ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση της συνάρτησης π f () = + ηµ Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς k, ρ και ω µε ω>, για τους οποίους η συνάρτηση f ( ) = k + ρ συν ( ω ) έχει περίοδο Τ=, µέγιστη τιµή f ma = και ελάχιστη τιµή f min = Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς k, ρ και ω> για τους οποίους η συνάρτηση f () = k+ ρ ηµ ( ω) έχει περίοδο Τ=6, µέγιστη τιµή fma = 5 και ελάχιστη τιµή fmin = ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να λυθούν οι εξισώσεις : α) ( )( + ) = ηµ συν β) ( ) γ) συν ηµ=συν δ) εφ σφ = ηµ ηµ = Να λυθούν οι εξισώσεις : α) ηµ ηµ+ = β) π ηµ( + ) = ηµ γ) δ) εφ+σφ= ε) ( ) Να λυθούν στο διάστηµα [-π,π) οι εξισώσεις : α) συν = â) εφ = εφ εφ = π ηµ = συν( + ) Να λυθεί στο διάστηµα [, π] η εξίσωση : ηµ= 5 Να λυθεί η εξίσωση : συν 7συν + = 6 Να λυθεί η εξίσωση : σφσυν+ = σφ+ συν 7 Να λυθεί η εξίσωση : εφσφ = στο [, π] 8 Να λυθεί η εξίσωση : συν + ηµ =
9 Να λυθεί η εξίσωση : σφ = σφ Να λυθεί η εξίσωση : ηµ + 7συν = 5 Να λυθεί η εξίσωση : εφ σφ5 = Να λυθεί η εξίσωση : ηµ συν+ = ηµσυν Να λυθεί η εξίσωση 5ηµ + ηµσυν+ 6συν = 5 Να λυθεί η εξίσωση: π π ηµ( ) + συν( ) = 5 Να λυθεί η εξίσωση: 6 Να λυθεί η εξίσωση: ηµ ηµ + = ηµ + 5συν = 7 Να λυθεί η εξίσωση: εφ+ συν = συν 8 Να λυθεί η εξίσωση: = εφ εφ 9 Να βρεθεί για ποιες τιµές του καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει τη µέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιµή της α f() = ηµ, π β f() = + συν(π), Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : συν + συν = () ηµ 5ηµ + = () συν = () συν 5 συν = () Να λυθεί η εξίσωση : ηµσυν+ ηµ = συν+ 5 Να λυθεί η εξίσωση: ( ηµ)( + εφ)( + συν) = 6 Να λυθεί η εξίσωση: 7 Να λυθεί η εξίσωση: π π συν( + ) + ηµ( + ) = 5 5 π π συν( ) + ηµ( + ) = 6
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Για τις διάφορες τιµές του m R, να βρεθεί ο βαθµός του πολυωνύµου P() = m 9m + m m + m + 9 m ( ) ( ) ( ) Για ποια τιµή του α R, τα πολυώνυµα P() = 5α + α και Q() = ( α + ) + ( α ) + ( α α) + είναι ίσα ίνεται το πολυώνυµο ( ) ( ) ( ) P() = α 6α+ 8 + β + α + + β Για ποιες τιµές των α, β R το πολυώνυµο είναι το µηδενικό; Αν το πολυώνυµο P() έχει ρίζα το = και για κάθε R ισχύει P( ) P() 5 + = να βρεθεί η αριθµητική τιµή P() 5 Αν το πολυώνυµο P() έχει ρίζα το = να βρεθεί µια ρίζα του πολυωνύµου Q() = P(5+ 8) 6 Να βρεθεί πολυώνυµο P() ου βαθµού µε ρίζες το - και το και αριθµητική τιµή - για = 5 7 ίνεται το πολυώνυµο P() = ( + ) + ( + ) Ποιος ο βαθµός του πολυωνύµου; Να βρεθεί ο σταθερός του όρος και το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου 8 ίνεται το πολυώνυµο P() = + Να βρεθεί το πολυώνυµο Q() = P() P( ) Ποιες είναι οι ρίζες του Q(); 9 Να βρείτε το πολυώνυµο P() για το οποίο ισχύει : [ P() ] = + 5 + Να γραφεί το πολυώνυµο P() = 7+ 5 στη µορφή : P() = α( )( + ) + β( ) + γ( )(+ ) Αν είναι α + β + γ = αβγ και α+ β+ γ, να δείξετε ότι το πολυώνυµο P() = α (β γ) + β (γ α)+ γ (α β) είναι το µηδενικό πολυώνυµο Για τις διάφορες τιµές του m R, να βρεθεί ο βαθµός του πολυωνύµου P() = (m 7m + m) (m )+ Για ποιες τιµές των πραγµατικών αριθµών α, β και γ τα πολυώνυµα ( ) = α+β + ( β γ ) + και ( ) ( ) P() Q() = α+β γ + α+γ + α+β είναι ίσα; α) Να βρείτε τα α,β R για τα οποία ισχύει : = α + β + + ( )
β) Να υπολογίσετε το άθροισµα : + + + + v v + ( ) 5 Να βρεθεί ο σταθερός όρος και το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου ( ) ( ) P() = + + + 6 ίνεται το πολυώνυµο ( ) P P() P() = + + Να βρεθεί ο βαθµός του πολυωνύµου 7 Να βρεθεί πολυώνυµο P() αν για κάθε R ισχύει : P( ) = + 8 Αν το πολυώνυµο P() έχει ρίζα το, να βρεθεί µια ρίζα του πολυωνύµου Q() = P( ) 9 Για το πολυώνυµο P() ισχύει P()= και P( ) = P() +, για κάθε R Να βρεθεί το P() Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού α το πολυώνυµο ( ) ( ) ( ) ( ) P() = α + α α+ + α 5α+ + α είναι το µηδενικό πολυώνυµο; Να βρεθεί πολυώνυµο P() τέτοιο ώστε: [ ] P() + P() + = 9 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Να γίνουν οι διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης : α) ( 5 7 ):( 6 + + + ) β) ( ):( + ) γ) ( + + + + ):( + ) 6 ίνονται τα πολυώνυµα α) Να γίνει η διαίρεση P(): Q( ) P() = 7 + α + β και Q( )= + 5 β) Να βρεθούν τα α,β R ώστε το Q( ) παράγοντας του P() Με την σχήµα Horner να γίνουν οι διαιρέσεις : 5 α) ( + + ) : (+ ) β)( ):( ) γ)( + + + ):( + ) Να βρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : α) ( + 5 + 6 ):( + ) β) ( 99 59 + 7 9 6 9 + ):( ) 5 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου v P() = ( ) +, v N + µε το πολυώνυµο δ() =
6 Αν P() = + + + 9, να βρεθεί η αριθµητική τιµή του πολυωνύ- µου για = δίνει υπόλοιπο 7 και διαιρούµενο µε 7 Ένα πολυώνυµο P() διαιρούµενο µε ( ) ( + ) δίνει υπόλοιπο Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() µε το πολυώνυµο ( )( + ) 8 Αν το πολυώνυµο P() διαιρούµενο µε το f () = δίνει υπόλοιπο, να βρεθούν τα υπόλοιπα της διαίρεσης του P() µε το + και το ν 9 Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο ( ) ( ) P() = +, ν N διαιρείται (τέλεια ) µε το f () = + Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο ρ όπου ρ R Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο ( ) ( ) έχει παράγοντες όλους του παράγοντες του ν 8 6 P() = + 5 + 7 δεν έχει παράγοντες της µορφής P() = + + + 5 Αν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων των πολυωνύµων 5 P() 5α 6β α Q() = + + Q() = α β και = + + µε το είναι ίσα να βρεθούν οι τιµές των παραµέτρων α και β Να βρεθούν οι α, β R αν το πολυώνυµο P() = + α + + β έχει παράγοντα το πολυώνυµο ( ) Ποιο το πηλίκο της διαίρεσης του P() µε το ( ) Να βρεθούν οι α, β R αν το πολυώνυµο P() ( ) = +α + β + έχει παράγοντα το πολυώνυµο και η διαίρεση του P() µε το + δίνει υπόλοιπο ίσο µε 5 5 Να δείξετε ότι το πολυώνυµο P()= 9 + 8 8 + 8 έχει παράγοντα το ( ) 6 Αν το πολυώνυµο P() έχει παράγοντες τα και +, να δείξετε ότι και το πολυώνυµο + 6 είναι παράγοντας του P() 7 Να βρείτε τα λ,µ R, ώστε το τριώνυµο 5+ να διαιρεί το πολυώνυµο P() = + µ+ λ 8 Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α,β αν το πολυώνυµο έχει παράγοντα το πολυώνυµο ( ) P() = + α + + β 9 Ένα πολυώνυµο P() διαιρούµενο µε ( ) δίνει υπόλοιπο 8 και διαιρούµενο µε ( + ) δίνει υπόλοιπο 7 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() µε το πολυώνυµο ( )( + ) 5
Οι διαιρέσεις ενός πολυωνύµου P() µε τα διώνυµα ( + ) και ( ) δίνουν υπόλοιπα και αντίστοιχα Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) P() : Να βρείτε τους λ,µ R ώστε το πολυώνυµο διαιρείτε µε τη µεγαλύτερη δυνατή δύναµη του ( ) P() = + (λ µ) + λ 5+ να Έστω το πολυώνυµο P() µε P() =, P() = και P( ) = Να βρείτε το υπό- λοιπο της διαίρεσης P() : ( ) + Να βρεθούν οι α,β R, ώστε το ( + ) να είναι παράγοντας του πολυωνύµου P() = α + (α+ β) Για το πολυώνυµο P() ισχύει P() = και P(+ ) = P() +, για κάθε R Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() µε το ( 7) 5 Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο ( ) ( ) έχει παράγοντες όλους του παράγοντες του P() = + 6 Να βρεθούν οι τιµές των α, β ώστε το πολυώνυµο ( ) ( ) 7 5 P() = α + + β + + να έχει παράγοντες όλους του παράγοντες του 7 Να βρεθούν οι τιµές των α, β ώστε το πολυώνυµο έχει παράγοντα το πολυώνυµο + Q() = 5+ 6 Q() = + 7+ P() = + α + β 6να ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να λυθούν οι εξισώσεις : α) + + 6= β) = γ) + + 8 + + 6= Να βρεθεί ο ακέραιος k ώστε η εξίσωση ( ) ( ) ( ) k + 6k+ + 7k + 8 9k = να έχει ρίζα τον αριθµό Για την τιµή του k που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση Να βρείτε τα σηµεία τοµής του άξονα και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τύπο = + + + 8 6 5 f() 6 5 ίνεται η συνάρτηση f() ( ) = + + + + + + Να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση δεν έχει κανένα σηµείο κάτω από τον άξονα 6
5 Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 6 7 7+ 6= β) 6 5 + 6 5+ 6= γ) + = δ) 6 5 + 97 + 6= ε) + + + = στ) 5 5 + 5 + = 6 Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 Να λύσετε τις ανισώσεις : + α+ =, µε α Z, δεν έχει ακέραιες ρίζες α) 6 + 5 8 + 5+ 6 β) 9 + 7+ 6 γ) 8 + + + < δ) 8 Έστω το πολυώνυµο Να προσδιοριστούν τα α, β ώστε το P() = + 7 + α+ β, µε α,β R + να είναι παράγοντας του P() Για τις τιµές των α, β που βρήκατε να λυθεί η ανισότητα P() < 9 Αν για κάθε πραγµατικό ισχύει η σχέση : ( ) α + β + γ = 9 + 7+ 8 τότε : α Να βρεθούν οι τιµές των α, β, γ β Να λυθεί η ανίσωση : ίνονται τα πολυώνυµα : 9 + 7+ 8 = + α β και ( ) ( ) P() Q() = α β+ 6 + 6 Να βρείτε τις τιµές των α,β R αν η γραφική παράσταση του P() διέρχεται από την αρχή των αξόνων Αν α= β= να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες η γραφική παράσταση του Q( ) βρίσκεται κάτω από τον άξονα ίνονται τα πολυώνυµα P() = + α + β+ και Q() = + β + +, µε α,β R Αν τα δυο πολυώνυµα έχουν κοινό παράγοντα το +, τότε : α Να βρεθούν τα α, β β Να λυθούν οι εξισώσεις P()= και Q( )= Να βρεθούν οι τιµές των α,β ώστε το πολυώνυµο τη µορφή P() ( α β)( ) = + Έπειτα να λυθεί η ανίσωση: P() 5 Να βρεθούν οι τιµές των α,β ώστε το πολυώνυµο µέγιστο δυνατό πλήθος ακεραίων ριζών Έπειτα να λυθεί η ανίσωση: P() > P() = + 6να παίρνει P() = + α + β να έχει το 7
6 Να βρεθούν τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g όπου f() = + + και g() = + 7 5 7 Να λυθεί η εξίσωση 6 5 6= 8 Έστω η πολυωνυµική συνάρτηση f() = + α + β+ Αν είναι γνωστό ότι η γραφική της παράσταση τέµνει τον θετικό ηµιάξονα Ο σε δύο σηµεία µε ακέραιες τετµηµένες να βρεθούν οι τιµές των α,β Σε ποιο διάστηµα του η C f βρίσκεται κάτω από τον ; ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθούν οι εξισώσεις : + + = ( ) ( ) + + = α) 9 = β) + = + γ) 5 + = 6 Να λυθούν οι εξισώσεις : α) + + = β) + + 9 = 5 Να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) 6 Να λύσετε τα συστήµατα : α) y = + + y = 7 Να λύσετε την εξίσωση : 8 Να λύσετε τις εξισώσεις : + 6 = 6 β) 6 α) ( ) ( ) + y = + y = 5 γ) 8 6 ηµ 9ηµ + ηµ 9ηµ + = + 9 + + 8= β) 8 γ) ( + ) ( + ) = 9 Να λύσετε τις εξισώσεις (αντίστροφες) : δ) + y = 8 + y y = 6 5 + 6= + + + = α) + 6 + = β) 6 + 5 + 5+ 6= Να λύσετε την εξίσωση : = + Να λύσετε την εξίσωση : 5ηµ συν ηµ = ηµ + Να λύσετε την εξίσωση : + 6 = 8
Να λύσετε την εξίσωση : = Να λύσετε την εξίσωση : 6 + = Να λύσετε την εξίσωση : + = + Να λύσετε την εξίσωση : ( + )( + )( + )( + ) = 5 Να λύσετε την εξίσωση : + 5 = 6 Να λύσετε την εξίσωση : 8 = 7 Να λύσετε την ανίσωση : + Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ α Για ποιες τιµές του α R η συνάρτηση f µε f( ) = είναι : α+ α Ορισµένη στο R β Γνησίως αύξουσα γ Γνησίως φθίνουσα δ Σταθερή Να λυθούν οι εξισώσεις : 7 = 9 + + + + + 7 + 5 = + 5 5 ( ) + 5 + 5 = 6 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α δ = β + = ε ζ ( ) + = η Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις α γ + + 8 5 + = 5 9 6 = = + + 5 8 + + = γ 6 5 5 + + = + στ 9 7 + 6 = θ + + + = β ( ) 5 5 5 55 + = δ + 5 + 5 = ηµ ηµ συν = 9 + = 7 + 9 = 7 ηµ ηµ + 8 = 6 5 Να λύσετε τις παρακάτω εκθετικές ανισώσεις α β 6 < γ 6 δ + > 8+ + + + 6 Να λυθούν οι ανισώσεις : α 6 8 + < β 5 + < γ 6 9 6 + 6 < 9
