Prof. Dr. Niko THOMA Prof. As. Dr. Mersin SHENA Dr. Jorgo MANDILI Petrit ALIKO Mentor KUSHO VLOË 004
UNIVESITETI POLITEKNIK TIANË UNIVESITETI TEKNOLLOGJIK Ismail QEMALI UNIVESITETI Eqerem ÇABEJ GJIOKASTE ecensent Dr. Jorgo MANDILI edaktor shkencor Prof. As. Dr. Mersin SHENA Punoi ne kompjuter Mentor KUSHO Shtypur ne shtypshkronjen Argjiro Gjirokaster VLOE
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO P A A T H Ë N I E Ky tekst problemash dhe ushtrimesh të Elektromagnetizmit është i hartuar në radhe të parë për studentët e degës Matematik-Fizikë në Universitetin teknollogjik Vlorë dhe në Universitetin E. Çabej Gjirokaster si dhe për studentët e degëve inxinjerike të Universitetit teknollogjik Vlore dhe të Universitetit Politeknik të Tiranës. Në këtë tekst përmbahen 8 problemesh kryesisht të zgjidhura dhe te ndara ne dy pjesë. Në pjesën e parë jepen 9 problema të ndara në 8 kapituj në përshtatje me programin e Elektromagnetizmit, për to jepet një guidë e zgjidhjes si dhe njëhesimet matematike nderkohe që zgjidhja e plotë i lihet lexuesit. Në pjesën e dytë jepen 90 problema komplekse tërësisht të zgjidhura. Teksti është një plotësim i domosdoshëm për kursin teorik të Elektromagnetizmit, sepse konkretizon me modele tërësisht aspektet teorik.. Teksti mund të përdoret edhe nga studentët e degëvë të tjera ku zhvillohet lënda e Elektromagnetizmit si dhe nga mësuesit e fizikës të shkollave të mesme për të konkretizuar më mirë orët e mësimit me problema tipike për temat përkatëse Autorët Faqe 5.
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm Pjesa I Problema elementare. Bashkeveprimi elektrostatik I ngarkesave pikesore dhe me shperndarie lineare. Kater ngarkesa pikesore me vlere te njejte q, dy pozitive dhe dy negative jane vendosur ne kulmet e nje katrori me brinje a qe ndodhen ne planin yz, me shperndarje te treguar ne figure. Llogaritni forcen e ushtruar nga 3 ngarkesat e tjera mbi ngarkesen q te vendosur ne kulmin (a,a) dhe shprehjen e potencialit te fushes elektrostatike pergjat boshtit x. Z Tregoni qe ne largesi te medha fusha elektrostatike mbi boshtin Y (0;a;a) x eshte e njejte me ate te nje dipoli me moment p=4qauz te vendosur ne qender te katrorit.. a Vx=? X q u y u z 4 4 0 4a 4 4qa E ( x) u z, V ( x) 0 4 0 ( x a ) 3 / F q 4 0 4a mbi gjithe për x a ak sin. E ( x) 4qa P uz uz. 3 4 0 r 4 0 r 3 Faqe 6
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO. Kater ngarkesa pikesore pozitive dhe vlere te njejte q 0-8 C, jane vendosur ne kulmet e nje katrori me brinje a=0cm. Llogarisni forcen e ushtruar nga tre ngarkesat e tjera mbi ngarkesen e katert dhe shprehjen e potencialit te fushes elektrostatike pergjat boshtit x. Llogaritni energjise kinetike qe Z nevojitet per te cuar nje elektron Y pambarimisht larg me shpejtesi 0 nga nje pike e boshtit x ne distance x0=a nga qendra a. Vx=? X F, 0 4 (u y u z ) N E ( x) 4qx ux, 4 0 ( x a )3 / V ( x) 4q 4 0 ( x a ) / Ek 3,45 0 6 J 58eV..3 Kater ngarkesa pikesore me vlere te njejte q=0-8 jane vendosur ne kulmet e nje katrori me brinje a=0cm. Njehsoni energjine potenciale elektrostatike te sistemit dhe punen e nevojshme per te spostuar nje nga ngarkesat nga pozicioni P ne piken P te ndodhur ne qender te brinjes sic eshte P a tregur ne figure. P qi q j q Ue i 4,87 0 5 J rij 4 0 a W,97 0 5 J. Faqe 7
