ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ Κβάντιση και Κωδικοποίηση ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Χειμερινό Εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνίων Νικόλαος Χ. Σαγιάς Αναπληρωτής Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15 e-mail: nsagias@uop.gr 8/10/018 8:5:46 πμ

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα σήματα Δειγματοληψία Ιδανική Φυσική Κβάντιση Ομοιόμορφη Ανομοιόμορφη Διαφορική Κωδικοποίηση Παλμοκωδική διαμόρφωση Διαφορική παλμοκωδική διαμόρφωση Δέλτα διαμόρφωση Προσαρμοστική δέλτα διαμόρφωση Σίγμα-Δέλτα διαμόρφωση Σύγκριση συστημάτων Πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου Διαμόρφωση βασικής ζώνης Διαμόρφωση πλάτους παλμών (PAM) Διαμόρφωση θέσης παλμών (PPM) Άλγεβρα σημάτων Δέκτες Αποδιαμορφωτές Ανιχνευτές Επιδόσεις συστημάτων PAM και PPM Σύγκριση συστημάτων Κανάλια περιορισμένου εύρους ζώνης Διασυμβολική παρεμβολή Διάγραμμα οφθαλμού Σχεδίαση άριστων φίλτρων Επιδόσεις συστήματος PAM Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης Σύμφωνο ASK, PSK, FSK Ασύμφωνο ASK, PSK, FSK Ψηφιακές Επικοινωνίες

Κβάντιση Κβάντιση: Διαδικασία μετατροπής σήματος συνεχών τιμών πλάτους και διακριτού (ή συνεχούς πχ μετά από δειγματοληψία και κατακράτηση) χρόνου, x d [n], σε σήμα διακριτών τιμών πλάτους και διακριτού (ή αντίστοιχα συνεχούς) χρόνου, x q [n], (κβαντισμένο σήμα) Η κβάντιση είναι διαδικασία Μη γραμμική Μη αναστρέψιμη Η κβάντιση μπορεί να είναι Ομοιόμορφη (uniform) Μη ομοιόμορφη (nonuniform) σήμα διακριτού χρόνου ADC κβαντισμένο σήμα αναλογικό σήμα Δειγματολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής ψηφιακό σήμα Ψηφιακές Επικοινωνίες 3

Ομοιόμορφη Κβάντιση Στάθμες κβάντισης (quantization level): Οι τιμές στις οποίες στρογγυλοποιούνται οι τιμές του σήματος διακριτού χρόνου Βήμα κβάντισης (quantization step): Η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών σταθμών κβάντισηςδ Ειδικότερα, για ομοιόμορφη κβάντιση Δ x max και x min : η μέγιστη και ελάχιστη τιμή των σταθμών κβάντισης (L: πλήθος σταθμών κβάντισης, R = x max -x min : δυναμική περιοχή προσδιορίζεται από το εύρος των τιμών του σήματος,) Η διαφορά μεταξύ αρχικής και κβαντισμένης τιμής ονομάζεται σφάλμα κβάντισης (quantization error) e q [n] = x q [n] x d [n] Το σφάλμα κβάντισης περιορίζεται στην περιοχή eq [ n] Δ 0.15 Δ 1.75 161 Για σταθερό R, αύξηση του L οδηγεί σε ελάττωση του Δ και άρα, σε μείωση του σφάλματος κβάντισης 0.5 x max 1 0-1 -1.75 x min Ψηφιακές Επικοινωνίες 4

