Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 3 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηµατικός teomail@sch.gr
Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα θέµατα στο µάθηµα των Μαθηµατικών Κατεύθυνσης στις πανελλήνιες εξετάσεις καθώς και στις επαναληπτικές εξετάσεις από το έως και το. αναλυτικές και αιτιολογηµένες απαντήσεις σε όλα τα παραπάνω θέµατα. Τα θέµατα είναι χωρισµένα σε 4 ενότητες, σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο: Μιγαδικοί αριθµοί Όριο Συνέχεια συνάρτησης ιαφορικός λογισµός Ολοκληρωτικός λογισµός Σε κάθε µία ενότητα τα θέµατα είναι χωρισµένα στις παρακάτω ενότητες Αποδείξεις θεωρηµάτων Ορισµοί Ερωτήσεις σωστό λάθος Αντιστοιχίσεις Ασκήσεις Το βιβλίο µπορείτε να το βρείτε σε ηλεκτρονική µορφή στη διεύθυνση http://blogs.sch.gr/teomail/
Περιεχόµενα Πρόλογος... 3. Μιγαδικοί αριθµοί... 5. Αποδείξεις... 5. Ερωτήσεις Σωστό Λάθος... 5 3. Αντιστοίχηση... 9 4. Ασκήσεις.... Όριο Συνέχεια συνάρτησης... 37. Αποδείξεις... 37. Ορισµοί... 37 3. Ερωτήσεις Σωστό Λάθος... 38 4. Ασκήσεις... 5 3. ιαφορικός λογισµός... 5. Αποδείξεις... 5. Ορισµοί... 54 3. Ερωτήσεις Σωστό Λάθος... 57 4. Αντιστοίχηση... 65 5. Ασκήσεις... 66 4. Ολοκληρωτικός λογισµός... 9. Αποδείξεις... 9. Ορισµοί... 9 3. Ερωτήσεις Σωστό Λάθος... 4. Ασκήσεις... 4
4 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3
Μιγαδικοί αριθµοί 5. Μιγαδικοί αριθµοί. Αποδείξεις. Πανελλαδικές Πανελλήνιες 7 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να αποδείξετε ότι: z z = z z.. Πανελλαδικές Αν για το µιγαδικό αριθµό z ισχύει z =, να δείξετε ότι z =. z. Ερωτήσεις Σωστό Λάθος. Πανελλαδικές Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει: α) z = z z β) z = z γ) z = z δ) z = z ε) iz = z α) Σωστό. β) Λάθος. γ) Λάθος. Το µέτρο είναι µη αρνητικός α- ριθµός άρα η δοσµένη σχέση ισχύει µόνο για z =. δ) Σωστό. ε) Σωστό. Είναι iz = i z = z = z.
6 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3. Πανελλαδικές 3 Αν z ένας µιγαδικός αριθµός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει: z = z = z. Σωστό. 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 Αν z και z είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει πάντα Σωστό. z z z + z z + z 4. Πανελλαδικές 4 Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος δύο µιγαδικών αριθµών είναι το άθροισµα των διανυσµατικών ακτινών τους. Σωστό. 5. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 5 Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους. Σωστό. 6. Πανελλαδικές 6 Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει z = z. Λάθος. Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει z = z z. 7. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 Αν z,z είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει: z z z z +.
Μιγαδικοί αριθµοί 7 Σωστό. 8. Πανελλήνιες 8 Όταν η διακρίνουσα της εξίσωσης αz + βz + γ = µε α, β, γ R και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των µιγαδικών. Λάθος, αν είναι < τότε η εξίσωση έχει δύο µιγαδικές ρίζες. 9. Πανελλήνιες 9 z,z είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει: zz = z z. Αν Σωστό.. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Αν z είναι ένας µιγαδικός αριθµός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύ- v ει: ( z ) = ( z) v Σωστό.. Πανελλήνιες Η διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών αριθµών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτινών τους. Σωστό.. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Για κάθε z C ισχύει Σωστό. z = z z. 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζουµε z =.
8 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 Σωστό. 4. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Για κάθε µιγαδικό αριθµό z = α + βi, α,β R ισχύει z z = β. Λάθος. Ισχύει z z = βi. 5. Πανελλαδικές Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον πραγµατικό άξονα. Σωστό. 6. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος των µιγαδικών α + βi και γ + δi είναι το άθροισµα των διανυσµατικών ακτίνων τους. Σωστό. 7. Πανελλαδικές 3 Η εξίσωση z z = ρ, ρ > παριστάνει τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο K ( z ) και ακτίνα Λάθος. Η ακτίνα του κύκλου είναι ρ. ρ, όπου z,z µιγαδικοί αριθµοί. 8. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) 3 Για οποιονδήποτε µιγαδικό αριθµό z ισχύει z = z. Σωστό.
Μιγαδικοί αριθµοί 9 3. Αντιστοίχηση. Πανελλήνιες Αν z 3 4i = + και z 3i =, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθ- µούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. Στήλη Α z z.. 3. z z 4. z 5. iz Στήλη Β α. 4 β. γ. 5 δ. 5 ε. στ. 5 ζ. ζ, γ, 3 α, 4 δ, 5 β.
Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 4. Ασκήσεις. Πανελλήνιες ο θέμα α) ίνεται ο µιγαδικός αριθµός 5 + i z =. Να γράψετε τον z στη µορ- + 3i φή α + βi µε α,β R. Μονάδες 4 Λύση α) β) Να βρεθούν τα σηµεία του επιπέδου που είναι εικόνες των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει z =. Μονάδες 5 z i ( 5 + i)( 3i) 5 + i 5i + i 3i 3 3i 3i 3i 3i 3 z = = = = = i. + + + 3 β) Έστω z = + yi,, y R. Είναι z = z = z i + yi = + yi i z i ( ) yi ( y ) i ( ) y ( y ) + = + + = + + y = + y + + Άρα τα ζητούµενα σηµεία ανήκουν στην ευθεία y y = =. + y y + y =.. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) ο θέμα α) Αν z, z είναι οι ρίζες της εξίσωσης z z + + =, να αποδείξετε ότι: z z =. Μονάδες β) Αν z είναι ρίζα της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος, µε φανταστικό µέρος θετικό αριθµό, να βρείτε τις τιµές του θετικού ακεραίου ν Λύση για τις οποίες z είναι πραγµατικός αριθµός. Μονάδες 8 v + + = + + = + = = + και z z z z z z i z i α) = i.
Μιγαδικοί αριθµοί z z = + i i = + i i = i i = β) z = ( + i) = i, z 3 z z ( i)( i) ( i) 4 = = + = +, = ( ) =, z 5 4 ( i) = = ( ) =, κ.λπ. z i 4 z z z 4 i 8i 6 4 άρα ο = +, v z είναι πραγµατικός αριθµός για v = πολ4 3. Πανελλήνιες 3 ο θέμα ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = α + βi, όπου α,β R και w = 3z iz + 4, όπου z ο συζυγής του z. α) Να αποδείξετε ότι : Re( w) = 3α β + 4, Im w = 3β α. Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y =, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y =. Μονάδες 9 γ) Να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς z, οι εικόνες των Λύση οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y =, έχει το ελάχιστο µέτρο. Μονάδες α) w = 3( α + βi) i( α βi) + 4 w 3α β 4 i( 3β α) = + +. β) M( w) στην y = άρα οι συντεταγµένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Εποµένως είναι 3β α = 3α β + 4 β = α. Άρα οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία y =. γ) Η εικόνα του ζητούµενου µιγαδικού είναι το σηµείο τοµής της y = και της κάθετης προς αυτήν ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ( y = ). Το σύστηµα y = = = y = y =. Άρα z = i.
Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 4. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 ο θέμα α) Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: z = και Im( z) Μονάδες β) Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του µιγαδικού αριθµού 4 w = z + z Λύση κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα, το οποίο βρίσκεται στον άξονα. Μονάδες 3 α) Είναι τα σηµεία του κύκλου µε κέντρο το O (, ) και ακτίνα που έχουν τεταγµένη θετική ή µηδέν. β) Για z = + yi είναι 4 w = + yi + = + yi Εποµένως Im( w) = άρα η εικόνα του w ανήκει στο. 4 yi + yi + =. + y 5. Πανελλήνιες 5 ο θέμα ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z,z,z µε z 3 = z = z3 = 3. α) είξτε ότι: z 9 =. Μονάδες 7 z z z β) είξτε ότι ο αριθµός + είναι πραγµατικός. Μονάδες 9 z z γ) είξτε ότι: z + z + z z z z z z z 3 = + 3 + 3 3. Μονάδες 9 Λύση α) 9 z = 3 z = 9 z z = 9 z =. z
Μιγαδικοί αριθµοί 3 9 9 z z z z z z z z z z z z z z z z 9 9 z z z z β) + = + = + = + = + z z. Άρα + R. z z 9 9 9 z + z + z = z + z + z = z + z + z = + + = z z z γ) 3 3 3 z z + z z + z z = = z z z 3 3 9 9 z z + z z + z z 3 3 z z z 3 3 3 z z + z z + z z = = + + 3 3 3 3 3 3 9 z z z z z z 3 3. 6. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 ο θέμα α) Αν z,z είναι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει z + z 4 4i = + και z z 5 5i = +, να βρείτε τους z,z.μονάδες β) Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z, w ισχύουν: z 3i και w 3 i, τότε: i) Να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί µιγαδικοί αριθµοί z, w έτσι ώστε z = w. Μονάδες ii) Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του z Λύση z + z = 4 + 4i z z = 8 8i α). z z = 5 + 5i z z = 5 + 5i Προσθέτουµε κατά µέλη τις παραπάνω σχέσεις και έ- χουµε: z z = 3 3i + iy iy = 3 3i. Λύνοντας, βρίσκουµε z = + 3i. Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση βρίσκουµε z = 3 + i. w. Μονάδες 5
4 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 β) Ο γεωµετρικός τόπος του z είναι ο κυκλικός δίσκος µε κέντρο το K (,3 ) και ακτίνα ρ =. Ο γεωµετρικός τόπος του w είναι ο κυκλικός δίσκος µε κέντρο z το Λ ( 3, ) και ακτίνα ρ =. w Είναι ΚΛ= 3 + 3 = 8 = = + = ρ z + ρ. Άρα οι δύο κύκλοι εφάπτονται δηλαδή υπάρχει w µοναδικό σηµείο στο οποίο τέµνονται οι δύο κύκλοι, δηλαδή υπάρχουν µοναδικοί z, w τέτοιοι ώστε z = w. γ) Το z w παίρνει τη µέγιστη τιµή του στα σηµεία Α και Β που τέµνει η ΚΛ τους δύο κύκλους. Είναι ΑΒ = z w = ρ + ρ = 4. z w 7. Πανελλήνιες 6 ο θέμα ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z,z,z µε z 3 = z = z3 = και z + z + z =. 3 α) Να αποδείξετε ότι: z z = z z = z z. Μονάδες 9 i) = 3 = 3 ii) και ( ) z z 4 Re z z. Μονάδες 8 Λύση β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z,z,z στο µιγα- 3 δικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηµατίζουν. Μονάδες 8 α) i) Είναι z + z + z 3 = άρα z = z z 3. ( z z )( z z ) ( z z )( z z ) z z = z z z z z = z z z z z = z + z 3 3 3 3 3 3 = + + 3 3 3 3 4 z + z z + z z + z = z + z z + z z + 4 z 3 3 3 3 3 3 z = z. 3
Μιγαδικοί αριθµοί 5 Η σχέση ισχύει άρα ισχύει και η αρχική. Όµοια ξεκινάµε από τη σχέση z z = z z3 και καταλήγουµε σε µία σχέση που ισχύει. ii) z z = z + z z + z = + = άρα z z 4 z z z 4 z z z z 4 z z z z z + z 4 z z z z z z + z z z z + z z Re z z Re z z. β) Τα µέτρα των µιγαδικών z, z, z 3 είναι ίσα µε τη µονάδα άρα και οι τρεις µιγαδικοί ανήκουν στον µοναδιαίο κύκλο C: + y =. Από τη σχέση z z = z3 z = z z3 συµπεραίνουµε ότι οι τρεις µιγαδικοί ισαπέχουν άρα σχηµατίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Είναι z + z = z3 =. Εποµένως z + z = z + z z + z = z + z z + z z + z = + Re ( z z ) + = Re ( z z ) = Re ( z z ) =. z z = z z z z = z z z z = z z z z z + z = Επίσης = z Re ( z z ) + z = 3 + = 8. Πανελλήνιες 7 ο θέμα + αi ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = µε α R. α + i α) Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του µιγαδικού z ανήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 9 β) Έστω z, z οι µιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο για α = και α = αντίστοιχα. z = + αi α + i
6 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 i) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z και z. Μονάδες 8 v ii) Να αποδειχθεί ότι ισχύει ( z ) = ( z ) v = για κάθε φυσικό αριθµό Λύση ν. Μονάδες 8 α) Είναι + αi + αi + α z = = = =, άρα η εικόνα του µιγαδικού z ανή- α + i α + i α + κει σε κύκλο µε κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ =. i β) Είναι z = i i = i = και + z = i =. + i i) Η απόστασή τους είναι z z i i = = + = + =. v v ii) = ( ) = = = ( ) = ( ) v v v v z i i i z. 9. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 4 ο θέμα z ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z α βi = + και z =, όπου α,β R + z µε β. ίνεται επίσης ότι z z R. α) Να αποδειχθεί ότι z z =. Μονάδες 9 β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 6 γ) Αν ο αριθµός Λύση z είναι φανταστικός και αβ >, να υπολογισθεί ο z z + + i z + i =. Μονάδες και να δειχθεί ότι α) Είναι z α βi α + βi z z = z = ( α + βi) = α + βi + z + α βi + α βi α + βi α + βi + α + βi = ( α + βi) = α + βi + α βi + α + β