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm.8 Nje grimce me mase m=0-3 kg dhe me ngarkese q 0-0 C eshte vendosur ne qender te nje unaze me rreze =0cm, ku eshte shperndar njetrajtesisht ngarkesa q 0-8 C. grimca spostohet me x0=0,5cm pergjat boshtit dhe leshohet. Te tregohet qe grimca lekundet me levizje harmonike rreth origjines dhe te percaktohet perioda T e lekundjeve te lehta dhe energjia kinetike e grimces kur kalon nga origjina. q0 X Fusha mbi aksin e unazes, per ( x / ), eshte: qx ; E( x ) 4 0 3 forca qe vepron mbi q0 eshte pothuajse lineare me largesine nga e cila levizja eshte harmonike, dhe jepet me ekuacionin dx qq 0 m x0 4 0 3 dt frekuenca kendore eshte: qq 0 / 4 0 m 3 dhe perioda T / 66,s ndersa energjia kinetike ka vleren: E k,3 0 0 J Faqe 8
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO. Bashkeveprimi elektrostatik I ngarkesave me shperndarie siperfaqesore. Nje ngarkese q=,39 0-8C eshte shperndar me densitet siperfaqesor te njetrajtshem mbi nje kurore rrethore te sheshte me rreze te brendshme =0cm dhe rreze te jashtme =30cm. Percaktoni shprehjet e fushes elektrostatike E(x) dhe te potencialit V(x) mbi boshtin e kurores. Te llogaritet energjia kinetike me te cilen nje elektron I lene I lire ne nje pike P me koordinata x=0cm arrin qendren O dhe forcen vepruese mbi nje dipol elektrikme me moment p=poux, me po=0-0cm, te vendosur ne O. dhe ne fund te llogaritet frekuenca e lekundjeve te vogla pergjat boshtit x perreth qendres O te nje grimce me mase m e ngarkese q. Densiteti i ngarkeses eshte: q / ( ) 8,86 0 8 C / m potenciali per kete densitet jepet: V( x ) x x 0 dhe intensiteti i fushes: x u x E( x ) 0 x x E k 07,eV E 8,33 0 7 N F p0 p0 0 x x 0 Faqe 9 P X
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm F( x ) q 0 E ( x ) m x x 0 E( x ) x 0, / ( )q 0 / m 0....8 Ne nje zone te hapesires potenciali elektrostatik eshte dhene nga shprehja V=V0(xy) me V0=07V/m. Nje grimce me raport ngarkese mbi masen te barabarte me q/m=5 06 C/kg gjendet ne castin t=0 ne piken A me koordinata (x0,0) me shpejtesi v=v0.uy; vlerat numerike jane x0=cm, v0=05m/s. Percaktoni trajektoren e grimces. y Ekuacionet e levizieve jane v0 d x V X m qe x q qv0 x, dt x x0 dy V m qe y q qv0 y dt x duke pasur parasysh kushtet fillestare zgjidhjet shkruhen v x x 0 cos t, me y 0 sin t qv0 / m 0 rad / s. 7 Meqenese trajektorja eshte nje rreth me rreze x0 Faqe 0 x0 v0 /
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 3. Bashkeveprimi elektrostatik I ngarkesave me shperndarie vellimore 3. Nje ngarkese pikesore q=,5 0-8C gjendet ne mesin e planit te pafundem dhe te ngarkuar uniformisht me densitet 0 8 C / m 3 dhe trashesi d=cm. Te llogaritet puna e kryer nga forcat e fushes elektrostatike per te transportuar ngarkesen q ne nje pike P, e vendosur ne ekstrem te zones se ngarkuar dhe ne distance h=3cm nga plani me I afert. Perdorim teoremen e Gausit x d per 0 x, E ( x) ux, 0 d d per x, E ( x) ux 0 d, 8 0 dh V (d / ) V (h) 0 V (0) V (d / ) 0 P h X d V 0,4V, W 0,6 0 8 J 3. Nje ngarkese eshte shperndar ne brendesi te nje sfere me rreze me densitet jo uniform p(r)=c/r, c eshte nje kostante. Te percaktohen shprehjet e fushes elektrostatike E(r) dhe te potencialit V(r) per 0 r. Faqe
