ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( )) (Θέμ Αθετ-) ΘΕΜΑ Ν ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό (Θέμ Αθετ- Θέμ Α-3 Θέμ Α- ΕΠΑΝ 7) ΘΕΜΑ 3 Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z, z Ν ποδείξετε ότι: z z = z z ΘΕΜΑ 4 Αν γι το μιγδικό ριθμό z ισχύει z =, ν δείξετε ότι ΘΕΜΑ 5 = z z (Θέμ Α- Θέμ Α-7) (Θέμ Β-) Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, ν ποδείξετε ότι: a Όλες οι συνρτήσεις της μορφής G = F + c, c R είνι πράγουσες της f στο Δ κι b Κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει την μορφή G = F + c, c R (Θέμ Α- ΕΠΑΝ Θέμ Β- ΕΠΑΝ 3) ΘΕΜΑ 6 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε ν δείξετε ότι f( t) dt = G( ) G( ) (Θέμ Α-) wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 7 Έστω η συνάρτηση f() = ημ Ν δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο ισχύει f = συν κι (Θέμ Β-) ΘΕΜΑ 8 Τι σημίνει γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού; (Θέμ Β-3) ΘΕΜΑ 9 Πότε μι ευθεί = λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f; (Θέμ Γ- ΕΠΑΝ 3) ΘΕΜΑ Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f προυσιάζει κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, ν ποδείξετε ότι f ( ) = ΘΕΜΑ Πότε μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; ΘΕΜΑ Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι f = γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ (Θέμ Α-4) (Θέμ Β-4) (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 4) ΘΕΜΑ 3 Ν ορίσετε πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (,) κι πότε σε έν κλειστό διάστημ [,] (Θέμ Γ-ΕΠΑΝ 4) wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 4 Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η f είνι συνεχής στο [, ] κι f( ) f( ) δείξτε ότι γι κάθε ριθμό η μετξύ των f ( ) κι f ( ) υπάρχει ένς, τουλάχιστον (, ) τέτοιος, ώστε f( ) = η (Θέμ Α-5) ΘΕΜΑ 5 Πότε η ευθεί y= λ+ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f στο + ; (Θέμ Α-5) ΘΕΜΑ 6 Έστω η συνάρτηση f με f ( ) = Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ισχύει f = ΘΕΜΑ 7 Πότε μι συνάρτηση f : A R λέγετι - (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 5) (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 5) ΘΕΜΑ 8 Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι σ υ ν ε χ ή ς σε έν διάστημ Δ Αν f > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν f < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ (Θέμ Α-6) ΘΕΜΑ 9 Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ; (Θέμ Α-6) ΘΕΜΑ Ν ποδείξετε ότι ( συν ) = ημ, R (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 6) 3 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Τι ονομάζουμε ρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ; (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 6) ΘΕΜΑ Πότε δυο συνρτήσεις f, g λέγοντι ίσες; (Θέμ Α-7) ΘΕΜΑ 3 Πότε η ευθεί y = l λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + ; (Θέμ Α3-7) ΘΕΜΑ 4 Τι σημίνει γεωμετρικά το θεώρημ Rolle του Διφορικού Λογισμού; ΘΕΜΑ 5 Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln ΘΕΜΑ 6 =, είνι πργωγίσιμη στο ( ln ) = Πότε μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [,]; ΘΕΜΑ 7 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε ν δείξετε ότι f( t) dt = G( ) G( ) (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 7) κι ισχύει: (Θέμ Α-8) (Θέμ Α-8) (Θέμ Α-ΕΠΑΝ 8) ΘΕΜΑ 8 Τι σημίνει γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού; (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 8) 4 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑΤΑ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη ΘΕΜΑ 9 a Αν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε η f είνι πάντοτε συνεχής στο b Αν η f δεν είνι συνεχής στο, τότε η f είνι πργωγίσιμη στο c Αν η f έχει δεύτερη πράγωγο στο, τότε η f είνι συνεχής στο (Θέμ Β-ΘΕΤ ) ΘΕΜΑ 3 a b z z = zz = z c z = - d z = z e iz = z ΘΕΜΑ 3 z (Θέμ Α- ) a Αν η συνάρτηση f είνι ορισμένη στο [,] κι συνεχής στο (,], τότε η f πίρνει πάντοτε στο [,] μί μέγιστη τιμή b Κάθε συνάρτηση, που είνι - στο πεδίο