ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 49 A i) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 ii) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 iii) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 3 iv) α) Ψ β) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 35 Ως παράδειγμα έχουμε τη συνάρτηση x, x (x), η οποία είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη, x x v) α) Α β) Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Για παράδειγμα, η συνάρτηση φ(x) = ημ(x ) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων (x) = x και g(x) = ημx Α3 α) (σελ74-75) Σ, β) (σελ74) Λ, γ) (σελ8) Σ, δ) (σελ6) Σ, ε) (σελ43) Λ Σελίδα από 7

2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β Έχουμε 4 και () (4) και επειδή η τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, Για οποιαδήποτε,, x x με x x, έχουμε :, :ά είναι γνησίως μονότονη στο x x x x ( x ) ( x ) (x ) (x ), Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Η συνάρτηση, είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, Τότε το, αφού (A ) lim (x), (),4 x ux :ά x u u u ό lim (x) lim ( u) lim (u) και () 4 Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο,, (A ) lim(x),(),4 x Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι: Β Είναι (A) (A ) (A ),4 D A, οπότε D x D / (x) D x / (x) Προφανώς (x), ά x Άρα D ύ Έχουμε: 4 x x ( 4) (x ) (x ) () ί,4 Τότε το (x ) (x ) 4 ( (x )) ( (x )) (x ) (x ) Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο 4, Όμοια αποδεικνύεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, 4 Β3 Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο R θα είναι συνεχής και στο 4, οπότε θα ισχύει: x4 ί lim (x) (4) Όμως αν x 4 (x) (4) Δηλαδή έχουμε: lim (x) και (x) για x 4 Τότε x4 lim (x) x4 Β4 i) Έχουμε: g() g() g() g(3) () () () () (3) () (4) (3) 4 4 ii) Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) Σελίδα από 7

3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επειδή g() g() g() g(3), () συμπεραίνουμε ότι οι αριθμοί g(), g(), g(), g (3) δεν μπορεί να είναι ομόσημοι και οι τέσσερις (αφού τότε το άθροισμά τους θα είναι είτε θετικό, είτε αρνητικό, άτοπο) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν g() ή g() ή g() ή g(3), τότε είναι προφανές το ζητούμενο Αν g() g() g() g(3), δηλαδή κανένας από τους όρους του γινομένου δεν είναι μηδέν, προκύπτει ότι δύο τουλάχιστον όροι του αθροίσματος της () είναι ετερόσημοι Έτσι αν g(),τότε κάποιος/οι από τους g(), g(), g(3) είναι αρνητικός/οί Αν g() g() εφαρμόζοντας το Θ Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον x,,3 ώστε g(x ) Ομοίως αν g() g() ή g() g(3) ή g() g() ή g() g(3) ή g() g(3),3 Άρα υπάρχει ώστε g( ) ( ) ( ) Θέμα Γ Γ Για x= η αρχική σχέση γίνεται : 3 ()+() = ημ - ()[ ()+]=()= ή () = - (αδύνατο), άρα ()= Γ Για κάθε x η αρχική σχέση γίνεται : x 3x (x), όή (x) (x) x 3x (x), ά x (x) Ό ά x ύ ό : x x x ό x x x x x ό x ά (x) ά x Γ 3 ά x x x x 3x x x x 5x x 3x x x 3x x 3x (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) x 3x x 3x (x) x 3x ά lim x 3x lim x 3x Ά ό ή ή έ ό lim (x) (), ό ή x Σελίδα 3 από 7

