Πανειστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 17-18, Διδάσκων: Α.Τόγκας 3ο φύλλο ροβλημάτων Ονοματεώνυμο - ΑΜ:
ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 1. συναρτήσεις: Να βρεθεί η σειρά Fourier για κάθε μια αό τις ακόλουθες y 1 i) f(x) = 1, x < 1,, 1 < x <, Σχήμα 1: Η συνάρτηση κουτί. y x ii) f(x) = 1 x, x < 1,, 1 < x <, 1 1 1 Σχήμα : Η συνάρτηση καέλο. x Πρόβλημα. Να βρεθούν οι σειρές Fourier των ακόλουθων συναρτήσεων 1 1 Χρησιμοοιήστε τριγωνομετρικές ταυτότητες. i) f(x) = cos x sin x, ii) f(x) = cos x sin x, iii) f(x) = cos x sin x. Πρόβλημα 3. Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = 1, ορισμένη στο [, 1]. α) Να βρεθεί η σειρά Fourier ημιτόνων της f(x) = 1 στο [, 1] και να γραφούν αναλυτικά οι ρώτοι τρεις μη τετριμμένοι όροι της σειράς. Περιττή εέκταση β) Να βρεθεί η σειρά Fourier συνημιτόνων της f(x) = 1 στο [, 1]. 3 3 Άρτια εέκταση, αν και η σειρά Fourier συνημιτόνων της f(x) είναι ροφανής. Πρόβλημα 4. Έστω ότι η y = f(x) είναι δυο φορές συνεχώς αραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [, ] τέτοια ώστε f() =, και f() =. Έστω ότι b k είναι ο k-οστός συντελεστής της σειράς Fourier ημιτόνων (εριττή εέκταση) της f, και B k ο αντίστοιχος συντελεστής της δεύτερης αραγώγου f της f, δηλαδή b k = f(x) sin (n x) d x, B k = f (x) sin (n x) d x. Να αοδειχθεί ότι B k = n b k. 4 4 Ολοκλήρωση κατά αράγοντες. Πρόβλημα 5. Έστω ότι η y = f(x) ορίζεται σε ένα διάστημα I με μέσο το σημείο x =, και είναι n φορές συνεχώς αραγωγίσιμη στο I. α) Αν η y = f(x) είναι άρτια, τότε η n-τάξης αράγωγος f (n) (x) της f(x) είναι άρτια; εριττή; τίοτα αό τα δύο; μορεί να είναι και τα δύο; β) Αν η y = f(x) είναι εριττή, τότε η n-τάξης αράγωγος f (n) (x) της f(x) είναι άρτια; εριττή; τίοτα αό τα δύο; μορεί να είναι και τα δύο; Εξετάστε την κάθε ερίτωση για n άρτιο και n εριττό θετικό ακέραιο.
ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 6. Θεωρούμε τη ΜΔΕ της θερμότητας με αώλειες v t + v = v x x. (6.1) α) Έστω v(x, t) οοιαδήοτε μη-σταθερή, κλασική λύση της ΜΔΕ (6.1) ου ικανοοιεί τις εριοδικές συνοριακές συνθήκες Να αοδειχθεί ότι η συνάρτηση v(, t) = v(, t), v x (, t) = v x (, t). (6.) N(t) = ( v(x, t)) d x, είναι μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του t στο διάστημα [, + ). Αοδείξτε ότι N (t) < για κάθε t στο διάστημα [, ). β) Χρησιμοοιώντας το αοτέλεσμα του α) μέρους αοδείξτε ότι το ΠΑΣΤ v t + v = v x x + F (x, t). v(x, ) = f(x), v(, t) = v(, t), v x (, t) = v x (, t). Θεωρήστε δυο λύσεις v 1, v του ΠΑΣΤ, βρείτε οιο ΠΑΣΤ ικανοοιεί η w = v 1 v, και αοδείξτε ότι v 1 = v. έχει μοναδική λύση. γ) Να αοδειχθεί ότι η γενική λύση της ΜΔΕ (6.1) δίνεται αό την σχέση v(x, t) = e t u(x, t), όου η u(x, t) ικανοοιεί την εξίσωση της θερμότητας u t = u x x. δ) Χρησιμοοιώντας το γ) μέρος του ροβλήματος να βρεθεί η λύση στη μορφή μιας σειράς Fourier του ΠΑΣΤ ου ααρτίζεται αό την ΜΔΕ (6.1), τις συνοριακές συνθήκες (6.), και την αρχική συνθήκη v(x, ) = 1, x,, < x. ε) Ποιά είναι η θερμοκρασία ισορροίας v(x, t) καθώς t ; Μετατρέψτε το ΠΑΣΤ για την v(x, t), σε ένα ΠΑΣΤ για την u(x, t) η οοία ικανοοιεί την ΜΔΕ της θερμότητας. Λύστε το αντίστοιχο ΠΑΣΤ για την u(x, t) και ειστρέψτε μέσω του μετασχηματισμού v(x, t) = e t u(x, t) στην v(x, t). Για τους συντελεστές της σειράς Fourier χρησιμοοιήστε τα αοτελέσματα του Προβλήματος 1.i. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΣΤ για την εξίσωση της θερμότη- Πρόβλημα 7. τας u t = u x x, < x < 1, t >, u(, t) = u(1, t) =, u(x, ) = α) Να γραφεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. x, x 1, 1 x, β) Χρησιμοοιώντας κατάλληλη τιμή για την μεταβλητή x στο ανάτυγμα σε σειρά Fourier της u(x, ) ου ροκύτει στο α) μέρος να αοδειχτεί ότι 8 = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + + 1 + k θετικός ακέραιος. ( k 1) 1 < x 1.
ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 8. Έστω ότι η u(x, t) είναι μια κλασική λύση της εξίσωσης της θερμότητας u t = u x x στο διάστημα < x < 1, και στα άκρα x =, x = 1 ικανοοιεί τις συνοριακές συνθήκες τύου Neumann u x (, t) =, u x (1, t) =, t < +. Η θερμική ενέργεια T της u στο χρόνο t ορίζεται ως εξής: 1 T (t) = u(x, t) d x. Να δειχθεί ότι με τις αραάνω υοθέσεις η T (t) είναι σταθερή συνάρτηση στο διάστημα [, + ). Πρόβλημα 9. α) Έστω ότι η u(x, t) είναι μια κλασική λύση της κυματικής εξίσωσης u t t = u x x, και έστω E και P οι υκνότητες ενέργειας και ορμής αντίστοιχα E = 1 { (u t ) + (u x ) }, P = u t u x. i) Να αοδειχθεί ότι αν η u(x, t) ικανοοιεί την κυματική εξίσωση, τότε ισχύει ότι E t P x =. ii) Να αοδειχθεί ότι αν η u(x, t) ικανοοιεί την κυματική εξίσωση, τότε και οι συναρτήσεις E(x, t), P (x, t) ικανοοιούν την κυματική εξίσωση. β) Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΣΤ u t t = u x x, < x <, t >, u(x, ) = sin 3 x, u t (x, ) =, με συνορικές συνθήκες τύου Dirichlet στα άκρα u(, t) = u(, t) =. Με την μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών να βρεθεί η λύση του αραάνω ΠΑΣΤ στη μορφή μιας σειράς Fourier. 5 5 Χρησιμοοιήστε την τριγωνομετρική ταυτότητα sin 3 x = 3 4 sin x 1 sin 3 x, 4 για να βρείτε ότι η λύση του ΠΑΣΤ δίνεται σε κλειστή μορφή. Τροοοιήστε την αρχική συνάρτηση f(x) = x (x ) στο Mathematica notebook reflection_waves.nb, στην f(x) = sin 3 x του αρόντος ροβλήματος και βρείτε γραφικά την λύση του αντίστοιχου ΠΑΣΤ. Να εισαγάγετε μια νέα εντολή Animate[Plot[...]] ου να αεικονίζει γραφικά την λύση ου βρήκατε για το Πρόβλημα 7, και να συγκρίνετε τα αοτελέσματά σας με αυτά ου δίνει η μέθοδος εέκτασης των αρχικών δοσμένων. Πρόβλημα 1. Θεωρούμε το ακόλουθο ρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την κυματική εξίσωση u x x u t t =, < x < 1, t >, u(, t) =, u(1, t) =, t, u(x, ) = x, x 1, 1 x, 1 u t (x, ) =, x 1. α) Να γραφεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. β) Ποιά είναι η τιμή u( 1 /, 1); (i) 1 /, (ii) 1 /, (iii), (iv) 1.
ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα Α. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x <, t >, u(, t) = u(, t), u x (, t) = u x (, t), t. ii) Να βρεθεί η θερμοκρασία ισορροίας καθώς t. α) u(x, ) = cos x, β) u(x, ) = sin x + sin x, x. Αάντηση: i) Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(x, t) = e λ t v(x). Εισάγοντας στην εξίσωση της θερμότητας, η τελευταία ανάγεται στην ακόλουθη ΣΔΕ v (x) = λ v(x), (Α.1) κι αό την ειβολή των συνοριακών συνθηκών έχουμε ότι θα ρέει v( ) = v(), v ( ) = v (). (Α.) Οι σχέσεις (Α.1), (Α.), ααρτίζουν τo ρόβλημα ιδιοτιμών, μέσω του οοίου θα βρούμε τις αντίστοιχες ιδιολύσεις της ΜΔΕ και κατ εέκταση θα κατασκευάσουμε την λύση του ροβλήματος στην μορφή μιας σειράς Fourier. λ =. Τότε η λύση της (Α.1) είναι η v(x) = A x + B. Ειβάλλοντας την ρώτη συνοριακή συνθήκη αίρνουμε ότι Α ( ) + B = A + B A =, ενώ η δεύτερη συνοριακή συνθήκη (με A = ) ικανοοιείται αυτόματα. Οότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση v (x) = 1, κι ιδιολύση u (x, t) = 1, (η σταθερή αραλείεται αφού θα την εισάγουμε στο τέλος αίρνοντας έναν άειρο γραμμικό συνδυασμό των ιδιολύσεων). λ = ω >, (ω > ). Τότε η λύση της (Α.1) είναι η v(x) = A e ω x + B e ω x. Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αραμέτρους A, B, (A B) sinh(ω ) =, (A + B) sinh(ω ) =. Αφού ω, τότε sinh(ω ), και συνεώς A B = A + B = και συνακόλουθα A = B =, οότε δεν υάρχει μη τετριμμένη λύση σε αυτήν την ερίτωση, κι άρα δεν υάρχει ιδιοτιμή κι αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση κι ιδιολύση.
ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας λ = ω <, (ω > ). Τότε η λύση της (Α.1) είναι η v(x) = A cos ω x + B sin ω x, Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αραμέτρους A, B, A sin ω =, B sin ω =. Αν sin ω, τότε θα ρέει A = B =, δηλαδή η τετριμμένη λύση. Οότε θα ρέει sin ω = δηλαδή ω = k, k = 1,, 3 Δηλαδή έχουμε ιδιοτιμές λ k = k, κι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις v k (x) = A k cos k x + B k sin k x, k = 1,, 3, κι ιδιολύσεις u k (x, t) = A k e k t cos k x + B k e k t sin k x, k = 1,, 3, Λαμβάνοντας υόψη και την ιδιοτιμή λ =, αριστάνουμε την λύση στην μορφή μιας άειρης σειράς u(x, t) = A + k=1 ( A k e k t cos k x + B k e k t sin k x ), όου οι σταθερές A k, B k, θα ροσδιορισθούν αό την αρχική συνθήκη. α) Αν u(x, ) = cos x, τότε θα ρέει B k = (k 1), A =, A 1 = 1, A k = για k > 1, και η λύση του ΠΑΣΤ είναι η u(x, t) = e t cos x. β) Αν u(x, ) = sin x + sin x = 1 1 cos x + sin x, τότε θα ρέει A = 1, A 1 =, A = 1, A k = για k >, B 1 =, B k = για k > 1, και η λύση του ΠΑΣΤ σε αυτή την ερίτωση είναι η Σχήμα 3: Η λύση για τα αρχικά δοσμένα α) u(x, t) = 1 + e t sin x 1 e 4 t cos x. ii) Σε κάθε ερίτωση η θερμοκρασία ισορροίας καθώς t, είναι A αφού lim u(x, t) = A t. Οότε για τα αρχικά δοσμένα του α) μέρους του ροβλήματος η θερμοκρασία ισορροίας είναι, ενώ για τα αρχικά δοσμένα του β) μέρους είναι 1. Σχήμα 4: Η λύση για τα αρχικά δοσμένα β)
ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα Β. Θεωρούμε το ακόλουθο ρόβλημα αρχικών συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την εξίσωση της θερμότητας με ομογενείς συνοριακές συνθήκες τύου Neumann (μονωμένα άκρα) u t = u x x < x <, t >, u x (, t) = u x (, t) =, t, και αρχική κατανομή θερμοκρασίας u(x, ) = 1, x,, < x. α) Να βρεθεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. β) Να βρεθεί η θερμοκρασία ισορροίας καθώς t. Αάντηση: α) Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(x, t) = e λ t v(x). Εισάγοντας στην εξίσωση της θερμότητας, η τελευταία ανάγεται στην ακόλουθη ΣΔΕ v (x) = λ v(x), (Β.1) κι αό την ειβολή των συνοριακών συνθηκών έχουμε ότι θα ρέει v ( ) =, v () =. (Β.) Οι σχέσεις (Β.1), (Β.), ααρτίζουν τo ρόβλημα ιδιοτιμών, μέσω του οοίου θα βρούμε τις αντίστοιχες ιδιολύσεις της ΜΔΕ και κατ εέκταση θα κατασκευάσουμε την λύση του ροβλήματος στην μορφή μιας σειράς Fourier. λ =. Τότε η λύση της (Β.1) είναι η v(x) = A x + B. Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε ότι A =. Οότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση v (x) = 1, κι ιδιολύση u (x, t) = 1. λ = ω >, (ω > ). Τότε η λύση της (Α.1) είναι η v(x) = A e ω x + B e ω x. Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αραμέτρους A, B, A ω e ω B ω e ω =, A ω e ω B ω e ω =, ή ισοδύναμα (αφού ω ) A e ω B e ω =, A e ω B e ω =, το οοίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα ως ρος τις αραμέτρους A, B. Για να υάρχουν μη-μηδενικές λύσεις αρκεί και ρέει η ορίζουσα Δ
ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας να είναι μηδέν. Όμως η ορίζουσα είναι Δ = e ω e ω, και είναι μηδέν αν και μόνο αν ω =. Άτοο, γιατί υοθέσαμε ότι ω >, συνεώς δεν υάρχουν ιδιοτιμές σε αυτήν την ερίτωση και κατ εέκταση δεν υάρχουν ιδιοσυναρτήσεις κι ιδιολύσεις. λ = ω <, (ω > ). Τότε η λύση της (Β.1) είναι η v(x) = A cos ω x + B sin ω x. Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αραμέτρους A, B, A ω sin( ω) + B ω cos( ω ) =, A ω sin(ω) + B ω cos(ω ) =, ή ισοδύναμα A sin(ω) + B cos(ω ) =, A sin(ω) + B cos(ω ) =. Το αραάνω ομογενές γραμμικό σύστημα ως ρος τις αραμέτρους A, B, έχει λύσεις μη-μηδενικές αν και μόνο αν η ορίζουσα Δ είναι μηδέν. Υολογίζουμε την ορίζουσα και βρίσκουμε ότι Οότε Δ = sin(ω ) cos(ω ) = sin( ω ). Δ = ω = k ω = k, k = 1,, 3, Δηλαδή έχουμε τις ιδιοτιμές λ k = k, k = 1,, 3, Διακρίνουμε τις εξής 4 εριτώσεις : k = n, άρτιος. Τότε ω = n και η συνοριακή συνθήκη (οοιαδήοτε αό τις δυο αφού είναι γραμμικώς εξαρτημένες) δίνει B =. Συνεώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις - ιδιολύσεις λ n = n, v n (x) = cos n x, u n (x, t) = e n t cos n x, n = 1,, 3, k = n 1, εριττός. Τότε ω = n 1 και η συνοριακή συνθήκη (οοιαδήοτε αό τις δυο αφού είναι γραμμικώς εξαρτημένες) δίνει A =. Συνεώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις - ιδιολύσεις λ n = ( n 1 ), vn (x) = sin ( n 1 ) x, u n(x, t) = e (n 1/) t sin ( n 1 ) x, n = 1,, 3, Λαμβάνοντας υόψη και την ιδιοτιμή λ =, γράφουμε την λύση σαν ένα άειρο άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων κι έχουμε u(x, t) = A + n=1 [ A n e n t cos n x + B n e (n 1/) t sin ( n 1 ) x ], όου οι συντελεστές A n, B n θα ροσδιορισθούν αό την αρχική συνθήκη. Παρατηρούμε ότι η αρχική συνθήκη u(x, ) = f(x) είναι άρτια συνάρτηση,
ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας συνεώς οι συντελεστές B n των ημιτόνων (εριττές συναρτήσεις) θα ρέει να είναι μηδέν, B n =. Για τους συντελεστές A n έχουμε A = f(x) d x = / d x = 1. A n = f(x) cos n x d x = / cos n x d x = n sin n ( ) =, n = m ( 1)m ( m 1) n = m 1, m = 1,, 3, Οότε η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier είναι u(x, t) = 1 + A n e n t cos n x. n=1 β) Παρατηρούμε ότι u(x, t) 1 καθώς t, οότε η θερμοκρασία ισορροίας είναι 1. Σχήμα 5: Γραφική αράσταση της λύσης. Πρόβλημα Γ. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΣΤ για την κυματική εξίσωση u t t u x x =, < x <, t >, u(x, ) = sin x, u t (x, ) =, x, u x (, t) =, u x (, t) =, t. α) Να γραφεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. β) Να δειχθεί ότι η h(t) = u( /4, t) είναι εριοδική συνάρτηση και να βρεθεί η ερίοδος. γ) Ποιά είναι η τιμή u( /4, / ) ; (i), (ii) 1 /, (iii) 1 /, (iv). δ) Έχει η u ασυνέχειες; Αν ναι, κατά μήκος οιών καμυλών διαδίδονται; x Αάντηση: α) Αναζητούμε λύσεις της κυματικής εξίσωσης ου είναι χωριζομένων μεταβλητών, δηλαδή της μορφής u(x, t) = X(x) T (t). Εισάγουμε στην κυματική εξίσωση u x x = u t t και αίρνουμε X (x) T (t) = X(x) T (t). Αφού X(x) και T (t), διαιρώντας την αραάνω εξίσωση με τον όρο X(x) T (t), έχουμε X(x) X(x) = T (t) T (t),
ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας όου το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση μόνο του x, ενώ το δεξί μέρος συνάρτηση μόνο του t. Για να μορεί να συμβεί αυτό θα ρέει και οι δυό όροι να είναι ίσοι με μια σταθερή οσότητα ου την ονομάζουμε λ R. Οότε η ΜΔΕ ανάγεται στην είλυση των ΣΔΕ X (x) = λ X(x), T (t) = λ T (t). Αό την άλλη, οι συνοριακές συνθήκες u x (, t) =, u x (, t) =, δίνουν ότι θα ρέει X () =, X () =, αντίστοιχα. Οότε έχουμε το ρόβλημα ιδιοτιμών X (x) = λ X(x), X () = X () =. λ =. Σε αυτή την ερίτωση έχουμε ότι X(x) = A x + B, κι οι συνοριακές συνθήκες ικανοοιούνται όταν A =. Οότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με ιδιοσυνάρτηση X (x) = 1. Αό την άλλη, η ΣΔΕ για την συνάρτηση T (t) δίνει ότι T (t) = Γ t + Δ, οότε συνολικά έχουμε τις ιδιολύσεις {1, t}. λ = ω >, (ω > ). Σε αυτή την ερίτωση έχουμε ότι X(x) = A e ω x + B e ω x, κι ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε ότι θα ρέει A ω B ω =, A ω e ω B ω ω =, ή ισοδύναμα A = B, A sinh(ω ) =. Αφού ω, τότε sinh(ω ), συνεώς αίρνουμε μόνο την τετριμμένη λύση A = B =, και δεν υάρχουν ιδιοτιμές σε αυτήν την ερίτωση. λ = ω <, (ω > ). Σε αυτή την ερίτωση έχουμε ότι X(x) = A cos ω x + B sin ω x, κι ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε ότι θα ρέει B =, A ω sin ω =, ή ισοδύναμα B =, sin ω =. Οότε έχουμε τις ιδιοτιμές λ = k, k = 1,, 3, με αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις X k (x) = cos k x. Αό την άλλη η ΣΔΕ για την συνάρτηση T (t) για τις τιμές της λ ου βρήκαμε δίνει ότι θα ρέει T (t) = Γ cos k t + Δ sin k t,
ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας οότε έχουμε τις ιδιολύσεις {cos k x cos k t, cos k x sin k t}. Λαμβάνοντας υόψη και τις ιδιολύσεις της ιδιοτιμής λ =, γράφουμε την λύση σαν ένα άειρo άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων κι έχουμε u(x, t) = A + B t + (A k cos k x cos k t + B k cos k x sin k t), k=1 (Γ.1) όου οι συντελεστές A k, Β κ θα ροσδιορισθούν αό τις αρχικές συνθήκες u(x, ) = sin x, και u t (x, ) =. Για την ρώτη αρχική συνθήκη έχουμε u(x, ) = A + A k cos k x = sin x, k=1 ενώ αραγωγίζοντας την σχέση (Γ.1) ως ρος t έχουμε για την δεύτερη αρχική συνθήκη Συνεώς B k =, και A k = 1 u t (x, ) = B + k B k cos k x =. k=1 A = 1 sin x cos k x d x = = sin x d x = =,, k εριττός, 4 (1 k ), Συνεώς η λύση στη μορφή μιας σειράς Fourier είναι β) Για x = 4 έχουμε u(x, t) = + h(t) = u( 4, t ) = + k άρτιος. n=1 4 (1 4 n ) cos( n x) cos( n t). (Γ.) Σχήμα 6: Γραφική αράσταση της λύσης. n=1 4 (1 4 n ) cos ( n 4 ) cos( n t) = + 4 n=1 (1 4 n ) cos n ( ) cos( n t). Παρατηρούμε ότι οι όροι με n εριττό θετικό ακέραιο δεν συνεισφέρουν στην h(t), αφού τότε cos( ) =, οότε η συνάρτηση h(t) αίρνει την μορφή n h(t) = + m=1 4 ( 1) m (1 16 m ) cos(4 m t), και αφού h(t + ) = h(t), η h(t) είναι εριοδική συνάρτηση με ερίοδο. γ) Ο τύος του d Alembert για την άειρη χορδή ( < x < ) είναι u(x, t) = 1 ( f(x t) + f(x + t)) + 1 x+t x t g(s) d s, (Γ.3)
ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας όου u(x, ) = f(x), u t (x, ) = g(x). Για το ρόβλημά μας γνωρίζουμε τις αρχικές τιμές f(x) = sin x και g(x) = μόνο για το διάστημα x. Θα ρέει λοιόν να εεκτείνουμε τα αρχικά δοσμένα κατάλληλα σε όλο το άξονα των x, έτσι ώστε η λύση ου δίνεται αό τον τύο του d Alembert να ικανοοιεί αυτόματα τις συνοριακές συνθήκες στα άκρα x =, x =. Εειδή η λύση ου δίνεται αό την σχέση (Γ.) είναι άρτια συνάρτηση κάνοντας άρτια -εριοδική εέκταση των συναρτήσεων f(x), g(x), αρατηρούμε ότι οι συνοριακές συνθήκες στην (Γ.3) ικανοοιούνται. Πράγματι, εεκτείνουμε τα αρχικά δοσμένα έτσι ου f( x) = f(x), g( x) = g(x),, f( + x) = f(x), g( + x) = g(x). Παραγωγίζοντας την (Γ.3) ως ρος x, αίρνουμε u x (x, t) = 1 ( f (x t) + f (x + t)) + 1 ( g(x + t) g(x t)). Στα άκρο x = έχουμε u x (, t) = 1 ( f ( t) + f (t)) + 1 ( g(t) g( t)) =, αφού g( t) = g(t) και αν f( t) = f(t), τότε f ( t) = f (t). Στο άκρο x = έχουμε u x (, t) = 1 ( f ( t) + f ( + t)) + 1 ( g( + t) g( t)) =, αφού ισχύει ότι g( + t) = g( + t) = g( + t) = g( t), και ομοίως f( + t) = f( t) και αραγωγίζοντας ως ρος t, ισχύει ότι f ( + t) = f ( t). Εφαρμόζοντας λοιόν τον τύο του d Alembert αίρνουμε u( 4, ) = 1 [ f( 4 ) +f( 3 4 )] = 1 [ f( 4 ) +f( 3 4 )] = 1 ( sin 3 +sin 4 4 ) = 1. u δ) Η (x, t), αρουσιάζει ασυνέχειες στα άκρα x = και x =, οι οοίες x διαδίδονται κατά μήκος των χαρακτηριστικών καμυλών. Πράγματι, αραγωγίζοντας την αρχική συνθήκη u(x, ) = sin x ως ρος x έχουμε ότι u x (x, ) = cos x, οότε για το άκρο x =, έχουμε ότι lim u x(x, ) = cos = 1, x ενώ αό την συνοριακή συνθήκη u x (, t) = για κάθε t, άρα για t =, έχουμε u x (, ) =. Ομοίως, για το άκρο x =, έχουμε lim u x x(x, ) = cos = 1, ενώ αό την συνοριακή συνθήκη u x (, t) = για κάθε t, άρα για t =, έχουμε u x (, ) =. Σχήμα 7: Γραφική αράσταση της u x (x, t).