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm.. 3.8 Brenda nje cilindri me rreze eshte hapur nje vrime cilindrike paralele me boshtin, me rreze a /4; distanca midis boshtit te cilindrit dhe boshtit te vrimes eshte b. Nqs. cilindri eshte I ngarkuar me densitet kostant, te llogaritet si ndryshon fusha elektrostatike ne vrimen pergjat bashkimit te dy b boshteve. Perseritni llogaritjet per nje a vrime sferike me rreze a me distance b nga qendra e nje sfere njetrajtesisht te r ngarkuar me rreze. Fusha elektrostatike ne vrime mund te mendohet si shuma e fushes te nje cilindri me rreze te ngarkuar pozitvisht, dhe e fushes se nje cilindri qe ka dimesionet e vrimes, te ngarkuar negativisht. Ne distance r nga qendra pergjat vijes se bashkimit te dy akseve r b E ur (r b)u r u r, e pa varur nga r. 0 0 0 b Ne menyre analoge marim per sferen E ur. 3 0 3.9 Te tregohet qe funksioni V(x,y)=axbxy-ay, me a dhe b kostante, mund te paraqese nje funksion potencial. Te percaktohet fusha elektrostatike dhe densiteti I ngarkeses (x, y). Faqe
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO V V Llogaritet fusha elektrostatike E, x y dhe vertetojme qe E y E E E u z 0. Dhe E x y 0 E x x x y y dhe keshtu ( x, y ) 0. Shikohet edhe qe funksioni i propozuar eshte zgjidhja e ekuacionit te Laplace (Laplasi Faqe 3
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm Faqe 4
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 4. Potenciali reciprok dhe kapaciteti 4. Dy sfera percjellese S dhe S, me rreze dhe, jane vendosur ne boshllek ne nje distance x midis qendrave shume te madhe ne krahasim me dhe. Sfera S, e izoluar, ka nje ngarkese q dhe sfera S eshte mbajtur ne potencial V ne krahasim me infinitin. Te llogaritet potenciali V (x) I sferes S, ngarkesa q (x) e sferes S dhe forca F(x) midis sferave ne funksion te distances x. q V V ( x) nga ku: q q ( x), V 4 0 x 4 0 q, x q V V ( x), 4 0 x x q q ( x) q q F ( x) 4 0V. x 4 0 x 4 0 x q ( x) 4 0 V Faqe 33 X>>; q ( x) q x
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm 4. Nje kondensator eshte formuar nga dy pllaka katrore me brinje me nje pjresi shume te vogel si ne figure, ne menyre te tille qe d<<d dhe keshtu drejtimet e forces mund te kunsiderohen paralel. Te llogaritet kapaciteti I kondensatorit ne funksion te d/d dhe te C0, kapaciteti me pllakat ne resht. Me hipotezen qe C0=0,5 F, d/d=0, dhe qe kondensatori ka ngarkesen q=0-4c, te llogaritet puna e d nevojshme per te rjeshtuar pllakat, me ngarkese kostante. d dc 0 ds, s sin x, sin tg d, d x 0 dx dx dx, dc ; ds d d x sin d Marim ne konsiderat te gjith kondensatoret elementar si te lidhur ne parallel dhe gjejme kapacitetin si integralin e dc. d d C0 d d, C dc ln d d d d me C 0 0 x d ds d s d d x. d q q q C U s,35 0 4 J C C 0 C C 0 E njejte me punen e kryer per te cuar pllakat paralelisht. Faqe 34
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 5. Bashkeveprimi elektrostatik ne dielektrik 5. Ne nje material dielektrik me kostante dielektrike relative k=3 egziston nje fushe elektrostatike uniform. 3 E= 0 V/m. Mbi dielektrikun eshte hapur nje zgaver e gjate dhe e holle, e orientuar kundrejt E si ne figure. Te llogaritet fusha elektrostatike E ne brendesi te zgavres nqs. =300. Nga E cos E cos dhe ke sin sin, Gjejme 600, E 3,46 03 J E E β κ α E 5. Nje kondensator I rafshet me pllaka katrore me siperfaqe Σ=400cm distanca d=mm, eshte mbushur gjysem me mike (k=5) dhe gjysem me parafine (k=). Te llogaritet kapaciteti I kondensatorit. Nqs ushtrohet nje d.p. V= 03V midis pllakave te llogaritet densiteti I ngarkeses mbi pllaka, densiteti I ngarkeses I polarizimit mbi siperfaqet e dielektrikut, energjia elektrostatike e kondensatorit. V C 60, pf ; E 06V / m, 0 ke 4,43 0 5 C / m, Faqe 35
