9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους: 6y 6 y 3 3y 6y yy y 6y6 6y6 6 Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία επιλύοντας το σύστημα 6y 6 ( y ) y y y y y 3 3 6 3 3 6 Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε: ( y ) ήy Από την δεύτερη εξίσωση του συστήματος για έχουμε 3y 6y y( y ) y ή y Έτσι προκύπτουν τα κρίσιμα σημεία: (,) (,) και η είναι συνεχής παντού σε αυτό. Επίσης από την δεύτερη εξίσωση του συστήματος για y έχουμε 3 3 ( )( ) ή Έτσι προκύπτουν ακόμη δύο κρίσιμα σημεία: (,) (,) Υπολογίζουμε την Εσσιανή: y H 36( y ) 36 y yy Τελικά έχουμε για τα τέσσερα κρίσιμα σημεία: H(,) 36, (,) 6.. H(, ) 36, (, ) 6.. H(,) 36. H(,) 36.
Άσκηση (Μονάδες.5) Mε τη βοήθεια του θεωρήματος Green να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 3 I y d ydy, όπου c το ημικύκλιο με ακτίνα : c Αρχικώς παρατηρούμε ότι ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες του θεωρήματος Green. Έτσι χρησιμοποιούμε την εφαπτομενική μορφή του θεωρήματος Green για να μετατρέψουμε το δοσμένο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα σε διπλό και να το επιλύσουμε: 3 P y, Q y 3 y I Q P ddy y y ddy 3 yddy y ddy Μετασχηματίζουμε το ολοκλήρωμα σε πολικές συντεταγμένες: I 3 r cos r sin r drd r cos r sin r drd 3 3 r cos sin drd r cos sin drd 3 3 r dr cos d( cos ) r dr cos d( cos ) 5 r 3 r r cos r cos 3 5 3 5 r r Άσκηση 3 (Μονάδες ) Χρησιμοποιώντας διπλά ολοκληρώματα σε πολικές συντεταγμένες, να υπολογίσετε το εμβαδό που βρίσκεται εντός του κύκλου κύκλου y ( y), και ταυτόχρονα εκτός του Ζητείται το εμβαδό του χωρίου στο επόμενο σχήμα: Βολεύει να χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες καθώς το χωρίο είναι ακτινικά απλό, έτσι το ζητούμενο εμβαδό θα δίνεται από τη σχέση: r drd
Για να υπολογίσουμε τα όρια ολοκλήρωσης γράφουμε τις εξισώσεις των δύο κύκλων σε πολικές συντεταγμένες: y r cos r sin r cos r sin r r r r r cos sin ( )( ) r r Πρέπει όμως r έτσι τελικά r y r r cos sin r r r cos sin sin r r r r cos sin sin r r r r cos sin rsin sin sin r sin r sin r γιατί η περίπτωση r= περιλαμβάνεται στην r sin Επομένως τα όρια ολοκλήρωσης ως προς r θα είναι: r sin Υπολογίζουμε στη συνέχεια τις γωνίες των σημείων τομής των δύο κύκλων. Πρέπει να ισχύει: sin sin ή 5 6 6 6 Επομένως τα όρια ολοκλήρωσης ως προς θα είναι: 5 6 6 Τέλος υπολογίζουμε το διπλό ολοκλήρωμα: 5 /6 sin 5 /6 r sin 5 /6 5 /6 r sin r drd r drd d d sin d /6 /6 r /6 /6 5 /6 5 /6 cos d cos d /6 /6 sin 5 /6 /6 3 3 Άσκηση (Μονάδες.5) Βρείτε μία διαγωνοποίηση του πίνακα διαγωνοποίηση του αντιστρόφου του. A. Στη συνέχεια δώστε επίσης μία
Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: pa( ) det( A I) 5 6 Οι ρίζες του θα είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε p A ( ) 3 Επειδή έχουμε διακριτές ιδιοτιμές, ο πίνακας Α διαγωνοποιείται. Ιδιοδιανύσματα της t, t t π.χ. για t παίρνουμε το ιδιοδιάνυσμα (,) Ιδιοδιανύσματα της 3 t, t 3 t π.χ. για t παίρνουμε το ιδιοδιάνυσμα (,) Δημιουργούμε τον πίνακα P με στήλες τα ιδιοδιανύσματα: P και τον διαγώνιο πίνακα με τις ιδιοτιμές ως διαγώνια στοιχεία: 3 Τότε θα είναι A PP A 3 H διαγωνοποίηση του αντιστρόφου του Α θα είναι αντίστοιχα: A P P A A 3 / / 3 Άσκηση 5 (Μονάδες +.5, -.5)
Έστω ένα γραμμικό σύστημα A b πραγματικών αριθμών k εξισώσεων με n αγνώστους. Να χαρακτηρισθεί κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις ως Αληθής ή Ψευδής. Δεν απαιτείται δικαιολόγηση. Κάθε σωστή απάντηση παίρνει +.3 βαθμούς ενώ κάθε λανθασμένη -.3 α) Αν n k τότε το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση : Ψευδής π.χ. για A δεν ισχύει. Ισχύει μόνον όταν ο Α έχει αντίστροφο. β) Αν n k, το σύστημα είναι συμβιβαστό για κάθε διάνυσμα b : Ψευδής π.χ. για τον A δεν ισχύει γ) Αν n k η διάσταση του μηδενοχώρου του πίνακα A είναι μεγαλύτερη του μηδενός : Αληθής Σε αυτή την περίπτωση το ομογενές σύστημα A= έχει πάντα άπειρες λύσεις δ) Αν n k τότε για ορισμένα b το σύστημα είναι αδύνατο : Αληθής π.χ. A, b ε) Αν n k τότε το αντίστοιχο ομογενές σύστημα A O έχει μόνο τη μηδενική λύση : Ψευδής π.χ. για τον A δεν ισχύει Άσκηση 6 (Μονάδες ) Δίνεται ο πίνακας 3 7 5 A 3. Να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου του β) του χώρου γραμμών του και γ) του χώρου στηλών του. H απαλοιφή Gauss πάνω στον πίνακα Α δίνει:
3 7 3 7 5 9 / 3 3 / 3 r r r r3 r3 r 3 3 3 3 3 7 3 7 9 / 3 3 / 3 9 / 3 3 / 3 r r r 6 r3 r3 r 6 / 3 6 / 3 3 6 / 3 6 / 3 9 7 / 3 / 3 3 7 3 7 9 / 3 3 / 3 7 9 / 3 3 / 3 r r r r r r 3 /9 3 /9 9 3 /9 3 /9 3 7 / 3 / 3 /9 /9 3 7 9 / 3 3 / 3 3 /9 3 /9 Υπάρχουν 3 οδηγοί, επομένως rank( A) 3 T Διάσταση χώρου γραμμών: A Βάση χώρου γραμμών: 3 dim ( ) rank( A) 3 3 9 / 3,, 3 /9 7 3 / 3 3 /9 Διάσταση χώρου στηλών: A Βάση χώρου στηλών: dim ( ) rank( A) 3 3 5,, Για την εύρεση του μηδενοχώρου, επιλύουμε το ομογενές σύστημα A O : είναι ελεύθερη μεταβλητή. Έτσι Η 3 7 t 9 3 t 3 t 3 3 3 t 3 3 3 3 t 9 9
Διάσταση μηδενοχώρου: dim ( ) ( ) 3 N A n rank A Βάση μηδενοχώρου: