ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS Índice 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao... 1 1.1. Ecuacións de primeiro grao... 1 1.. Ecuacións de segundo grao.... Outras ecuacións alébricas... 5.1. Ecuacións bicadradas... 5.. Ecuacións de grao superior a dous... 5.. Ecuacións racionais... 7.. Ecuacións con radicais... 7. Ecuacións eponenciais e logarítmicas... 8.1. Ecuacións eponenciais... 9.. Ecuacións logarítmicas... 9. Problemas que se resolven mediante ecuacións... 10 5. Inecuacións... 11 5.1. Inecuacións de primeiro grao... 11 5.. Inecuacións de segundo grao... 1. Sistemas de ecuacións... 1.1. Métodos de resolución de sistemas... 1.. Clasificación dos sistemas lineais... 1.. Método de Gauss para sistemas lineais... 15 7. Problemas que se resolven mediante sistemas... 17 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao Unha ecuación é unha igualdade na que aparece unha letra que representa un número que se quere calcular, chamada incógnita. Por eemplo, na ecuación + = la incógnita é. Esta ecuación dinos que é un número que, sumado con, é igual a. Resolver unha ecuación é atopar o valor da incógnita. 1.1. Ecuacións de primeiro grao Unha ecuación de primeiro grao cunha incógnita é toda ecuación que mediante transformacións de equivalencia convértese noutra da forma a + b = 0, con a 0; a e b son números reais e chámanse coeficientes da ecuación. Noutras palabras, é unha ecuación na que a incógnita aparece elevada a 1. Por eemplo, son ecuacións de primeiro grao as seguintes: 1

+ 5 = 7; ( + ) = 5 + 7; + = ( ) Vaise ir recordando mediante eemplos como se poden resolver as ecuacións de primeiro grado. Eemplos: Resolver a ecuación = + + 10. Agrúpanse os termos en nun dos membros e os que non levan no outro: + = 10 +. Entón: = 1. A solución é un número que multiplicado por, dea 1, que se obtén dividindo 1 1 7 entre : = =. Se a ecuación contén parénteses, quitaranse estes en primeiro lugar, para ter unha ecuación como a anterior. Por eemplo, resolver a ecuación ( ) ( + 1) = + ( 1). Quítanse os parénteses: = + Sepáranse os termos en e os independentes: = + + = Agora, pódese cambiar de signo a ecuación para que o quede positivo (aínda que non é imprescindible) e despéase o valor de : = = =. Se a ecuación contén denominadores, estes elimínanse utiliando o mínimo común múltiplo. Por eemplo, resolver a ecuación 1. 5 0 O mínimo común múltiplo de, 5 e 0 é 0. Divídese 0 entre cada denominador e multiplícase o resultado polo numerador. Cando algún termo non leve denominador, considérase que é 1: 10( + ) ( ) = 90 + 1 E a se está na situación do eemplo anterior. Elimínanse os parénteses, agrúpanse termos e despéase : 57 10 + 0 + 1 = 90 + 1 = 57 =. Unha das aplicacións inmediatas das ecuacións de primeiro grao é a de resolver problemas. A resolución de problemas mediante ecuacións, e a resolución de problemas en eral, son a parte máis complicada das matemáticas. Non hai regras que sirvan para todos los casos. O único segredo está en intentar resolver moitos, aínda desta forma sempre se tropeará con algún que simplemente no saia. Eemplos: Un pai ten 7 anos, e as idades dos seus tres fillos suman 5 anos. Cantos anos han de transcorrer para que as idades dos fillos sumen como a idade do pai? Pregúntase polos anos que han de transcorrer para que ocorra algunha cousa. Esta vai ser a incógnita: = anos que han de transcorrer. O pai ten agora 7 anos. Dentro de años terá 7 +.

