Gr Wiskunde EKWERK ('n uittreksel uit Gr Wiskunde in ) l die ewse wt j moet ken! Vrestel : Reeks lds ('n mksimum vn 6 punte) Vrestel : Meetkunde (6 stellings) en lds tot Trigonometrie ( ewse) ('n mksimum vn punte) Mk seker dt j die meetkunde en trigonometrie opsommings op lds 4 tot 6 ie dglik estudeer. Skrekenrinstruksies lds 7
EKWERK: EWYSE VRESTEL Rekenkundige en Meetkundige Reekse VRESTEL Sirkelmeetkunde Stellings Sn, die som vn n terme Rekenkundige Reekse: S n = + ( + d) + ( + d) +... + T n & S n = T n + (T n d) + (T n d) +... + S n = ( + T n ) + ( + T n ) + ( + T n ) +... ( + T n ) S n = n( + T n ) S n = n ( + T n ) Mr T n = + (n )d... n terme... n terme... n terme ie lnsegment getrek vnf die middelpunt vn 'n sirkel, loodreg op 'n koord, hlveer die koord. Gegee:? met m te ews: = Konstruksie: Verind en ews: n Δ e & () =... rdiusse () ˆ = ˆ (= 90º)... gegee () is gemeen â Δ Δ... SøS â =, d.w.s. hlveer koord S n = n [ + + (n )d] S n = n [ + (n )d] Meetkundige Reekse: S n = + r + r + r +...... + r n + r n... ➊ %r) rs n = r + r + r +...... + r n + r n... ➋ ➊ ➋: S n rs n = r n S n ( r) = ( r n ) ( r n ) S n =... vir r < of r ( ) (r n ) : S ( ) n = r... vir r > Kies enigeen fhngend vn die wrde vn r, wtter een ookl vir jou ʼn positiewe noemer gee. nnuïteite: Let op dt: d = die 'middelste stukkie' vl weg. ( ) ( d) = d ie fleiding vn die toekomstige en huidige wrde formules, F v en v, deur geruik te mk vn die somformule vn 'n meetkundige reeks, moet verstn word, mr is nie eksmineerr nie. Sien nderwerp 5 (Finnsiële Wiskunde) in die Gr Wiskunde in studiegids. Kopiereg ie ntwoord ie hoek die middelpunt vn 'n sirkel onderspn deur 'n oog is duel die hoek wt deur dieselfde oog enige punt op die omtrek. Gegee:?, oog onderspn m te ews: ˆ = ˆ ˆ die middelpunt en Konstruksie: Verind en verleng dit n Q. ews: Lt ˆ = n is  =... rdiusse gelk â ˆ =... uiteø vn Δ Net so, s ˆ =, dn is ˆ = â ˆ = + = ( + ) = ˆ ie teenoorstnde hoeke vn 'n koordevierhoek is supplementêr. Gegee:? en koordevierhoek m te ews:  + Ĉ = 80º & ˆ + ˆ = 80º Konstruksie: Verind en. ews: Lt  = n is ˆ =... â ˆ = 60º... ø e om punt â Ĉ = (60º ) = 80º... â  + Ĉ = 80º & â ˆ + ˆ = 80º... middelspuntsø = % omtreksø som vn die ø e vn 'n vierhoek = 60º middelspuntsø = % omtreksø ˆ op die omtrek. Q
Gegee: Rkln en koord onderspn, ˆ met & n teenoorstnde knte vn. m te ews: ˆ = ˆ, Konstruksie: Trek middelln en verind. ews: ns het & en ˆ = 90º ˆ = 90º ˆ + ˆ = 90º ˆ + ˆ = 90º Mr ˆ = ˆ ˆ = ˆ (= ie Eweredigheidstelling 5 4 ie hoek tussen 'n rkln n 'n sirkel en 'n koord wt vnf die rkpunt getrek word, is gelk n die hoek onderspn deur die koord in die teenoorstnde segment.... middelln rkln... ø in semi-?... ø e in dieselfde segm. ˆ ) 'n Ln ewewdig n een s vn 'n driehoek verdeel die nder twee se eweredig. d.w.s. E Gegee: Δ met E, & E op & onderskeidelik. m te ews: = E E Konstruksie: Verind & E.h pp. vn ΔE ews: = = pp. vn ΔE. h E.h pp. vn ΔE So ook: = E pp. vn ΔE E E.h Mr: ΔE = ΔE, in opp.... en: = E E ΔE is gemeen ppervlkte vn ΔE ppervlkte vn ΔE â = ppervlkte vn ΔE ppervlkte vn ΔE â = E E h h op dieselfde sis E ; tussen lne, E & E E nthou: Gee ltd REES vir elke ewering! ie Gelkvormige Δ e Stelling 6 s twee driehoeke gelkhoekig is, dn is hul se eweredig en dus is hulle gelkvormig. Gegee: m te ews: Konstruksie: Δ & ΔEF met  = ˆ ˆ = Ê & Ĉ = ˆF E = F = EF Merk & Q op E & F sodt = & Q = ews: n Δ e Q & () =... konstruksie () Q =... konstruksie () ˆ = Â... gegee â ΔQ Δ... SøS ie fokuspunt â ˆ = ˆ = Ê... gegee â Q EF... ooreenkomstige ø e gelk â E = Q... eweredigheidstelling F Mr = en Q =... konstruksie â E = F So ook, deur S en T op E en EF te merk sodt SE = en ET =, kn dit ews word dt: E = EF â E = F = EF â Δ en ΔEF is gelkvormig. fse : kongruensie fse : ooreenkomstige ø e fse : ewewdige lne fse 4: eweredighede Kopiereg ie ntwoord Gelkvormige Δ e Δ e is gelkvormig s: : hulle gelkhoekig is, en : hul se eweredig is n hierdie ews, toon ons dt ie Δ e is gelkvormig... eide voorwrdes, en, is vn toepssing ie omgekeerde stelling sê: ie Δ e is gelkvormig E Q F
TRGNMETRE ppervlkte-, Sinus- & Kosinusreëls ie Kosinusreël = + os  skerp: ie ppervlktereël Ĉ skerp pp. vn Δ = sin Konstruksie: Trek ews: ppervlkte vn Δ = h... ❶ h Konstruksie: Trek ews: = + h... thgors = ( ) + h =. + + h =. +... thgors = +.... ❶ h Mr h = sin h = sin... ❷ n Δ: = os = os... ❷ ❷ in ❶: ppervlkte vn Δ = sin ❷ in ❶: = + os ie Sinusreël sin = sin Konstruksie: = sin Trek ews: n Δ: n Δ: h = sin h = sin h = sin h = sin ˆ skerp... ❶... ❷ Gelkstelling vn ❶ & ❷: sin = sin h Konstrueer ltd die hoogte vnf 'n hoekpunt wt nie deel is vn die formule nie: d.w.s. m te ews: pp. = sin, trek 'n hoogteln vnf of, nie nie. sin m te ews: m te ews: = sin, trek 'n hoogteln vnf, nie of nie. = + os, trek 'n hoogteln vnf of, nie nie. nthou: sin(80º ) = sin 80º os(80º ) = os 0º 50º sin 50º = sin 0º sin = sin + = 80º os 50º = os 0º os = os ) sin = sin Formules vir Smgestelde Hoeke Net so, deur 'n loodln vnf te trek, kn 'n mens ews: sin sin = sin = sin = sin Kopiereg ie ntwoord ie fleiding vn die formule: os( ) = os os + sin sin sl nie geëksmineer word nie. (it is egter ltd goed om te verstn hoe 'n formule ontstn het!). J word mklik n hierdie fleiding toe gelei in nderwerp 6 in die Gr Wiskunde in Studiegids. J moet weet hoe om l die nder formules vn hierdie formule vir os ( ) f te lei. Kk n vooreelde hiervn, ook in nderwerp 6 in die Gr Wiskunde in Studiegids.
