Αν Κ(1, 1) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου, να αποδείξετε ότι: α 1, β και ρ = 1 γ) Ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία x 4y 1 0 9Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α1,, η εξίσωση του ύψους ΒΔ: x 4y 5 0 και η εξίσωση της διαμέσου ΓΜ: x y 0 α) Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ β) Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της πλευράς ΑΒ και της κορυφής Β γ) Αν Ε το σημείο τομής των ΓΜ και ΒΔ τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΕΒΓ δ) Δίνεται η γραμμή (C) με εξίσωση x y λx(λ 8)y 0 (1) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ και να βρείτε την τιμή του λ, ώστε ο κύκλος (1) να έχει διάμετρο την πλευρά ΒΓ 0Δίνονται τα σημεία Ν(6μ -, 6λ) με λ, μ και ισχύει ότι 6 μ λ 1 α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ν βρίσκονται στον κύκλο C: x y 6 β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του παραπάνω κύκλου c που διέρχονται από το σημείο Δ (4,8)

wwwaskisopolisgr γ) Αν τα σημεία A(4,0) και Ε είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτόμενων με τον κύκλο C, να βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου ΔΕΚΑ, όπου Κ το κέντρο του κύκλου C δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων Μ των κύκλων, που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C και διέρχονται από το σημείο Σ(,0) 1Δίνεται η εξίσωση β α x α βy 8 0, x, y 1 α και β 4 όπου α,β διανύσματα με α) Να αποδείξετε ότι εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που προκύπτει από την (1) αν η γωνία των διανυσμάτων α,β είναι 60 γ) Έστω ο κύκλος µε κέντρο το Ο(0, 0) ο οποίος εφάπτεται στην ευθεία ζ που έχει εξίσωση x y 0, στο σημείο Ν Να βρείτε: i Τις συντεταγμένες του σημείου Ν ii Την εξίσωση του κύκλου C Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε ότι ο ημιάξονας Οy είναι ένας κατακόρυφος τοίχος και ο ημιάξονας Ox είναι το έδαφος επί του οποίου μπορεί να κυλιέται ένα σύρμα σχήματος κύκλου µε ακτίνα ρ = 1 Η αρχική θέση του κυκλικού σύρματος είναι τέτοια ώστε να εφάπτεται ταυτοχρόνως στους ημιάξονες Ox και Oy και τότε έχει κέντρο το σημείο Κάποια στιγμή αρχίζει να κυλιέται προς τα δεξιά μέχρι τη στιγμή που προσκρούει στο κεκλιμένο επίπεδο Αz οπότε και ακινητοποιείται όπως φαίνεται στο σχήμα Η τετμημένη του σημείου A είναι 9 Τα σημεία K και M αφορούν στην τελική θέση του κυκλικού σύρματος και είναι αντιστοίχως το κέντρο του και το σημείο επαφής του µε το επίπεδο Αz Αν P σημείο αυτού του κύκλου τέτοιο ώστε KP / / x για το οποίο ισχύει: KM KP τότε: Α Να αποδείξετε ότι: α) ˆ ˆ ˆ 45 όπου Λ το σημείο τομής της προέκτασης του ΚΡ µε το επίπεδο Az β) Η εξίσωση της ευθείας ε που ορίζει το κεκλιμένο επίπεδο Az είναι x y 9 0 γ) Οι συντεταγμένες του κέντρου K είναι 8,1 Β Θεωρούμε ότι η εξίσωση x y Ax By 0 με 4 0 παριστάνει την οικογένεια των κύκλων που περιλαμβάνει όλες τις θέσεις από τις οποίες διέρχεται το κυκλικό σύρμα κατά την διάρκεια της συνολικής διαδρομής του Να αποδείξετε ότι: α) Β = β) γ) 1 64 Να θεωρήσετε τη διάμετρο (πάχος) του σύρματος αμελητέα Οι αριθμοί που αφορούν σε μήκη είναι σε cm 7

