Το θεώρημα της Sophie Germain και η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=4 Στοιχειώδεις προσεγγίσεις

Το θεώρημα της Sophie Germain και η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=4 Στοιχειώδεις προσεγγίσεις Μαρία Παρασύρη 1 και Δέσποινα Χριστοφόρου 1 10 Απριλίου 006 Περίληψη Σκοπός της παρούσης εργασίας είναι να αποδείξουμε το θεώρημα της Sophie Germain και το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=4. Το πρώτο θέμα αποτελεί ένα σημαντικό αποτέλεσμα σχετικό με το τελευταίο θεώρημα του Fermat και το δεύτερο θέμα είναι η μερική περίπτωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat για n=4. Δηλαδή το τελευταίο θεώρημα του Fermat κατέχει βασικό ρόλο στο πλαίσιο αυτής της εργασίας και γι αυτό το λόγο στην εισαγωγή διατυπώνουμε αρχικά το τελευταίο θεώρημα του Fermat κι έπειτα αναφέρουμε κάποια ιστορικά στοιχεία σχετικά με τα δύο παραπάνω θέματα. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας σημειώνουμε κάποια βιογραφικά στοιχεία της Sophie Germain, διαχωρίζουμε το τελευταίο θεώρημα του Fermat σε δύο περιπτώσεις κι έπειτα αποδεικνύουμε το θεώρημα της Sophie Germain. Στο τρίτο μέρος της εργασίας αποδεικνύουμε το τελευταίο θεώρημα του Fermat για τον εκθέτη n=4. 1 Εισαγωγή Tο τελευταίο θεώρημα του Fermat Η εξίσωση x n + y n = z n, n> είναι αδύνατη για θετικούς ακέραιους αριθμούς. Αναφερόμαστε στη χρονική περίοδο 1753-1840 κατά τη διάρκεια της οποίας παρατηρήθηκαν λίγες ειδικές περιπτώσεις και μερικά αποτελέσματα σχετικά με το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Παρακάτω σημειώνουμε τα σημαντικότερα αποτελέσματα : (α) Το θεώρημα της Sophie Germain. (β) Η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat για n=5 από τους Legendre και Dirichlet. (γ) Η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat για n=14 και n=7 από τους Dirichlet και Lamé, αντιστοίχως. Το θεώρημα της Sophie Germain είναι πολύ σημαντικό διότι δεν έχει "ξεπεραστεί" στο πέρασμα του χρόνου από τη στιγμή που ανακαλύφθηκε υπό την έννοια ότι εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στον τομέα της θεωρίας των αριθμών. Αντίθετα, οι αποδείξεις των περιπτώσεων n=5 και n=7 έχουν αντικατασταθεί από την απόδειξη του Kummer για το τελευταίο θεώρημα του Fermat για "κανονικούς πρώτους", μετά από την ανάπτυξη της θεωρίας των ιδεατών αριθμών από τον Kummer το 1840. Επίσης η σημερινή θεωρία των ιδεωδών (η θεμελίωση της οποίας οφείλεται στον Dedekind) προήλθε από τη θεωρία των ιδεατών αριθμών και το γεγονός αυτό καθιστά τη θεωρία των ιδεατών αριθμών ιδιαίτερα σημαντική. Περισσότερα στοιχεία σχετικά με την προαναφερθείσα απόδειξη του Kummer μπορούμε να βρούμε στο κεφάλαιο 5 του βιβλίου "Fermat s Last Theorem : A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory" []. 1 Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης 1

