ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία
6.1 Ετεροσκεδαστικότητα: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της σταθερής διακύμανσης των όρων σφάλματος, η οποία αποτελεί τη βάση του κλασικού υποδείγματος, παραβιάζεται. Εξετάζουμε κριτικά αυτή την υπόθεση με σκοπό να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα: 1. Ποια είναι η φύση της ετεροσκεδαστικότητας; 2. Ποιες είναι οι θεωρητικές και οι πρακτικές συνέπειες της ετεροσκεδαστικότητας; 3. Δεδομένου ότι η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας σχετίζεται με τους μη παρατηρήσιμους διαταρακτικούς όρους, u t, πώς μπορεί κανείς να γνωρίζει ότι υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα σε κάθε δοθείσα κατάσταση; 4. Πως μπορεί κάποιος να διορθώσει το πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας; Οικονομετρία 2
6.2 Η φύση της Ετεροσκεδαστικότητας Μία από τις σημαντικότερες υποθέσεις του κλασικού γραμμικού υποδείγματος παλινδρόμησης είναι ότι η διακύμανση του κάθε διαταρακτικού όρου u i, ο οποίος αποτελεί συνάρτηση των τιμών των ερμηνευτικών μεταβλητών, είναι κάποιος σταθερός αριθμός ίσος με σ 2. Αυτή είναι η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας, ή ίση (ομο) εξάπλωση (σκεδαστικότητα), δηλαδή, ίση διακύμανση. Συμβολικά, E(u i2 ) = σ 2 για κάθε i = 1, 2,, n Οικονομετρία 3
6.2 Η φύση της Ετεροσκεδαστικότητας ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ: Ομοσκεδαστικοί διαταρακτικοί όροι Οικονομετρία 4
6.2 Η φύση της Ετεροσκεδαστικότητας Ετεροσκεδαστικότητα (heteroskedasticity): η διασπορά του διαταρακτικού όρου δεν παραμένει σταθερή για όλο το εύρος των παρατηρήσεων. Δηλαδή, για τις τιμές του διαταρακτικού όρου θα ισχύει: var(u i x i ) = E(u i2 ) σ 2 για κάθε i Εμφανίζεται: 1. σε χρονοσειρές 2. και κυρίως σε διαστρωματικά στοιχεία Οικονομετρία 5
6.2 Η φύση της Ετεροσκεδαστικότητας ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ: Ετεροσκεδαστικοί διαταρακτικοί όροι Οικονομετρία 6
6.3 Λόγοι εμφάνισης Γιατί προκύπτει η ετεροσκεδαστικότητα; Υπάρχουν διάφοροι λόγοι, ορισμένοι από τους οποίους είναι οι ακόλουθοι: Μεταβλητότητα σε επίπεδα μεγέθους των ανεξάρτητων μεταβλητών Η συμπεριφορά του σφάλματος μπορεί να διαφέρει από παρατήρηση σε παρατήρηση ή σε υποσύνολα παρατηρήσεων με αποτέλεσμα η διασπορά του σφάλματος να μην είναι σταθερή σε όλο το δείγμα. Για παράδειγμα, καθώς το εισόδημα αυξάνεται, οι άνθρωποι έχουν περισσότερο διαθέσιμο εισόδημα και ως εκ τούτου μεγαλύτερο περιθώριο επιλογών σχετικά με τη διάθεση του εισοδήματός τους. Ως εκ τούτου, η διακύμανση (σ i2 ) είναι πιθανό να αυξηθεί με την αύξηση του εισοδήματος. Οικονομετρία 7
Σφάλμα Εξειδίκευσης 6.3 Λόγοι εμφάνισης Μπορεί να εμφανιστεί κατά τη διάρκεια συλλογής των δεδομένων ή αν παραλειφθεί μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Βελτιώσεις στη συλλογή των δεδομένων Σε περιπτώσεις δεδομένων χρονοσειρών είναι αναμενόμενο κατά τη διάρκεια της μέτρησης να μειώνονται τα σφάλματα καθώς βελτιώνονται οι τρόποι συλλογής τους. Οικονομετρία 8
6.4 Συνέπειες ετεροσκεδαστικότητας Τι συμβαίνει με τους εκτιμητές της Μεθόδου Ελαχίστων Τετραγώνων (OLS) και τις διακυμάνσεις τους, αν αγνοήσουμε την ετεροσκεδαστικότητα στους διαταρακτικούς όρους; Δηλαδή, αν εκτιμήσουμε το υπόδειγμα σαν να μην υπάρχει ετεροσκεδατικότητα; Έστω ότι έχουμε το ακόλουθο υπόδειγμα: Y i = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + u i και var(u i ) = E(u i2 )= σ i 2 Οικονομετρία 9
6.4 Συνέπειες ετεροσκεδαστικότητας Με την παρουσία ετεροσκεδαστικότητας οι εκτιμητές της OLS εξακολουθούν να είναι γραμμικοί, αμερόληπτοι και συνεπείς και να ακολουθούν ασυμπτωτικά την κανονική κατανομή, όμως δεν είναι πλέον αποτελεσματικοί (δηλαδή, δεν έχουν την ελάχιστη διακύμανση). Τι θα συμβεί στη συνέχεια, με τις συνήθεις διαδικασίες ελέγχου υποθέσεων, αν συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε τους εκτιμητές της OLS; Οικονομετρία 10
6.4 Συνέπειες ετεροσκεδαστικότητας Η κατάσταση είναι δυνητικά πολύ σοβαρή, αν όχι μόνο χρησιμοποιήσουμε, π.χ., το መβ 2, αλλά και αν συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε τη var መβ 2 η οποία αγνοεί πλήρως το πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας. Δηλαδή, πιστεύουμε λανθασμένα ότι ισχύουν οι συνήθεις υποθέσεις του κλασικού υποδείγματος. Θα προκύψουν σφάλματα για τους ακόλουθους λόγους: 1. Η διακύμανση των καταλοίπων σ 2 = σ u i 2 /(n k 1) είναι πιθανό να υποεκτιμά την πραγματική σ 2. 2. Ως εκ τούτου, είναι πιθανόν να υπερεκτιμούμε το R 2. 3. Ως εκ τούτου, οι συνήθεις έλεγχοι σημαντικότητας t και F δεν ισχύουν πλέον, και εάν εφαρμοστούν, είναι πολύ πιθανό να δώσουν παραπλανητικά συμπεράσματα σχετικά με τη στατιστική σημαντικότητα των εκτιμημένων συντελεστών παλινδρόμησης. 4. Τα Διαστήματα Εμπιστοσύνης των παραμέτρων είναι μεγαλύτερα σε σχέση με τα πραγματικά. 5. Οι προβλέψεις δεν έχουν ελάχιστη διασπορά και είναι αναποτελεσματικές. Τα Διαστήματα Εμπιστοσύνης των προβλέψεων δεν είναι έγκυρα. Οικονομετρία 11
6.5 Εντοπισμός της ετεροσκεδαστικότητας 1. Γραφική παράσταση των καταλοίπων. Εκτιμούμε με την Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων το υπόδειγμα και παίρνουμε τα κατάλοιπα. Στη συνέχεια εξετάζονται τα τετράγωνα των καταλοίπων. Μπορεί να γίνουν οι ακόλουθες γραφικές παραστάσεις: i. των τετραγώνων των καταλοίπων με τις εκτιμηθείσες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής ii. των τετραγώνων των καταλοίπων με κάποια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές του υποδείγματος Οικονομετρία 12
6.5 Εντοπισμός της ετεροσκεδαστικότητας i. Διάγραμμα 1: τετράγωνα των καταλοίπων με τις εκτιμηθείσες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής (Υ). Οικονομετρία 13
ii. 6.5 Εντοπισμός της ετεροσκεδαστικότητας Διάγραμμα 2: τετράγωνα των καταλοίπων με τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ. Οικονομετρία 14
6.5 Εντοπισμός της ετεροσκεδαστικότητας 1. Γραφική παράσταση των καταλοίπων. Αν τα κατάλοιπα παρουσιάζουν μια συστηματική μορφή τότε υφίσταται το πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας οπότε είναι αναγκαίος κάποιος μετασχηματισμός που θα συντελέσει στην εξάλειψη του προβλήματος. Γενικά, όταν υπάρχει το πρόβλημα παρουσιάζεται μια αρχική συγκέντρωση των υπολοίπων και μετά διασπείρονται σε σχήμα «χωνιού». Επίσης, μπορεί να ακολουθούν μια καμπύλη που υποδηλώνει σφάλμα εξειδίκευσης. Οικονομετρία 15
6.5 Εντοπισμός της ετεροσκεδαστικότητας 2. Μέθοδος Engle: εφαρμόζεται σε υποδείγματα ARCH (Autoregressive Conditionally Heteroscedasticity). Βήμα 1: εκτιμάται το αρχικό υπόδειγμα με την Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων και υπολογίζονται τα κατάλοιπα. Βήμα 2: εκτιμάται η ακόλουθη βοηθητική παλινδρόμηση με την Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων και υπολογίζεται ο συντελεστής προσδιορισμού (R 2 ) u 2 t = ρ 0 + ρ 1 u 2 t 1 + ρ 2 u 2 t 2 + + ρ p u 2 t p + ε t Βήμα 3: διεξάγεται ο έλεγχος H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ p = 0 (δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα) έναντι H 1 : ρ 1 0 ή ρ 2 0 ή ή ρ p 0 (υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα) Οικονομετρία 16
6.5 Εντοπισμός της ετεροσκεδαστικότητας Βήμα 3: Στατιστική ελέγχου: χ 2 = (n p)r 2 Η βοηθητική παλινδρόμηση περιλαμβάνει μόνο (n - p) παρατηρήσεις. Κανόνας απόφασης: αν χ 2 2 > χ crit σε επίπεδο σημαντικότητας α. = χ2 p,α απορρίπτεται η H 0 Οικονομετρία 17
6.5 Εντοπισμός της ετεροσκεδαστικότητας 2. Μέθοδος Engle: παράδειγμα Ένας ερευνητής εκτίμησε με τη μέθοδο LS το ακόλουθο οικονομετρικό υπόδειγμα για ένα δείγμα Τ=50 χρονολογικών παρατηρήσεων Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + u t και Το εκτιμημένο υπόδειγμα είναι το εξής: Y t = 2,25 + 1,5X 1,t + 0,8X 2,t Στη συνέχεια εκτίμησε και την ακόλουθη βοηθητική παλινδρόμηση με τη μέθοδο LS : u 2 t = ρ 0 + ρ 1 u 2 t 1 + ε t και υπολόγισε συντελεστή προσδιορισμού R 2 =0,10 Να εξεταστεί η ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Οικονομετρία 18
6.5 Εντοπισμός της ετεροσκεδαστικότητας 2. Μέθοδος Engle: παράδειγμα Διεξάγεται ο έλεγχος για ετεροσκεδαστικότητα H 0 : ρ 1 = 0 (δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα) έναντι H 1 : ρ 1 0 (υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα) Στατιστική ελέγχου: χ 2 = n p R 2 = 50 1 0,10 = 4,9 2 Κριτική τιμή: χ crit = χ2 2 p,α = χ 1, 0,05 = 3,84 Κανόνας απόφασης: αφού χ 2 2 = 4,9 > χ crit απορρίπτεται η H 0 σε επίπεδο σημαντικότητας α=5%. Επομένως, υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα στο υπόδειγμα. = 3,84 Οικονομετρία 19
6.6 Διόρθωση της ετεροσκεδαστικότητας Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Generalized Least Squares GLS) H γενικευμένη μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων έχει τη δυνατότητα να οδηγήσει σε εκτιμητές που είναι BLUE. Ας θεωρήσουμε το απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y i = β 0 + β 1 X i + u i Επίσης, ας υποθέσουμε τώρα ότι οι ετεροσκεδαστικές διακυμάνσεις σ i2 είναι γνωστές. Διαιρούμε και τα δύο μέλη με σ i και παίρνουμε Y i 1 X i = β σ 0 + β i σ 1 + u i i σ i που για ευκολία γράφεται ως Y i = β 0 X 0i + β 1 X i + u i σ i Οικονομετρία 20
6.6 Διόρθωση της ετεροσκεδαστικότητας Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Generalized Least Squares GLS) Οι μεταβλητές με αστερίσκο, ή μετασχηματισμένες μεταβλητές είναι οι αρχικές μεταβλητές προς (το γνωστό) σ i. Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα β 0* και β 1*, για τις παραμέτρους του μετασχηματισμένου υποδείγματος, για να τις διακρίνουμε από τις συνήθεις παραμέτρους β 0 και β 1 της OLS. Ποιος είναι ο σκοπός του μετασχηματισμού του αρχικού υποδείγματος; Να προκύψει ομοσκεδαστικός διαταρακτικός όρος στο μετασχηματισμένο υπόδειγμα και έτσι να μπορεί να εκτιμηθεί με την κλασική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (OLS) το μετασχηματισμένο υπόδειγμα. Οικονομετρία 21
6.6 Διόρθωση της ετεροσκεδαστικότητας Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Generalized Least Squares GLS) Για τον μετασχηματισμένο όρο σφάλματος u i* : Ε u i = 0 και var u i = E u 2 i = E u i σ i που είναι μία σταθερά. 2 = 1 σ i 2 Ε u i 2 = 1 σ i 2 σ i 2 = 1 Δηλαδή, η διακύμανση του μετασχηματισμένου διαταρακτικού όρου u i* είναι τώρα ομοσκεδαστική. Οικονομετρία 22
6.6 Διόρθωση της ετεροσκεδαστικότητας Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Generalized Least Squares GLS) Όταν η σ i2 δεν είναι γνωστή Δεδομένου ότι η πραγματική σ i2 είναι σπάνια γνωστή, υπάρχει κάποιος τρόπος να διορθώσουμε την ετεροσκεδαστικότητα. Θα πρέπει να γίνουν κάποιες υποθέσεις σχετικά με τη μορφή της ετεροσκεδαστικότητας. 1 η περίπτωση: Ε u i 2 = σ i 2 = σ 2 X i 2. Τότε εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό: Y i 1 X i = β X 0 + β i X 1 + u i i X i X i και εκτιμάται το μετασχηματισμένο υπόδειγμα με OLS. Οικονομετρία 23
6.6 Διόρθωση της ετεροσκεδαστικότητας 2 η περίπτωση: Ε u i 2 = σ i 2 = σ 2 X i. Τότε εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό: Y i X i = β 0 1 X i + β 1 X i X i + u i X i και εκτιμάται το μετασχηματισμένο υπόδειγμα με OLS. 3 η περίπτωση: λογαριθμίζουμε το αρχικό υπόδειγμα. ln Y i = β 0 + β 1 ln X i + u i Οικονομετρία 24