4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή των αξόνων και εστίες στον y y i Να βρείτε τις εφαπτόµενες της έλλειψης που διέρχονται από το σηµείο Κ(0, 0) u = ( 6, 8) = Και επειδή (9, 1) = ν < 0, θα είναι u ν u = 6+ 64 = 10 και v = 81+ 144 = 15 Εποµένως η έλλειψη έχει ηµιάξονες α = 15 και β = 10 x Η εξίσωση της έλλειψης είναι 100 + y 5 = 1 i Αν (x 1, y 1 ) είναι το σηµείο επαφής τότε η εφαπτοµένη σ αυτό έχει εξίσωση xx1 Εξίσωση εφαπτοµένης : 100 + yy1 5 = 1 όπου (x 1, y 1 ) το σηµείο επαφής ιέρχεται από το σηµείο Κ(0, 0) Το σηµείο ( x 1, y 1 ) ανήκει στην έλλειψη Η εξίσωση εφαπτοµένης x 5 100 0 x 1 100 = 1 x 1 = 5 x 1 y 1 100 + 5 =1 5 100 + y 1 5 =1 y 1 5 = 75 100 15 y ± = 1 5 y 1 = ± 15 x 0 ± y 0 = 1

. Έστω οι αριθµοί α = κ + και β = 6κ + 7, κ Z. είξτε ότι Ο α είναι άρτιος και ο β περιττός Το υπόλοιπο της διαίρεσης του β α µε το 10 είναι i Αν ο κ είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε 7 (α + β ) α = ( κ + ) = 4κ + 8κ + 4 = (κ + 4κ + ) = λ, άρτιος (όπου λ= κ + 4κ + Z ) β = ( 6κ + 7) = 6κ + 84κ + 49 = = 6κ + 84κ + 48 + 1= =(18κ + 4κ + 4) + 1 = µ + 1 περιττός, (όπου µ =18κ + 4κ + 4 Z ) β α = 1κ + 14 κ = 10κ + 1 = 10κ + 10 + = 10(κ + 1) + = 10π + το υπόλοιπο είναι (όπου π = κ + 1 Z ) i α + β = κ + + 6κ + 7 = 8κ + 7 Αλλά κ = 7ρ, ρ Z, άρα α + β = 8 7ρ + 7 = 7(8ρ + 1) = 7ν, όπου ν = 8ρ + 1 Z Εποµένως 7 ( α + β ).

. Σε επίπεδο θεωρούµε τα σηµεία Α, Β, Γ,, Ρ, Κ, Λ, Μ Να δείξετε ότι Α +ΒΓ=ΑΓ+Β Αν ισχύει ΡΑ+ ΡΒ 4ΡΓ = 0 α) είξτε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. β) Ποιο από τα Α, Β, Γ είναι µεταξύ των άλλων δύο; i Αν ΑΛ+ ΒΛ+ ΜΒ=ΑΚ+ΑΜ+ΒΚ να δείξετε ότι τα διανύσµατα ΚΛ, ΜΛ είναι αντίρροπα. Θεωρούµε σηµείο αναφοράς το Α : Α +ΒΓ=ΑΓ+Β Α +ΑΓ ΑΒ=ΑΓ+Α ΑΒ 0 = 0 α) Θεωρούµε σηµείο αναφοράς το Α : ΡΑ+ ΡΒ 4ΡΓ = 0 ΑΡ +( ΑΒ ΑΡ) 4( ΑΓ ΑΡ) = 0 ΑΡ +ΑΒ ΑΡ 4ΑΓ+ 4ΑΡ = 0 Σαν σηµείο αναφοράς ΑΒ 4ΑΓ = 0 επιλέγουµε οποιοδήποτε 4 σηµείο του αποδεικτέου ΑΒ = ΑΓ ΑΒ, ΑΓ συγγραµµικά Α, Β, Γ συνευθειακά β) Επειδή 4 > 0, τα ΑΒ, ΑΓ είναι οµόρροπα. 4 Επειδή ΑΒ = ΑΓ τµήµατος ΑΒ, δηλαδή ΑΒ > ΑΓ, το Γ είναι εσωτερικό του i Θεωρούµε σηµείο αναφοράς το Κ : ΑΛ+ ΒΛ+ ΜΒ=ΑΚ+ΑΜ+ΒΚ (ΚΛ ΚΑ ) + (ΚΛ ΚΒ )+ (ΚΒ ΚΜ ) = ΚΑ + (ΚΜ ΚΑ ) ΚΒ ΚΛ ΚΑ + ΚΛ ΚΒ + ΚΒ ΚΜ = ΚΑ + ΚΜ ΚΑ ΚΒ 5ΚΛ =ΚΜ 5ΚΛ =(ΚΛ +ΛΜ ) ΚΛ =ΛΜ ΚΛ = ΜΛ ΚΛ = ΜΛ ΚΛ, ΜΛ αντίρροπα (αφού < 0)