Το θεώρημα της Sophie Germain Πριν αποδείξουμε το θεώρημα της Sophie Germain αξίζει να σημειώσουμε κάποια βιογραφικά στοιχεία γι αυτήν, η οποία πήγε ενάντια στις επιθυμίες της οικογένειάς της και τις κοινωνικές προκαταλήψεις εκείνης της εποχής για να γίνει μια πολύ καλή μαθηματικός. Όταν άρχισε η γαλλική επανάσταση η Sophie ήταν 13 χρονών. Αργότερα ως μέλος της επανάστασης η ζωή της διακρινόταν από επιμονή και σκληρή δουλειά. Παρόλο που αφιέρωνε πάρα πολύ χρόνο για να αναγνωριστεί για τις συνεισφορές της στην περιοχή των Μαθηματικών πάντα συνέχιζε να εργάζεται. Ακόμα και σήμερα είναι αισθητό το γεγονός ότι ποτέ δεν δόθηκε στη Sophie τόσο κύρος όσο όφειλαν σε εκείνη για τις συμβολές που σημείωσε στη θεωρία αριθμών και τη μαθηματική φυσική επειδή ήταν γυναίκα. Γεννήθηκε στο Παρίσι, έζησε τη χρονική περίοδο 1776-1831 και η οικογένεια της άνηκε στη μεσαία κοινωνική τάξη. Το ενδιαφέρον της Sophie για τα Μαθηματικά ξεκίνησε όταν ήταν 13 χρονών διαβάζοντας το θρύλο για το θάνατο του Αρχιμήδη σε κάποιο βιβλίο. Άρχισε λοιπόν να μελετά Μαθηματικά στη βιβλιοθήκη του πατέρα της. Οι γονείς της ένιωθαν ότι το ενδιαφέρον της Sophie για τα Μαθηματικά ήταν ανάρμοστο για ένα κορίτσι (κοινή πεποίθηση της μεσαίας τάξης του 19 ου αιώνα) και έκαναν τα πάντα για να την αποθαρρύνουν. Οι προσπάθειες τους απέτυχαν και τελικά αντιλήφθηκαν ότι το πάθος της Sophie για τα Μαθηματικά ήταν αθεράπευτο. Έτσι επέτρεψαν στην κόρη τους να μελετά για να μορφωθεί και η Sophie αφιέρωνε πολύ χρόνο για να μάθει διαφορικό λογισμό χωρίς τη βοήθεια δασκάλου. Όταν ήταν 18 χρονών, ένα πολυτεχνείο ιδρύθηκε στο Παρίσι για να εκπαιδεύσει τους μαθηματικούς και επιστήμονες της χώρας. Οι γυναίκες δεν είχαν το δικαίωμα να εγγραφούν όμως η Sophie ήταν ικανή για να αποκτά τις διαλέξεις πολλών μαθημάτων και να διαβάζει από αυτές. Ειδικά ενδιαφερόταν για το μάθημα του Lagrange, στον οποίο υπέβαλλε μία εργασία ανάλυσης χρησιμοποιώντας το ψευδώνυμο LeBlanc. Ο Lagrange ενθουσιάστηκε με το περιεχόμενο της εργασίας και έμεινε κατάπληκτος όταν διαπίστωσε ότι ο συγγραφέας ήταν γυναίκα, αναγνώρισε τις ικανότητες της Sophie και έγινε σύμβουλος της. Με τον Lagrange δίπλα της θα μπορούσε να μπει στον κύκλο των μαθηματικών όμως (εκτός από το φύλο) και η κοινωνική της κατάσταση αποτελούσε εμπόδιο καθώς εκείνη την εποχή ήταν κοινωνικά αποδεκτό να διδάσκονται επιστήμες μόνο γυναίκες της υψηλής κοινωνικής τάξης. Όταν η Sophie ήταν 8 χρονών ξεκίνησε να αλληλογραφεί με τον Gauss στέλνοντας σε αυτόν κάποια αποτελέσματα από τη δουλειά της σχετικά με τη θεωρία αριθμών, χρησιμοποιώντας ξανά ψευδώνυμο. Μετά από λίγα χρόνια ο Gauss συγκινήθηκε πολύ όταν ανακάλυψε ότι ο φίλος του από την αλληλογραφία ήταν γυναίκα. Έπειτα η Sophie έστειλε ένα γράμμα σε αυτόν, το οποίο περιείχε ένα μέρος της δουλειάς της από τη θεωρία αριθμών και ποτέ δεν έλαβε απάντηση αφού ο Gauss σταμάτησε να ασχολείται