Μιγαδικοί αριθµοί 7 + βi α + βi + α 4 + 4βi β α = ( α + βi) = α βi + α + β + α + β 4 β α 4 = α + βi ( + α) + β ( + α) + β () Ξέρουµε ότι z z R άρα 4 β =. + α + β Είναι β 4 4 = = + α + β = 4 + α + β + α + β άρα () 4 + 4α + α + β = 4 α + β = 4α. (3) 4 β α 4 Άρα αν στη σχέση () z z = α + βi βάλου- ( + α) + β ( + α) + β Im z z = και αντικαταστήσουµε τη σχέση (3) έχουµε µε όπου 4 α + β 4 4α 4 + 4α z z = α = α = α = + α α =. 4 + 4α + α + β 4 + 4α 4α 4 β) Από τη σχέση (3) έχουµε ότι για τον µιγαδικό z = α + βi ισχύει + α + β = 4. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος µε κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα ρ =. z = α + βi = α β + αβi. γ) Είναι Ο z είναι φανταστικός άρα άρα οι α και β είναι οµόσηµοι. Εποµένως είναι α = β. Όµως για τον z α βi α β = α = β α = ± β. Όµως είναι αβ > = + ισχύει η σχέση + α + β = 4 η οποία για α = β δίνει α = ( + α) + α = 4 4 + 4α + α + α = 4 α + 4α = α( α + ) = α = Η α = απορρίπτεται (α = β ). Εποµένως α + = α = z = i. z + + i z + i = προκύπτει Από τη σχέση ( i + + i) ( + i + i) = ( i) ( + i)
8 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 = i + i = i i = i i =.. Πανελλήνιες 8 ο θέμα Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύουν τότε να βρείτε: i + z = 6 + = και w ( i) = w ( 3 3i) α) το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z. β) το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w. Μονάδες 6 Μονάδες 7 γ) την ελάχιστη τιµή του w. Μονάδες 6 δ) την ελάχιστη τιµή του z w. Μονάδες 6 Λύση α) ( i + ) z = 6 ( i + ) z = 6 8 + z = 6 3 z = 6 z =. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι κύκλος µε κέντρο το O (, ) και α- κτίνα ρ =. β) Ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η µεσοκάθετος ε του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, όπου Α(, ) και Β(3, 3). Το µέσο του ΑΒ είναι το Μ(, ). Είναι λ = =, ΑΒ άρα λ =. ε Η εξίσωση της µεσοκαθέτου είναι ε: y + = ( ) ή y = 4. γ) Η ελάχιστη τιµή του w είναι ίση µε την απόσταση του Ο από την ευθεία ε: y= 4.. + + 4 4 w = d O,ε = = =. min +
Μιγαδικοί αριθµοί 9 δ) Είναι z = και w. Άρα w z. Ακόµη z w = w z = w + ( z). Με χρήση της τριγωνικής ανισότητας w + ( z) w z. Η γεωµετρική ερµηνεία της παραπάνω απόστασης είναι το µήκος ΝΜ, όπου Ν είναι το σηµείο τοµής της. Την ελάχιστη αυτή τιµή την παίρνει η παράσταση z w για w = i (όπως αποδείξαµε το i είναι το σηµείο τοµής της µεσοκαθέτου µε το ευθύγραµµο τµήµα, στο ερώτηµα (β)).. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 ο θέμα ίνεται ότι ο µιγαδικός αριθµός z + i 3 = είναι ρίζα της εξίσωσης z + βz + γ = + + =, όπου β και γ πραγµατικοί αριθµοί. α) Να αποδείξετε ότι β = και γ =. Μονάδες 9 β) Να αποδείξετε ότι z =. Μονάδες 8 3 γ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού αριθ- µού w, για τον οποίο ισχύει: w = z z. Μονάδες 8 Λύση α) ος τρόπος Η δεύτερη ρίζα της εξίσωσης είναι ο z i 3 = z =. Από τους τύπους Vieta προκύπτει: z + z = β = β β =. z z = γ = γ γ = ος τρόπος O z είναι ρίζα της εξίσωσης άρα την επαληθεύει. Εποµένως ισχύει + i 3 + i 3 + i 3 3 β + βi 3 + β + γ = + + γ = 4 + i 3 + β + βi 3 + 4γ = + β + 4γ + i 3 ( + β) =. + β + 4γ = + + 4γ = γ =. + β = β = Άρα είναι
Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 β) ος τρόπος Από παραπάνω προκύπτει ότι ο z είναι ρίζα της z z + = Άρα z + = z + z z + = z =. 3 3 ος τρόπος z 3 3 + i 3 + i 3 + i 3 + i 3 3 + i 3 = = = 4 + i 3 + i 3 i 3 i 3 + 3 = = = =. 4 4 i 3 γ) Είναι z z = = i 3. Εποµένως w = z z = i 3 = 3. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού αριθµού w, είναι ο κύκλος µε κέντρο το O (, ) και ακτίνα 3.. Πανελλήνιες 9 ο θέμα z = λ + + λ i, λ R Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς = ( + ) + ( ) Α. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z, για τις διάφορες τιµές του λ R. Μονάδες 9 β) Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς να αποδείξετε ότι ο µιγαδικός αριθµός z i = έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. Μονάδες 8 Β. Να βρεθούν οι µιγαδικοί αριθµοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w + w = z, όπου z ο µιγαδικός αριθµός που αναφέρε- Λύση ται στο προηγούµενο ερώτηµα. Μονάδες 8 Α. α) Έστω z = + yi, µε, y R. Είναι = λ + y =. y = λ Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία y =. β) ος τρόπος Η εικόνα του ζητούµενου µιγαδικού είναι η προβολή της αρχής των αξόνων Ο στην ευθεία y =.
