ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. α τρόπος: Αν z= yi,, y R, η σχέση () γράφεται ( ) yi ( ) yi = 4 ( ) y ( ) y = 4 y =. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. β τρόπος: Η σχέση () γράφεται: ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) = 4 ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) = 4 z z z z z z z z = 4 z z = z z = z = z =. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. Β. Έστω z z =, 0. Τότε Β3. ( )( ) z z = z z = z z z z = ( z z )( z z ) ( ) = zz z z z z zz = z z zz zz = (α) ( )( ) z z = z z = z z z z = ( ) ( z z ) z z = z z z z z z z z = ( ) = (β). z z z z z z z z =. Προσθέτοντας τις (α), (β) κατά µέλη έχουµε: ( ) Όµως z=, z= οπότε προκύπτει = 4 = =, αφού 0. 5 5 ( w 5 w) ( w 5 w) 44 w w = w w = = 5 5 5 44 ww w w ww = w 5( w w ) 5w = 44 6w 5( w w ) = 44 (3) Έστω w = yi,, y R τότε η σχέση (3) γίνεται:
6( y ) 5 ( yi) ( yi) = 44 6( y ) 5( y yi y yi) = 44 6 6y 5( y ) = 44 6 6y 0 0y = 44 6 36y = 44 y y 4 9y = 36 = =. 9 4 3 Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η παραπάνω έλλειψη µε µήκος µεγάλου ηµιάξονα a = 3 και µήκος µικρού ηµιάξοναβ=. Αν Α, Α, Β, Β οι κορυφές της έλλειψης, τότε: Α ( 3,0), Α(3, 0), Β (0, ), Β(0, ). Είναι w = ( OA) = ( OA') = 3 και w = ( OB) = ( OB ') =. ma min Β4. Με βάση την τριγωνική ανισότητα και επειδή z w = w z έχουµε: ΘΕΜΑ Γ w z w z w z w w z w (4) Όµως λόγω του Β 3 είναι w 3, άρα: w και w 4. Τότε όµως η (4) γράφεται: w z 4. Γ. Η f είναι συνεχής στο (0, ) ως αποτέλεσµα πράξεων µεταξύ συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιµη µε f '( ) = ln = ln, (0 ). Όταν (0, ) είναι < και επειδή η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα έχουµε ln < ln ln < 0. Επίσης < 0 και > 0 άρα < 0. Έτσι ln < 0 για κάθε (0, ), άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (0, ]. Όταν (, ) είναι > και επειδή ln γνησίως αύξουσα είναι ln > ln ln > 0. Επίσης είναι > 0 για κάθε (, ), οπότε ln > 0 για κάθε (, ). ηλαδή f () > 0 για κάθε (0, ). Έτσι όµως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). Από τα προηγούµενα προκύπτει ο επόµενος πίνακας µεταβλητών για την f: 0 f min (-)
Επειδή f γνησίως φθίνουσα στο (0, ] είναι f( (0,]) = f ( ), lim f ( ) ) 0 Όµως lim f ( ) = lim [( ) ln ] =. 0 0 f (0,] = [, ) (). Άρα ( ) Επίσης επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) είναι f [, = f (), lim f ( ). ( ) ) Όµως lim f ( ) lim [( ) ln ] Άρα ( ) = =. f [, ) = [, ) (). Από (), () προκύπτει ότι το σύνολο τιµών της f είναι το [, ). Γ. Η εξίσωση = 03 (επειδή η συνάρτηση y = ln είναι γνησίως αύξουσα και άρα ) γράφεται ισοδύναµα: 03 ln( ) = ln( ) ( ) ln = 03 ( ) ln = 0 f ( ) 0 = 0. Από το Γ ερώτηµα είναι: f (0,] = [, ) άρα υπάρχει (0, ] ώστε f( ) = 0 και επειδή η f α) ( ) είναι γνησίως φθίνουσα είναι και, άρα η τιµή είναι µοναδική στο διάστηµα (0,]. f [, ] = [, ), άρα υπάρχει [, ) ώστε f ( ) = 0 και β) ( ) επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και, άρα η τιµή είναι µοναδική στο διάστηµα [, ). Από α) και β) προκύπτει ότι η δοσµένη εξίσωση έχει ακριβώς θετικές ρίζες. Γ3. Θεωρούµε τη συνάρτηση h() = f () 0. µε (0, ). Η h είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε ( ) h ( ) = f ( ) f ( ) 0. h f ( ) = ( ) 0 = 0 0 = 0 h( ) = f ( ) 0 = 0 0 = 0 Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Roll για την h στο [, ], οπότε υπάρχει 0 (, ), ώστε h ( 0 ) = 0 0 0 0 ( f 0 f 0 ) f 0 f 0 B τρόπος ( ) ( ) 0 = 0 ( ) ( ) 0 = 0. Θεωρούµε τη συνάρτηση h( ) = f ( ) f ( ) 0 µε > 0. Η f είναι συνεχής στο (0, ) ως γινόµενο συνεχών. H f είναι συνεχής στο (0, ) ως άθροισµα συνεχών. Άρα η h είναι συνεχής στο (0, ) ως άθροισµα συνεχών. Άρα η h είναι συνεχής στο [, ].. 3