Os fillos teñen agora, entre os tres, 5 anos. Dentro de anos terán 5 + a que pasan anos para cada un deles. Entón, quérese que as dúas epresións anteriores sean iguais. Xa se ten la ecuación: 7 + = 5 +. Resólvese a ecuación e obtense que = anos. En efecto, dentro de anos o pai terá 7 + = anos. E a suma das idades dos fillos será 5 + = anos tamén. Nun hotel hai habitacións dobres e sinelas. En total hai 50 habitacións e 80 camas. Cantas das habitacións son sinelas e cantas son dobres? Chámase ao número de habitacións sinelas. Entón debe haber 50 habitacións dobres. Para calcular o número de camas haberá que sumar o número de habitacións sinelas, a que en cada unha hai unha cama; máis dúas veces o número de habitacións dobres: + (50 ) = 80. Resólvese a ecuación e obtense = 0. Polo tanto, hai 0 habitacións sinelas e 50 0 = 0 habitacións dobres. Nos dous eemplos vistos ponse de manifesto a importancia de eliir cal vai ser a incógnita, é dicir, o número que se quere coñecer, o que preguntan. O resto da resolución do problema consiste en reler o enunciado e ir traducindo o teto a unha ecuación por medio de. 1.. Ecuacións de segundo grao Unha ecuación de segundo grao é aquela que reducida ten a forma a + b + c = 0; onde a, b e c son números reais chamados coeficientes da ecuación, con a 0. Esta é unha ecuación de segundo grao completa, porque contén todos os termos posibles. Se falta algún, (b ou c a que se faltase a non sería de segundo grao) entón é unha ecuación de segundo grao incompleta. Vaise empear resolvendo as ecuacións incompletas. Eemplos: Resolver a ecuación = 0. Despéase : = = 1. Entón, é un número que, elevado ao cadrado, é 1. Hai dúas posibilidades: =. 1. Neste caso, téñense dúas solucións = + e =. Resolver a ecuación + 1 = 0. Este eemplo aparecerá cando se estuden os números compleos. Se se despea como antes, chégase a = 1. Estes números só eisten no conunto dos números compleos, en cuo caso as soluciones son = i. Non obstante, nesta unidade só se considerarán como válidas as solucións reais. Polo tanto, cando se obteña unha raí cadrada dun número negativo, dirase que a ecuación non ten solución. Seguindo coas ecuacións de segundo grao incompletas, pero agora supoñendo que falta o termo independente, é dicir, o que non contén. Por eemplo, resolver a ecuación = 0. Sacando factor común: ( ) = 0.

Entón, raóase da seguinte maneira: o anterior é un produto que é igual a 0, polo tanto, necesariamente un dos dous factores ha de ser nulo, ou ben = 0, ou ben = 0, as solucións son = 0 e =. Recórdase agora como se resolve unha ecuación de segundo grao que conteña todos os termos, é dicir, a + b + c = 0. En primeiro lugar, vaise obter a fórmula. Non é preciso recordar de memoria o modo de obter a fórmula, aínda que si pode resultar un bo eercicio intentar comprendela. O que resultará importante será recordar a fórmula e aprender a utiliala. Empéase pasando o termo independente ao membro dereito da ecuación: a + b = c Multiplícase toda a ecuación por a: a + ab = ac Súmase b á esquerda e á dereita, desta forma os dous membros seguirán sendo iguais: a + ab + b = b ac. Recórdase que o cadrado dunha suma é (a + b) = a + ab + b. Se se observa o membro esquerdo da ecuación, vese que se trata do desenvolvemento do cadrado dunha suma, na que a é a e b é b. Entón, a ecuación pódese escribir da forma: (a + b) = b ac. Agora, quitando o cadrado do membro esquerdo, obtense: a + b = Despeando : a = b b ac b ac b b ac Pásase agora o factor a dividindo á dereita: =. a En definitiva, para resolver a ecuación de segundo grao a + b + c = 0 utilíase a fórmula = b b ac. a Por eemplo, quérese resolver a ecuación + = 0. Os coeficientes da ecuación son a = 1, b = 1 e c =. 1 1 1 1 5 Substitúense na fórmula: = 1 1 5 1 5 E separando as solucións: 1 =, =. 1 5 Poden darse tres posibilidades á hora de resolver unha ecuación de segundo grao: obter dúas solucións reais distintas, unha solución real e ningunha solución. Ás solucións dunha ecuación de segundo grao, e dunha ecuación en eral, tamén se lles chama ás veces raíces. O número de solucións non depende máis que do valor do número que aparece dentro da raí cadrada. A este número chamáselle discriminante, que se denota por Δ: Δ = b ac Se Δ > 0, a ecuación ten dúas raíces reais distintas. Se Δ = 0, a ecuación ten unha raí real dobre. Se Δ < 0, a ecuación non ten raíces reais. A partir das solucións dunha ecuación, pódese reconstruír a ecuación da que proveñen. Por eemplo, se unha ecuación de segundo grao ten dúas solucións, 1 =, =5, entón pódese escribir da forma ( )( 5) = 0.