Μιγαδικοί αριθµοί Η ευθεία y = τέµνει τους άξονες στα σηµεία A (, ) και B (, ). Είναι ( OA) = ( OB) = άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. Εποµένως αν είναι Μ το µέσο του ΑΒ τότε η ΟΜ είναι και ύψος και διάµεσος του ΟΑΒ. + = Το Μ ως µέσο του ΑΒ έχει συντεταγµένες, (, ) Άρα ο µιγαδικός z = i έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. ος τρόπος Είναι z = λ + + λ = 4λ + 4λ + + 4λ 4λ + = 8λ + = 4λ + (γιατί λ λ + ). Η ισότητα ισχύει για λ =. Άρα ο ζητούµενος µιγαδικός είναι αυτός που προκύπτει για λ =, δηλαδή ο z Β. Έστω w = + yi µε, y R. Είναι = i έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. w + w = z + y + yi = i + y + yi = 3 i. + y + = 3 + + = + = = y = Άρα w = 3 + i ή w = 4 + i. 3 3 ή = 4 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 ο θέμα Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει: i z + + i z 8 = α) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθ- µών z = + yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες β) Να βρείτε τον µοναδικό πραγµατικό αριθµό z και τον µοναδικό φανταστικό αριθµό z οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσω- ση. Μονάδες 8
Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 γ) Για τους αριθµούς z,z που βρέθηκαν στο προηγούµενο ερώτηµα να αποδείξετε ότι z + z + z z = 4. Μονάδες 7 Λύση α) Έστω z = + yi µε, y R. Η δοσµένη σχέση δίνει: ( i)( + yi) + ( + i)( yi) 8 = i + yi + y + yi + i + y 8 = 4 + y = 8 + y = 4. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία + y = 4. β) Πρέπει Im( z ) = άρα από τη σχέση + y = 4 + = 4 =. Επο- µένως είναι z = + i. Οµοίως πρέπει Re ( z ) = άρα από τη σχέση + y = 4 + y = 4 y = 4. Εποµένως είναι z = + 4i. γ) Είναι z + z + z z = + 4i + 4i = + 4 + + 4 = 4 + 6 + 4 + 6 = 4. 4. Πανελλήνιες ο θέμα ίνεται η εξίσωση z + = όπου z C µε z z α) Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης. Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι z + z =. Μονάδες 6 γ) Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει w 4 + 3i = z z τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w στο µιγαδικό ε- πίπεδο. Μονάδες 7 δ) Για τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος γ) να αποδείξετε ότι 3 w 7. Μονάδες 5 Λύση α) + = + = + =. z z z z z z
Μιγαδικοί αριθµοί 3 ± i 4 Είναι = 4 8 = 4 <. Άρα z, = = ± i z = + i και z β) Είναι 5 5 5 5 z + z = z + z = + i + i = 5 5 5 5 i + i = i i = γ) = i w 4 + 3i = z z w 4 3i = + i i w 4 3i = i w ( 4 3i) = άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w στο µιγαδικό ε- πίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο το ( 4, 3) και ακτίνα δ) ος τρόπος Από την τριγωνική ανισότητα: w 4 + 3i w + ( 4 + 3i) w + 4 + 3i. Από το πρώτο µέλος της ανισότητας προκύπτει w 4 + 3i w + ( 4 + 3i) w 5 w 5 3 w 7 ος τρόπος Αν είναι K ( 4, 3) το κέντρο του κύκλου και O (, ) η αρχή των αξόνων τότε είναι OK = 4 + 3 = 5 > ρ. Για κάθε σηµείο Μ του κύκλου ( K,ρ ) ισχύει ( OK ) ρ ( ΟΜ) ( ΟΚ ) + ρ 3 w 7 5. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) ο θέμα Έστω ότι οι µιγαδικοί αριθµοί z, z είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν z + z = και z z 5 =. α) Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς z, z. Μονάδες 5 β) Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει η σχέση w z + w z = z z
4 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος µε εξίσωση + + y = 4. Μονάδες 8 γ) Από τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος (β) να βρείτε ε- κείνους για τους οποίους ισχύει Re w + Im w =. Μονάδες 6 δ) Αν w, w είναι δύο από τους µιγαδικούς w του ερωτήµατος (β) µε την ιδιότητα w w = 4, να αποδείξετε ότι w + w =. Μονάδες 6 Λύση z + z = z = z z z = 5 z + z + 5 = z z = 5 α) Είναι ± 4i Είναι = 4 = 6 < άρα z = z = + i και z = i. β) Είναι z z = + i + + i = 4i = 4 άρα w z + w z = z z w z w z + w z w z = 6 w z w z + w z w z = 6 ww z w wz + z z + ww z w z w + z z = 6 w z w + w z w + w + z z = 6 w z + z w + w + z z = 6 w + w + w + = 6 w + w + w + 5 = 8 w + w + w = 3. Για w = + yi µε, y R προκύπτει y 3 y 4 y 4 + + = + + + = + + = που είναι κύκλος µε κέντρο A (,) και ακτίνα ρ =. γ) Είναι Re ( w) = και Im( w) = y. Εποµένως: + + y = 4 + y =
Μιγαδικοί αριθµοί 5 + + = y 4 ( + ) + ( ) = 4 + + + 4 = 4 y = 5 + 3 =. Είναι = 4 + 6 = 64 > άρα = ή Για 6 3 = =. 5 y = = άρα w = + i. = είναι 64 8 = ± = ± 5 5 Για 3 = είναι 5 3 6 y = = άρα 5 5 3 6 w = i. 5 5 δ) Είναι w w = 4 = ρ άρα οι εικόνες των w και w είναι αντιδιαµετρικά σηµεία του κύκλου. Αν είναι Κ η εικόνα του w και Λ η εικόνα του w τότε w + w = ΟK + ΟΛ = ΟΑ = =. 6. Πανελλήνιες ο θέμα Έστω ότι οι µιγαδικοί αριθµοί z και w µε z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i + z + 3i = και w = z 3i + z 3i α) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθ- µών z. Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι z + 3i =. Μονάδες 4 z 3i γ) Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγµατικός αριθµός και ότι w Μονάδες 8 δ) Να αποδείξετε ότι: z w = z. Μονάδες 6 Λύση α) Είναι z 3i + z + 3i = z 3i + z 3i = z 3i + z 3i =
6 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 z 3i = z ( + 3i) =. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι κύκλος µε κέντρο το K (,3 ) και ακτίνα ρ =. β) Είναι z + 3i = z 3i. γ) Είναι z 3i = z 3i = z 3i z 3i = z 3i z + 3i = ( β) w = z 3i + z 3i z 3i z z Re ( z) w z 3i = + + = + = R. Έστω z = + yi µε, y R. Εποµένως w =. + y 3 = Οι εικόνες του z ανήκουν στον κύκλο µε εξίσωση y 3 = άρα δ) Είναι z w = z ( z + z) = z = z. w. 7. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) ο θέμα ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: z i = + Im z () ( + ) = ( + ) w w + 3i = i 3w + i () α) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z είναι η παραβολή µε εξίσωση y 4 =. Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w είναι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο K (,3 ) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 7 γ) Να βρείτε τα σηµεία Α και Β του µιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z, w µε z = w. Μονάδες 5 δ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και, στη συνέχεια, να βρείτε τον µιγαδικό αριθµό u µε εικόνα στο µιγα-