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm 0 k E,77 0 5 C / m, k 3,54 0 5 C / m, k k 8,86 0 6 C / m, k p p W,4 0 3 J 5. Nje cilinder I vogel me material dielektrik (k=3) eshte vendosur ne distance r=5 nga qendra e nje sfere percjellese te izoluar me rreze =cm, me potencial V= 04V. Vellimi e cilindrit eshte =0mm3 dhe permasat e tij jane te pa rendesishme ne krahasim me. Te llogaritet forca qe vepron mbi cilindrin. P r Fusha ne brendesi eshte E E 0 P 0, me P 0 E, nga k E 0, dhe momenti I dipolit te cilindrit eshte k k q, forca mbi p P ; E 0 q / 4 0 r dhe p k 4 r de k q dipol eshte F p 0, ne terheqje dr k 8 0 r 5 ku P 0 Ngarkesa e sferes eshte q 4 0 V dhe perfundimisht F 9,44 0 5, r5 me r 5 Faqe 36 F 3,08 0 8 N
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 6. Levizia e orjentuar e ngarkesave elektrike, rryma dhe rezistenca elektrike 6. Nje pershpejtus linear pershpejton elekrtonet deri ne energjine Ek=45GeV. Paisja funksionon ne rregjim impulsiv ne cdo impuls qe zgjat s jane pershpejtuar N=04 elektrone; frekuenca e perseritjes eshte =500Hz. Njehsoni intensitetin maksimal te rrymes imax dhe ate mesatar imes te tufes se elektroneve, fuqine maksimal Pmax dhe mesatar Pmes. Ne hipotezen qe tufa ka nje diameter d=3mm njehsoni pervec densitetit maksimal te rrymes jmax dhe mesatar jmes, densitetin maksimal dhe mesatar te elektroneve. Te supozohet qe elektronet kane shpejtesi c=3 08 m/s. imax Ne / 6 A, imes NE / T 8 0 3 A 8mA ; Pmax Vimax 45 0 9 6 7, 0W 70GW, Pmes Vimes 3, 0 8 W 3600 MW ; d / 4, j max imax /.6 0 6 A / m, j mes.3 0 3 A / m, j nec, (ne) max j max / c 7.53 0 3 C / m 3, (ne) mes 3.77 0 6 C / m 3 6.5 Ne qarkun ne figure 5V, =, =4, 3=8, 4=, 5=5, C=3 F. Te llogaritet d.p.vb-va ne kushte te qendrueshme dhe nqs zgjidhet gjeneratori, ne sa kohe i i i 3 C ngarkesa e kondensatorit behet sa nje e A B 5 dhjeta e asaj fillestare 4 Q Faqe 43
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm ek 5 34 5 i / ek 3 A, ( )( 3 4 ) 5, 3 4 3 i 3 4 i i i i i A, i A V A VQ i 8V, V B VQ 4 i V, VB V A 6V ; ( 3 )( 4 ) eshkarkimit 3,6, 3 4 eshk. C 0,8 s, t ln 0 4,9 s 6.6 Celesi T I qarkut ne figure mbyllet kur VC dhe 3 hapet kur VC. ezultati eshte se Vc ka sjelljen e treguar 3 si ne figure. Nqs =40, =0, C 0-6 F. Te llogaritet sa eshte koha e karikimit tc, koha e shkarkeses ts, dhe perioda e V lekundjes. C T C VC 3 3 Ngarkimi behet permes rezistencave, dhe Vc kalon vleren / 3 per kohen t dhe arin vleren / 3, per kohen t ; c C 00 s, Faqe 44
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO t c t t c ln 69,3 s ; shkarkimi shkarkimi fillon nga / 3 deri ne / 3, dhe behet permes rezistences, s C 0 s, t s s ln 3,9 s, T t c t s 83, s, / T,0kHz. Faqe 45