É evidente que esta ecuación ten solucións e 5, a que para que o produto sea nulo, debe selo algún dos dous factores ou 5, de onde se obteñen as solucións. Se multiplicamos a epresión anterior: 5 + 0 = 0 9 + 0 = 0 O coeficiente da é a suma das dúas solucións cambiada de signo, e o termo independente é o produto das dúas solucións. Entón, en eral, se S = 1 + é a suma das solucións e P = 1 é o produto, a ecuación de segundo grao da que proveñen é S + P =0.. Outras ecuacións alébricas Neste apartado vanse estudar outras ecuacións alébricas, é dicir, outras ecuacións nas que aparecen involucradas operacións como sumas, produtos, cocientes e raíces..1. Ecuacións bicadradas As ecuacións de cuarto grao a + b + c =0 con a 0 que non teñen os graos un e tres, chámanse ecuacións bicadradas. Redúcense a ecuacións de segundo grao mediante o seguinte cambio de variable = t, a que ao substituír na ecuación dada obtense at + bt + c =0 (ecuación de segundo grao na variable t). Por eemplo, quérese resolver a ecuación bicadrada 10 + 9 = 0. Faise o cambio de variable = t = t. Isto converte a ecuación anterior na ecuación de segundo grao t 10t + 9 = 0. Resólvese a ecuación mediante a fórmula correspondente: 10 10 1 9 10 100 10 10 8 t = 1 10 8 10 8 E separando as solucións: t 1 = 9, t = 1. Non obstante, o que se quere calcular son as solucións da ecuación oriinal, é dicir, a. Por esta raón agora tense que desfacer o cambio de variable. Como = t = t. Aplícase isto ás dúas solucións obtidas para t: t 1 = 9 = 9 t = 1 = 1 1 Neste caso, obtéñense catro solucións distintas: 1, +1,, +. Non obstante, é evidente que non sempre será así. Por eemplo, se unha das solucións de t é negativa, a solución correspondente para non eiste, a que hai que calcular a súa raí cadrada... Ecuacións de grao superior a dous Xa se sabe resolver ecuacións de primeiro grao e de segundo. Tamén se sabe resolver un caso particular de ecuación de cuarto grao, a ecuación bicadrada. Para as ecuacións de terceiro e cuarto grao en eral, hai fórmulas, do tipo da utiliada para resolver a ecuación de segundo grao. Non obstante, estas fórmulas para as ecuacións de terceiro e cuarto grao, son tan compleas que a súa utilidade é máis ben escasa. A partir do quinto grao, non hai posibilidade de encontrar fórmulas con radicais que as resolvan. Nestes casos, en eral, utilíanse técnicas de aproimación numérica para encontrar as solucións. De todos os eitos, cando as solucións son números enteiros, pódense resolver dun eito elemental, utiliando a regra de Ruffini para a descomposición de polinomios, que se recorda aquí. 5

Supóñase que se ten unha ecuación factoriada da forma ( 1)( )( + )( 5) =0 Se se multiplica esta epresión, obtense unha ecuación de cuarto grao. Pero para resolvela, non é preciso multiplicala, senón que pódense calcular as súas solucións directamente, igualando a cero cada un dos factores, desta forma chégase á conclusión de que as solucións son = 1, =, = e = 5. Dada unha ecuación polinómica de grao n, se se pode factoriar da forma ( 1 )( )... ( n ) = 0 entón a súa resolución, como se acaba de ver, é inmediata. De feito, as solucións son = 1, =,..., = n. En particular, isto é posible sempre que as raíces da ecuación sean números enteiros. Para facer esta descomposición imos utiliar a regra de Ruffini. Recórdase que esta é unha regra que serve para dividir un polinomio entre outro que sea da forma ( a). Por eemplo, para dividir o polinomio + + 5 entre ( ), escríbese os coeficientes do primeiro polinomio e o número (por ser ( ) abaio á esquerda). 1 5 Agora, o primeiro número báiase á fila de abaio tal cal. Este número multiplícase por e o resultado súmase ao seguinte coeficiente. Vólvese multiplicar o resultado por e sumar ao coeficiente seguinte, así ata o final: 1 5 0 1 1 0 17 O último resultado é o resto da división, 17, o cociente está formado polo polinomio cuos coeficientes se obtiveron antes do 17, é dicir, + neste caso. Recórdase como se pode utiliar a regra de Ruffini para factoriar un polinomio. Por eemplo, quérese factoriar o polinomio e, desta forma resolver a ecuación 5 +5 +5 =0 Considérase o polinomio P() = 5 +5 +5, debido a un resultado coñecido como teorema do resto, sábese que o valor numérico do polinomio para = a, é dicir, P(a) é o resto de dividir P() entre ( a). Trátase entón de localiar os números a tales que P(a) =0, é dicir, tales que o resto de dividir P() entre ( a) sea cero. Estes números serán as raíces da ecuación. Sábese ademais, que estes números son sempre divisores do termo independente do polinomio. Polo tanto, vaise probando cos distintos divisores de, que son 1, +1,, +,, +,, +, ata que se atope un no que o resto sea nulo. Divídese usando a regra de Ruffini e, ao cociente obtido, aplicáselle a mesma operación, así ata descompoñer completamente o polinomio. Neste caso:

1 5 5 5 1 1 11 1 11 0 1 1 5 1 5 0 1 0 1 0 Entón, o polinomio pódese descompoñer ( + 1)( 1)( )( ) = 0. E as solucións da ecuación son precisamente as raíces que se localiaron, é dicir, os números que se foron poñendo á esquerda, = 1, = 1, =, =... Ecuacións racionais As ecuacións nas que aparece algunha fracción alébrica chámanse ecuacións racionais. Para suprimir os denominadores nestas ecuacións úsase o mínimo común múltiplo dos denominadores; ao simplificar obtéñense ecuacións que probablemente se poidan resolver. Como hai que multiplicar por epresións alébricas, poden aparecer solucións falsas; polo tanto, débese comprobar se as solucións obtidas son válidas para a ecuación proposta. Por eemplo, quérese resolver a ecuación racional 1. 1 1 m.c.m. ( + 1, 1) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 1) 1 1 1 ( 1) ( + 1) = 1( + 1)( 1) = + 1 = 1 = 1 Comprobación: 1 1 1 1 1 1 1 1 A solución = é válida... Ecuacións con radicais As ecuacións con radicais son aquelas nas que a variable aparece baio o signo radical. Para resolver as ecuacións con radicais íllase a raí nun dos membros, despois elévanse ambos os dous membros ao índice do radical e resólvense as ecuacións obtidas (ecuacións de primeiro ou segundo grao). 7

Ao igual que nas ecuacións racionais, débese comprobar se as solucións obtidas o son da ecuación de partida. Eemplos: Resolver a ecuación 1 7. Tense que conseguir que desaparea a raí para poder resolvela. Isto conséguese 1 7. No primeiro membro cancélase a raí co cadrado, e no segundo membro desenvólvese a fórmula do cadrado dunha diferena (a b) = a ab + b : 1 = 1 + 9 Pasando todos os termos ao segundo membro: 0 = 15 + 50 Resólvese a ecuación de segundo grao e obtéñense as solucións = 5 e = 10. Non obstante, é posible que as dúas non sean solucións da ecuación inicial, debido a que ao elevar ao cadrado puidéronse introducir solucións estrañas. Para verificalo, téñense que substituír as dúas posibles solucións na ecuación inicial, para ver se a verifican: = 5: 5 1 5 7, o cal non é certo, polo tanto, = 5 non é solución. elevando ao cadrado nos dous membros da ecuación: = 10: 10 1 10 7 9, que si é certo, polo tanto, = 10 é a solución da ecuación. En eral, antes de elevar ao cadrado hai que illar a raí cadrada. Por eemplo, na ecuación 1. Se se eleva ao cadrado directamente, como no primeiro membro hai unha suma, a raí non desaparecería. Polo tanto, primeiro se illa a raí nun membro,, e a se pode elevar ao cadrado. Vese agora un eemplo dunha ecuación con dous radicais: 1 5. Neste caso resulta conveniente, antes de elevar ao cadrado, illar unha das raíces: 5 1. Agora elévase ao cadrado e utilíase, no segundo membro, a fórmula do cadrado 5 1. dunha diferena (a b) = a ab + b : Entón: 5 5 1 1. Despois de elevar ao cadrado segue quedando unha raí cadrada, entón estase na situación dos eemplos anteriores. Polo que se debe illar novamente a raí e volver elevar ao cadrado, pásase ao primeiro membro para que teña signo positivo: 0 10 1 0 1. 10 Elévase ao cadrado por última ve, e obtense +1 =, de onde, =. Pódese verificar que, en efecto, esta é a solución da ecuación.. Ecuacións eponenciais e logarítmicas Neste apartado estudaranse ecuacións non alébricas nas que a variable se atopa como epoñente ou nunha epresión afectada por un logaritmo. 8