Μιγαδικοί αριθµοί 7 δικό επίπεδο το σηµείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Κ, Α, Λ, Β να είναι τετράγωνο. Μονάδες 6 Λύση α) Έστω z yi = + µε, y R. Είναι z i = + Im z + yi i = + y Για να ισχύει η σχέση πρέπει + y y. Άρα για y είναι: + y = + y + y = + y + y y + = + y + y = 4y y = 4 β) Έστω w yi που ισχύει για κάθε y. = + µε, y R. Είναι w ( w 3i) i( 3w i) + = + ww + 3iw = 3iw ww + 3i ( w w) + = + y + 3i y = + y 6y + =. Η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο µε κέντρο 6 K, = K,3 και ακτίνα + 6 4 3 4 ρ = = = =. γ) Τα ζητούµενα σηµεία είναι τα κοινά σηµεία των δύο παραπάνω γεωµετρικών τόπων. Εποµένως για να τα βρούµε αρκεί να λύσουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους. Είναι: y 6y 4y y 6y + + = + + = = 4y y y + = y = (διπλή ρίζα) = ±. Άρα A (, ) και B (,) δ) Είναι KA = ( ) + ( 3) = 8, KB = + 3 = 8,. AB = + + = 4. y Άρα KA = KB δηλαδή το ΚΑΒ είναι ισοσκελές µε κορυ- K(,3) φή το Κ. Είναι AB = 6 και KA + KB = 8 + 8 = 6 άρα AB = KA + KB εποµένως το ΚΑΒ είναι ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Κ. B(-,) O Ë(,-) A(,)
8 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 Για να είναι το ΚΑΛΒ τετράγωνο πρέπει οι διαγώνιες να είναι ίσες, άρα πρέπει να είναι ΚΛ = ΑΒ. Είναι AB = 4 άρα και ΚΛ 4 =. Εποµένως είναι Λ (, ). 8. Πανελλαδικές ο θέμα Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόµενες σχέσεις: z + z + = 4 () w 5w = () α) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. Μονάδες 6 β) Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z µε z z = τότε, να βρείτε το z + z. Μονάδες 7 γ) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη µε εξίσωση y + = και 9 4 στη συνέχεια να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του w. Μονάδες 6 δ) Για τους µιγαδικούς αριθµούς z, w που επαληθεύουν τις σχέσεις () Λύση και () να αποδείξετε ότι: z w 4 Μονάδες 6 α) ος τρόπος Είναι z + z + = 4 z z + z + z + = 4 ( z )( z ) + ( z + )( z + ) = 4 zz z z + + zz + z + z + = 4 zz = zz = z = z = ος τρόπος Έστω z = + yi µε, y R. Είναι z + z + = 4
Μιγαδικοί αριθµοί 9 + yi + + yi + = 4 + y + + + y = 4 + + y + + + + y = 4 + y = + y = Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα ρ =. β) Είναι z = z =. Ισχύει z z = z z = z z z z = z z z z z z + z z = z z z z z + z = z z + z z = Εποµένως z + z = z + z z + z = z z + z z + z z + z z = z + zz + zz + z = + + =. Εποµένως z + z =. γ) Έστω w = + yi µε, y R. Είναι w 5w = w 5w = 44 + yi 5 ( yi) = 44 + yi 5 + 5yi = 44 4 + 6yi = 44 y 6 + 36y = 44 + =. 9 4 Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών w στο επίπεδο είναι έλλειψη µε α = 9 α = 3 και β = 4 β =. Έστω M( w ) η εικόνα του w. Είναι β ΟΜ α ΟΜ 3 w 3. Εποµένως είναι w = και min w = 3. ma δ) ος τρόπος Είναι z w z + w = + w + 3 = 4 ( z = και w 3) Επίσης z w z w = w = w = ( z = και w ) Εποµένως z w 4. ος τρόπος Έστω A ( z ) η εικόνα του z και B ( w ) η εικό- y A B να του w. Από την τριγωνική ανισότητα O προκύπτει ότι
3 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 ( ΟΑ) ( ΟΒ) ( ΑΒ) ( ΟΑ) + ( ΟΒ). Εποµένως z w z w z + w. Η συνέχεια είναι όπως στον ο τρόπο. 9. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) ο θέμα Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z, µε z, για τους οποίους ο z αριθµός w = είναι φανταστικός. z + Να αποδείξετε ότι: α) z = Μονάδες 7 β) Ο αριθµός z z 4 είναι πραγµατικός. Μονάδες 6 + z + z 4 z z γ), όπου z, z δύο από τους παραπάνω µιγαδι- κούς αριθµούς z. Μονάδες 6 δ) Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών u, για τους οποίους ισχύει Λύση i u ui = w, w, ανήκουν στην υπερβολή w α) ος τρόπος Ο w είναι φανταστικός άρα z z w = w = z + z + ( z )( z + ) = ( z + ) ( z ) zz + z z = y = = Μονάδες 6 ος τρόπος Έστω z = + yi µε, y R. Είναι ( + yi) ( + yi) z + yi + yi w = = = = = z + + yi + + + yi + + yi + yi
Μιγαδικοί αριθµοί 3 + + y y + y + + i + + y + + y Ο αριθµός w είναι µιγαδικός άρα ( + ) + + + y Re w = = y + + y = + y = + y = z = z = β) Είναι z = z = z z = z =. z 4 4 4 4 4 4 4 4 z = z z = ( iim z ) = i Im( z) = Im( z) z R. Άρα + z + z 4 z + z z + z 4 z + z 4 z z γ) Είναι z + z που ισχύει γιατί τα z και z ανήκουν στον µοναδιαίο κύκλο ( z ) = και z = ) και η µεγαλύτερη δυνατή απόστασή τους είναι η διάµετρος του κύκλου που είναι ίση µε δύο. δ) Ο w είναι φανταστικός αριθµός άρα είναι της µορφής w = βi µε β R. Έστω u = + yi µε, y R. i i u ui = w + yi + yi i = βi + yi i yi = βi w βi β Είναι + y = + y + ( y ) i = βi β. β y = β Προσθέτοντας τις δύο σχέσεις κατά µέλη προκύπτει y = β y = β β β. Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά µέλη προκύπτει = + β = β β + β. Άρα y = + β β = + + β β + = 4 β 4 β 4 β 4 β + + β + β = 4 = 4 β β 4
3 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3. Πανελλαδικές 3 ο θέμα Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει: z z + z = α) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z, είναι κύκλος µε κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 5 Στη συνέχεια, για κάθε µιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω γεω- µετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z 3. Μονάδες 3 β) Αν οι µιγαδικοί αριθµοί z, z που ανήκουν στον παραπάνω γεωµε- τρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης αριθµό, β, γ R και w + βw + γ = + + =, µε w µιγαδικό Im z Im z = τότε να αποδείξετε ότι: β = 4 και γ = 5 Μονάδες 9 γ) Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς α, α, α οι οποίοι ανήκουν Λύση στον γεωµετρικό τόπο του ερωτήµατος (α). Αν ο µιγαδικός αριθµός ν ικανοποιεί τη σχέση: τότε να αποδείξετε ότι: α) Είναι ν + α ν + α ν + α = 3 ν < 4 Μονάδες 8 z z + z = z + z = Θέτουµε z = ω. Άρα t + t =. Είναι = + 8 = 9 >. Άρα ± 3 t = t = (απορρίπτεται) ή t = z =. Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z, είναι κύκλος µε κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ =. β) Είναι z = z. Εποµένως αν z = + yi τότε z = yi. Άρα Im z Im z = y y = y = y = ±.