4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γ4 Στη σχέση xx 3 (x) (x) x 3x () ισχύει για κάθε x και βρίσκουμε Προσθέτοντας τις () και () έχουμε: 3 ( x) ( x) x 3x () (x) (x) ( x) ( x) (x) ( x) (x) ( x) (x) ( x) (x) (x) ( x) ( x) (x) ( x), οπότε θέτουμε όπου (*) (x) ( x) (x) (x) ( x) ( x) (x) ( x) ( x) (x) (*) (x) (x)( x) ( x), (τριώνυμο ως προς (x) ) ομόσημο του α= αφού ( x) 4 ( x) 3 ( x) 8 Άρα ( x) (x) για κάθε x, οπότε η είναι περιττή Γ5 Θα αποδείξουμε ότι lim (x) ( x ) xx ( 4) xu ή x ( 4) lim (x) lim ( x) lim ( x) lim (u) (x ) ( x ) xx xx xx ux Γ6 Η εξίσωση γίνεται : (x) x (x) x Θεωρώ συνάρτηση g(x) (x) x, x συνεχής στο [,], ως πράξεις συνεχών, με g() = () + = > g() = () < αφού για κάθε x> είναι (x) < (Γ Ερώτημα) ή αλλιώς 3 () 3 (,), ύ x x () (x) 3 Από θεώρημα Bolzano για την g έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,) ώστε g(ξ) = Επομένως η αρχική εξίσωση ( x) x έχει τουλάχιστον μία λύση στο (,) ΘΕΜΑ Δ Δ Για κάθε x,x με x x x x x x x x x x x x Αυτό σημαίνει ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε θα είναι και " ", άρα αντιστρέψιμη, Αφού η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο έχουμε Σελίδα 4 από 7

5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ lim x, lim x, x x 3 Είναι lim x lim x και 3 lim x lim x x Το πεδίο ορισμού της x x x είναι το R που είναι σύνολο τιμών της Δ Θα αποδείξουμε ότι: (ισχύει) Δ3 Για κάθε x,x θα αποδείξουμε ότι ισχύει: x x x x Αν x x τότε προφανώς η ισχύει σαν ισότητα Αν x x γράφεται θέτουμε όπου x το x και όπου x τό x και η σχέση x x x x x x x x 3 3 x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x x x xx x x xx x A Αρκεί να δείξουμε ότι x xx x (τριώνυμο ως προς x με x x Είναι 4 x 4x 3x Οπότε το τριώνυμο Α είναι ομόσημο του α=> Άρα Α> Επομένως η σχέση ισχύει ) για κάθε x,x Σελίδα 5 από 7

6 Δ4 ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θα δείξουμε ότι lim x x xx για κάθε x Από το (Δ 3) ερώτημα έχουμε: x x x x x x x x x x Επειδή lim x x lim x x xx xx από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim x x lim x x xx xx Δ5 3 h x x x Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε x,x με 3 3 x x x x x x x x h x h x 3 3 x x Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο H h είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών με h, από το Δ h, από το Δ Οπότε h h,άρα από ΘΒolzano υπάρχει, τέτοιο ώστε h οποίο είναι και μοναδικό αφού η h Δ6 είναι γνησίως αύξουσα στο i) Για κάθε x,x x x από το ερώτημα (Δ 3) ισχύει: x x x x g(x ) x g(x ) x x x g(x ) g(x ) (x x ) g(x ) g(x ) (x x ) x x x x το g ( x ) g ( x ) g ( x ) g ( x ) 3 g ( x ) g ( x ) x x x x x x Σελίδα 6 από 7

7 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 8: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 g( x ) g( x) g( x ) g( x) ii) Αφού, για κάθε x x x x x x x x Αν, τότε g(x ) g(x ) g(x ) g(x ) που σημαίνει ότι η συνεχής συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R άρα και -, οπότε η εξίσωση gx ( ) θα έχει το πολύ μία λύση iii) Έχουμε από το (Δ5) ότι 3,οπότε η ανίσωση γίνεται: 3 g x x g x x g() g: ί g x x g x x g x x g x x x x x Γιατί: Για κάθε x έχουμε x x x x x Αν x Αν x τότε η τότε η x x x x, άρα x x (*) γράφεται x x x x, άρα x x γράφεται x x x και αφού x x (*) Για x και g, θα είναι Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: Το Θέμα Β επιμελήθηκε ο Ρουσσάλης Ηλίας, Μαθηματικός του Γυμνασίου & Λυκείου Λεωνιδίου Το Θέμα Γ επιμελήθηκε ο Χήτος Γεώργιος, Μαθηματικός από το Ρέθυμνο Το Θέμα Δ επιμελήθηκε ο Παντερής Ανδρέας, Μαθηματικός-ΜSc του ου ΓΕΛ Ηρακλείου Κρήτης Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο Σελίδα 7 από 7