ορισμού της, είνι γνησίως μονότονη lim f =, τότε lim f = c Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο κι d Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο ΙR, τότε f ( d ) = f f ( d ) e Αν lim f, τότε f() > κοντά στο > (Θέμ Β- ) 5 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 3 a Αν f ( d ), τότε κτ νάγκη θ είνι f γι κάθε [,] b Η εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ c Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο IR κι δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημ [, ], στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle d Έστω συνάρτηση f ορισμένη κι πργωγίσιμη στο διάστημ [, ] κι σημείο [, ] στο οποίο η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάντ ισχύει ότι f = e Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] κι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( )=, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f() f()< (Θέμ Β-ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 33 a Αν z ένς μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z b Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν f ()> γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι κυρτή στο Δ c Γι κάθε συνάρτηση f, πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ, ισχύει f ( d ) = f ( ) + c, c IR d Αν μι συνάρτηση f είνι κυρτή σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική της πράστση e Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f είνι πργωγίσιμη στο κι f ( ) =, τότε η f προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο ΘΕΜΑ 34 (Θέμ Γ- 3) a Αν z, z μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ z z z+ z z + z b Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Άν f ( ) > στο (, ) κι f ( ) < στο (,), τότε το f( ) είνι τοπικό ελάχιστο της f c Μι συνάρτηση f : A R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, Α ισχύει η συνεπγωγή: ν =, τότε f = f d Αν f, g είνι δυο συνρτήσεις με συνεχή πρώτη πράγωγο, τότε ισχύει: f g = f g f g d (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 3) 6 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 35 a Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος δυο μιγδικών ριθμών είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτινών τους lim f lim f = lim f = l b = l, ν κι μόνο ν + c Αν οι συνρτήσεις f,g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ( f g) = f g d Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ Αν f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ e Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε f d= G( )- G( ) (Θέμ Γ- 4) ΘΕΜΑ 36 a Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό b Το μέτρο της διφοράς δυο μιγδικών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους c Αν f, g είνι δυο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού R κι ορίζοντι οι συνθέσεις f g κι g f, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες d Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι προς την ευθεί y= που διχοτομεί τις γωνίες Oy κι Oy e Αν υπάρχει το όριο της f στο κοντά στο ΘΕΜΑ 37, με k κι k f, τότε lim k f ( ) k lim f =, εφόσον είνι συμμετρικές ως f ( ) (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 4) a Αν η f είνι συνεχής στο [,] με f()< κι υπάρχει ξ (,) ώστε f(ξ)=, τότε κτ νάγκη f()> b Αν υπάρχει το lim ( f + g ), τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ lim f lim g, c Αν η f έχει ντίστροφη συνάρτηση f κι η γρφική πράστση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεί y=, τότε το σημείο Α νήκει κι στη γρφική πράστση της f d Αν lim f = κι f ( ) > κοντά στο, τότε lim f = + e Αν η f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε ισχύει f () t dt = f f a γι κάθε Δ a f Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δε μηδενίζετι σ υτό τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε Δ ή είνι ρνητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ (Θέμ Β- 5) 7 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 38 a Τ εσωτερικά σημεί του διστήμτος Δ, στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγος της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ b Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (,) ή ντιστρόφως, τότε το σημείο Α(,f( )) είνι υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f c Το μέτρο της διφοράς δυο μιγδικών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους d Αν γι δυο συνρτήσεις f κι g ορίζοντι οι f g κι g f, τότε είνι υποχρεωτικά f g g f e Οι εικόνες δυο συζυγών μιγδικών ριθμών zz, είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον χ χ f Αν η συνάρτησης f έχει πράγουσ σε έν διάστημ Δ κι λ, τότε ισχύει: λ f d= λ f d ΘΕΜΑ 39 z = z > a Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει b Αν υπάρχει το lim f τότε f > κοντά στο (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 5) c H εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ d Ισχύει ο τύπος ( 3 ) = 3, γι κάθε f ( g ) ( d ) = f( g ) f( gd ), όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [,] e Ισχύει η σχέση [ ] ΘΕΜΑ 4 a Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει z z z+ z b Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι πργωγίσιμες στο κι g( ), τότε η (Θέμ Β- 6) συνάρτηση f g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: f f g f g ( ) = g( ) g c Γι κάθε ισχύει ln = d Μι συνάρτηση f : A είνι, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( ) = y έχει κριώς μι λύση ως προς e Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε f() t dt = G( )- G( ) (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 6) 8 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 4 a Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημ [,] κι γι κάθε [, ] τότε f d > ισχύει f() b Έστω f μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο τότε f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο του c Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους g f είνι συνεχής στο d Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ κι είνι έν σημείο του, τότε g f ( tdt ) = f g g με την προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμεν σύμολ έχουν νόημ e Αν > τότε lim = ΘΕΜΑ 4 (Θέμ Β- 7) a Η εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστημ b Αν f, gg, είνι συνεχείς συνρτήσεις στο διάστημ [,], τότε f g d = f d g d c Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε ( () ) f t dt = f ( ) γι κάθε Δ d Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (,), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ (Α,Β) όπου lim f B = lim f Α= κι a + e Έστω δυο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν οι f, g είνι συνεχείς στο Δ κι f = g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει f = g γι κάθε Δ (Θέμ Β-ΕΠΑΝ 7) 9 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 43 a Αν μι συνάρτηση f : A είνι, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση f f, A ισχύει: = κι, f f y = y y f Α b Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της c Ότν η δικρίνουσ Δ της εξίσωσης z + z+ γ = με, γ, κι είνι ρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των μιγδικών d Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f > γι κάθε πργμτικό ριθμό e Αν η f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι, γ Δ, τότε ισχύει γ = + f d f d f d γ f (Θέμ Β- 8) ΘΕΜΑ 44 a Υπάρχουν συνρτήσεις που είνι, λλά δεν είνι γνησίως μονότονες b Αν μι συνάρτηση f είνι κοίλη σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους b c Το ολοκλήρωμ f ( ) d είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των χωρίων που a ρίσκοντι πάνω πό τον άξον μείον το άθροισμ των εμδών των χωρίων που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον d Αν, πργμτικοί ριθμοί, τότε: + i = = ή = e Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, ) (, ) πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f = lim f = κι ένς (Θέμ Γ-ΕΠΑΝ 8) wwwsamarasinfo