.1. Ecuacións eponenciais Unha ecuación eponencial é unha ecuación na que aparecen potencias e a incógnita encóntrase nalgún epoñente. Para a resolución das ecuacións eponenciais débese epresar, se é posible, o termo independente como unha potencia da mesma base que a da incógnita. Logo utilíase a propiedade seguinte: se 1 a a 1. Por eemplo, = 8. O problema consiste en calcular o valor de, de maneira que elevado a sea 8. A solución neste caso é =. A ecuación pode ser máis complicada, o obectivo en caso de que así sea é escribila da forma anterior. Unha ve escrita desta forma, a solución pode ser inmediata como antes, ou quiais sea preciso utiliar logaritmos para calcular eactamente o epoñente. Por eemplo, na ecuación = 7; o número non é enteiro, a que: 1 =, que non chega, e =9, que se pasa. Trátase dalgún número entre 1 e. Para calculalo eactamente faise o seguinte: Tómanse logaritmos (neperianos por eemplo): ln ( ) = ln (7) Agora aplícase a propiedade dos logaritmos que permite sacar o epoñente fóra do logaritmo, é dicir, log a ( p ) = p log a (). Neste caso: ln () = ln (7). ln7 Despéase e utilíase a calculadora: 1 771. ln Véase un eemplo dunha ecuación máis complicada, na que hai que facer algunhas manipulacións para chegar ás formas anteriores. Por eemplo, queremos resolver a ecuación 1 + + 1 = 0. Aplicando as propiedades das potencias, pódese escribir da forma 0. Trátase agora, de despear, aínda que o mellor quiais sea facer un cambio de t variable t =, co que a ecuación queda da forma t 0. Resólvese esta ecuación de primeiro grao: t = 9. Entón, = 9, polo tanto =. Tamén pode acontecer que a potencia a despear estea dentro dunha ecuación de segundo grao. Por eemplo, a ecuación 9 + 8 = 0. Neste caso, se se fai o cambio de variable = t, a ecuación anterior convértese na ecuación de segundo grao t 9 t + 8 = 0 (obsérvese que t = ( ) = ). Resólvese a ecuación e obtéñense as solucións t = 8 e t = 1. Entón, desfacendo o cambio de variable, = 8 e = 1. Polo tanto, = e = 0 son as solucións da ecuación inicial... Ecuacións logarítmicas Unha ecuación logarítmica é unha ecuación na que a incógnita aparece baio un logaritmo. Na maioría dos casos pódense resolver sen máis que empregar as propiedades dos logaritmos para obter unha igualdade do tipo log a 1 = log a, e de aquí deducir unha igualdade 1 =. 9

Por eemplo, a ecuación log + log ( ) = log. Para resolvela hai que facer que ambos os dous membros da ecuación queden como un único logaritmo, para despois eliminalos: log (( )) = log. Polo tanto, eliminando os logaritmos: ( ) =. Resolvese esta ecuación de segundo grao e obtéñense como solucións = 1 e =. Aínda que só é válida =, a que os logaritmos de números negativos non eisten. Noutras ocasións convén máis reducir a epresión a unha igualdade entre un logaritmo e un número. Por eemplo, para resolver a ecuación log 5 + log 5 =. Transfórmase o primeiro membro: log 5 + log 5 ( ) = log 5 ( ) =. Polo tanto, utiliando a definición de logaritmo, o anterior é equivalente a = 5 de onde = 5. (Podería ser = 5?) Outra forma de resolver a ecuación anterior máis sinela: Sumando os logaritmos en base 5: log 5 =. Entón, log 5 = = 1. Polo tanto, = 5 1 = 5.. Problemas que se resolven mediante ecuacións Lémbrase que para resolver problemas mediante ecuacións débense seguir os pasos seguintes: Formulación: Consiste en traducir o enunciado escrito nunha ecuación. Resolución: Parte na que se resolve a ecuación. Discusión: Compróbase que a solución obtida é solución da ecuación e que cumpre as condicións impostas no enunciado. Para formular unha ecuación a partir dun enunciado débese: Realiar lecturas comprensivas para identificar o dato que se debe calcular e representalo mediante unha variable. Traar un plan para traducir a linguae escrita a linguae alébrica. Planificar a información en resumos. Comparar o problema con outros coñecidos. Levar a cabo o plan traado e, se este non funciona, cambiar de plan. Eemplo: A cantidade de cartos que un rapa leva no peto é tal que se gasta a terceira parte máis a súa sétima parte, aínda lle quedarían 5 euros máis a metade do que levaba. Que cantidade de cartos levaba no peto? Solución: Formulación: Sea o diñeiro que levaba. Gastos: 7 Quédanlle: 5 Ecuación: 5 7 Resolver a ecuación: = 105 euros. 10