Ομοιόμορφη Κβάντιση Παράδειγμα κβάντισης σήματος διακριτού χρόνου: Θεωρούμε το σήμα x d [ n] n 1 0.9, n = 1,,3, K = 0, αλλιώς Δεδομένου ότι x d [1] x d [n], προκύπτει ότι x max = 1 Δεδομένου ότι x d [n ] 0, προκύπτει ότι x min = 0 Θεωρώντας επίσης L = 11, προκύπτει ότι Δ = 0.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 Αρχικό σήμα Κβαντισμένο σήμα x d [n] = 0.9 n-1, n = 1,, 3,... x max = 1 x min = 0 L = 11 Δ = 0.1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 n Σήμα διακριτού χρόνου Κβαντισμένο Σφάλμα 1 1 1 0 0.9 0.9 0 3 0.81 0.8-0.01 4 0.79 0.7-0.09 5 0.6561 0.7 0.0439 6 0.59049 0.6 0.00951 7 0.531441 0.5-0.031441 8 0.478969 0.5 0.017031 9 0.4304671 0.4-0.0304671 Ψηφιακές Επικοινωνίες 5

Ομοιόμορφη Κβάντιση round! " x q [n] έξοδος στάθμες κβάντισης Χαρακτηριστική μεταφοράς κβαντιστή μέσου πατήματος με 8 στάθμες 9 7 5 3 3Δ Δ Δ -Δ 3 5 7 στάθμες απόφασης είσοδος x d [n] -Δ -3Δ -4Δ R = 8 Δ: περιοχή του κβαντιστή Τύποι κβαντιστών: Μέσου πατήματος (midtread) Μέσης ανύψωσης (midriser) Παράδειγμα: Για τιμή του σήματος εισόδου στο διάστημα [ Δ/, Δ/), η έξοδος του κβαντιστή θα είναι 0 στάθμες απόφασης στάθμες κβάντισης -4Δ -3Δ -Δ -Δ 0 Δ Δ 3Δ Ψηφιακές Επικοινωνίες 6

Ομοιόμορφη Κβάντιση Κβαντιστής σήμα διακριτού χρόνου κβαντισμένο σήμα x d [n] x q [n] = x d [n] + e q [n] x d [n] Κβαντιστής x q [n] e q [n] Μοντέλο προσθετικού θορύβου κβάντισης Μέση ισχύς σήματος εισόδου $% & ' ( Μέση ισχύς θορύβου κβάντισης $% ) & ( Λόγος ισχύος σήματος προς θόρυβο κβάντισης (signal-to-quantization-noise power SQNR) *+,- $ % $% ) Ψηφιακές Επικοινωνίες 7

Ομοιόμορφη Κβάντιση Για σήμα εισόδου εκτός της περιοχής λειτουργίας του κβαντιστή έχουμε θόρυβο υπερφόρτωσης (overload noise). Δ Για σήμα εισόδου εντός της περιοχής λειτουργίας του κβαντιστή έχουμε μόνο κοκκώδη θόρυβο (granular noise), Δ Ψηφιακές Επικοινωνίες 8

Ομοιόμορφη Κβάντιση Αν θεωρήσουμε την ύπαρξη μόνο κοκκώδους θορύβου, οι τιμές του μοντελοποιούνται με βάση την ομοιόμορφη κατανομή Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ομοιόμορφης κατανομής είναι 1 / )0 1Δ, 4 Δ 0, αλλιώς -Δ/ 0 / )0 1/Δ Δ/ Προκειμένου να απλοποιηθεί το πρόβλημα, ώστε οι τιμές του θορύβου να είναι ανεξάρτητες τόσο μεταξύ τους όσο και με το σήμα, κάνουμε τις εξής υποθέσεις: Ασυσχέτιστες τιμές σφάλματος κβάντισης σε διαφορετικές χρονικές στιγμές & : ; $< ), : 0, : = Ασυσχέτιστες τιμές σφάλματος κβάντισης και σήματος & ' : & & ' : Ακολουθία δειγμάτων στατική και μηδενικής μέσης τιμής ~? 0,$ < ) Ψηφιακές Επικοινωνίες 9