Μιγαδικοί αριθµοί 33 Εποµένως z = + yi = + yi = + y = ( ) + = = =. Άρα z = + i και z = i. Είναι z + z = β 4 = β β = 4 και z z = γ 5 = γ γ) Για τους µιγαδικούς α, α, α ισχύει α 3, α 3, α 3. ος τρόπος Είναι ν + α ν + α ν + α = ν = α ν + α ν + α 3 3 3 ν = α ν + α ν + α α ν + α ν + α = α ν + α ν + α 3 ν + ν + Αν v > τότε 3 3 3 3 v v v v 3 = 3 < 3 v v v v Άρα 3 3 v v < 3 3 v 3 v 4 v < v < < Αν v τότε v < 4 v < 4 ος τρόπος Είναι 3 α α α α α α ν + α ν + α ν + α = + 3 3 v + v + v = v + v + v = α α α α α α 3 3 v + v + v = v + v + v = Όµως α α α α α α α α α + + + + = + +. () 3 3 3 v v v v v v v v v Υποθέτουµε ότι v 4 4. v α α α 3 3 3 3 6 + 3 4 + 3 Άρα από την () προκύπτει + + + + = = 3 v v v 4 6 64 64 3 63 63 = =. Άτοπο, άρα v < 4. 64 64 64 3 ος τρόπος
34 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 Είναι ν + α ν + α ν + α = ν = α ν + α ν + α 3 3 ν = α ν + α ν + α α ν + α ν + α = α ν + α ν + α 3 ν + 3 ν + 3 3 Άρα 3 3 ν 3 ν 3 ν 3 ν 3 ν 3 ν 3 + +. () Κάνουµε, µε το σχήµα Horner, τη διαίρεση ( ν ) 3 3 ν 3 ν 3 : ( ν 4) 3 3 3 ρ = 4 4 4 4 3 Άρα ν 3 ν 3 ν 3 = ν 4 ν + ν + + και από την () προκύπτει ν 4 ν + ν + + ν 4 ν + ν + < Όµως είναι ν + ν + > άρα v 4 < v < 4. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) 3 ο θέμα Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w για τους οποίους ισχύουν η εξίσωση w 4 3i = z, R έχει µια διπλή ρίζα, την =. α) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των z στο µιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =, καθώς επίσης ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο K ( 4,3 ) και α- κτίνα ρ = 4. Μονάδες 8 β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωµετρικούς τόπους. Μονάδες 5 γ) Για τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z, w του ερωτήµατος (α) να αποδείξετε ότι: z w και z + w Μονάδες 6
Μιγαδικοί αριθµοί 35 δ) Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z του ερωτήµατος (α) να βρείτε εκείνους, για τους οποίους ισχύει: z 3z zz = 5 Λύση α) Το = είναι ρίζα της εξίσωσης θα την επαληθεύει. Μονάδες 6 Άρα w 4 3i = z + z = w 4 3i. () Το = είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης άρα = w 4 3i = 6 z () Από τις () και () προκύπτει: ( + z ) = 6 z 4 + 8 z + 4 z = 6 z z z + = z = z =. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των z στο µιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. Από την () προκύπτει w 4 3i = 6 w 4 3i = 4 άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο K ( 4,3 ) και ακτίνα ρ = 4. β) Η απόσταση ΟΚ των κέντρων των δύο κύκλων είναι 4 + 3 = 5 = ρ + ρ άρα οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά και εποµένως υπάρχει µοναδικός µιγαδικός αριθµός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωµετρικούς τόπους. Παρατήρηση: Η εκφώνηση δεν µας ζητάει να προσδιορίσουµε τον µιγαδικό παρά µόνο την µοναδικότητα της ύπαρξης του. Αν έπρεπε να προσδιορίσουµε τον µιγαδικό τότε θα έπρεπε να λύσουµε το σύστηµα: u = u 4 3i = 4 το οποίο έχει λύση 4 3 u = + i. 5 5 γ) Είναι OK ρ w ΟΚ + ρ 5 4 w 5 + 4 w 9. Άρα z + w z + w = + 9 = και
36 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 z w z ( w) z w z w 9 = + + = + = + = (ή z w ρ + ρ = ) δ) z 3z zz = 5 z z 3 z = 5 + yi 3 yi = 5 + yi 3 + yi = 5 3 + 4yi = 5 9 + 6y = 5 9 + 6y = 5 y = y = ±. Από τη σχέση z = προκύπτει + y = + = =. Άρα οι ζητούµενοι µιγαδικοί είναι οι z = i και z = i.
Όριο Συνέχεια συνάρτησης 37. Όριο Συνέχεια συνάρτησης. Αποδείξεις. Πανελλήνιες 5 Έστω µία συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστη- µα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f ( α) f ( β) δείξτε ότι για κάθε η µεταξύ των f ( α ) και f ( β ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον ( α,β) τέτοιος, ώστε f ( ) o o = η.. Ορισµοί. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Να ορίσετε πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β].. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 Πότε µία συνάρτηση f : A R λέγεται ; 3. Πανελλήνιες 7 Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες;
38 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 4. Πανελλήνιες 8 Πανελλαδικές Πότε µία συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α,β]; 5. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Έστω µία συνάρτηση f και ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της. Πό- τε θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο ; 6. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α παρουσιάζει στο A (ολικό) µέγιστο, το f ( ) ; 7. Πανελλαδικές Έστω συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο A τοπικό µέγιστο; 3. Ερωτήσεις Σωστό Λάθος. Πανελλήνιες Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] µία µέγιστη τιµή. Λάθος. Μπορεί να είναι lim f α = +.. Πανελλήνιες Κάθε συνάρτηση, που είναι στο πεδίο ορισµού της, είναι γνησίως µονότονη.
Όριο Συνέχεια συνάρτησης 39 Λάθος. Π.χ. η f =. 3. Πανελλήνιες Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο lim f = Σωστό. lim f =, τότε και 4. Πανελλήνιες Αν lim f > τότε Σωστό. f > κοντά στο. 6. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 Μία συνάρτηση f : A R είναι συνάρτηση αν και µόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν = τότε f ( ) = f ( ) Λάθος. Η συνεπαγωγή που πρέπει να ισχύει είναι η: αν f ( ) f ( ) =, τότε = 7. Πανελλήνιες 4 lim f o =l, αν και µόνο αν lim f = lim f =l =. + o o Σωστό µε την προϋπόθεση ότι ορίζονται τα όρια από αριστερά και δεξιά στο. 8. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4
4 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού R και ορίζονται οι συνθέσεις f σες. g και g f, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ί- Λάθος. Π.χ. Για τις συναρτήσεις f ( f g) = f g = ln µε (, ) = ln και g + και g f = g f = ln µε, + ). = ισχύει: 9. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και συµµετρικές ως προς την ευθεία y και 'Oy'. Σωστό. f είναι = που διχοτοµεί τις γωνίες Oy. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Αν υπάρχει το όριο της f στο f κοντά στο, µε κ N και κ. Σωστό., τότε: lim κ f κ lim f = εφόσον. Πανελλήνιες 5 Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] µε f ( α) < και υπάρχει ξ ( α,β) f ( ξ) =, τότε κατ ανάγκη f ( β) >. Λάθος. Π.χ. η συνάρτηση f = µε,4. Είναι f ( ) = ( ) = <, υπάρχει ξ = (,4) ώστε f ( 4) = ( 4 ) = 4 < ώστε f ξ = f = και
Όριο Συνέχεια συνάρτησης 4. Πανελλήνιες 5 Αν υπάρχει το lim f g lim f και lim g. +, τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα Λάθος. Π.χ. για f 3 +, =, < και g, = 3 +, < στο =. 3. Πανελλήνιες 5 Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σηµείο Α µε την ευθεία y =, τότε το σηµείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f. Σωστό. 4. Πανελλήνιες 5 Αν lim f = και Σωστό. f > κοντά στο, τότε lim f = +. 5. Πανελλήνιες 5 Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δε µηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε Σωστό., δηλαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα. 6. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι f g και g f, τότε είναι υποχρεωτικά f g g f. Λάθος. Π.χ. Για τις συναρτήσεις f = g = µε R είναι
4 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 ( f g) = f g = g = και g f = g f = f = για R. 7. Πανελλήνιες 6 Αν υπάρχει το lim f >, τότε Σωστό. o f > κοντά στο o. 8. Πανελλήνιες 6 Η εικόνα f ( ) ενός διαστήµατος µέσω µίας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστηµα. Σωστό. 9. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 Μία συνάρτηση f : A R είναι, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f = y έχει ακριβώς µία λύση ως προς. Σωστό.. Πανελλήνιες 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνε- χής στο, τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο. Λάθος. Έπρεπε η συνάρτηση g να είναι συνεχής στο f ( ).. Πανελλήνιες 7 Αν α > τότε Σωστό. =. lim α
Όριο Συνέχεια συνάρτησης 43. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Η εικόνα f ( ) ενός διαστήµατος µέσω µίας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστηµα. Λάθος. Αν είναι f = c για κάθε τότε είναι f ( ) όχι διάστηµα. = c, δηλαδή σηµείο και 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Αν µία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β), τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β), όπου A = lim f και B lim f ( ) Σωστό. + α =. α 4. Πανελλήνιες 8 Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστή- µατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. Σωστό. 5. Πανελλήνιες 8 Αν µία συνάρτηση f : A R είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση Σωστό. f ισχύει: f f =, A f f y y και =, y f ( A). 6. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως µονότονες.