4 4. ίνονται τα σηµεία Α(, 1), Β(6, 4) και Γ 9, 6. είξτε ότι η γωνία Α ˆΒΓ είναι ορθή. Βρείτε τις συντεταγµένες της κορυφής του ορθογωνίου ΑΒΓ. i Βρείτε την εξίσωση του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. i ) λ ΒΑ = 1 4 = 6 4, Λ ΒΓ = 6 4 4 = 9 6 λ ΒΑ λ ΒΓ = 4 4 = 1 ΑΒ ΒΓ ΑΒΓ = 90 ο Α Β ΑΒΓ ορθογώνιο 9 K Α =ΒΓ ( x, y 1) = 6, 6 4 Γ x = και y 1 = x = 1 και y = Άρα 1, i Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Β, το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου θα είναι το µέσο της υποτείνουσας ΑΓ, δηλαδή το Κ, και η ακτίνα ρ του κύκλου θα είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας ΑΓ. 9 + xa + xγ x K = = = 1 4, y y + y Κ = A Γ = 1 + 6 7 = άρα Κ 1 7, 4 ρ = 1 ΑΓ = 1 9 + (1 6) Ο ζητούµενος κύκλος έχει εξίσωση : = 5 5 4 1 x 4 + 7 y = 15 16

5 5. A. Στον παρακάτω πίνακα να κάνετε τις σωστές αντιστοιχίσεις Στήλη Α Στήλη Β Κάθετα διανύσµατα α, β α) α β = α β Οµόρροπα διανύσµατα α, β β) α β = α β i Αντίρροπα διανύσµατα α, β γ) α β = 0 δ) α β = α β B. Στον παρακάτω πίνακα στη στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις ευθειών και στη Β τα κάθετα σ αυτές διανύσµατα. Να κάνετε τις σωστές αντιστοιχίσεις. Στήλη Α Στήλη Β i ) y =x 5 α) (, 7) y = 7 β) (, 1) i x =1 γ) (1, ) δ) (4, 0) ε) (0, ) Γ. Στον παρακάτω πίνακα στην στήλη Α δίνονται εξισώσεις κωνικών τοµών και στην στήλη Β ονοµασίες γραµµών του επιπέδου. Κάντε τις σωστές αντιστοιχίσεις Στήλη Α x y + = 1, α > 0, β > 0 α β Στήλη Β α) Κύκλος x y α β =1, α > 0, β > 0 β) Ευθεία i y = px, p > 0 γ) Υπερβολή iν) x + y = ρ, ρ > 0 δ) Παραβολή ε) Έλλειψη

6 Α. i γ, ii α, iii β Β. i β, ii ε, iii δ Γ. i ε, ii γ, iii δ, iν α 6. Έστω η εξίσωση x + y x y + α + α + 1 = 0, α R Να βρείτε τις τιµές του α ώστε η εξίσωση να παριστάνει κύκλο. Για ποια από αυτές τις τιµές ο κύκλος περνάει από την αρχή των αξόνων; i Για α = 1 να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τα σηµεία τοµής του κύκλου µε τους άξονες. Πρέπει και αρκεί Α + Β 4Γ > 0 4 + 4 4(α + α + 1) > 0 1 + 1 (α + α + 1) > 0 α α 1 > 0 α + α 1 < 0 1 < α < 1 + Πρέπει και αρκεί 0 + 0 0 0 + α + α + 1 = 0 α + α + 1 = 0 α = 1 i Για α = 1 η εξίσωση του κύκλου γίνεται x + y x y = 0 (1) Για x = 0 η (1) γίνεται y y = 0 y = 0 ή y = Για y = 0 η (1) γίνεται x x = 0 x = 0 ή x = Εποµένως τα σηµεία τοµής του κύκλου µε τους άξονες είναι τα Ο(0, 0), Α(0, ), Β(, 0) Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι Ε = 1 1 (ΟΑ)(ΟΒ) = = τ. µονάδες

7 7. Να βρείτε φυσικό αριθµό ν έτσι ώστε διαιρούµενος µε το 45 να δίνει υπόλοιπο ίσο µε το τετράγωνο του πηλίκου. είξτε ότι για κάθε ν N ο 4 δεν διαιρεί τον ν + Έστω π το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της διαίρεσης ν : 45. Τότε ν = 45π + υ µε π, υ N και 0 υ < 45 και υ = π ν = 45π + π και 0 π < 45 ν = 45π + π και 0 π < 45 ν = 45π + π και π = 0, 1,,, 5, 6 Για π = 0 είναι ν = 45 0 + 0 = 0 Για π = 1 είναι ν = 45 1 + 1 = 46 Για π = είναι ν = 45 + = 94 Για π = είναι ν = 45 + = 144 Για π = 4 είναι ν = 45 4 + 4 = 196 Για π = 5 είναι ν = 45 5 + 5 = 50 Για π = 6 είναι ν = 45 6 + 6 = 06 Έστω ότι 4 (ν + ) τότε θα υπάρχει ακέραιος κ ώστε ν + = 4κ (1) Όταν ν = ρ (άρτιος), η (1) 4ρ + = 4κ = 4κ 4ρ = 4(κ ρ ) 4 που είναι άτοπο Όταν ν = ρ + 1 (περιττός), η (1) 4ρ + 4ρ + 1+ = 4κ Οπότε ο 4 δεν διαιρεί τον ν +. = 4κ 4ρ 4ρ = 4(κ ρ ρ) 4 που είναι άτοπο