3 ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΘΕΜΑ 45 Ν γράψετε στο τετράδιο σς το γράμμ της στήλης Α κι δίπλ τον ριθμό της στήλης Β που ντιστοιχεί στην εφπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο Στήλη Α Στήλη Β Συνρτήσεις Εφπτόμενες 3 a f = 3, = y = + π b f = ημ, =π / y = ( / 4) + c f = 3, = 3 y = 9 6 4 y = 9+ 5 d f =, = 4 5 δεν υπάρχει (Θέμ Β-ΘΕΤ ) ΘΕΜΑ 46 Αν z = 3 + 4 i κι z = - 3 i ν γράψετε στο τετράδιό σς τους ριθμούς της Στήλης Α κι δίπλ σε κάθε ριθμό το γράμμ της Στήλης Β έτσι, ώστε ν προκύπτει ισότητ Στήλη Α z z 3 Στήλη Β 4 z z γ 5 4 z δ 5 5 iz ε στ 5 ζ (Θέμ Β- ) ΘΕΜΑ 47 Ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω σχέσεις ώστε ν προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος a λf()d= b (f () + g())d = c ( λ f() +μg())d = όπου λ, μ ΙR κι f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] (Θέμ Α- ΕΠΑΝ ) wwwsamarasinfo
4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΜΑ 48 5 + i a Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z = Ν γράψετε τον z στη μορφή + i,, R + 3i b Ν ρεθούν τ σημεί του επιπέδου, που είνι εικόνες των μιγδικών z, γι τους οποίους z - ισχύει: = z - i (Θέμ -ΤΕΧ ) ΘΕΜΑ 49 a Ν ρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z+ 6 = 4 z+ b Ν ρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει: z = z i ΘΕΜΑ 5 (Θέμ - ΕΠΑΝ ) Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z=+i, όπου, IR κι w= 3z iz+ 4, όπου z είνι ο συζυγής του z a Ν ποδείξετε ότι Re(w)=3 +4 κι Ιm(w)=3 b Ν ποδείξετε ότι, ν οι εικόνες του w στο μιγδικό επίπεδο κινούντι στην ευθεί με εξίσωση y=, τότε οι εικόνες του z κινούντι στην ευθεί με εξίσωση y= c Ν ρείτε ποιος πό τους μιγδικούς ριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούντι στην ευθεί με εξίσωση y=, έχει το ελάχιστο μέτρο (Θέμ - 3) ΘΕΜΑ 5 a Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγδικών ριθμών z που ικνοποιούν τις σχέσεις: z = κι Im ( z) b Ν ποδείξετε ότι, ν η εικόν του μιγδικού ριθμού z κινείτι στο σύνολο (Σ), τότε η 4 εικόν του μιγδικού ριθμού w= z+ κινείτι σε ευθύγρμμο τμήμ το οποίο z ρίσκετι στον άξον χ χ (Θέμ -ΕΠΑΝ 3) wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 5 Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z, z, z 3 με z = z = z3 = 3 9 a Δείξτε ότι: z = z z z b Δείξτε ότι ο ριθμός + είνι πργμτικός z z c Δείξτε ότι : z+ z + z3 = zz + zz3+ z3z 3 (Θέμ - 5) ΘΕΜΑ 53 a Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί γι τους οποίους ισχύει z+ z = 4+ 4i κι z z = 5+5 i, ν ρείτε τους z, z b Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς z, w ισχύουν z 3i κι w 3 i : i ν δείξετε ότι υπάρχουν μονδικοί μιγδικοί ριθμοί z, w έτσι, ώστε z = w κι ii ν ρείτε τη μέγιστη τιμή του z w ΘΕΜΑ 54 Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z, z, z 3 με z = z = z3 = κι z+ z + z3 = a Ν ποδείξετε ότι: i z z = z z = z z 3 3 ii z z 4 κι Re( zz) (Θέμ -ΕΠΑΝ 5) b Ν ρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z, z, z 3 στο μιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος του τριγώνου που υτές σχημτίζουν (Θέμ 3-6) ΘΕΜΑ 55 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός + ai z =, με a R a + i a Ν ποδειχθεί ότι η εικόν του μιγδικού z νήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) κι κτίν ρ = b Έστω z, z οι μιγδικοί που προκύπτουν πό τον τύπο γι = κι = ντίστοιχ ai z = + a + i i Ν ρεθεί η πόστση των εικόνων των μιγδικών z, z ν ii Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: ν z z = γι κάθε φυσικό ν (Θέμ - 7) 3 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 56 z Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z = + i κι z =, όπου, με Δίνετι + z επίσης ότι z z a Ν ποδειχθεί ότι z z = b Ν ρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγδικό επίπεδο c Αν ο ριθμός z είνι φντστικός κι >, ν υπολογισθεί ο κι ν δειχθεί ότι z ( z i) ( z ) i + + + = z (Θέμ 4-ΕΠΑΝ 7) ΘΕΜΑ 57 Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς z κι w ισχύουν ( ) 6 i + = κι w ( i) = w ( 3 3i ) τότε ν ρείτε: a Το γεωμετρικό των εικόνων των μιγδικών ριθμών z b Το γεωμετρικό των εικόνων των μιγδικών ριθμών w c Την ελάχιστη τιμή του w d Την ελάχιστη τιμή του z w ΘΕΜΑ 58 (Θέμ - 8) + i 3 Δίνετι ότι ο μιγδικός ριθμός z = είνι ρίζ της εξίσωσης z + z+ γ =, όπου κι γ πργμτικοί ριθμοί a Ν ποδείξετε ότι = κι γ = b Ν ποδείξετε ότι z 3 = c Ν ρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγδικού ριθμού w, γι τον οποίο ισχύει: w = z z (Θέμ -ΕΠΑΝ 8) 4 wwwsamarasinfo