GREERNG VN SRKELMEETKUNE STELLNGS mniere om te ews dt 'n vierhk. 'n koordevierhk. is ie 'Middelpunt' groep ie 'Geen Middelpunt' groep ie 'Koordevierhoek' groep V ie 'Rkln' groep + = 80º r is mniere om te ews dt 'n ln 'n rkln n 'n? is. middelln Gelke koorde! ie grs ple dui n hoe verskillende stellings geruik word om dropvolgendes te ews. Gelke rdiusse! Gelke koorde onderspn gelke hoeke en, omgekeerd, gelke hoeke word deur gelke koorde onderspn. r is mniere om te ews dt 'n vierk. 'n kvh. is. Gelke rklne! ns geruik omgekeerde stellings om te ews dt 'n vierhoek 'n kvh. is. omgekeerde vn 'øe in dieselfde segment' stelling ews dt een s gelke hoeke die twee nder punte (n dieselfde knt) onderspn. omgekeerde vn 'øe vn kvh.' stelling ews dt 'n pr teenoorstnde hoeke supplementêr is. omgekeerde vn 'uiteø vn kvh.' stelling ews dt 'n uitehoek gelk is n die teenoorstnde innehoek. ews óf : = of = of z = z of p = p ews óf : Â + Ĉ = 80º of ˆ + ˆ = 80º ews óf : ˆ = ˆ of ˆ = ˆ4 of ˆ5 = ˆ6 of ˆ7 = ˆ8 mniere om te ews dt 'n ln 'n rkln n 'n? is ns geruik omgekeerde stellings om te ews dt 'n ln 'n rkln n 'n? is. omgekeerde vn 'rkln rdius' stelling ews dt ews dt die ln loodreg op 'n rdius is 'n punt wr die ; dn sl rdius die omtrek ontmoet. 'n rkln wees omgekeerde vn 'rkln-koord' stelling Let Wel: ews dt wnneer die ln ews dt it is 'n goeie idee deur die eindpunt vn 'n koord = ; om 'n ligte sirkel getrek word, dit 'n hoek met dn sl (soos getoon) te die koord mk wt gelk 'n rkln teken, om hierdie is n 'n hoek in die wees omgekeerde stelling teenoorstnde segment. duidelik te sien. 4 Kopiereg ie ntwoord p z 7 p 6 4 5 z 8
VERHEKE - roetes vn definisies, oppervlktes en eienskppe - 'n psomming lles wt j moet weet! 'n Reghoek 'Enige' Vierhoek 'n Trpesium 'n rllelogrm ie Vierknt EFNSE : 'n m met een regte ø f h pp. = l % e d die 'idele' vierhoek! EFNSE : HEKLYNE is GELYK Som vn die ø e vn EFNSE : Vierhoek met pr teenoorstnde se enige vierhoek = 60º Vierhoek met pr teenoorstnde se ppervlkte = s ppervlkte = sis % hoogte Som vn die innehoeke = ( + + ) + (d + e + f) = % 80º... ( Δ e ) = 60º ie pltjies toon verskeie RETES vnf enige vierhoek n die vierknt (die idele vierhoek ). Hierdie roetes, wt logik en feite komineer, is noodsklik om te geruik wnneer spesifieke tipes vierhoeke ews moet word. Let op hoe die eienskppe opstpel soos ons vn links n regs eweeg. d.w.s. die eerste vierhoek het geen spesile eienskppe nie en elke opeenvolgende vierhoek het l die voorfgnde eienskppe. ppervlkte = Δ + Δ = h + h = ( + ). h 'ie helfte vn die som vn die se % die fstnd tussen hulle.' 'n Vlieër m = Q + ΔQ regh. Q = Q + Δ wr ΔQ Δ... SS90º â m = regh. Q (in opp.) = % Q Eienskppe: pr teenoorstnde se gelk pr teenoorstnde hoeke gelk & HEKLYNE HLVEER MEKR Kopiereg ie ntwoord 5 EFNSE : Vierhoek met pr opeenvolgende se gelk Q Gegee hoeklne en ppervlkte = Δ e =. = 'Helfte vn die produk vn die hoeklne' E HEKLYNE sn loodreg die LNG HEKLYN hlveer: die kort hoekln, die teenoorstnde hoeke en die oppervlkte vn die vlieër EFNSE : 'n Ruit 'n m met een pr ngrensende se gelk ppervlkte = produk vn hoeklne (soos vlieër) of = sis % hoogte (soos prllelogrm) E HEKLYNE hlveer mekr LREG hlveer die hoeke vn die ruit hlveer die oppervlkte vn die ruit Let Wel : + = 80º... ø e vn Δ, of + = 90º ko-inne ø e suppl. Eienskppe: lles is 'reeds' opgenoem! ngesien 'n vierknt 'n reghoek, 'n ruit, 'n prllelogrm, 'n vlieër,... is, is L die eienskppe vn hierdie vierhoeke vn toepssing. Vierhoeke speel 'n elngrike rol in eide Euklidiese en nlitiese Meetkunde tot in Grd!