Γ h( ) = f ( ) f ( ) 0 = f ( ) 0 0 = f ( ) < 0, αφού από το Γ για (0, ) είναι f ( ) < 0. Γ h( ) = f ( ) f ( ) 0 = f ( ) 0 0 = f ( ) > 0, αφού από το Γ για (0, ) είναι f ( ) > 0. ηλαδή είναι h( ) h( ) < 0. Από το Θεώρηµα Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (, ) ώστε: h( ) = 0 f ( ) f ( ) 0 = 0 f ( ) f ( ) = 0. 0 0 0 0 0 Γ4. Είναι: g( ) = f ( ) = ( ) ln = ( ) ln > 0 για κάθε (0, ). Άρα: ΘΕΜΑ Ε( Ω ) = ( )ln d = ln d ln d ( ) ln d ( ) ln d = = = ln d [ ln ] d d [ ] = = 3 3 = = = = τ.µ. 4 4 4 4 4 4. Θεωρούµε τη συνάρτηση G( ) = f ( t) dt, (0, ). Η G είναι παραγωγίσιµη µε G ( ) = f ( )( ) ( ), για κάθε (0, ). Η δοσµένη σχέση f( t) dt επειδή G() = 0 γράφεται ισοδύναµα: f ( t) dt 0 G( ) G(), για κάθε (0, ). Αυτό όµως σηµαίνει ότι η G έχει ελάχιστο στη θέση = την τιµή G()=0. Από το θεώρηµα Frmat προκύπτει τότε ότι G () = 0 f () =. Επειδή η f συνεχής στο (0, ) και f ( ) 0 για κάθε (0, ), η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο (0, ) και επειδή f () = < 0, είναι f ( ) < 0, (0, ). Έτσι f( ) = f( ) και από τη δοσµένη σχέση προκύπτει ln t t ln ln t t ln = dt ( f ( ) ), οπότε = dt f ( t) f ( ). f ( t) Οι συναρτήσεις και στα δύο µέλη είναι παραγωγίσιµες οπότε: 4
ln ln t t ln ln = dt, f ( ) άρα =. f ( t) f ( ) f ( ) ln Αν θέσουµε g( ) = έχουµε g ( ) = g( ) για κάθε (0, ), οπότε f ( ) σύµφωνα µε την εφαρµογή της σελίδας 5 του σχολικού βιβλίου είναι: g( ) = c, δηλαδή ln = c. f ( ) Για = προκύπτει = c = c c =. f () Άρα τελικά f () = ln (ln ) =, (0, ). 5
. Είναι: Άρα = =, lim ln =, lim ( ) = 0. 0 lim 0 0 0 lim (ln ) =. 0 Τότε όµως lim = 0. 0 f ( ) Αν θέσουµε u f ( ) = έχουµε u < 0 και 0 0 ηµ u u συν u lim f ( )ηµ f ( ) lim ηµ u lim lim ( ) 0 f ( ) = u 0 u u = = = u 0 u u 0 u συν u = lim ( ) = 0 = 0. u 0 u 3. Η F είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο (0, ) µε F ( ) = f( ) και F ( ) = f ( ) = (ln ) ( ) = ( ln ). Επειδή ln 0 και > 0, για κάθε >0 είναι ( ) 0 F >, για κάθε >0. Άρα η F είναι κυρτή στο (0, ). Η σχέση τώρα F( ) F(3 ) > F( ), >0 γράφεται: F(3 ) F( ) F( ) F( ) F(3 ) F( ) > F( ) F( ), >0 >, >0. 3 Από Θ.Μ.Τ. για την F στα διαστήµατα [, ] και [, 3] αντίστοιχα υπάρχουν F( ) F( ) F(3 ) F( ) ξ (, ) και ξ (, 3) ώστε F ( ξ) = και F ( ξ) =, 3 οπότε αρκεί να δειχθεί ότι F ( ξ) > F ( ξ) µε < ξ < < ξ < 3. Η τελευταία είναι αληθής διότι η F είναι κυρτή και άρα η F γνησίως αύξουσα στο (0, ). 4. Θεωρούµε τη συνάρτηση h() = F() F(β) F(3β), [β, β]. Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο (0, ) άρα και η h. h(β) = F(β) F(3β) h(β) = F(β) F(β) F(3β). Επειδή F () = f() < 0 για κάθε (0, ) η F είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ). Έτσι από β < 3β έπεται: F(β) > F(3β) F(β) F(3β) > 0 h(β) > 0. Λόγω τώρα του 3 είναι h(β) = F( β) F( β) F(3 β) < 0. Άρα h( β) h( β) < 0, οπότε λόγω του θεωρ. Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει ξ ( β, β) ώστε h( ξ ) = 0 F( β) F(3 β) = F( ξ ). Η τιµή ξ είναι µοναδική διότι η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα και άρα, αφού h () = F () = f() < 0, για κάθε (0, ). 6