44 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 Σωστό. Π.χ. η συνάρτηση, = 5 f =, = 6., = 9 7. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 Έστω µία συνάρτηση ορισµένη σ ένα σύνολο της µορφής ( α, ) (,β) ( l) και l ένας πραγµατικός αριθµός. Τότε ισχύει η ισοδυναµία: l Σωστό. lim f = lim f = l l. 8. Πανελλήνιες 9 Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο Σωστό. A, όταν f f ( ) για κάθε A. 9. Πανελλήνιες 9 συν lim = συν Λάθος. Είναι lim =. 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Η συνάρτηση f είναι, αν και µόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σηµείο. Σωστό.
Όριο Συνέχεια συνάρτησης 45 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Αν lim f = και f < κοντά στο τότε lim f = + Λάθος. Είναι lim f = 3. Πανελλήνιες Αν µία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα ( α,β ), τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα ( A,B ), όπου A = lim f και B = lim f ( ) + α Λάθος. Το σύνολο τιµών της είναι το ( B,A ). β 33. Πανελλήνιες Αν lim f <, τότε Σωστό. f < κοντά στο. 34. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Αν ορίζονται οι συναρτήσεις f f g = g f. Λάθος. Για παράδειγµα για τις συναρτήσεις f, g: g = είναι f g = f g = f = + και ( ) g f = g f = g + = + = + άρα f g = g f. g και g f, τότε πάντοτε ισχύει R R µε f = + και
46 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 35. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Αν lim f = + ή, τότε lim =. f Σωστό. 36. Πανελλήνιες Μία συνάρτηση f : A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Σωστό. A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f ( ) f ( ) 37. Πανελλήνιες Ισχύει ότι: ηµ lim =. + ηµ Λάθος, ισχύει lim =. 38. Πανελλήνιες Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και µετρικές ως προς την ευθεία y 'Oy'. Σωστό. f είναι συµ- = που διχοτοµεί τις γωνίες Oy και 39. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) µέγιστο το f ( ), όταν f f ( ) Σωστό. για κάθε A. A
Όριο Συνέχεια συνάρτησης 47 4. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Αν µία συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα, τότε είναι στο διάστηµα αυτό. Σωστό. 4. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Αν lim f = και Σωστό. f > κοντά στο, τότε lim f = +. 4. Πανελλαδικές Μία συνάρτηση f είναι, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f Σωστό. = y έχει ακριβώς µία λύση ως προς. 43. Πανελλαδικές Αν είναι lim f = +, τότε Λάθος. Αν είναι lim f f < κοντά στο. = + τότε f > κοντά στο. 44. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συµµετρική, ως προς τον άξονα ', της γραφικής παράστασης της f. Σωστό.
48 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 45. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Αν είναι < α <, τότε + lim α = + ; Λάθος. Αν είναι < α < τότε lim α + = ενώ αν α > τότε lim α + = +. 46. Πανελλαδικές 3 Αν lim f <, τότε Σωστό. f < κοντά στο. 47. Πανελλαδικές 3 Ισχύει ότι: ηµ Σωστό. για κάθε R. 48. Πανελλαδικές 3 συν Ισχύει ότι: lim =. συν Λάθος. Ισχύει lim = 49. Πανελλαδικές 3 Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστή- µατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουνε το πεδίο ορισµού της. Σωστό. 5. Πανελλαδικές 3 (Επαναληπτικές) Αν µια συνάρτηση f είναι στο πεδίο ορισµού της, τότε υπάρχουν σηµεία της γραφικής παράστασης της f µε την ίδια τεταγµένη.
Όριο Συνέχεια συνάρτησης 49 ( ) Λάθος. Αν υπήρχαν σηµεία µε ίδια τετµηµένη, έστω ( ( )) A,f και B,f τότε σε διαφορετικά αντιστοιχεί το ίδιο y άρα η f δεν είναι. 5. Πανελλαδικές 3 (Επαναληπτικές) Αν lim f ( ) =, τότε Σωστό. lim f = +. 5. Πανελλαδικές 3 (Επαναληπτικές) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δεν µηδενίζεται σε αυτό, τότε η f διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα. Σωστό.
5 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 4. Ασκήσεις. Πανελλήνιες 3 ο θέμα ίνεται η συνάρτηση f µε: f + < < = 5 ( α + β ) ln( 5 + e) + ( α + ) e, 5 8 + 6, < < 5 α) Να βρεθούν τα lim f, lim f 5 + 5. Μονάδες 6 β) Να βρεθούν τα α, β R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο = 5. Μονάδες o γ) Για τις τιµές των α, β του ερωτήµατος (β) να βρείτε το Λύση α) + 5 lim f lim 8 6 5 8 5 6 5 4 6 5 5 lim f + + = + = + = + = και. Μονάδες 9 ( + ) ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) + ( + ) lim α β ln 5 e α e α β ln 5 5 e α e 5 5 5 = ( α + β ) lne + ( α + ) e = α + β + α + = α + β + α +. β) Για να είναι η συνάρτηση f συνεχής στο = 5 αρκεί o lim f = lim f = f 5. + 5 5 Είναι Άρα αρκεί 5 5 f 5 α β ln 5 5 e α e α β α = + + + + = + + +. α + β + α + =. Λύνουµε την εξίσωση και έχουµε α β α α β α α β + + + = + + + = + + = α + = και β =. Άρα α = και β =. γ) Για α = και β = η συνάρτηση f για 5 γίνεται: 5 f = + ln 5 + e + + e = ln 5 + e. Είναι ( + ) = + άρα και + lim 5 e + lim f = +.
ιαφορικός λογισµός 5 3. ιαφορικός λογισµός. Αποδείξεις. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Έστω µία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. α) Να αποδείξετε ότι αν f ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστηµα. β) Αν f ' < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τι συµπεραίνετε για τη µονοτονία της συνάρτησης f;. Πανελλαδικές Πανελλήνιες Πανελλαδικές 3 (Επαναληπτικές) Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα ση- µείο του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυ- τό. 3. Πανελλήνιες Έστω η συνάρτηση f στο R και ισχύει f ' = ηµ. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη = συν. 4. Πανελλήνιες 4 Έστω µία συνάρτηση f ορισµένη σ ένα διάστηµα και o ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι f '( o ) =.