Ομοιόμορφη Κβάντιση Η μέση τιμή του εύκολα προκύπτει B/( & @ ) A / )0 d B/( B/( A 1 Δ d B/( 1 B/( Δ ( D B/( 0 Η μέση ισχύς αντίστοιχα είναι$% ) & @ ) ( & ( @ ) & @ ) (, άρα B/( $% ) A ( / )0 d B/( B/( A (1 Δ d B/( 1 B/( 3 Δ F D B/( Δ( 1 1 1 - G ( Ψηφιακές Επικοινωνίες 10

Ομοιόμορφη Κβάντιση Έστω ότι το τυχαίο σήμα ' που θέλουμε να κβαντίσουμε μεταβάλετε σύμφωνα με την κατανομή Gauss ' ~? 0,H ( στην περιοχή ' 3H, 3H /! / )0 1/Δ -Δ/ 0 Δ/ x ' SQNR = ; Για κβαντιστή με - 3H και μόνο κοκκώδη θόρυβο κβάντισης, το SQNR υπολογίζεται *+,- $ % H ( $% ) $% ) - 3 1 1 - G ( ( G( Δεδομένου ότι ο πλήθος των σταθμών G σε σχέση το πλήθος των bit κωδικοποίησης κάθε στάθμης J είναιg K, προκύπτει *+,- 10log N G ( 0log N K 6.0 J db Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθοριστεί η ακρίβεια του κβαντιστή Κάθε επιπλέον bit βελτιώνει το SQNR κατά 6dB Ψηφιακές Επικοινωνίες 11

Ανομοιόμορφη Κβάντιση Χαρακτηριστικά ανομοιόμορφης κβάντισης: Μεταβαλλόμενο βήμα κβάντισης Δ i Μείωση του αριθμού των bit του ADC διατηρώντας τη δυναμική περιοχή σταθερή Υψηλότερο SQNR για σήματα με μη ομοιόμορφη κατανομή σε σχέση με ομοιόμορφο κβαντιστή Η ανομοιόμορφη κβάντιση (στον πομπό) επιτυγχάνεται συνδυάζοντας ένα συμπιεστή (compressor) και έναν ομοιόμορφο κβαντιστή Στο δέκτη μετά τον DAC ακολουθεί ένας αποσυμπιεστής (expander) x a (t) ΠΟΜΠΟΣ δειγματολήπτης x d [n] x c x d συμπιεστής x c [n] ομοιόμορφος x δ [n] {b κωδικοποιητής k } κβαντιστής ανομοιόμορφος κβαντιστής COMPressor + expander = COMPANDER ˆb [ n ] x ( t) x ( t ) DAC ˆc αποσυμπιεστής ΔΕΚΤΗΣ x c x d ˆa Ψηφιακές Επικοινωνίες 1

Ανομοιόμορφη Κβάντιση στάθμες κβάντισης ισχυρό σήμα ασθενές σήμα Ομοιόμορφη κβάντιση Μη ομοιόμορφη κβάντιση Ψηφιακές Επικοινωνίες 13

Ανομοιόμορφη Κβάντιση Πρότυπα Συμπίεσης/Αποσυμπίεσης μ law (Β. Αμερική και Ιαπωνία) SQNR 13-14 bit ομοιόμορφου κβαντιστή = SQNR 8 bit ανομοιόμορφου A-law (Ευρώπη) ( + µ x ) ln 1 g ( x) = sgn ( x), x 1 ln 1 ( + µ ) 1 sgn( x) x g ( x) = ( 1 µ ) 1, x 1 µ + SQNR 1bit ομοιόμορφου κβαντιστή = SQNR 8 bit ανομοιόμορφου A x, x < 1 A 1+ ln ( A) g ( x) = sgn ( x) 1 + ln ( A x ), 1 A x 1 1+ ln( A) x 1 1 + ln ( A), x < 1 + ln ( A) 1 ( ) sgn( ) A g x = x 1 1 exp { x 1 + ln ( A) 1 }, 1 + ln ( A) x < 1 A 0.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 Κανονικοποιημένη είσοδος, x Κανονικοποιημένη είσοδος, x Ψηφιακές Επικοινωνίες 14

