Μέρος A Χωρίς Υπολογιστή A1 Ανάλυση Να βρεθεί η αρχική συνάρτηση F της συνάρτησης f(x)=2xe x η οποία διέρχεται από το σημείο A(1,2e). A2 Γεωμετρία Δίνονται τα εξής: το επίπεδο (α) που ορίζεται από τα σημεία Α(2,1,0), Β(1,0,2), C(3,1,1) x = 2 + 2 και η ευθεία k: y = 1 +, λr. z= 4 Να βρείτε την σχετική θέση του επιπέδου α και της ευθείας k. A3 Πιθανότητες 5μ Ο Γιώργος πηγαίνει στο σχολείο είτε με το λεωφορείο είτε με το ποδήλατο. Η πιθανότητα να αργήσει στο σχολείο είναι 1 10 αν ταξιδεύει με το λεωφορείο και 1 5 αν πηγαίνει με το ποδήλατο. Κάθε μέρα είναι το ίδιο πιθανόν να επιλέξει το λεωφορείο ή το ποδήλατο. α) Να βρεθεί η πιθανότητα ο Γιώργος να καθυστερήσει στο σχολείο. β) Δεδομένου ότι ο Γιώργος έχει αργήσει μια μέρα στο σχολείο, να βρεθεί η πιθανότητα να πήγε με το ποδήλατο.. A4 Ανάλυση 4p Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας με την αντίστοιχη γραφική παράσταση της συνάρτησης που υπάρχει στην 1 η γραμμή. Να δικαιολογηθεί η απάντηση. Συνάρτηση y=-3ln(x+1) y=1+e -x+2 y=4e 2x-1 y=e-lnx Γραφική παράσταση
Γραφική παράσταση 1 Γραφική παράσταση 2 Γραφική παράσταση 3 Γραφική παράσταση 4 A5 Μιγαδικοί Αριθμοί 5μ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1=α+α 3 i και z2=1-i, όπου αr. Να γραφούν z οι z1, z2 στην μορφή r(συνθ+iημθ) και να βρεθεί το z και του i. 1 2 6 ως συνάρτηση του α A6 Ανάλυση Να λυθεί η εξίσωση: log 3 (x)-2log 2 (x)=-log(x) A7 Γεωμετρία Η ευθεία r: x = y = z + 1 βρίσκεται στο επίπεδο π: 2x-3y+z+b=0. Να a υπολογισθούν τα a, b.
Μέρος B Με Υπολογιστή B1 Ανάλυση 20μ Δίνεται η οικογένεια συναρτήσεων fk με fk(x)=(k-x) e 1 x 2, k>0. α) Για την συνάρτηση που προκύπτει όταν k=1, να βρεθούν το πεδίο ορισμού της και τα σημεία τομής της με τους άξονες. β) Δείξτε ότι όλες οι συναρτήσεις αυτής της οικογένειας δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. γ) Δείξτε ότι κάθε συνάρτηση fk(x) έχει ένα ακρότατο του οποίου να βρεθούν οι συντεταγμένες συναρτήσει του k. Δείξτε ότι όλα τα ακρότατα βρίσκονται σε μια καμπύλη με εξίσωση της μορφής y=ae bx. δ) Να καθοριστεί η συμπεριφορά των συναρτήσεων fk(x) όταν x - και όταν x + και να γραφεί η εξίσωση της οριζόντιας ασύμπτωτης. ε) Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων fk(x). ς) Στο x0=0, η γραφική παράσταση της fk έχει εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία 2y-x+4=0. Να υπολογισθεί το k και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης. 5μ 5μ
B2 Γεωμετρία 20μ Δίνεται μια ορθή κανονική τετραγωνική πυραμίδα με τετραγωνική βάση ABCD και κορυφή Ε όπως φαίνεται στο σχήμα: Γνωρίζουμε ότι Α(0,-5,0), Β(4,-5,3), C(4,0,3) καθώς και ότι η κορυφή E ανήκει στο επίπεδο ρ: -5x+2y+5z-10=0. α) Να βρεθεί η καρτεσιανή (αναλυτική) εξίσωση του επιπέδου α το οποίο περιέχει τα σημεία Α, Β και C. β) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες της κορυφής Ε είναι (0,5, -2,5, 3,5). γ) Να βρεθεί το ύψος της πυραμίδας. δ) Να βρεθεί το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας. ε) Να βρεθεί η γωνία μεταξύ του επιπέδων α=(abc) και της ευθείας ΑΕ.
B3 Πιθανότητες 15μ Κατά την διάρκεια μιας επιδημίας σε ένα κοπάδι βοοειδών, οι επιστήμονες διαπίστωσαν ότι αν η αρρώστια διαγνωστεί σε αρχικό στάδιο το ζώο μπορεί να σωθεί, διαφορετικά ψοφάει. Ένα τεστ που διενεργήθηκε σε ένα δείγμα ζώων κατέδειξε ότι 1% αυτών των ζώων πάσχει από την ασθένεια. Τα αποτελέσματα επίσης ήταν τα εξής: Αν ένα ζώο έχει την ασθένεια, η πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό είναι 0.85. Αν ένα ζώο είναι υγιές, η πιθανότητα το τεστ να είναι αρνητικό είναι 0.95. Ορίζουμε τα παρακάτω ενδεχόμενα: M: «Το ζώο έχει την αρρώστια». T: «Το τεστ είναι θετικό». 1) Σχεδιάστε το δεντροδιάγραμμα που αφορά την ασθένεια των ζώων και το σχετικό τεστ. 2) Ένα ζώο επιλέγεται στην τύχη. α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα να είναι άρρωστο και το τεστ να είναι θετικό. β) Δείξτε ότι η πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό είναι 0,058. 3) Γνωρίζοντας ότι για ένα ζώο το τεστ είναι θετικό, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι άρρωστο. 4) Επιλέγουμε τυχαία 5 ζώα. Να υπολογισθεί η πιθανότητα κανένα να μην είναι άρρωστο (υποθέτουμε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο ώστε σε κάθε επιλογή οι πιθανότητες να παραμένουν οι ίδιες).
B4 Μιγαδικοί αριθμοί 15μ Έστω ο μιγαδικός αριθμός w= -1-i 3 2. α) Να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης z 4 =w, στην εκθετική μορφή. Ποια από αυτές είναι λύση της z 4 =z; β) Δείξτε ότι 1+w+w 2 =0. γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα w 3 +w 4 +w 5 και να συμπεράνετε την σχέση που ισχύει για το άθροισμα τριών διαδοχικών δυνάμεων του w. δ) Χρησιμοποιώντας τα ερωτήματα β) και γ) να υπολογίσετε το άθροισμα: 1+w+w 2 +w 3 + +w 1965 +w 1966. ε) Αν είναι γνωστό πως το w είναι ρίζα της εξίσωσης z 9 +16(a+i)z 3 +ib=0 να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί a, b.