Απειροστικός Λογισμός Ι Διδάσκον Τσαγκατάκης Γρηγόρης, greg@csd.uoc.gr Βοηθοί Τρουλλινού Ειρήνη, troullinou@csd.uoc.gr Καραγιαννάκη Ιουλία, jkarayan@csd.uoc.gr Αϊδίνη Αναστασία, aidini@csd.uoc.gr Τζουγκαράκης Αντώνιος, tzugarak@csd.uoc.gr Μπεκιάρης Ηρακλής, irakbek@csd.uoc.gr Νικοδήμου Βασίλ.-Κλείτος, nikodim@csd.uoc.gr Κονδυλάκης Γεώργιος, geokonthi@gmail.com
Πληροφορίες για το μάθημα Διαλέξεις Τρίτη 4-6 & Πέμπτη 4-6 ΑΜΦ. Β Φροντιστήριο: Παρασκευή 4-6 ΑΜΦ. Β Ώρες γραφείου: Τρίτη & Πέμπτη 3-4 (B304) Αξιολόγηση μαθήματος Τελική Εξέταση (50%) + Πρόοδος (30%) + Ασκήσεις (20%) Η πρόοδος και οι ασκήσεις υπολογίζονται υποχρεωτικά στον τελικό βαθμό 3 σειρές ασκήσεων και 1 εργαστηριακή άσκηση (χρήση προγραμμάτων όπως Matlab) 2
Συγγράμματα Πληροφορίες για το μάθημα "Thomas Απειροστικός λογισμός" των Joel Hass, Chrisopher Heil & Maurice D. Weir. 14 έκδοση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2018 Εγγραφή στην σελίδα του μαθήματος στο elearn Εγγραφή στην λίστα του μαθήματος: hy110-list@csd.uoc.gr με email στο: majordomo@csd.uoc.gr, χωρίς subject με κείμενο: subscribe hy110-list 3
Επισκόπηση διαλέξεων Συναρτήσεις Όρια συναρτήσεων Συνέχεια Παραγώγιση Εφαρμογές παραγώγων Παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισμένο ολοκλήρωμα συνεχών συναρτήσεων Αριθμητική ολοκλήρωση Αόριστο ολοκλήρωμα Τεχνικές ολοκλήρωσης και γενικευμένα ολοκληρώματα Ακολουθίες & Σειρές Υπερβατικές συναρτήσεις 4
Εισαγωγή https://youtu.be/vg68skog7ve Είσοδος: x Έξοδος: f x = [ 1,1] 5
Τεχνητή Νοημοσύνη (Artificial Intelligence) 6
Συναρτήσεις Συνάρτηση y = f(x) x : ανεξάρτητη μεταβλητή y : εξαρτημένη μεταβλητή Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 Εναλλακτικά z = g(t) { x, f x : x R} f: x y Leonhard Euler 1707-1783 7
Συναρτήσεις Μια συνάρτηση f από το πεδίο ορισμού D στο πεδίο τιμών Y είναι ένα κανόνα που αναθέτει μια μοναδική τιμή f(x) Y για κάθε x D 8
Πεδία ορισμού και πεδία τιμών Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των f x = 1 + x 2, [1, ) f t = 4 3 t, 3 3,, 0 0, g x = x 2 3x, 0 3, [0, ) 9
Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων 10
Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων y = f(x) x y f(x) x Κριτήριο κατακόρυφης ευθείας (one-to-many) This is NOT OK in a function (many-to-one) But this is OK in a function 11
Γραφικές Παραστάσεις Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 στο διάστημα [-2,2] Να παρασταθούν οι συναρτήσεις και εξηγήστε αν είναι γραφικές παραστάσεις του x y = x y 2 = x 2 12
Σχεδιασμός γραφικών παραστάσεων 13
Διάγραμμα συνδιασποράς 14
Τμηματικές συναρτήσεις Η συνάρτηση απόλυτης τιμής x = x, x 0 x, x < 0 f x = x, x < 0 x 2, 0 x 1 1, x > 1 15
Τμηματικές συναρτήσεις Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης για τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις 16
Συναρτήσεις μέγιστου/ελάχιστου ακεραίου Συνάρτηση μέγιστου ακεραίου: μέγιστος ακέραιος μικρότερος ή ίσος του x 2.5 = 2, 0 = 0, 1.5 = 2 Συνάρτηση ελάχιστου ακεραίου: ελάχιστος ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του x 2.5 = 3, 0 = 0, 1.5 = 1 17
Συναρτήσεις μέγιστου/ελάχιστου ακεραίου 18