με τη θεωρία αριθμών και ξεκίνησε να δουλεύει στο Πανεπιστήμιο του Gottingen ως καθηγητής αστρονομίας. Έτσι, όταν ήταν 43 χρονών περίπου έστειλε στον Legendre το πιο σημαντικό μέρος της δουλειάς που είχε κάνει στη θεωρία αριθμών. Επίσης η Sophie έλαβε μέρος σε τρεις διαγωνισμούς της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών, το θέμα των οποίων ήταν σχετικό με τη θεωρία της ελαστικότητας. Στον πρώτο διαγωνισμό υπέβαλλε την εργασία της ανώνυμα και η συμμετοχή της υπήρξε μοναδική. Τελικά στερήθηκε το βραβείο διότι δεν διέθετε κάποιο σχετικό πτυχίο. Στον επόμενο διαγωνισμό έλαβε μια τιμητική αναφορά και στον τρίτο διαγωνισμό κέρδισε το βραβείο. Η δουλειά της για τη θεωρία της ελαστικότητας θα μπορούσε να αποδειχθεί πολύ σημαντική για την περιοχή των Μαθηματικών. Ωστόσο, το βραβείο από την Ακαδημία υπήρξε άμεσης σπουδαιότητας διότι εισήγαγε τη Sophie στις "ένοπλες δυνάμεις" των σημαντικών μαθηματικών εκείνης της εποχής. Ήταν η πρώτη γυναίκα η οποία παρακολούθησε τις συνεδριάσεις της Ακαδημίας Επιστημών χωρίς να είναι σύζυγος κάποιου μέλους της ακαδημίας με τη βοήθεια του Fourier. Όταν η Sophie Germain ήταν 55 χρονών πέθανε μετά από μάχη με καρκίνο του μαστού. Νωρίτερα ο Gauss είχε πείσει το Πανεπιστήμιο του Gottingen να δώσει στη Sophie ένα τιμητικό πτυχίο σπουδών. Εκείνη όμως δεν έζησε για να λάβει αυτό το πτυχίο.

Ήταν επαναστατική κι έγινε μία περίφημη μαθηματικός παρά το γεγονός ότι δεν είχε επίσημη εκπαίδευση και υπήρχαν κοινωνικές διακρίσεις εκείνη την εποχή. Είναι πολύ γνωστή για το έργο της στη θεωρία αριθμών και η δουλειά της για τη θεωρία της ελαστικότητας είναι επίσης σημαντική για τα Μαθηματικά. Τώρα αν θέλουμε να αποδείξουμε το τελευταίο θεώρημα του Fermat για τον εκθέτη n με n 4 και ο n είναι σύνθετος αριθμός τότε : n=4m ή n=pk όπου οι m,k είναι φυσικοί αριθμοί και ο p είναι πρώτος αριθμός με p 5. Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι οι εξισώσεις (x m ) 4 +(y m ) 4 =(z m ) 4, (x k ) p +(y k ) p =(z k ) p είναι αδύνατες για θετικούς ακέραιους αριθμούς. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση x 4 +y 4 =z 4 είναι αδύνατη σε μη μηδενικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς και στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με το θεώρημα της Sophie Germain, το οποίο (όπως θα δούμε παρακάτω) αποδεικνύει την αλήθεια της περίπτωσης I του τελευταίου θεωρήματος του Fermat για εκθέτη πρώτο αριθμό, εφόσον ικανοποιούνται κάποιες προϋποθέσεις. Από εδώ και στο εξής ο n συμβολίζει περιττό πρώτο αριθμό στο πρώτο μέρος της εργασίας και διατυπώνουμε το τελευταίο θεώρημα του Fermat στην εξής πιο συμμετρική μορφή : Tο τελευταίο θεώρημα του Fermat Η εξίσωση x n +y n +z n =0 είναι αδύνατη σε μη μηδενικούς ακεραίους αριθμούς. Δηλώνοντας το τελευταίο θεώρημα του Fermat σε αυτή τη μορφή, έχουμε το πλεονέκτημα ότι μπορούμε να εναλλάσσουμε