5 ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Πράγωγος Βσικά Θεωρήμτ ΘΕΜΑ 59 Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κλειστό διάστημ [,] κι ισχύει f ( ) > κάθε (,) Aν f()= κι f()=4, ν δείξετε ότι: a Η ευθεί y=3 τέμνει τη γρφική πράστση της f σ' έν κριώς σημείο με τετμημένη (,) f( ) + f( ) + f( 3 ) + f( 4 ) b Υπάρχει (,), τέτοιο ώστε: f ( ) = 5 5 5 5 4 c Υπάρχει (,), ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Μ(,f( )) ν είνι πράλληλη στην ευθεί y=+ (Θέμ 3θετ- ) γι ΘΕΜΑ 6 Τη χρονική στιγμή t= χορηγείτι σ' ένν σθενή έν φάρμκο Η συγκέντρωση του t φρμάκου στο ίμ του σθενούς δίνετι πό τη συνάρτηση f () t =, t όπου t + κι είνι στθεροί θετικοί πργμτικοί ριθμοί κι ο χρόνος t μετράτι σε ώρες Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είνι ίση με 5 μονάδες κι επιτυγχάνετι 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φρμάκου a Ν ρείτε τις τιμές των στθερών κι b Με δεδομένο ότι η δράση του φρμάκου είνι ποτελεσμτική, ότν η τιμή της συγκέντρωσης είνι τουλάχιστον ίση με μονάδες, ν ρείτε το χρονικό διάστημ που το φάρμκο δρ ποτελεσμτικά (Θέμ 4θετ- ) ΘΕΜΑ 6 Φάρμκο χορηγείτι σε σθενή γι πρώτη φορά Έστω f(t) η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φρμάκου στον οργνισμό του σθενούς μετά πό χρόνο t πό τη 8 χορήγησή του, όπου t Αν ο ρυθμός μετολής της f(t) είνι t + - a Ν ρείτε τη συνάρτηση f(t) b Σε ποι χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φρμάκου, η συγκέντρωσή του στον οργνισμό γίνετι μέγιστη; c Ν δείξετε ότι κτά τη χρονική στιγμή t = 8 υπάρχει κόμ επίδρση του φρμάκου στον οργνισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t = η επίδρσή του στον οργνισμό έχει μηδενιστεί (Δίνετι ln,4) (Θέμ 4ΤΕΧ- ) 5 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 6 Γι μι συνάρτηση f, που είνι πργωγίσιμη στο σύνολο των πργμτικών ριθμών R, 3 3 f + f + γ f = + 6 γι κάθε, ισχύει ότι: όπου, γ πργμτικοί ριθμοί με < 3γ a Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει κρόττ b Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ c Ν δείξετε ότι υπάρχει μονδική ρίζ της εξίσωσης f() = στο νοικτό διάστημ (,) (Θέμ 3- ) ΘΕΜΑ 63 +, Δίνετι η συνάρτηση f() = όπου ( e + ) ln( ), (,] e + a Ν υπολογίσετε το όριο lim b Ν ρείτε το ώστε η συνάρτηση f ν είνι συνεχής στο o = c Γι = - ν δείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο Α(ξ, f(ξ)) ν είνι πράλληλη προς τον άξον (Θέμ 3 - ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 64 Έστω οι συνρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R Δίνετι ότι η συνάρτηση της σύνθεσης f g είνι a Ν δείξετε ότι η g είνι 3 g f + = g f + έχει κριώς δύο θετικές b Ν δείξετε ότι η εξίσωση: κι μί ρνητική ρίζ ( ) (Θέμ - ) ΘΕΜΑ 65 Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ [,] που έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο (,) Αν ισχύει f() = f() = κι υπάρχουν ριθμοί γ (,), δ (,), έτσι ώστε f(γ) f(δ)<, ν ποδείξετε ότι: a Υπάρχει μί τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης f()= στο διάστημ (,) b Υπάρχουν σημεί ξ, ξ (, ) τέτοι ώστε f ( ξ ) < κι f ( ξ ) > c Υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f (Θέμ 4-3) 6 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 66 Δίνετι μι συνάρτηση f ορισμένη στο R με συνεχή πρώτη πράγωγο, γι την οποί ισχύουν οι σχέσεις: f = f κι f γι κάθε a Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως μονότονη b Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει μονδική ρίζ f c Έστω η συνάρτηση g = f Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της g στο σημείο στο οποίο υτή τέμνει τον άξον χ χ, σχημτίζει με υτόν γωνί 45 (Θέμ 4-ΕΠΑΝ 3) ΘΕΜΑ 67 Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f = ln a Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, ν μελετήσετε την μονοτονί της κι ν ρείτε τ κρόττ b Ν μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητ κι ν ρείτε τ σημεί κμπής c Ν ρείτε το σύνολο τιμών της f (Θέμ - 4) ΘΕΜΑ 68 Δίνετι η συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη στο R με f γι κάθε a Ν δείξετε ότι η f είνι " " b Αν η γρφική