Discusión: A solución cumpre as condicións do enunciado; véase se cumpre a ecuación: 105 105 105 5 105 5 + 5 5 = 105 (5 + 15) 55 = 55. 7 O valor =105 converte a ecuación nunha igualdade numérica verdadeira. 5. Inecuacións Unha inecuación é unha desigualdade que se compón de dúas epresións alébricas separadas polos signos <, >, ou. A solución dunha inecuación está formada por todos os valores que fan que a desigualdade sea certa. Por eemplo, + > : Buscase un número tal que, sumado con, sea maior que. En primeiro lugar, é doado ver que non hai un único número que verifique esta relación. En efecto, valería o número, o, o 5, etc. A solución dunha inecuación non é un só número, senón todo un intervalo de números. Neste caso, son todos os números maiores que 1, é dicir, os tales que > 1; ou o que é o mesmo, os números do intervalo aberto (1, + ). Dúas inecuacións son equivalentes se teñen a mesma solución. Por eemplo, as inecuacións + > 5 e + > + son equivalentes, ambas as dúas teñen por solución os valores de que superen a. Para resolver unha inecuación transfórmase esta noutra equivalente, na que sea sinelo achar a solución, para o que se aplican os seguintes principios de equivalencia: Se se suma ou resta aos dous membros dunha inecuación a mesma epresión alébrica, a inecuación que resulta é equivalente á primeira. p() < q() p() + a() < q() + a() Por eemplo, as inecuacións + < + e <, son equivalentes; a segunda obtense ao sumar ( ) aos dous membros da inecuación; ambas as dúas teñen como solución eral os número reais < ou sea o intervalo (, ). Se se multiplican ou dividen os dous membros dunha inecuación por un número positivo, a inecuación que resulta é equivalente á primeira. Se a >0 e p() < q() a p() < a q() Por eemplo, as inecuacións + 1 18 e +, son equivalentes; ambas as dúas teñen como solución os números reais 1 ou sea o intervalo [1, + ). Se se multiplican ou dividen os dous membros dunha inecuación por un número negativo, a inecuación cambiada de sentido é equivalente á primeira. Se a <0 e p() < q() a p() > a q() Por eemplo, as inecuacións + 9 > e 9 < son equivalentes; ambas as dúas teñen como solución os números reais < ; ou sea o intervalo (, ). 5.1. Inecuacións de primeiro grao Unha inecuación lineal ou de primeiro grao cunha incógnita é toda desigualdade que simplificada equivale a a + b > 0, con a 0. (Pode aparecer calquera dos catro signos de desigualdade, <, >, ou ). 11

A solución eral dunha inecuación cunha incógnita son os puntos dun intervalo, a cal se interpreta con facilidade se se realia unha representación gráfica dela. Véase un eemplo, resolver a inecuación ( 1) 5 8. Quítanse as parénteses: 5 8. Agrúpanse os termos en no primeiro membro, por eemplo, e os independentes no segundo membro:. Ata aquí, todo se fio coma se se tratase dunha ecuación. Pero agora, para cambiar de signo a inecuación, necesariamente se ten que cambiar o sentido da desigualdade, porque ao cambiar de signo, multiplícase por un número negativo, 1:. Polo tanto,. Entón, a solución da inecuación son os números do intervalo [, + ). 5.. Inecuacións de segundo grao As inecuacións de segundo grao cunha incógnita na súa forma reducida son epresións da forma a + b + c > 0 con a 0. (Pode aparecer calquera dos catro signos de desigualdade, <, >, ou ). O estudo deste tipo de inecuacións pódese realiar para a > 0, pois se a é menor que cero multiplicase o trinomio por 1, para estudar o devandito caso. As solucións destas inecuacións están intimamente ligadas ao número de solucións da ecuación a + b + c =0. Eemplos: Resolver a inecuación 8 0. Resólvese a ecuación 8 = 0. As solucións son: = e =. Factoríase o trinomio: ( + )( ) 0. Divídese a recta nos intervalos (, ), (, ) e (, + ). Tómase un valor de do primeiro intervalo, por eemplo =, e substitúese no trinomio factoriado: ( + )( ) = +7 > 0; como non cumpre a desigualdade proposta, o primeiro intervalo non é solución. Repítese o mesmo proceso cun valor de do segundo intervalo, por eemplo = 0, (0 + )(0 ) = 8 < 0 cumpre a desigualdade proposta, o intervalo (, ) é solución. Repítese o proceso cun valor para do terceiro intervalo, por eemplo = 5, (5 + )(5 ) = 7 >0 non cumpre a desigualdade proposta, o terceiro intervalo non é solución. A solución será o intervalo [, ]. + + Resolver a inecuación + 9 0. Resólvese a ecuación + 9 = 0; ten solución única =. Factoríase o trinomio: ( ) 0. Divídese a recta en dous intervalos (, ] e [, + ). O único valor de que substituído no binomio dá cero é, por iso é a única solución da inecuación. + + 1