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm 7. Levizja e grimcave te ngarkuara ne fushe elektrike dhe magnetike 7. Nje proton me energji kinetike Ek=6MeV hyn ne nje zone te hapesires ne te cilen egziston nje fushe magnetike B=T, pingul me planin e trajektores, duke formuar me aksin y kendin =30o. Te llogaritet y kendi, nga drejtimi I daljes me B aksin y dhe largesine pergjat y i pikes se daljes dhe asaj te hyrjes. ' r ' y, 30 0 ; Y B E K 6 MeV 9,6 0 3 J, p mv mek 5,67 0 0 kgm / s, r mv / qb 0,354m, y r sin 0,3554m. 7. Nje proton me energji kinetike Ek=50MeV leviz pergjate aksit x dhe hyn ne nje fushe magnetike B=0.5T, pingule me planin xy dhe del nga x=0 ne x=l=m. Njehsoni ne dalje te fushes, kendin qe shpejtesia e protonit formon me aksin x dhe koordinaten y te pikes se daljes nga fusha. y Ek 50 MeV 8,0 0 J, mv mek,64 0 9 kgm / s r mv / qb,04m, sin L / r 0,489, 9,30, y r ( cos ) 0,6m Faqe 46 L v x r r v
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 7.3 Nje spire drejtekendeshe e ashper, me brinje PQ=S=a=0cm e Q=SP=b=0cm, ka nje mase per njesi gjatesie =5 0-g/cm dhe pershkruhet nga nje rryme i. Ajo mund te rrotullohet pa ferkim perreth PQ qe eshte paralel me aksin horizontal. Kur mbi spire vepron nje fushe magnetike uniforme dhe vertikale B=Buz me B= 0-T, ajo rrotullohet me nje kend =30o. Te llogaritet vlera e rrymes I dhe puna W te kryer nga forcat magnetike pergjat rrotullimit. M m B iabb cos u x, b M peso (a b) g sin u x, ne ekuiliber g a b M M peso 0, i tg. A ; B a 30 0 0 0 B Z P Q X y S W Md iabb cos d iabb sin 30 0 4.4 0 4 J Faqe 47
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm 8. Bashkeveprimi I perciellsave me rryme elektrike 8. Nje bobine e ashper katrore me brinje a=cm, e formuar nga N=0 spire te ngjeshura, eshte pershkruar nga nje rryme ib=a dhe eshte vendosur ne distance y nga nje fije e pafundme qe pershkruhet nga nje rryme i=50a. Kahet e rrymes jane treguar ne figure. Te llogaritet forca magnetike F(y) qe vepron mbi bobine, tregoni se per y>>a F m db/dy, nqs m eshte momenti magnetik I bobines dhe B fusha e fijes. Te llogaritet gjithashtu puna W e kryer nga forca magnetike per te spostuar bobinen nga y=cm ne y=cm dhe y S pune W te kryer nga forca ib magnetike per te rrotulluar me 800 Q P y bobinen, y=y3=0cm. i x Nii a Nii a u y 0 b F FPQ FS 0 b uy ; y y a y ( y a ) per y a F 0 Niib a uy, y duke shenuar m Nib a dhe B 0 i / y, do te kemi: F m db / dy, y y y 0 Niib a W Fdy y dy y( y a) 0 Niib a y ( y a) ln 3.4 0 6 J y ( y a ) W U P mb( y 3 ) Nib a Faqe 74 0i.6 0 6 J y 3
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 8.3 Te konsiderohet nje percjelles me zgaver me te njejtat permasa te atij te problemin me siper por me nje zgaver tjeter te njejte me te paren dhe te vendosur sistematikisht perkundrejt aksit; qendrat e zgavrave jane ne aksin y. Percjellesi eshte pershkruar nga nje rryme e shperndare njetrajtesisht. Cirkulacioni I fushes magnetike pergjat nje rrethi me rreze h=.5cm koncentrike me percjellesin eshte ( B ) 0 5 Tm. Te llogaritet densiteti I rrymes j, fusha magnetike B ne pikat P(h,0) dhe P(0,h), shprehja e fushes magnetike ne distance r>>d. y P a i ( B ) / 0 8 A, j i / (a b 6,67 0 A / m ; i j a 8,38 A, i j b 0,9 A, 3 ne P B 0 i h i h h d u y Bu y, ne P 0 i i i u x B u x, h h d h d B 0.634 0 4 T per h d ne modul B B b 0 i i 0 i h h Faqe 75 d P x d P y B B B B P B 0.644 0 4 T ; B b B x B