HEKE N STNRSSES STEWE ø E (ntikloksgews vn 0º tot 60º): NEGTEWE ø E (kloksgews vn 0º tot 60º): ok moontlik: E VERHUNGS & hulle efinisies: Tekens: sin is positief in & os is positief in & V tn is positief in & Kritieke wrdes: lle wrdes is egte reuke of 0 of ±. sin os Grfieke: = sin = os = tn 0 V TRG SMMNG (Grd ) sin os tn r H 0 r 0 V H + 0 0 ie reeks wrdes vn tn is vn tot. V ENTTETE tn = sin os SESLE ø E 60º 0º & HUL "FMLES": sin 0º = ( en os 60º = ) K-VERHUNGS (sinus en kosinus) ie NTWR-REEKS sin + os = â sin = os = ( + os )( os ) & os = sin = ( + sin )( sin ) 45º tn 45º = 0 + 90º -- ('n skerphoek) 90º + ('n stomphoek) sin(90º -- ) = os sin(90º + ) = os Minimum & Mksimum wrdes vn sin & os : os(90º -- ) = sin 90º os(90º + ) = --sin tn ie wrdes vn sin & os strek vn tot. Let op dt tn geen ie verhouding VERNER n die K-verhouding minimum of mksimum minimum mksimum wrdes het nie. LSSNG VN Δ E Vir NE-REGHEKGE Δ E : wrde is wrde is r (; ) V 45º 0º "fmilie" 60º "fmilie" 45º "fmilie" 50º 0º 0º 0º 40º 00º 5º 5º 5º ( ; ) (; ) 45º ( ) tn = = 80º -- 80º + 60º -- LGEMENE VRMS 80º ± enige verhouding 60º = ± drdie SELFE verhouding vn SNUS-reël: KSNUS-reël: sin = sin = sin = + - os V. = sin 90º + (; ) Mr ook: ppv. vn Δ = h En in REGHEKGE Δ E : Geruik gewone trig. verhoudings & die Stelling vn thg.!!! -60º -80º 80º 60º -60º -70º -90º 90º 70º 60º -60º -70º -90º 90º 70º 60º SMGESTELE ø E sin( ± ) = sin os ± os sin os( ± ) = os os " sin sin sin = sin os os = os - sin = - sin = os - 6 Kopiereg ie ntwoord: Fotokopiëring vn hierdie mteril is onwettig
SKREKENRNSTRUKSES GEMELE EN STNRFWYKNG r is fses vir elke skrekenrprosedure: ST : hoe om dr te kom ST : hoe om die dt in te tik ST : hoe om die gemiddelde en stndrdfwking te epl. (en, in die volgende kolom,, en r) REGRESSE & KRRELSE ie vergelking vn die regressieln Kort instruksies vir die S f - 8ES ST : ruk/kies: ME ; (STT) ; ( + ) sio f-8es ngegroepeerde t [ME] [ : STT] [ : - VR] Tik elke wrde, gevolg deur [=] n die lste wrde in: [=] [] Vir die gemiddelde: [SHFT] [STT] [5 : VR] [ : ] [=] Vir die S..: [SHFT] [STT] [5 : VR] [ : σn] [=] Not vir sio f-8es J sl sien: X FREQ outomties s ingedruk it is noodsklik om [] te druk wnneer l die dt in is. s dit nie gedoen word nie, sl die gemiddelde en stndrdfwking s inskrwings in die tel, getel word. (it moet dn weer uitgewis word.) Gegroepeerde t/frekwensietelle sio f-8es [ME] [ : STT] [ : - VR] [SHFT] [SETU] Gn f (geruik pltjie) [ : STT] [ : N] Tik die middelpunt vn elke wrde in (of elke telling, indien verskf) gevolg deur [=], dn... N die lste wrde: [=] - en nie [] nie - dn... Geruik om n oknt vn regterkolom te gn. Tik die korrekte frekwensies in, elke keer gevolg deur [=]; n die lste frekwensie: [=] [] Vir die gemiddelde: [SHFT] [STT] [5 : VR] [ : ] [=] Vir die S..: [SHFT] [STT] [5 : VR] [ : σn] [=] J sl sien: X FREQ ST : Tik die - en -wrdes in, gevolg deur =. ruk ST : ruk SHFT STT (op '') ; 7 (Reg) ; dn: Vir, druk = of Vir, druk = m n te epl, druk en doen dn die hele ST. ie korrelsiekoëffisiënt Net soos vir en in die regressiefunksie: Kort instruksies vir die S f - 8ES ST : ruk/kies: ME ; (STT) ; ( + ) Shrp EL-5WH J sl sien: [ME] [ : STT] - om in stts mode te kom... dn [0 : S] Stt 0. Tik elke wrde in, gevolg deur [M+] Vir die gemiddelde: [RL] [ ] Vir die S..: [RL] [σ] Shrp EL-5WH J sl sien: [ME] [ : STT] - om in stts mode te kom... Stt 0. dn [0 : S] Tik die middelpunt vn elke wrde in (of elke telling, indien verskf) gevolg deur [ST]. Tik dn die frekwensie in, gevolg deur [M+]. (Tik l die dt op die mnier in.) Vir die gemiddelde: [RL] [ ] Vir die S..: Kopiereg ie ntwoord 7 [RL] [σ] ST : Tik die - en -wrdes in, gevolg deur =. ruk ST : ruk SHFT STT (op '') ; 7 (Reg) ; dn: Mr nou: Vir r druk = s j eers en epl het, druk voor j n die egin vn ST gn.