7 Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα : y y + = + y = 8 α 8 β y+ + y + = = 8 γ = y 6 y = 8 δ y = y = y ε = y 5 75 y 5 = 5 στ = y y = 9 ζ y 5 = + = y 9 5 6 η = 7 6 = 9 y y θ y 5 = y 5 + 9 = 6 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Να υπολογίσετε τους παρακάτω αριθµούς : log α + β log5 γ Να λύσετε τις εξισώσεις : α 5 = β = ln e Να δείξετε ότι : v+ log log log log + + + = v v Να δείξετε ότι : ln( e) + log( e) = ln( e) log( e) 5 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων : ln( ) α f( ) = log β g( ) = + + ln( + ) 6 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : log8 5 α A= log 8+ log 7 log + log β B + = 7 Να λύσετε τις εξισώσεις : ln + + ln + 5 = ln5 α ( ) ( ) β ( ) ( ) ( ) log log = log log δ log + 5 = log + log γ ln( ) + ln( 8 ) = ln( ) 8 Να λύσετε τις εξισώσεις :
α + log + + log = log β ( ) ( ) ( ) γ ln + ln = ln + ln + = 5+ log 9 log δ ln( ) + 9 ln= ln5 ε log = 9 Να λυθούν τα συστήµατα : log + log y= α log log y = β log + log y = log log y= γ ( ) ( y ) log + log + = y + = δ ( y y) 7 log + log = 5 y= 5 ε y = 8 y+ y = στ = = y 7 y 5 675 ζ y y + = y= log η log y = 6 log y = θ log y+ logy = 5 y= e ι y 5 = log5+ ylog = log α Να δείξετε ότι για κάθε β Να λύσετε την εξίσωση : log log > ισχύει : = log log 8= Να βρείτε τον θετικό ώστε να ισχύει : log + log + log + + log = 5 v v log y = α Να λύσετε το σύστηµα : log y = β Αν οι λύσεις του συστήµατος είναι ρίζες της εξίσωσης log log( logθ ) + =, να υπολογίσετε τον θετικό αριθµό θ Να λύσετε τις ανισώσεις : log + log β log log + γ α ( ),, log > ίνεται η συνάρτηση: f( ) συν( ln5 ) = α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης
β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση είναι άρτια γ) Να λυθεί στο διάστηµα (, π) η εξίσωση: f( ) = 5 α Να δείξετε ότι : β Να λυθεί η εξίσωση : log 5 log = 5 log5 log 5 + = 6 6 Να λυθεί η εξίσωση: log( + 7) = + log( + ) + ln ln 7 Να λυθεί η εξίσωση: + = 5 ln ln 8 Να λυθεί η εξίσωση: ( e ) ln + = + ln5 9 Να λυθεί η εξίσωση: 5ln = e Να λυθεί η εξίσωση: α) συν = β) συνe = Να λυθεί η εξίσωση: α) = e β) ln 8 ln = e Να λυθεί το σύστηµα: α) y = ln+ yln = ln7 β) ( y) ln = ln ln ln y= ln Να λυθεί η εξίσωση : ln ln + = Να λυθεί η ανίσωση : α) ln 5ln + β) ln + ln + ln ln 5 Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων : + ln α) f( ) = β) g( ) = ln γ) h( ) = ln + ln ln 6 Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων : ln ln α) f( ) = β) g( ) = γ) h( ) = ln ( ln ) ln ln 7 Να βρεθεί η τιµή του Rώστε να είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου οι αριθµοί :,, ln 7 5 e 8 Να βρεθεί η τιµή του Rώστε να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου οι + ln, ln, ln + 5 αριθµοί : ( ) ( )