Resolve a inecuación + 5 0. A ecuación + 5 = 0 non ten solución, non admite factoriación e tense como único intervalo (, + ). Substitúese o valor de = 0 no trinomio e resulta 0 0 + 5 = 5 >0, non cumpre a desigualdade proposta. A inecuación non ten solución. +. Sistemas de ecuacións Unha solución dunha ecuación con varias incógnitas é un conunto de valores (un para cada incógnita) que fan certa a igualdade. Por eemplo, unha solución da ecuación + = 1 é =, =, = 5 porque + ( 5) = 1. As ecuacións con máis dunha incógnita acostuman ter infinitas solucións. Un sistema de ecuacións é un conunto de ecuacións das que se pretende atopar a súa solución común (ou as súas solucións comúns). Os eemplos seguintes son sistemas de ecuacións: 7 ; 1 5 O primeiro é un sistema de tres ecuacións lineais con tres incógnitas (todas as incógnitas son lineais); o segundo é un sistema non lineal (algunhas incógnitas non son lineais). Chámanse solucións dun sistema aos valores das incógnitas que fan verdadeiras todas as ecuacións que forman o sistema. Resolver un sistema é ou ben encontrar os valores das incógnitas ou variables que fan verdadeiras todas as ecuacións do sistema ou ben demostrar que non ten solución..1. Métodos de resolución de sistemas Entre os métodos alébricos que eisten para resolver sistemas atópanse os seguintes: Método de substitución: Despéase unha incógnita nunha das ecuacións e substitúese a epresión obtida nas outras ecuacións. 5 Eemplo: Resolver o sistema lineal 1 Despéase na segunda ecuación (o seu coeficiente é un): = +. A epresión obtida para substitúese nas outras dúas ecuacións: 5 5 1 1 5 11 1

Conséguese un sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas. Despéase na segunda ecuación: = 11 + 5. Substitúese na primeira ecuación: 5 + ( 11 + 5) = 1 10 = 0 =. Substitúese este valor na incógnita despeada : = 11 + 10 = 1. Substitúense os valores obtidos para e na incógnita despeada: = 1 = 1. A solución do sistema é = 1, = e = 1. Método de igualación: Despéase a mesma incógnita en todas as ecuacións e iguálanse as epresións obtidas. 8 Eemplo: Resolver o sistema non lineal Despéase a mesma incógnita nas dúas ecuacións e iguálanse, co que se obtén unha ecuación cunha incógnita: = 8 = 8 10 = 0. Resólvese a ecuación obtida: 1 10 b b ac 9 0 9 7 a 1 7 10 5 7 Substitúense estes valores nunha das incógnitas despeadas: para = 5, = e para =, = 10. O sistema ten dúas solucións. Método de redución: Multiplícanse as ecuacións por números aeitados de forma que ao sumar os resultados elimínase unha das incógnitas. Eemplo: Resolver o sistema lineal 10 Substitúese a segunda ecuación polo resultado de sumar a primeira coa segunda multiplicada por, número co que se consegue que as dúas ecuacións teñan os coeficientes de iguais e opostos: + = 10 = 8 0 + = O sistema de partida é equivalente ao sistema graduado: 10 Neste sistema = ; substitúese este valor na primeira ecuación para calcular : + = 10 = = 1. A solución do sistema é =1 e =... Clasificación dos sistemas lineais Cada ecuación a + b = c dun sistema lineal de dúas ecuacións con dúas incógnitas representa unha recta do plano; os puntos (, ) da devandita recta son as solucións da súa ecuación. A eistencia ou carencia de puntos comúns ás dúas rectas que 1

forman o sistema determina a eistencia ou non de solución para este tipo de sistemas. Graficamente temos as seguintes situacións: As dúas rectas córtanse nun punto que será a solución. O sistema ten solución única. O sistema é compatible determinado. As rectas coinciden, polo que toda a recta é solución. O sistema ten infinitas solucións. O sistema é compatible indeterminado. As rectas son paralelas, non teñen puntos en común. O sistema non ten solución. O sistema é incompatible... Método de Gauss para sistemas lineais O método de Gauss é unha eneraliación do método de redución para resolver e discutir (saber se o sistema é ou non compatible) sistemas lineais con calquera número de ecuacións e de incógnitas. Trataranse sistemas con tres incógnitas, aínda que non necesariamente con tres ecuacións. O sistema dado convértese noutro sistema graduado equivalente mediante transformacións aeitadas: a 11 1 a a 1 a a a 1 b b b 1 Eemplos: Resolver o seguinte sistema graduado: 9 Despéase na terceira ecuación: = 1 0 9 = ; substitúese o devandito valor na segunda ecuación e despéase : = 0 = =. Finalmente substitúense os valores de e na primeira ecuación e despéase : + = 1 = 1 + =. A solución do sistema é: =, =, =. Transformar o sistema seguinte nun sistema equivalente graduado, clasificalo e resolvelo se é posible: 5 1 1 Primeiro paso: Anular o coeficiente de nas dúas últimas ecuacións: Substitúese a segunda ecuación pola que resulta de sumarlle a primeira multiplicada por menos dous: (ª) (1ª): + 8 =. Substitúese a terceira ecuación pola que resulta de sumarlle a primeira multiplicada por menos 5: 5 (1ª) + (ª): + 1 = 1. 1 Co que resulta o sistema equivalente: 8 1 1 Segundo paso: Anular o coeficiente de na terceira ecuación: 15