wwwaskisopolisgr Παραβολή Έστω τα σημεία Α(-1,y) και Β(x,y) με x,y του καρτεσιανού επιπέδου Οxy α) Αν είναι ΟΑ ΟΒ, τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) ανήκουν στην παραβολή C 1 : y = x, της οποίας να βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ β) Αν ισχύει, ΟΑ ΟΒ 15, τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ x, y ανήκουν στο κύκλο C : x y, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα γ) Να αποδείξετε ότι: i Τα κοινά σημεία των C1 και C είναι το Κ 1, και Λ 1, 8 ii H εφαπτομένη της C1 στο Κ είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη του C στο Λ 4Δίνεται η εξίσωση: x y 1 κx y 5 0 (1), όπου κ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου κ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία γραμμή β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1), διέρχονται από το σημείο Α, γ) Να βρείτε την τιμή του κ, για την οποία η (1) παριστάνει ευθεία ε κάθετη στον άξονα x'x Ποια η εξίσωση της ευθείας ε; Α, στον άξονα x x, να βρείτε τον γεωμετρικό δ) Αν Kx 0,0 είναι η προβολή του σημείου τόπο των σημείων του επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από το σημείο Ex,0 του γ ερωτήματος o και την ευθείς ε 5Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A(5, -1), B(4,4) και Γ(,1) α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ και του ύψους ΓΔ του τριγώνου β) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με μονάδες γ) i) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που διέρχεται από την κορυφή Γ του τριγώνου, έχει κορυφή το Ο(0,0) και άξονα συμμετρίας τον y y ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C, η οποία είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ x y λ 4 x λ 4 y λ 0 (1), όπου λ 6Δίνεται η εξίσωση: α) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ η εξίσωση (1) παριστάνει ίσους κύκλους β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων είναι σημεία της ευθείας (ε) με εξίσωση: x y 0 γ) Να αποδείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι της μορφής (1) εφάπτονται δύο ευθειών (δ 1 ), (δ ) των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις δ) Έστω η παραβολή (C): x py και η ευθεία (ε) του ερωτήματος Δ Αν η (ε) είναι εφαπτομένη της παραβολής, να βρείτε: i την παράμετρο p, την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής ii την εφαπτομένη (η) παραβολής, η οποία είναι κάθετη στην (ε) 7Δίνονται οι εξισώσεις x y x 1 0 (1) και λ λ 1 x λ 1 y λ 6λ 1 0 (), λ α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες ε 1, ε κάθετες και να βρεθεί το σημείο τομής τους Ε β) Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε λ και ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας αυτής διέρχονται από το ίδιο σημείο Ζ γ) Αν E(1,0) TO σημείο τομής των ε 1,ε και Z(,-1) το σταθερό σημείο του ερωτήματος β τότε: i να βρείτε την εξίσωση και τη διευθετούσα της παραβολής c, η οποία έχει εστία Ε, κορυφή Ο(0,0)

και άξονα συμμετρίας τον x'x, ii να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής c που έχει μέσο το σημείο Ζ 8Έστω α x,4y, β x, 9 wwwaskisopolisgr, με x, y, δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) είναι η παραβολή Ο, με εξίσωση: x 8y, της οποίας να βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ β) i Να βρείτε τις εξισώσεις ει, ε των εφαπτομένων στην παραβολή C, στο σημείο x 1 N x 1,, x1 0, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α (1, -1) 8 10 ii) Να δείξετε ότι για την αμβλεία γωνία ω των εφαπτομένων ει, ε ισχύει: συνω 10 β) Δίνεται, επιπλέον, σημείο Β( x 0,y 0 ) της παραβολής Ο, με x0 0 που απέχει από την διευθετούσα δ αυτής απόσταση ίση με 10Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C 1, ο οποίος έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα τα σημεία Ε και Β 9Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφή, και τη πλευρά ΓΔ να έχει εξίσωση x y 5 0 Μια πλευρά του βρίσκεται στην ευθεία ε: x y 0 α) Δείξτε ότι η πλευρά που βρίσκεται στην ευθεία ε είναι η ΒΓ, βρείτε τις συντεταγμένες της 1 κορυφής Γ και δείξτε ότι το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι, 1 β) Βρείτε την πλευρά ΑΒ και