5 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 5. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Πανελλήνιες 9 Έστω µία συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η f είναι συνεχής στο και f = για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. 6. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 Έστω η συνάρτηση f µε f =. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (, + ) και ισχύει: f 7. Πανελλήνιες 6 =. Έστω µία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Να αποδείξετε ότι: Αν f ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Αν f ' < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το. 8. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 Να αποδείξετε ότι: ( συν )' = ηµ, R. 9. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Να αποδείξετε ότι αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα ση- µείο, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8
ιαφορικός λογισµός 53 Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln, * R είναι παραγωγίσιµη στο * R και ισχύει: ln ' =.. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Έστω η συνάρτηση f µη στο (, + ) και ισχύει: f ' =. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσι- =.. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f στο R και ισχύει ( ηµ )' = συν. = ηµ, R είναι παραγωγίσιµη 3. Πανελλαδικές Έστω µία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. 4. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ( α,β ), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Αν > στο ( α, ) και f ( ) < στο f,β, τότε να αποδείξετε ότι το f ( ) είναι τοπικό µέγιστο της f. Μονάδες 7
54 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3. Ορισµοί. Πανελλαδικές ( ) A, f. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, να γραφεί η εξίσωσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο. Πανελλήνιες 3 Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού; 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 Πανελλήνιες Πότε µία ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µίας συνάρτησης f; 4. Πανελλήνιες 4 9 Πότε µία συνάρτηση f λέµε ότι είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο o του πεδίου ορισµού της; 5. Πανελλήνιες 5 Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µίας συνάρτησης f στο +. 6. Πανελλήνιες 6 Έστω µία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε λέµε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο ;
ιαφορικός λογισµός 55 7. Πανελλήνιες 7 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; 8. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle του ιαφορικού Λογισµού; 9. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού;. Πανελλήνιες Έστω µία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε λέµε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο ;. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα α,β του πεδίου ορισµού της;. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Να διατυπώσετε το θεώρηµα Rolle. 3. Πανελλαδικές 3 Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού (Θ.Μ.Τ.)
56 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 4. Πανελλαδικές 3 Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα α,β του πεδίου ορισµού της; 5. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) 3 Έστω συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Ποια σηµεία λέγονται κρίσιµα σηµεία της f; 6. Πανελλαδικές 3 (Επαναληπτικές) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Fermat.
ιαφορικός λογισµός 57 3. Ερωτήσεις Σωστό Λάθος. Πανελλαδικές Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο. Λάθος. Π.χ. f ηµ, =., =. Πανελλαδικές Πανελλήνιες 9 Επαναληπτικές Αν η f είναι συνεχής στο, τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο. Λάθος. Π.χ. η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο =. = είναι συνεχής στο = αλλά δεν είναι 3. Πανελλαδικές Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο, τότε η f είναι συνεχής στο. Σωστό. Η f ' είναι παραγωγίσιµη στο άρα είναι και συνεχής στο. 4. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) f e Η συνάρτηση πραγµατικών αριθµών. Λάθος. Είναι ' = είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των f ' e e σύνολο των πραγµατικών αριθµών. = = < άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
58 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 5. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) f ' = ηµ + + 3, όπου ηµ Η συνάρτηση f µε: π,π είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα αυτό. Σωστό. Είναι ηµ άρα > και ηµ f ' = ηµ + + 3 > για ηµ κάθε π,π άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα αυτό. 6. Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) f ' = g' + 3 για κάθε τότε η συνάρτηση Αν είναι: = h = f g είναι γνησίως φθίνουσα στο. Λάθος. h' = f ' g' = 3 > άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο. 7. Πανελλήνιες 3 Έστω µία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν f '' > για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι κυρτή στο. Σωστό. 8. Πανελλήνιες 3 Αν µία συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστηµα, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. Λάθος. Αν µία συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστηµα, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση.
ιαφορικός λογισµός 59 9. Πανελλήνιες 3 Έστω µία συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο και f '( ) =, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο. 3 Λάθος. Π.χ. η f = για την οποία ισχύει f ' = 3 και f ' = χωρίς όµως το να είναι τοπικό ακρότατο αφού f ' για κάθε R άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Αν f ' > στο ( α, ) και f είναι τοπικό ελάχιστο της f. Λάθος, είναι τοπικό µέγιστο. f ' < στο (,β), τότε το. Πανελλήνιες 4 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει: ( f g )'( ) = f '( ) g' ( ) Λάθος. Ο τύπος είναι o o o f g ' = f ' g g'. o o o. Πανελλήνιες 4 Έστω µία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f '( o ) > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το.
6 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3 Λάθος. Αν ισχύει f '( o ) > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό. Λάθος. Αυτό που ισχύει είναι ότι αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. 4. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 Τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση µε το, λέγονται κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα. Σωστό. 5. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β) µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του. Αν η f κυρτή στο ( ) (,β) ή αντιστρόφως, τότε το σηµείο σηµεία καµπής της γραφικής παράστασης της f. ( ) Λάθος. Για να είναι το της f πρέπει επιπλέον η f α, και κοίλη στο A, f είναι υποχρεωτικά A,f σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης ( ) C να έχει εφαπτοµένη στο A,f. 6. Πανελλήνιες 6 Ισχύει ο τύπος Λάθος. Ισχύει 3 ' = 3, για κάθε R. 3 ' 3 ln 3 =.
ιαφορικός λογισµός 6 7. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει: ' f f g' f ' g ( ) = g Λάθος. Ο τύπος που ισχύει είναι ( ) ( ) ( ) g( ) και ' f f ' g f g' = g ( ) ( ) g( ) g, τότε. 8. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 Για κάθε ισχύει Σωστό. ln ' =. 9. Πανελλήνιες 7 Έστω f µία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε f ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του. 3 Λάθος. Π.χ. η f = είναι γνησίως αύξουσα στο R αλλά f ' =.. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f ' g', τότε ισχύει f g = για κάθε εσωτερικό σηµείο του = για κάθε. Λάθος. Με τις παραπάνω προϋποθέσεις συµπεραίνουµε (Πόρισµα της συνέπειας του θεωρήµατος της Μέσης Τιµής) ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f = g + c.
6 Θέµατα Πανελληνίων στα µαθηµατικά κατεύθυνσης 3. Πανελλήνιες 8 Αν µία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f '' > για κάθε πραγµατικό αριθµό. 4 Λάθος, π.χ. η f = η οποία είναι κυρτή στο R και ισχύει f '' =. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 Αν µία συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστηµα, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του, βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους. Σωστό. 3. Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Έστω η συνάρτηση f R = R { συν = } και ισχύει f ' = =. συν Λάθος. Είναι f ' = εφ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο =. συν 4. Πανελλήνιες Έστω συνάρτηση f, συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του. 3 Σωστό. Π.χ. η f = µε R και f ' 3 =. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και είναι f '( ) =. Παρατήρηση: Για να είναι µία συνάρτηση f γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα, αρκεί να είναι f ' για κάθε και η f ' να µηδενίζεται σε διακεκρι-