1 Substitúese a terceira ecuación pola que resulta de sumarlle a segunda multiplicada por catro: (ª) + (ª): 5 = 5. Con isto conseguiuse o sistema graduado: 5 5 8 1 A terceira ecuación resólvese doadamente e permite afirmar que o sistema é compatible determinado, é dicir, de solución única: = 1; + 8 = = ; = 1 =. A solución é =, =, = 1. Transformar o sistema seguinte nun sistema equivalente graduado, clasificalo e resolvelo se é posible: 10 10 ª 1 ª 1ª ª 7 7 ª ª ª ª 0 0 7 Conseguiuse o sistema graduado. A terceira ecuación é 0 = 0: calquera valor de cumpre a ecuación, polo que ten infinitas solucións; trátase dun sistema compatible indeterminado. Transformar o sistema seguinte nun sistema equivalente graduado, clasificalo e resolvelo se é posible: 9 9 ª (ª) ª 1ª 9 ª 1 ª 1ª ª ª 1 ª 1ª ª 0 ª ª 0 0 Conseguiuse o sistema graduado. A terceira ecuación é 0 = - non ten solución (calquera número multiplicado por cero é cero). O sistema é incompatible. Os eemplos anteriores permiten dar as regras mediante as que se clasifica e resolve un sistema lineal usando o método de Gauss:

Se ao reducir o sistema dado a forma triangular graduada aparece algunha ecuación do tipo 0 = b, o sistema é incompatible, non ten solución. Se ao reducir o sistema non sucede o anterior é compatible, pois ten solución. Se o número de ecuacións non triviais (as distintas ás da forma 0 = 0) é igual ao número de incógnitas, o sistema ten solución única (Sistema compatible determinado). Se o número de ecuacións é menor que o número de incógnitas, o sistema ten infinitas solucións (Sistema compatible indeterminado). 7. Problemas que se resolven mediante sistemas A linguae alébrica é unha potente ferramenta para resolver problemas; neste apartado tratarase a resolución de problemas que precisan dos sistemas estudados. Os pasos a seguir para resolvelos son os indicados no apartado. Eemplos: Unha multinacional ten delegacións en Madrid, Barcelona e Valencia. O número total de altos eecutivos das tres delegacións ascende a 1. Para que o número de altos eecutivos da delegación de Barcelona fose igual ao de Madrid terían que trasladarse de Madrid a Barcelona. Ademais, o número dos de Madrid ecede nun á suma dos destinados nas outras dúas cidades. Cantos altos eecutivos están destinados en cada cidade? Sean,, os altos eecutivos de Madrid, Barcelona e Valencia, respectivamente. 1 1 ª 1ª ª 1ª 1 1 ª 1ª ª 1 ª 1 5 0 ª ª 1 5 Conseguiuse o sistema graduado. = 5; 5 = 5 = 0 = 10; + 10 + 5 = 1 = 1. A solución é = 1, = 10, = 5. Os eecutivos da multinacional serán: 1 en Madrid, 10 en Barcelona e 5 en Valencia. Un hipermercado inicia unha campaña de ofertas. Na primeira delas desconta un % nun produto A, un % no produto B e un 5% no produto C. Ás dúas semanas pon en marcha a segunda oferta descontando un 8% sobre o preo inicial de A, un 10% sobre o preo inicial de B e un % sobre o preo inicial de C. Se un cliente compra durante a primeira oferta un produto A, dous B e tres C, aforra 1 euros respecto do preo inicial; se compra tres produtos A, un B e cinco C na segunda oferta, o aforro é de 9 euros. Se compra un produto A, un B e un C, sen ningún tipo de desconto, debe aboar 15 euros. Calcúlese o preo de cada produto antes das ofertas. Sean,,, respectivamente, os preos dos produtos A, B e C antes da oferta. 5 17

15 0 9 0 9 0 95 15 1 0 9 0 90 0 9 5 15 9 15 ª 9 1ª ª 7 1ª 9 88 85 11900 7 90 70 1000 15 8 ª 1 ª 8 11 100 0 110 15 0 9 0 88 0 85 119 0 7 0 90 0 70 10 15 8 1 Conseguiuse o sistema graduado. 110 00 = = 0; 8 11 0= 100 8 = 00 = 0 8 + 50 + 0 = 15 = 15 110 = 5. A solución é = 5, = 50, = 0. Os preos iniciais serán: A = 5 euros, B = 50 euros e C = 0 euros. 11 = 50; 100 0 18