δείξτε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι 18/5 τμ 0,0, άξονα συμμετρίας τον x x γ) Δείξτε ότι η εξίσωση της παραβολής C, που έχει κορυφή το 1 και διέρχεται από το κέντρο Κ του παραλληλογράμμου είναι x y δ) Δείξτε ότι η εφαπτομένη της παραβολής C στο σημείο Κ είναι x y 1 0 και μετά βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της διχοτόμου της γωνίας ˆ, όπου Ε η εστία και / / 40Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α1,1, Β4,1 και Γ1,5 α) Αν Μ είναι το μέσον της ΑΓ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Β και Μ είναι η x y 6 β) Δίνεται η εξίσωση της ευθείας ζ: 4x y 1, η οποία διέρχεται το σημείο Α και είναι παράλληλη στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ Να αποδείξετε ότι: Δ 4,5 i Το σημείο τομής των ευθειών ε και ζ είναι το ii Το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραμμο γ) Να βρείτε την παράμετρο p και την εστία Ε της παραβολής C µε εξίσωση x py, της οποίας η διευθετούσα είναι η οριζόντια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β Έλλειψη x y 41Δίνεται η έλλειψη 1 και η παραβολή y 16x 5 9 α) Να βρείτε τις εστίες της έλλειψης και την εστία της παραβολής β) Έστω Ε', Ε οι εστίες της έλλειψης ( η Ε' να έχει αρνητική τετμημένη ) i Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της παραβολής στα σημεία της Μ(4, 8) και Μ'(4, -8), και να δείξετε ότι τέμνονται στο Ε' ii Να αποδείξετε ότι ΕΜ EM 0 iii Αν Ν είναι το μέσο του Ε'Μ να αποδείξετε ότι ΕΝ//Ε'Μ'

λ 1 x λ y 6 λ x 16 λ 1, λ (1) 4Δίνεται η εξίσωση wwwaskisopolisgr α) Αν λ = 1, να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει παραβολή C 1 της οποίας να βρείτε την διευθετούσα δ και την εστία Ε β) Αν λ =, να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C, του οποίου να βρείτε το κέντρο Ο και την ακτίνα R γ) Να βρείτε την εξίσωση και την εκκεντρότητα της έλλειψης, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, μία εστία της κοινή με την εστία Ε της παραβολής C 1 και μεγάλο άξονα ίσο με την ακτίνα R του κύκλου δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία Ρ 1 και Ρ των κωνικών τομών C 1 και C, και να αποδείξετε ότι: d Ρ,δ Ρ Ε d Ρ,δ Ρ Ε 1 1 x y 4Δίνεται η εξίσωση 1 (1) όπου μ, μ μ α) Να βρείτε την τιμή του μ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει κύκλο β) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη; 1 γ) μ,, τότε: i) Να δείξετε ότι η έλλειψη που προκύπτει από την (1) έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα y y ii) Να υπολογίσετε την τιμή του μ ώστε η εκκεντρότητα της έλλειψης (1) να είναι ίση με π με θ 0, Να δείξετε ότι: π α) Η εξίσωση (1) παριστάνει για κάθε θ 0,, κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο K x 0, y0 και την ακτίνα ρ ως συνάρτηση της γωνίας θ x, y που προκύπτουν από την (1) ανήκουν σε έλλειψη της οποίας να 44Δίνεται η εξίσωση C: x y ημθx 4συνθy ημ θ 0, 1 β) Τα κέντρα των κύκλων K 0 0 βρείτε τα μήκη του μεγάλου Α'Α και μικρού Β Β άξονα της, τις εστίες της Ε', Ε καθώς και την εκκεντρότητα της ε x, y των κύκλων που προκύπτουν από την (1), γ) Για τις συντεταγμένες των κέντρων Κ 0 0 ισχύουν : x0 0, y0 0 x 0, y 0 δ) Η ελάχιστη και η μέγιστη απόσταση, της εστίας Ε (με θετική συντεταγμένη) από τυχαίο σημείο του κύκλου ο οποίος προκύπτει από την (1) για θ= π, είναι d1 1 και d και στην συνέχεια να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων K 45Δίνεται η εξίσωση: x y λ 4 x λy λ 0 (1), όπου λ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ β) Να δείξετε ότι το κέντρο Κ του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (1), κινείται σε μια ευθεία γραμμή, καθώς το λ μεταβάλλεται στο γ) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει εστίες τα σημεία Ε 0, μεγάλο άξονα (Α'Α)=8, Ε0, δ) Αν η εφαπτομένη της έλλειψης C του ερωτήματος γ, στο σημείο της 1 1 1 του κύκλου C 1, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση (1) για λ = 0, να δείξετε ότι: i y 1 641 x1 α x,4 β x, 4x είναι μεταξύ τους κάθετα ii Τα διανύσματα 1 και 1 1 και Μ x, y εφάπτεται και 10