8 8. Να δειχθεί ότι η εξίσωση x y 4λy λx λ = 0, λ R (1) παριστάνει δύο ευθείες κάθετες µεταξύ τους. Συναρτήσει του λ να βρεθεί το σηµείο τοµής των παραπάνω ευθειών. i Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής στην οποία κινείται το σηµείο τοµής. Θεωρούµε την (1) σαν εξίσωση ου βαθµού µε άγνωστο y και βρίσκουµε τις ρίζες της. (1) y + 4λy x + λx + λ = 0, = 16λ + 4(x λx λ ) = 4x 8λx + 4λ = 4(x λx + λ ) = 4(x λ) y 1, = 4λ± 4(x λ) = 4λ± (x λ ) = λ ± ( x λ) Οπότε y = λ + x λ ή y = λ x + λ y = x λ ή y = x λ Εποµένως η (1) παριστάνει τις ευθείες (ε 1 ), (ε ) Είναι λ 1 λ = 1 (ε 1 ) (ε ) Λύνοντας το σύστηµα των y = x λ, y = x λ βρίσκουµε x = λ και y = λ άρα το σηµείο τοµής των δύο ευθειών είναι το Μ( λ, λ) i Αν Μ ( x, y) τυχαία θέση του Μ, τότε x = λ και y = λ x = λ και y = x Άρα το Μ κινείται στην ευθεία y = x.

9 9. i ) Αν για τα µη συγγραµµικά διανύσµατα α, β ισχύει 5α +λβ = µα +β, να βρείτε τις τιµές των λ και µ. Αν τα διανύσµατα α, β δεν είναι συγγραµµικά, δείξτε ότι το ίδιο συµβαίνει και για τα διανύσµατα υ = α + β, ν =α 4β. 5α +λβ = µα +β 5α +λβ µα β = 0 (5 µ)α + (λ )β = 0 (1) Αν 5 µ 0 δηλαδή µ 5, η (1) α = λ 5 µ β α, β συγγραµµικά, άτοπο. Εποµένως είναι 5 µ = 0, δηλαδή µ = 5, οπότε η (1) (λ )β = 0 λ = 0 λ = Είναι β 0, διότι αν ήταν β = 0, θα ήταν συγγραµµικό του α. Έστω ότι τα υ και ν είναι συγγραµµικά Τότε θα υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ έτσι ώστε υ = λν α + β = λ (α 4β ) α + β = λα 4λβ λα α = β + 4λβ (λ )α = ( + 4λ)β () Αν ήταν λ 0 δηλαδή λ, η () α = + 4 λ β λ α και β συγγραµµικά, άτοπο Εποµένως είναι λ =, οπότε η () γίνεται ( + 4λ)β = 0 + 4λ = 0 4 λ = άτοπο αφού λ = Είναι β 0, διότι αν ήταν β = 0, θα ήταν συγγραµµικό του α.

10 40. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία Α(8, 0), Ο(0, 0) και εφάπτεται της ευθείας y = Του παραπάνω κύκλου να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο του A( 8, 0) i Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε η ευθεία (ε) : y = λx + 8 να είναι τέµνουσα του κύκλου. Προφανώς η χορδή ΟΑ είναι παράλληλη στην ευθεία y =. Το κέντρο Κ(x ο, y ο ) του ζητούµενου κύκλου ανήκει στη µεσοκάθετο ΚΒ της χορδής ΟΑ. Η εξίσωση της ΚΒ είναι x = 4, οπότε Β( 4, ) και Κ(4, y ο ) (ΚΟ) = (ΚΒ) (ΚΟ) = (ΚΒ) (0 4) + (0 y ο ) = (4 4) + ( y ο ) 16 + y ο = 4 + 4 y ο + 4 y ο = 1 y ο = y ο (ΚΒ) = (4 4) + ( ) = 5 ρ = ΚΒ = 5 Άρα ο ζητούµενος κύκλος είναι (x 4) + (y ) = 5 Είναι λ ΚΑ = 0 = 8 4 4 Εφαπτοµένη ΚΑ λ ΚΑ λ εφ = 1 λ εφ = 4 Εξίσωση της εφαπτοµένης : y 0 = 4 (x 8) y = 4 x i (ε) : y =λx +8 λx y + 8 = 0 (ε) τέµνουσα του κύκλου d(k, ε) < ρ 4λ + 8 < 5 λ + 1 4λ +5 < 5 λ + 1 16λ + 40λ + 5 < 5λ + 5 9λ 40λ > 0 λ(9λ 40 ) > 0 λ < 0 ή λ > 40 9