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm Pjesa II Problema komplekse. Një galvanometër përbëhet nga një bobinë me n = 0 spira në formën e një drejtëkëndëshi me brinjë a = cm dhe lartësi h = cm. Bobina ndodhet në një fushë magnetike B = 0, T të drejtuar në mënyrë të tillë që të jetë gjithnjë në planin e spirë kur ajo rrotullohet. Bobina është lidhur me një sustë me konstante elastike K = 3,3 0-8 Nm që ekuilibron momentin e tij të forcës magnetike në mënyrë të tillë që një rrymë I = 0- A t i shkaktojë një devijim që matet nga këndi. Të përcaktohet çfarë këndi jep një një rrymë 0- A ZGJIDHJE Momenti magnetik që vepron në kontur është: Pm = I.S.n sepse kemi n spira. Momenti i forcës që vepron në këtë rast mbi konturin që ndodhet në fushë magnetike është: M = Pm.B sin θ ku me θ kemi shënuar këndin që formohet midis Pm dhe B, i cili është 900 Atëhere momenti i forcës është: M = I.S.n.B Ky moment force ekuilibrohet nga momenti i përdredhjes K. Duke barazuar kemi: K. = I.S.n.B I S n B I a h n B nga ku: K K Faqe 76
N. THOMA 0 4 M. SHENA A 0 m 0 3, 3 0 8 J. MANDILI n m m 0 0, T P. ALIKO M. KUSHO 8 0 8, 4 3, 3 0 8. Një magnet i vogël është vendosur në një fushë magnetike me 0, T. Momenti maksimal i ushtruar mbi magnetin është 0, Nm a) Sa është momenti magnetik i magnetit? b) Nëse gjatësia e magnetit është 4 cm, sa është ngarkesa magnetike qm? ZGJIDHJE a) Duke shënuar me M momentin e forcës të ushtruar mbi një magnet të ndodhur në fushë magnetike shkruaj që: M Pm B Në vlerë absolute: M = Pm B sin α Vlera maksimale e momentit arrihet për sinα = do me thënë për këndin α = 900 dhe në këtë rast shkruaj: Lmax = Pm B M 0, Nm nga ku Pm max Am B 0,T b) Lidhja midis momentit magnetik Pm të magnetit, gjatësisë së tij l dhe ngarkesës magnetike qm jepet me formulën: Pm = qm l Pra: P qm m 00 50 Am l 4 0 3. Një bobinë e vogël rrethore me 0 spira ndodhet në një fushë magnetike uniforme B = 0,5 T në mënyrë që pingulja me planin e bobinës formon këndin 600 me drejtimin e Faqe 77
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm induksionit. rezja e bobinës është 4 cm dhe aty kalon rryma 3 A. a) Sa është moduli i momentit magnetik të bobinës? b) Sa është momenti që ushtrohet në bobinë? ZGJIDHJE (a) Kemi zbatim të thjeshtë formule: Momenti magnetik i bobinës është: Pm=n.I.S n.i..r= 0.3A. (4.0-m)= 60.3,4.6 0-4 Am = =304,4.0-4 Am = 0,3 Am (b) Momenti i forcës që ushtrohet në bobinë është: M = Pm B sinα Atëhere: M = 0,3 Am 0,5 sin 600 = 0,3 Am 0,5 T 0,866 = 0,99 Nm 0.Një ngarkesë elektrike q= 0-5 C futet pingul me një fushë magnetike të njëtrajtëshme B = T me shpejtësi v = 000 m/s. Të provohet që trajektorja e ngarkesës është rreth dhe të gjendet perioda e rrotullimit. Masa e ngarkesës është m = 0-8 kg. ZGJIDHJE Meqënëse midis ngarkesave vepron vetëm forca e Lorencit pingul mbi shpejtësinë, lëvizja do të jetë rrethore dhe forca e Lorencit jep forcën qendërsynuese. Shenojmë r rrezen e rrethit. Forca e Lorencit jepet: FL = qvb sepse v është poingul me B. Kurse forca qendërsynuese është: Faqe 78 FL v
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO m v FL r mv mv nga ku del: r r qb Nga lëvizja rrethore dimë që: v qb dhe duke zëvëndësuiar r-në gjejmë: r m dhe meqë: mund të shkruajmë: T qb m nga ku del: T T m qb Pra: qvb Zëvëndësimi numerik: T 0 8 0 3 sek 5 0 40.Në figurë paraqitet një cilindër druri me masë m = 0,5 kg dhe gjatësi l = 0, m. Gjatë ciliondrit janë mbështjellë N = 0 spira në mënyrë që plani i çdo spire të kalojë nga boshti i cilindrit. Sa është vlera më e madhe e rrymës që cilindri të mos rrokulliset në planin e pjerrët që formon këndin θ me horizontin. Dimë që plani i spirave është parallel me planin e pjerrët dhe fusha B = 0,5 T është drejtuar vertikalisht lart. ZGJIDHJE Në cilindër veprojnë dy momente:. Momenti i forcave të rëndesës që tenton ta rrotukullisë cilindin poshtë. Faqe 79