Διαφορική Κβάντιση x[k] ˆx [ k] Τα σήματα ήχου και κινούμενης εικόνας εμφανίζουν υψηλή συσχέτιση, που σημαίνει ότι το κβαντισμένο σήμα περιέχει πλεοναστική πληροφορία Αφαιρώντας τον πλεονασμό, επιτυγχάνεται αποδοτική κωδικοποίηση πηγής. Μπορεί να πραγματοποιηθεί με χρήση διαφορικού κβαντιστή (differential quantizer) Κβαντίζεται η διαφορά μεταξύ των δειγμάτων του σήματος εισόδου x[k] και μιας εκτίμησής του Η εκτίμηση μπορεί να γίνει με ένα γραμμικό φίλτρο πρόβλεψης τάξεως p Στόχος εκτιμητή η ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος Διαφορικός Κβαντιστής e[k] Κβαντιστής Φίλτρο πρόβλεψης x q [k] m q [k] p [ ] = q q ( ) xˆ k a m k q q= 1 ˆx [ k] a 1 a a p E ( ) [ ] = E [ ] ˆ[ ] e k x k x k Φίλτρο Γραμμικής Πρόβλεψης Τάξης p Καθυστέρηση T s Καθυστέρηση T s Καθυστέρηση p T s ˆx [ k] m q [k] Ψηφιακές Επικοινωνίες 15

Διαφορική Κβάντιση Το σήμα του εκτιμητή ˆx [ k] Στην έξοδο του κβαντιστή: x q [k] = e[k] + e q [k] Το σήμα εισόδου του εκτιμητή είναι του σήματος εισόδου m k = x k + e k q αφαιρείται από το σήμα εισόδου x[k] και η διαφορά e[k] κβαντίζεται m [ k] = xˆ q [ k] + xq [ k] [ ] [ ] q [ ] (e q [k]: το σφάλμα κβάντισης) και αναπαριστά μια κβαντισμένη έκδοση Αν ο εκτιμητής συμπεριφέρεται καλά, η διακύμανση του e[k] θα είναι μικρή σε σχέση με την διακύμανση του x[k], που συνεπάγεται απαίτηση για μικρό αριθμό σταθμών κβάντισης Διαφορικός Κβαντιστής x[k] e[k] Κβαντιστής x q [k] Λήψη ˆx [ k] Φίλτρο πρόβλεψης Φίλτρο πρόβλεψης m q [k] Ψηφιακές Επικοινωνίες 16

Κωδικοποίηση Κωδικοποίηση: Απεικόνιση 1-προς-1 των σταθμών κβάντισης σε δυαδικούς αριθμούς Με b bits μπορούν να αναπαρασταθούν b δυαδικοί αριθμοί Για L στάθμες κβάντισης, θα πρέπει b L Το βήμα κβάντισης (ή ανάλυση (resolution)) είναι Δ - Ḡ K Οι δυαδικοί αριθμοί μπορούν να υλοποιηθούν με κώδικες γραμμής (line codes) Μη μηδενικής επιστροφής (non-return-to-zero (NRZ)) Μηδενικής επιστροφής (return-to-zero (RZ)) Ψευδοτριαδικοί (pseudoternary (PT)) Διφασικοί (biphase) σήμα διακριτού χρόνου ADC κβαντισμένο σήμα αναλογικό σήμα Δειγματολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής ψηφιακό σήμα Ψηφιακές Επικοινωνίες 17

Κωδικοποίηση Κωδικοποίηση: n n bn 1 + bn + Lb1 + b0 { { MSB 1 1 0 LSB 9 000 7 001 5 010 3 x q [n] 3Δ Δ Δ 011 100 έξοδος -Δ 101 -Δ -3Δ -4Δ 110 3 5 R: περιοχή του κβαντιστή, R = 8 Δ 111 7 στάθμες κβάντισης στάθμες απόφασης Χαρακτηριστική μεταφοράς κβαντιστή με 8 στάθμες είσοδος x d [n] Ψηφιακές Επικοινωνίες 18

