1 Pìblhma 1 α) gad = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = (x(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,y(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,z(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2) β) = div = x x + y y + z z =3 cul = x y z γ) Εχουμε A = ω x ω y ω z x y z =(ω yz ω z y, ω z x ω x z,ω x y ω y x) Επομένως, και δ) ε) div A ω y z ω z y ω z x ω x z ω x y ω y = ( ω x ( ω x ) )ˆx + ( ω y ( ω y ) ) ŷ + ( ω z ( ω z ) ) ẑ =2ω gad φ =gad(ω x x + ω y y + ω z z)=(ω x,ω y,ω z )=ω div A = (f(x), 0, 0 ) = f (x)
2 f(x) 0 0 στ) div A = (f(y), 0, 0 ) = f (y)ẑ f(y) 0 0 Pìblhma 2 Bl. mde62.jpg Για την περίπτωση (α), gad φ = /, δηλαδή πρόκειται για ένα ακτινικό πεδίο μοναδιαίου μέτρου, το οποίο είναι αστρόβιλο. Για την περίπτωση (δ), gad φ = ω, που είναι επίσης αστρόβιλο. Και τα δύο αποτελέσματα είναι αναμενόμενα αφού ( φ) για τυχόν φ. Pìblhma 9 α) Δεδομένου ότι A = f()ˆ =(x, y, z)f()/, έχουμε x f() y f() z f() οπότε η συνιστώσα x για παράδειγμα είναι ( z f() ) ( y f() ) y z = z ( y = z y ( f() ) y z ) y z ( ) ( ) f() και ομοίως για τις άλλες συνιστώσες. β)γιατησυνιστώσαx θα πρέπει
3 z f y = y f z f/ y f/ z = y z και τα αντίστοιχα για τις άλλες συνιστώσες, δηλαδή το διάνυσμα ( f x, f y, f z )= f είναι παράλληλο του και επομένως οι ισοσταθμικές επιφάνειες είναι σφαίρες, και f = f(). γ) Για τον πρώτο από τους τρεις όρους του div A, έχουμε ( ) x x = f + x ( ) = x f + x2 f f 2 = f + x2 (f f) 3 οπότε αν συγκεντρώσουμε όλους τους όρους, έχουμε ότι η πυκνότητα πηγών είναι div A =3 f + 2 (f f) 3 = 2f + f Για να βρούμε τη ζητούμενη f, θέτουμε την ποσότητα αυτή ίση με μηδέν: 2f+f df d f = 2 ln f = 2ln+c f() =ce 2ln = c 2 Ο μηδενισμός δεν μπορεί να ισχύει παντού, αφού στην αρχή των αξόνων το πεδίο απειρίζεται, οπότε οι σχέσεις A και A δεν ισχύουν. Για τον ίδιο λόγο δεν παραβιάζεται και το θεώρημα του Helmholtz. Pìblhma 13 Εστω πεδία A και B τέτοια ώστε A = B Για την πυκνότητα πηγών του εξωτερικού γινομένου των πεδίων αυτών έχουμε (A B) =( A) B ( B) A Pìblhma 14 α) Ο στροβιλισμός ενός τέτοιου πεδίου είναι 0 0 f = f f ˆx y xŷ
4 δηλαδή για να είναι το πεδίο αστρόβιλο θα πρέπει f x = f y. β) Για να μην υπάρχουν πηγές, προφανώς αρκεί να ισχύει f z. Pìblhma 27 u = ɛ 0 E E + 1 B B μ 0 = 1 ( ) E ( B) B ( E) μ 0 = 1 μ 0 (B E) Επομένως u + 1 (E B) u μ 0 + S Το u αντιπροσωπεύει την πυκνότητα ενέργειας (ενέργεια/όγκος), ενώ το S την πυκνότητα ροής ενέργειας (ενέργεια/(επιφάνεια χρόνος). Pìblhma 28 α) Θέτουμε κατ αρχάς B = A, οπότεη B ικανοποιείται αυτομάτως. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (Γ), παίρνουμε E = B E + Επομένως, μπορούμε να θέσουμε ( A) (E + A ) E + A = φ E = φ A β)τα νέα δυναμικά A και φ δίνουν τα εξής πεδία: B = A = A + ( φ) = A = B και
5 E = φ A = φ + ( φ) A ( φ) = E δηλαδή τα ίδια με τα αρχικά. Επομένως, υπάρχει αυτή η ελευθερία επιλογής δυναμικών. γ) Εάν θεωρήσουμε ότι ισχύει η συνθήκη Loentz A + 1 φ c 2 τότε η εξίσωση (Α) μέσω της αντικατάστασης (1) γράφεται ως εξής: E = ρ ɛ 0 ( φ + A )= ρ ɛ 0 2 ( A) φ + = 2 φ + Αντίστοιχα, για την εξίσωση (Δ) έχουμε B = μ 0 j + 1 c 2 E ( 1 ) φ c 2 = 2 φ 1 2 φ c 2 2 = ρ ɛ 0 ( A) =μ 0 j + 1 ( c 2 φ A ) ( A) 2 A = μ 0 j 1 ( φ) c 2 1 2 A c 2 2 2 A 1 2 ( A c 2 2 = μ 0j + A + 1 ) φ c 2 2 A 1 2 A c 2 2 = μ 0j Αν τα τρέχοντα A και φ δεν ικανοποιούν τη συνθήκη Loentz, ορίζουμε A και φ μέσω μιας συνάρτησης μετασχηματισμού f, η οποία μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της απαίτησης τα A και φ να ικανοποιούν τη συνθήκη Loentz: A + 1 c 2 φ (A + f)+ 1 c 2 φ 1 c 2 2 f 2 2 f 1 c 2 2 f 2 = A 1 c 2 φ = y(,t) Η τελευταία εξίσωση είναι μια μη ομογενής κυματική, από την οποία μπορεί να προσδιοριστεί η f και μέσω αυτής τα ζητούμενα A και φ.