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm. Momenti i forcave të Amperit që duke vepruar në kuadrin A A A3 A4 tenton ta mbajë cilindrin në ekuilibër. A A3 A K C mg A4 FIG. FIG. Pra në ekuilibër kemi: MG = MA Për momentin e forcave të rëndesës shkruajmë: M G mg C K mg sin për momentin e forcave të Amperit shkruajmë: M A Pm B sin NISB sin Atëhere: mg sin NISB sin mg mg mg Nga ku gjejmë: I NSB N B N B 0,5kg 9,8 m s,45 A Zëvëndësim numeric: I 0 0,m 0,5T 67.Një bobinë që ka N=00 spira drejtëkëndëshe me brinjë a = 3 cm dhe b = 4cm, është vendosur në një fushë magnetike uniforme B = T me planet e spirave pingul me fushën magnetike. Në skajet e bobinës lidhet një rrezistencë Faqe 80
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO = 0 Ω. Të gjendet vlera e ngarkesës totale që kalon nëpër rezistencë kur bobina do të dalë nga fusha për ta shpënë në ds dr n jë zonë ku fusha është zero. dt dt ZGJIDHJE Kur bobina del nga fusha ndyshon fluksi magnetik dhe induktohet f.e.m. Si rrjedhim bobina përshkohet nga një ngarkesë e caktuar. Atëhere zbatojmë ligjin e induksionit elektromagnetik: d d BS SdB i dt dt dt dt nga këtu nxjerrim: db i S Duke integruar marrim: t t t q B i dt Idt Idt dq S 0 S0 S 0 S S dhe nga B q nxjerrim ngarkesën e kërkuar: S BS 3 0 4 0 q 0 5 C 0 68.Një spirë në formë katrore me brinjë a = 0 cm dhe masë m = 50 gr është vendosur pingul në një fushë magnetike horizontale me B = T në të cilën është futur pjesërisht. Në rastin në të cilën spira bie me një shpejtësi v = 80 cm/s të gjendet: a rryma e induktuar nëse rezistenca e saj është 0,5 Ω. dhe b shpejtësia që duhet të marrë spira nëse Faqe 8
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm mbi të do të zbatohet një forcë magnetike e barabartë me forcën e rëndesës së saj. ZGJIDHJE Kërkesa a Zbatojmë në fillim ligjin e induksionit elektromagnetik: d d BS d Bax dx i Ba Bav dt dt dt dt Nga ana tjetër di që rryma në qark jepet: i Bav 0, 0,8 A I 0,5 0,64 x v Kërkesa b Duke u nisur nga përfundimi i sapogjetur: i = B a v dhe fakti që i = I shkruaj: I = B a v nga ku nxjerrim rrymën që përshkopn kuadrin: I Bav Nga ana tjetër di që forca e rëndesës duhet të ekuilibrohet nga forca e fushës magnetike që kuadri të lëvizë me shpejtësi konstante. Pra: Fm = I B a = mg Bav Atëhere: Ba mg mg 0,05 9,8 0,5 Përfundimisht: v,53m / s Ba 0, Faqe 8
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 8.Një përcjellës metalik me masë m rrëshqet pa fërkim mbi dy shina në distancë d nga njëra tjetra si në figurë. Përcjellësi metalik gjëndet në një fushë msgnetike të njëtrajtshme vertikale B. a) Gjeneratori G prodhon një rrymë konstante që përshkon qarkun. Gjeni shpejtësinë e lëvizjes së përcjellësit duke supozuar që në çastin t = 0 përcjellësi është në prehje. b) Zëvendësojmë gjeneratorin me një bateri me f.e.m. konstante. Shpejtësia e përcjellësit në këtë rast tenton drejt një vlere kufi. Sa është vlera e shpejtësisë kufi? c) Sa është intensiteti i rrymës, kur përcjellësi arrin shpejtësinë kufi ZGJIDHJE a) Forca e fushës magnetike që vepron mbi përcjellësin është F i d B Nxitimi që fiton përcjellësi metalik është F i B d a m m Kahu i forcës (që gjëndet me rregulline dorës së majtë) është majtas. Lëvizja e përcjellësit është njëtrajtësisht e nxituar. i B d Pra kemi v v0 a t a t t m b) N.q.s. paisja ushqehet nga një bateri me forcë elektromotore konstante, intensiteti i rrymës nuk mund të Faqe 83