τους ρόλους των μη μηδενικών ακεραίων αριθμών x, y και z. Λήμμα.1 Αν n είναι ένας περιττός πρώτος αριθμός τέτοιος ώστε ο n+1 να είναι πρώτος αριθμός και x Z τότε ισχύει ότι x n 0 ή 1 ή 1 (mod n+1). Αν x 0(mod n+1) τότε x n 0(mod n+1). Τώρα, έστω x / 0(mod n+1) τότε από το Μικρό Θεώρημα του Fermat έχουμε ότι x (n+1) -1 1(mod n+1) δηλαδή x n 1 0(mod n+1) άρα (x n +1)(x n 1) = (x n ) 1 0(mod n+1). Όμως ο n+1 είναι πρώτος αριθμός οπότε από την τελευταία ισοτιμία προκύπτει ότι : x n -1(mod n+1) ή x n 1(mod n+1). Θεώρημα.1 Έστω ότι ο n είναι ένας περιττός πρώτος αριθμός τέτοιος ώστε ο n+1 να είναι πρώτος αριθμός. Αν υπάρχουν x, y, z Z τέτοιοι ώστε x n +y n +z n =0 τότε ένας από τους x, y ή z είναι διαιρετός δια n. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν x, y, z Z τέτοιοι ώστε x n +y n +z n =0 (1), οι x, y,z είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους και οι x, y, z είναι πρώτοι προς n. Η εξίσωση (1) γράφεται ως εξής : (-x) n = -x n = (y+z)(y n-1 - y n- z + y n-3 z - - yz n- + z n-1 ) ( ) Τότε (y+z, y n-1 - y n- z + y n-3 z - - yz n- + z n-1 ) = 1 διότι αν p είναι κάποιος πρώτος τέτοιος ώστε p (y+z) και p (y n-1 - y n- z + y n-3 z - - yz n- + z n-1 ) τότε z -y(mod p) και y n-1 - y n- z + y n-3 z - - yz n- + z n- 1 ny n-1 (mod p), από την τελευταία ισοτιμία προκύπτει ότι n=p άρα n x λόγω της ( ) (αντίφαση) ή p y όμως p (y+z) άρα ο p z (αντιβαίνει στην υπόθεση). Το γινόμενο των παραγόντων y+z, y n-1 - y n- z + y n-3 z - - yz n- + z n-1 είναι n-οστή δύναμη άρα κάθε παράγοντας πρέπει να είναι n-οστή δύναμη. Λόγω συμμετρίας, εφαρμόζουμε τα ίδια επιχειρήματα στις εξισώσεις x n +z n =-y n και x n +y n =-z n για να δείξουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί a, α,b, β, c, γ τέτοιοι ώστε : 3

y+z = a n, y n-1 -y n- z + y n-3 z - - yz n- + z n-1 = α n, x = -aα z+x = b n, z n-1 - z n- x + z n-3 x - - zx n- + x n-1 = β n, y = -bβ x+y = c n, x n-1 - x n- y + x n-3 y - - xy n- + y n-1 = γ n, z = -cγ Από το Λήμμα.1έχουμε ότι οι n-οστές δυνάμεις modulo n+1 είναι 1, 0, 1. Επομένως η ισοτιμία x n +y n +z n 0(mod n+1) είναι δυνατή μόνο αν x 0 ή y 0 ή z 0 modulo n+1 διότι η ισότητα ±1±1±1=0 είναι αδύνατο για οποιονδήποτε συνδυασμό κι αν κάνουμε στα πρόσημα. Άρα ένας από τους x, y, z πρέπει να διαιρείται δια n+1. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι x 0(mod n+1). Τότε προκύπτει ότι x+(z+y)=b n +c n άρα b n +c n +(-a) n =x 0(mod n+1), άρα ένας από τους a, b, c πρέπει να διαιρείται δια n+1. Αν (n+1) b τότε (n+1) b n =z+x, όμως (n+1) x άρα (n+1) z (αντίφαση). Επομένως ο b (ομοίως και ο c) δεν διαιρείται δια n+1. Οπότε πρέπει a 0(mod n+1) άρα z+y=a n 0(mod n+1) δηλαδή z -y(mod n+1) και α n ny n-1 (mod n+1). Επίσης x 0(mod n+1) άρα γ n y n-1 (mod n+1) επομένως α n nγ n (mod n+1). Αφού οι n-οστές δυνάμεις modulo n+1 είναι 0, ± 1 προκύπτει ότι α γ 0(mod