πράστση C f της f διέρχετι πό τ σημεί Α(, 5) κι Β(, ), ν λύσετε την εξίσωση f ( f ( )) 4 + 8 = c Ν δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν σημείο Μ της C f, στο οποίο η εφπτομένη της C f είνι κάθετη στην ευθεί (ε) : y = + 5 668 (Θέμ 3-ΕΠΑΝ 5) 7 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 69 Δίνετι η συνάρτηση + f = ln - a Ν ρείτε το πεδίο ορισμού κι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f b Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει κριώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της c Αν η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g ln = στο σημείο Α(, ln) με > κι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης στο σημείο Β(, e ) με τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθμός είνι ρίζ της εξίσωσης f = d Ν ιτιολογήσετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g κι h έχουν κριώς δύο κοινές εφπτόμενες (Θέμ 4-6) h = e ΘΕΜΑ 7 ln, > Δίνετι η συνάρτηση f =, = a Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο b Ν μελετήσετε ως προς τη μονοτονί τη συνάρτηση f κι ν ρείτε το σύνολο τιμών της c Ν ρείτε το πλήθος των διφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης = e γι όλες τις πργμτικές τιμές του f + > f + f, γι κάθε > d Ν ποδείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑ 7 f =, > Δίνετι η συνάρτηση ln a Ν ποδείξετε ότι ισχύει: f γι κάθε > b Ν ρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f c Έστω η συνάρτηση ln, > g = f k, = (Θέμ 3-8) Ν ρείτε την τιμή του k έτσι ώστε η g ν είνι συνεχής Αν k =, τότε ν ποδείξετε ότι η g έχει μί, τουλάχιστον, ρίζ στο διάστημ (,e) (Θέμ 3-ΕΠΑΝ 8) 8 wwwsamarasinfo
6 ΘΕΜΑΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ 7 Ν ρείτε τη συνάρτηση f, γι την οποί ισχύει f = 6+ 4, κι η γρφική της πράστση στο σημείο της Α(,3) έχει κλίση (Θέμ Β -ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 73 Ν υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: a b (e + )d 4 3 d 3 π c (ημ + 3συν)d ΘΕΜΑ 74 7 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (Θέμ Β -ΕΠΑΝ ), 3 Έστω f μι πργμτική συνάρτηση με τύπο: f = -3 - e, > 3 3 a Αν η f είνι συνεχής, ν ποδείξετε ότι = /9 b Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης C f της συνάρτησης f στο σημείο Α(4, f(4)) c Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = (Θέμ ) 9 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 75 Έστω μι πργμτική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πργμτικών ριθμών R, γι την οποί ισχύoυν οι σχέσεις: i f(), γι κάθε ΙR ii f tf ( t) = dt, γι κάθε ΙR Έστω κόμη g η συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο g - f a Ν δείξετε ότι ισχύει f = - f ( ) b Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή c Ν δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είνι: f = + lim f ημ d Ν ρείτε το όριο + = γι κάθε R (Θέμ 4 ) ΘΕΜΑ 76 Έστω μι πργμτική συνάρτηση f, συνεχής στο (,+ ) γι την οποί ισχύει: tf(t) f() = + dt a Ν δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) + ln b Ν δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είνι: f =, > c Ν ρείτε το σύνολο τιμών της f d Ν ρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της f e Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες =, = e (Θέμ 4- ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 77 a Έστω δύο συνρτήσεις h, g συνεχείς στο [, ] Ν ποδείξετε ότι ν h() > g() γι κάθε [, ], τότε κι h d > g d b Δίνετι η πργωγίσιμη στο R συνάρτηση f f e = R κι f() = f, που ικνοποιεί τις σχέσεις: i Ν εκφρστεί η f ως συνάρτηση της f ii Ν δείξετε ότι < f < f γι κάθε > iii Αν Ε είνι το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = κι τον άξον, ν δείξετε ότι 4 < E < f () (Θέμ 4- ) wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 78 Δίνετι η συνάρτηση e f = e +, a Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν ρείτε την ντίστροφη συνάρτηση b Ν δείξετε ότι η εξίσωση f = έχει μονδική ρίζ το μηδέν f c Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ f d (Θέμ - ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 79 Δίνετι η συνάρτηση f, ορισμένη στο R, με