Κωδικοποίηση Επιθυμητές ιδιότητες κωδίκων γραμμής Απαίτηση για μικρό εύρος ζώνης Απόδοση ισχύος για δεδομένη πιθανότητα σφάλματος και εύρος ζώνης Ικανότητα ανίχνευσης/διόρθωσης σφαλμάτων Μη ύπαρξη DC συνιστώσας, ώστε αυτή να χρησιμοποιείται για παροχή ισχύος Ικανότητα χρονικού συγχρονισμού bit από την ίδια την κυματομορφή Διαφάνεια (transparency): Ικανότητα ανίχνευσης ανεξάρτητη της ακολουθίας των bit 1 0 1 1 0 NRZ-L +V Manchester -V +V Unipolar-RZ 0 +V 0 Bipolar-RZ -V 0 T T 3T 4T 5T Miller Dicode NRZ +V -V +V -V +V 0 -V 1 0 1 1 0 0 T T 3T 4T 5T Ψηφιακές Επικοινωνίες 19

Μετατροπή Αναλογικού σε Ψηφιακό Σήμα Αναλογικό σήμα Δειγματολειπτημένο σήμα Κβαντισμένο σήμα L = 8 στάθμες κβάντισης Δ = 1 βήμα κβάντισης Κωδικοποίηση Unipolar RZ Ακολουθία bit Δειγματοληπτημένο σήμα 6.5 3.3.0.5 4.4 5.0 3.7..0 Κβαντισμένο σήμα 7 3 3 4 5 4 Σφάλμα κβάντισης 0.5 0.3 0.0 0.5 0.4 0.0 0.3 0. 0.0 Ακολουθία bit 111 011 010 011 100 101 100 010 010 Ψηφιακές Επικοινωνίες 0

Μετατροπή Αναλογικού σε Ψηφιακό Σήμα Να βρεθεί το ελάχιστο μέγεθος αρχείου για: Α) Ηχητικό απόσπασμα τηλεφωνικής συνομιλίας διάρκειας 3.5 min, δειγματοληπτημένο και κωδικοποιημένο, με απαιτούμενο SQNR 45 db Β) Ηχητικό απόσπασμα stereo ποιότητας CD διάρκειας 3.5 min, δειγματοληπτημένο και κωδικοποιημένο, με απαιτούμενο SQNR είναι 9 db Α) Αφού το εύρος ζώνης του τηλεφωνικού σήματος είναι B = 4 khz, ο ρυθμός δειγματοληψίας Nyquist είναι F s = B = 8 ksamples/sec Αφού SQNR = 6 b, προκύπτει ο κάτω πίνακας, άρα απαιτούνται 9 bit για κάθε στάθμη B 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 SQNR 30 36 4 48 54 60 66 7 78 84 90 96 Συνεπώς, κάθε 1 sec προκύπτουν 8 10 3 δείγματα, δηλαδή 64 κbit/sec = 8 kb/sec Άρα, για 3.5 min = 10 sec, το μέγεθος του αρχείου θα είναι 1.68 Mbyte Β) Tο εύρος ζώνης του ήχου είναι 0 khz και συνεπώς για CD, ο ρυθμός Nyquist είναι F s = 40 ksamples/sec (44.1 ksamples/sec στην πράξη) και απαιτούνται 16 bit/στάθμη Δηλαδή, κάθε 1 sec έχουμε 40 10 3 δείγματα, δηλαδή 640 kbit/sec = 80 kb/sec Άρα, για 3.5 min, το ελάχιστο μέγεθος αρχείου θα είναι 16.8 ΜB = 33.6 MB Ψηφιακές Επικοινωνίες 1