n+1), αντιβαίνει στην υπόθεση ότι (x, z) =1. Λόγω του θεωρήματος.1 και για παραδοσιακούς λόγους διαχωρίζουμε το τελευταίο θεώρημα του Fermat σε δύο περιπτώσεις : Περίπτωση I : Η εξίσωση x n +y n +z n =0 είναι αδύνατη σε μη μηδενικούς ακεραίους αριθμούς μη διαιρετούς δια n. Περίπτωση II : Η εξίσωση x n +y n +z n =0 είναι αδύνατη σε μη μηδενικούς ακεραίους αριθμούς όπου ένας και μόνο ένας από τους x, y, z διαιρείται δια n. Σε μερικές περιπτώσεις το Θεώρημα.1 αποτυγχάνει όμως με μία μικρή αλλαγή συχνά επιτυγχάνει. Για παράδειγμα, στην περίπτωση n=7 έχουμε ότι ο n+1=15 δεν είναι πρώτος όμως ο 4n+1=9 είναι πρώτος αριθμός. Οι έβδομες δυνάμεις modulo 9 είναι 0, ± 1, ± 1 άρα η ισοτιμία x 7 +y 7 +z 7 0(mod 9) είναι δυνατή μόνο αν x 0 ή y 0 ή z 0 modulo 9. Με παρόμοια επιχειρήματα (όπως στην απόδειξη του θεωρήματος 1) καταλήγουμε στο γεγονός ότι πρέπει να υπάρχουν α, γ Z τέτοιοι ώστε α 7 7γ 7 (mod 9) με α, γ / 0 (mod 9). Αφού ο 9 είναι πρώτος υπάρχει g Z τέτοιος ώστε γg 1(mod 9) άρα (αg) 7 7(mod 9), αντίφαση. To θεώρημα της Sophie Germain Έστω n ένας περιττός πρώτος. Αν υπάρχει πρώτος p, ο οποίος ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: (1) Αν η ισοτιμία x n +y n + z n 0(mod p) είναι δυνατή τότε x 0 ή y 0 ή z 0 (mod p), και () η ισοτιμία x n n(mod p) είναι αδύνατη τότε η περίπτωση I του τελευταίου θεωρήματος του Fermat είναι αληθής για το n. Η περίπτωση I του τελευταίου θεωρήματος του Fermat λέει ότι η εξίσωση x n +y n +z n =0 είναι αδύνατη στους ακεραίους που δεν διαιρούνται δια n. Υποθέτουμε ότι οι n και p ικανοποιούν τις συνθήκες του θεωρήματος και ότι x, y, z είναι ακέραιοι, που δεν διαιρούνται δια n, τέτοιοι ώστε x n +y n +z n =0. Θα αποδείξουμε ότι αυτές οι υποθέσεις οδηγούν σε αντίφαση. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι x, y και z είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους. Τότε, από την ισότητα x n +y n +z n =0 έχουμε ότι (-x) n =y n +z n =(y+z)(y n-1 - y n- z + - yz n- + z n-1 ). Όμως, (y+z, y n-1 - y n- z + - yz n- + z n-1 )=1 (η απόδειξη είναι ίδια με αυτή του αντίστοιχου ισχυρισμού στην απόδειξη του θεωρήματος.1). Άρα οι παραστάσεις y+z και 4

y n-1 - y n- z + - yz n- + z n-1 είναι n oστές δυνάμεις. Λόγω συμμετρίας των x, y και z ακέραιοι a, α, b, β, c, γ τέτοιοι ώστε : y + z = a n y n-1 - y n- z + - yz n- + z n-1 = α n x = - aα z + x = b n z n-1 - z n- x + - zx n- + x n-1 = β n y = - bβ x + y = c n x n-1 - x n- y + - xy n- + y n-1 = γ n z = - cγ Από την υπόθεση του θεωρήματος έχουμε ότι x n +y n +z n 0(mod p), το οποίο υποδηλώνει ότι x 0(mod p) ή y 0(mod p) ή z 0(mod p). Υποθέτουμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι x 0(mod p). Τότε b n +c n +(-a) n =x 0(mod p). Η τελευταία σχέση με τη βοήθεια της 1 ης υπόθεσης για τον p, υποδηλώνει ότι το a, το b ή το c πρέπει να είναι μηδέν mod p. Αν b 0(mod p) ή c 0(mod p), τότε