Αύξουσες και Φθίνουσες συναρτήσεις Έστω η συνάρτηση f x ορισμένη σε ένα διάστημα I και x 1, x 2 I Αν f x 2 > f x 1 για κάθε ( ) x 2 > x 1, τότε η f x ονομάζεται αύξουσα στο I Αν f x 2 < f x 1 για κάθε ( ) x 2 > x 1, τότε η f x ονομάζεται φθίνουσα στο I Το I μπορεί να είναι πεπερασμένο (φραγμένο) ή άπειρο (μη φραγμένο) 19
Αύξουσες και Φθίνουσες συναρτήσεις Σε πια διαστήματα είναι αύξουσες/φθίνουσες οι παρακάτω συναρτήσεις y = 1 x y = 1 x 20
Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Η συνάρτηση y = f(x) είναι Άρτια συνάρτηση του x αν f x = f(x) Περιττή συνάρτηση του x αν f x = f(x) Προέλευση Σχέση με δυνάμεις του x y = x 2, y = x 4 -> άρτιες γιατί ( x) 2 = x 2 y = x 1, y = x 3 -> περιττές γιατί ( x) 3 = x 3 21
Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Συμμετρίες Οι άρτιες είναι συμμετρικές ως προς y Οι περιττές είναι συμμετρικές ως προς (0,0) 22
Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Παραδείγματα f x = x 2 + 1 f x = 3 f x = x 3 + x 23
Γραμμικές Συνήθης συναρτήσεις f x = mx + b όπου m (κλίση) και b σταθερές 24
Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά 25
Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά f x = x 1 f x = x 2 26
Συναρτήσεις δυνάμεων Συνήθης συναρτήσεις f x = x a όπου a σταθερά f x = x 1 2 f x = x 1 3 f x = x 3 2 f x = x 2 3 27
Συνήθης συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 n μη αρνητικός ακέραιος (βαθμός) a 0, a 1,., a n πραγματικές σταθερές (συντελεστές) 28
Ρητές συναρτήσεις f x = p(x) q(x) Συνήθης συναρτήσεις όπου p(x), q(x) πολυώνυμα 29
Συνήθης συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυώνυμα και αλγεβρικές πράξεις 30
Συνήθης συναρτήσεις Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 31
Εκθετικές συναρτήσεις Συνήθης συναρτήσεις f x = α x όπου a > 0 και a 1 σταθερά, (0, ) 32
Συνήθης συναρτήσεις Λογαριθμικές συναρτήσεις f x = log α x όπου a > 0 και a 1 σταθερά (0, ), 33
Πράξεις συναρτήσεων Έστω η f x με πεδίο ορισμού D(f) και η g x με πεδίο ορισμού D(g). Για κάθε x D(f) D(g), ορίζουμε τις f + g x = f x + g(x) f g x = f x g x fg x = f x g(x) f f(x) x = όπου g(x) 0 g g(x) cf x = cf x όπου c σταθερa 34
Πρόσθεση συναρτήσεων 35
Παράδειγμα Έστω οι f x = x και g x = 1 x με πεδία ορισμού D f = [0, ) και D g = (, 1]. Τα κοινά σημεία ορισμού D(f) D g = [0,1] 36
Παράδειγμα 37
Σύνθετες συναρτήσεις Έστω οι συναρτήσεις f και g, τότε η σύνθετη συνάρτηση f g («f σύνθεση g») ορίζεται ως f g x = f(g x ) με πεδίο ορισμού τους αριθμούς x του πεδίου ορισμού της g για τους οποίους το g x ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. 38
Σύνθετες συναρτήσεις Αν το χ ανήκει στο πεδίο ορισμού της g και το g(x) στο πεδίο ορισμού της f, τότε οι f και g μπορούν να συντεθούν 39
Παράδειγμα Αν η f x = x + 5 και η g x = x 2 3 f g(x) f g(0) g f(x) Έστω οι f x, g x και h x = 4 x f g(h(x)) 40
Μετατόπιση συναρτήσεων Κατακόρυφη μετακίνηση: y = f x + k 41
Μετατόπιση συναρτήσεων Οριζόντια μετακίνηση: y = f x + h 42
Μετατόπιση συναρτήσεων 43
Αλλαγή κλίμακας Για c > 1 y = cf x y = 1 f x c y = f cx επιμηκύνεται κατακόρυφα κατά c συμπιέζεται κατακόρυφα κατά c συμπιέζεται οριζόντια κατά c y = f 1 c x επιμηκύνεται οριζόντια κατά c 44
Αλλαγή κλίμακας 45
Αλλαγή κλίμακας Για c = 1 y = f x y = f x ανάκλαση ως προς άξονα x ανάκλαση ως προς άξονα y 46
Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f x : 0,2 [0,1] 1 2 2 2 Να σχεδιαστούν οι 1 1 f x + 1 f x + 1 + 1 2-2 2 47