46Δίνεται η έλλειψη C 1 με εξίσωση C : 7 wwwaskisopolisgr x 4y 1 και εστίες Ε, Ε' και ο κύκλος C με εξίσωση C : x y α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΕ' είναι ισόπλευρο, όπου Β είναι ένα από τα άκρα του μικρού άξονα της έλλειψης β) Να αποδείξετε ότι το σημείο P, είναι κοινό σημείο των δύο κωνικών τομών C 1, C και να υπολογίσετε όλα τα κοινά τους σημεία M x, y τα οποία είναι τέτοια ώστε: (OM) 7 και γ) Να υπολογίσετε τα σημεία 0 0 ME ME 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων δ) Να υπολογίσετε την εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας E P E, όπου P, 47Έστω η εξίσωση x y λy 1 0,(1), με λ α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C λ,για κάθε λ, του οποίου να υπολογίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ β) i) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C λ, για κάθε λ,διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β, των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες ii) Αν Α(1,0), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου Cλ στο σημείο Α γ) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, με εστίες τα σημεία Α, Β και εκκεντρότητα δ) Αν Μ είναι ένα κοινό σημείο των C λ, C, να υπολογίσετε τις τιμές του λ, έτσι ώστε: ΜΑ ΜΒ ΜΚ 48Δίνεται η ευθεία ε: x y 0 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση x y 4x 4y 0 παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ β) Ποια είναι η σχετική θέση της ευθείας και του κύκλου; γ) Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει 4 τότε να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται στην έλλειψη την εκκεντρότητα x 4y 1, της οποίας να βρείτε τα μήκη των αξόνων και δ) Δείξτε ότι η εφαπτομένη της έλλειψης σε σημείο x 1, y1 διέρχεται από το, είναι x y 4 0 Μετά δείξτε ότι τα σημεία Ζ, 0,0 του ΝΑ είναι συνευθειακά, όπου Α η κορυφή της έλλειψης στον άξονα Οx διαφορετικό των κορυφών της, που και το μέσο Υπερβολή x y 49Δίνεται η υπερβολή C : 1 και το σημείο Κ(0,β) Μια ευθεία (ε) που έχει συντελεστή α β διεύθυνσης λ 0 διέρχεται από το Κ και τέμνει τις εφαπτόμενες της C στις κορυφές της Α' και Α, στα σημεία Μ και Ρ αντίστοιχα Μ α, αλ β Ρ α,αλ β α) Να γράψετε την εξίσωση της (ε) και να αποδείξετε ότι: και β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη ΜΡ είναι η x y β α 1 λ γ) Να βρείτε το λ ώστε η ακτίνα του κύκλου του ερωτήματος (β) να είναι ίση με την απόσταση των 11

wwwaskisopolisgr κορυφών της υπερβολής δ) Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής και ο κύκλος του ερωτήματος (β) διέρχεται από τις εστίες της, να αποδείξετε ότι: λ ε 50Δίνεται η εξίσωση x y x(y 4) 1 8y 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες (ε 1 ) και (ε ) οι οποίες είναι παράλληλες β) Αν (ε 1 ): x y 0 και (ε ): x y 6 0 είναι οι δύο ευθείες που παριστάνει η (1), να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες (ε 1 ) και (ε ) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): y=x γ) Βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη απόσταση του σημείου τομής των ευθειών (ε 1 ) και (ε) από τον κύκλο C δ) Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C 1 με εστίες στον άξονα x x, που έχει ασύμπτωτη την (ε): y=x και εστιακή απόσταση γ 10ρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου C 1