y=-bβ 0(mod p) ή z=-cγ 0(mod p) αντίστοιχα. Δεδομένου όμως ότι x 0(mod p), οι τελευταίες δύο σχέσεις οδηγούν σε αντίφαση, αφού (x,y)=1 και (x,z) = 1. Άρα a 0(mod p), το οποίο δίνει y -z(mod p). Τότε θα έχουμε ότι α n ny n-1 nγ n (mod p). Δεδομένου ότι γ / 0(mod p) μπορούμε να βρούμε ακέραιο g έτσι ώστε γg 1(mod p), από το οποίο παίρνουμε (αg) n n(mod p), που έρχεται σε αντίφαση με την δεύτερη υπόθεση για τον πρώτο p. 3 Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=4 Το τελευταίο θεώρημα του Fermat για τον εκθέτη n=4 Η εξίσωση x 4 +y 4 = z 4 είναι αδύνατη για σε μηδενικούς θετικούς ακεραίους αριθμούς. Αρκεί να αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση x 4 +y 4 =z (1) είναι αδύνατη σε μη μηδενικούς θετικούς ακεραίους αριθμούς. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση (1) έχει ελάχιστη λύση [x, y, z], υπό την έννοια ότι ο z είναι ελάχιστος θετικός αριθμός και προφανώς μπορούμε να πάρουμε τον αριθμό x θετικό. Επιπλέον υποθέτουμε ότι οι x, y, z είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους. Είναι απλό να δούμε ότι ο z είναι περιττός. Αν ο z ήταν άρτιος τότε θα είχαμε ότι : είτε οι x, y είναι άρτιοι οπότε (x,y)>1 (αντίφαση) είτε οι x, y είναι περιττοί αριθμοί οπότε 0(mod 4), αδύνατο. Επομένως ένας από τους x, y είναι άρτιος. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ο y είναι άρτιος και ο x είναι περιττός. Η εξίσωση (1) γράφεται ως εξής : (w) 4 =y 4 =z x 4 =(z+x )(z x ) με y=w, w Z δηλαδή z+ x z x = 4w 4 Oι z, x είναι περιττοί αριθμοί με (z,x )=1 άρα (z+x,z x )=. Επομένως θα έχουμε ότι z+ x z x (, ) =1 οπότε z ± x =a 4 (), z m x =8b 4 (3), y=ab (ab=w), (a,b)=1 και ο a είναι περιττός. Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (), (3) προκύπτει ότι ± x =a 4 4b 4 (4). Επιλέγουμε το θετικό πρόσημο διότι με το αρνητικό θα είχαμε ότι -1 1(mod 4), το οποίο είναι αδύνατο. Η εξίσωση (4) γράφεται ως εξής : 4b 4 =a 4 x =(a +x)(a x) δηλαδή b 4 = a + x a x (5) Οι a, x είναι περιττοί αριθμοί με (a,x)=1 άρα (a +x,a x)=. Επομένως θα έχουμε ότι a + x a x (, ) =1. Στην σχέση (5) το πρώτο μέλος είναι θετικό και στο δεύτερο μέλος ο πρώτος παράγοντας είναι θετικός άρα και ο δεύτερος είναι θετικός. Οπότε με βάση τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι a +x=c 4 (6) και a -x=d 4 (7) όπου b=cd, (c,d)=1. 5

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (6), (7) προκύπτει ότι a =c 4 +d 4, δηλαδή η υπόθεση ότι υπάρχει λύση [x, y, z] μας οδηγεί στην ύπαρξη νέας λύση [c, d, a], για την οποία ισχύει ότι z = a 4 + 4b 4 > a 4 a, αντίφαση. 4 Αναφορές [1] Amanda Swift (Agnes Scott College), Biographies of Women Mathematicians, http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/germain.htm [] H. M. Edwards, Fermat s Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory p.59-65. [3] T. Nagel, Introduction to Number Theory p.30-31 6