τύπο f z + z = + z όπου z συγκεκριμένος μιγδικός ριθμός z = +i,, R, με lim f lim f a Ν ρείτε τ όρι, + b Ν ρείτε τ κρόττ της συνάρτησης f, εάν z+ > z c Ν ρείτε το σύνολο τιμών κι το πλήθος των ριζών της f ΘΕΜΑ 8, (Θέμ 3- ΕΠΑΝ ) Έστω η συνάρτηση f, ορισμένη στο R με δεύτερη συνεχή πράγωγο, που ικνοποιεί τις σχέσεις: f f f f f f = f = + =, κι a Ν προσδιορίσετε τη συνάρτηση f b Αν g είνι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού κι σύνολο τιμών το διάστημ [,], ν g( t) δείξετε ότι η εξίσωση dt = έχει μί μονδική λύση στο διάστημ [,] + f t () (Θέμ 4- ΕΠΑΝ ) ΘΕΜΑ 8 5 3 Έστω η συνάρτηση f = + + a Ν μελετήσετε την f ως προς την μονοτονί κι τ κοίλ κι ν ποδείξετε ότι η f έχει ντίστροφη συνάρτηση b Ν ποδείξετε ότι f ( e ) f (+ γι κάθε ) c Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο (,) είνι ο άξονς συμμετρίς των γρφικών πρστάσεων της f κι της f d Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον των κι την ευθεί με εξίσωση = 3 (Θέμ 3-3) wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 8 Δίνετι η συνάρτηση f = + a Ν ποδείξετε ότι lim f = + b Ν ρείτε την πλάγι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f, ότν το τείνει στο c Ν ποδείξετε ότι f + + f = ln d = + + d Ν ποδείξετε ότι (Θέμ 3- ΕΠΑΝ 3) ΘΕΜΑ 83 Δίνετι η συνάρτηση 3 f = f = κι g = e f, όπου f συνάρτηση πργωγίσιμη στο R a Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστο ξ b Εάν 3, τέτοιο ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = f = 3, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι = g d, R c Ν ρείτε το όριο lim ( ) ΘΕΜΑ 84 Ι (Θέμ 3-4) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοι ώστε f()= Αν γι κάθε χ R, ισχύει 3 g = z f() t dt 3 z+ ( ) όπου z = +i C, με, R*, τότε: z a Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο R κι ν ρείτε τη g b Ν ποδείξετε ότι z = z+ z c Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήμτος ν ποδείξετε ότι Re z = d Αν επιπλέον f()=>, f(3)= κι >, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (,3) τέτοιο ώστε f( )= (Θέμ 4-4) wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 85 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : µε f m 4 5 a Ν ρείτε τον m ώστε f γι κάθε R = +, όπου m R, m > b Αν m =, ν υπολογισθεί το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = (Θέμ - ΕΠΑΝ 4) ΘΕΜΑ 86 Δίνετι μι συνάρτηση f: [, ] R συνεχής στο διάστημ [, ] µε f() γι κάθε Re z > Im z [, ] κι μιγδικός ριθμός z µε Re( z), Im ( z) κι z a z = f < f Αν z+ = f ( ) κι z f ( ) b c Η εξίσωση 3 f ( ) f ( ) ΘΕΜΑ 87 + =, ν ποδείξετε ότι: z + = έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστημ (, ) (Θέμ 3- ΕΠΑΝ 4) = + t dt Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, + ) IR τέτοι, ώστε f f a Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ) b Ν ποδείξετε ότι f = e ( + ) c Ν ποδείξετε ότι η f() έχει μονδική ρίζ στο [, + ) lim f lim f d Ν ρείτε τ όρι ΘΕΜΑ 88 + κι (Θέμ 4- ΕΠΑΝ 4) Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f = e λ, λ > a Δείξτε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ b Δείξτε ότι η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f, η οποί διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, είνι η y = λe Βρείτε τις συντετγμένες του σημείου επφής Μ c Δείξτε ότι το εμδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείετι μετξύ της γρφικής πράστσης της f, της εφπτομένης της στο σημείο Μ κι του άξον y y, είνι e E ( λ ) = λ λ Ε( λ) d Υπολογίστε το lim + + ημλ (Θέμ 3-5) 3 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 89 Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη στο γι κάθε R κι f() = a Ν δειχθεί ότι: f b Ν ρεθεί το: + e = ln lim f ( t) dt ημ 5 c Δίδοντι οι συνρτήσεις: h t f t dt κι R τέτοι, ώστε ν ισχύει η σχέση f = e = Δείξτε ότι h() = g() γι κάθε IR 7 g = 7 d Δείξτε ότι η εξίσωση t f () t dt = έχει κριώς μί λύση στο (, ) 8 5 f (Θέμ 4-5) ΘΕΜΑ 9 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση a Ν δείξετε ότι: i f = ii f = b Ν ρείτε το λ R έτσι, ώστε: f :, γι την οποί ισχύει + λ( f) lim = 3 + ( f) f lim = 5 > γι c Αν επιπλέον η f είνι πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο στο R κι f f κάθε R, ν δείξετε ότι: i f > γι κάθε ii f d< f (Θέμ 4- ΕΠΑΝ 5) ΘΕΜΑ 9 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) = + με a Ν ποδείξετε ότι η f είνι b Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση f της f κι ν ρείτε τον τύπο της c i Ν ρείτε τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f κι με την ευθεί y = ii Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f f (Θέμ - 6) 4 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 9 + e Δίνετι η συνάρτηση f =, R + e + a Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί της στο R b Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ d f c Γι κάθε < ν ποδείξετε ότι: ( 5 ) ( 7 ) ( 6 f + f < f ) + f ( 8 ) (Θέμ - ΕΠΑΝ 6) ΘΕΜΑ 93 Έστω οι μιγδικοί ριθμοί z, που ικνοποιούν την ισότητ 4 z = z κι η συνάρτηση f με τύπο f = + +, R a Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών z νήκουν στην ευθεί = b Αν η εφπτομένη (ε) της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f στο σημείο τομής της με την ευθεί = τέμνει τον άξον yy στο y = 3, τότε i Ν ρείτε το κι την εξίσωση της εφπτομένης (ε) ii Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι μετξύ της γρφικής ΘΕΜΑ 94 πράστσης της συνάρτησης f, της εφπτομένης (ε), του άξον κι της 3 ευθείς = 5 Δίνετι η συνάρτηση f ln ( ) ( ) = + + ln με > a i Ν ποδείξετε ότι: ln ( + ) ln <, > ii Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (,+ ) b Ν υπολογίσετε το lim ln + + c Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικός ριθμός (,+ ) τέτοιος ώστε (Θέμ 3- ΕΠΑΝ 6) + = + (Θέμ 4- ΕΠΑΝ 6) 5 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 95 3 Δίνετι η συνάρτηση: = 3 f ημ θ π όπου θ μι στθερά με θ κπ +, κ a Ν ποδειχθεί ότι η f προυσιάζει έν τοπικό μέγιστο, έν τοπικό ελάχιστο κι έν σημείο κμπής b Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει κριώς τρεις πργμτικές ρίζες c Αν, είνι οι θέσεις των τοπικών κροτάτων κι 3 η θέση του σημείου κμπής της f, ν ποδειχθεί ότι τ σημεί Α(, f( )), B(, f( )) κι Γ( 3, f( 3 )) ρίσκοντι στην ευθεί y ημ θ = d Ν υπολογισθεί το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f κι την ευθεί y = ημ θ (Θέμ 3-7) ΘΕΜΑ 96 Έστω f μι συνεχής κι γνησίως ύξουσ συνάρτηση στο διάστημ [, ] γι την οποί ισχύει f() > Δίνετι επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημ [, ] γι την οποί ισχύει g() > γι κάθε [, ] Ορίζουμε τις συνρτήσεις: F = f() t g() t dt, [, ], G = g() t dt, [, ] a Ν δειχθεί ότι F() > γι κάθε στο διάστημ (, ] b Ν ποδειχθεί ότι: f G > F γι κάθε στο διάστημ (, ] F F c Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: γι κάθε στο διάστημ (, ] G G() d Ν ρεθεί το όριο: lim ( f(t)g(t)dt ) ( g(t)dt ) + 5 ημt dt (Θέμ 4-7) ΘΕΜΑ 97 Δίνετι η συνάρτηση: f ημ3, a Ν ποδειχθεί ότι lim f = 3 ν < = + + συν, ν π b Αν f = π κι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο σημείο =, ν ποδειχθεί ότι = = 3 π c Αν = = 3, ν υπολογισθεί το ολοκλήρωμ f ( ) (Θέμ - ΕΠΑΝ 7) 6 wwwsamarasinfo
ΘΕΜΑ 98 Δίνετι η συνάρτηση f e eln =, > a Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ (, + ) b Ν ποδειχθεί ότι ισχύει f e γι κάθε > + + 4 f t dt f t dt f t dt c Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση () = () + () έχει κριώς μί ρίζ στο διάστημ (, + ) + + 3 (Θέμ 3- ΕΠΑΝ 7) ΘΕΜΑ 99 Έστω f μι συνάρτηση συνεχής στο 3 R γι την οποί ισχύει 3 () f = + 3 f t dt 45 a Ν ποδείξετε ότι f = + 6 45 b Δίνετι επίσης μι συνάρηση g δυο φορές πργωγίσιμη στο R Ν ποδείξετε ότι g g h g = h h c Αν γι την συνάρτηση f του ερωτήμτος () κι τη συνάρτηση g του ερωτήμτος () g( + h) g + g( h) ισχύει ότι lim = f + 45 κι g h = g =, τότε h i 5 3 Ν ποδείξετε ότι g = + + + ii Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι ΘΕΜΑ (Θέμ 4-8) Έστω f μι συνεχής συνάρτηση στο διάστημ [, + ) γι την οποί ισχύει f > γι κάθε Ορίζουμε τις συνρτήσεις: F = f() t dt, [, + ), h F =, (, + ) tf () t dt t a Ν ποδείξετε ότι e [ f( t) + F() t ] dt = F() b Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (, + ) c Αν h =, τότε: () i Ν ποδείξετε ότι f () tdt< tf() tdt ii Ν ποδείξετε ότι Ftdt () = () F (Θέμ 4- ΕΠΑΝ 8) 7 wwwsamarasinfo