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm jetë konstant, por do të varet nga shpejtësia v me të cilën zhvendoset përcjëllësi. Përveç f.e.m., në qark lind dhe një f.e.m. d ' B B v d dt c) Intensiteti i rrymës në qark është ' B v d i ku është rezistenca e plotë qarkut. Mbi këtë përcjellës me rrymë i vepron forca B d B d v F B i d Nxitimi me të cilin lëviz përcjellsi metalik është F B d B d v a M m m Shpejtësia e lëvizjes së njëtrajtëshme (shpejtësia kufi) arrihet kur a 0 Pra do të kemi: B d B d v m m ku v B d N.q.s nxitimi a = 0, rrjedh që i = 0 N.q.s. nuk përfillim fërkimet, intensiteti i rrymës në B d funksion të shpejtësisë është i v Grafiku i këtij funksioni ështe një vijë e drejtë Faqe 84
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 83.Një fushë magnetike uniforme B zbatohet nomal mbi bazën e një cilindri me rreze. Një shufër metalike me gjatësi l vendoset si në figurë. Nqs B ndryshon me kohën, tregoni që f.e.m. që zbatohet ndërmjet skajeve të shufrës jepet nga formula db dt ZGJIDHJE Për shkak të simetrisë qëndrore, vijat e forcës së fushës elektrike, të lindura nga ndryshimi i fushës magnetike, janë rrathë bashkëqëndrorë si në figurën. Dimë që cirkulacioni i intensitetit të fushës elektrike është i barabartë me f.e.m. të induktuar. 0 i E dl L db r E r dt Prej nga rrjedh r db E r dt Përbërsja e fushës elektrike sipas drejtimit të shufrës është: y y db E X E r r dt ku y është largësia e shufrës nga boshti i cilindrit r Y Faqe 85
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm Forca elektromotore që zbatohet ndërmjet dy skajeve të shufrës përftohet duke integruar përbërësen EX mbi të gjithë gjatësinë e përcjellësit db Ex dx dt 89.Një bobinë me induktancë 6,0 0-6 H lidhet në seri me një rezistencë,0 0-3 a) N.q.s sistemit i lidhet një bateri prej 0V, sa kohë duhet që rryma në rezistencë të arrijë 80% të vlerës së saj finale? b) Sa është rryma në rezistencë mbas konstantes së kohës? ZGJIDHJE a) Konstantja e kohës për qarkun është l 6 0 3 s t Sipas ekuacionit i e i zbatuar për çastin t kur vlera e rrymës të jetë 80% e vlerës finale, kemi: t prej nga 0,8 e t ln 0, 9,67 0 3 s b) Mbas një kohe t rryma arrin vlerën i 0,63 i d.m.th 63% e rrymës finale. Faqe 86
N. THOMA M. SHENA J. MANDILI P. ALIKO M. KUSHO 90.Një bobinë me induktancë prej,0 H dhe rezistencë 0 lidhet shpejt me një bateri me re zistencë të brendshme zero dhe me = 00V. Mbas 0, s të realizimit të lidhjes si ndryshojnë me kohën: a) energjia e akumuluar në fushën magnetike b) nxehtësia e Zhulit c) energjia e dhënë nga bateria ZGJIDHJE ryma ndryshon me kohën sipas ligjit i ku i 0 A, L 0, s e t Kështu që mbas një kohe t = 0,s rryma arrin vlerën i=3,93a. a) Energjia e akumuluar në fushën magnetike është WB L i 5,48 J b) Fuqia që zhvillohet në rezistencën për efekt të Zhulit është: P i ( e t Kështu që nxehtësia e Zhulit do të jetë: t t t Q Pb dt t e,3j, t t t zbatim numerik Q = 5,8 J Faqe 87
Problema të zgjidhura në Elektromagnetizëm c) Energjia e dhënë nga bateria do të jetë integrimi në kohë i fuqisë së dhënë nga vetë ajo Pb = i Pra t Wb Pb dt t Faqe 88 t e t t t,3j