.4 Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss Σχέση ισοδυναμίας. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών Q και η σχέση της ισότητας σε αυτό που ορίζεται ως εξής: Δύο στοιχεία α, γ Q είναι ίσα αν και μόνο αν ισχύει:,, με β,δ 0. β δ Ιδιότητες. Η ισότητα δύο ρητών αριθμών έχει τις ακόλουθες τρεις βασικές ιδιότητες: i) Είναι ανακλαστική, δηλαδή: α α, α, β Z, β 0 β β ii) Είναι συμμετρική, δηλαδή: αν, τότε iii) Είναι μεταβατική, δηλαδή: αν και, τότε: Σχέση ισοδυναμίας. Έστω ένα σύνολο το οποίο είναι εφοδιασμένο με μια σχέση ~, με την οποία δύο στοιχεία y, είτε σχετίζονται είτε όχι. Η σχέση αυτή ονμάζεται σχέση ισοδυναμίας αν και μόνο αν ισχύει: i) Είναι ανακλαστική, δηλαδή ισχύει: ~, ii) Είναι συμμετρική, δηλαδή ισχύει: αν ~y, τότε y~ iii) Είναι μεταβατική, δηλαδή ισχύει: αν ~y και y~z, τότε ~z Κλάση ισοδυναμίας. Έστω ένα στοιχείο. Κλάση ισοδυναμίας του ονομάζεται το σύνολο [] όλων των στοιχείων που είναι ισοδύναμα με αυτό, δηλαδή: :, Πρόταση. Αν y, τότε οι αντίστοιχες κλάσεις τους [],[y] είτε θα ταυτίζονται είτε δεν θα έχουν κανένα κοινό σημείο. Απόδειξη. Έστω ~y. Αν z [ ], τότε z~. Από την μεταβατική ιδιότητα έχουμε: z~y, οπότε z [ y]. Άρα [ ] [ y].
Ομοίως, αν z[ y], τότε z~y. Από την συμμετρική ιδιότητα έχουμε: y~ και από την μεταβατική ιδιότητα έχουμε: z~. Άρα [ ] [ ]. Έτσι όταν ~y έχουμε [][y]. y Αν τα,y δεν είναι ισοδύναμα, τότε οι κλάσεις [],[y] είναι σύνολα ξένα μεταξύ τους. Κάθε ανήκει στην κλάση του αφού ~. Επομένως, η ένωση όλων των κλάσεων ισοδυναμίας μας δίνει το Ω, δηλαδή: [ ] Mε αυτόν τον τρόπο το αρχικό σύνολο διαμερίζεται στις κλάσεις ισοδυναμίας των στοιχείων του. Γραμμικά συστήματα. Γραμμικά αλγεβρικά συστήματα ρ εξισώσεων με ν αγνώστους,2,...,ν είναι τα συστήματα που έχουν τη μορφή: α+α22+...+ αννβ α2+α222+...+ α2ννβ2... αρ+αρ22+...+ αρννβρ Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων ονομάζεται πίνακας του συστήματος και έχει ρ γραμμές όσες και οι εξισώσεις και ν στήλες όσες και οι άγνωστοι, δηλαδή θα έχει τη μορφή: 2 2 22 2 2
Ο πίνακας που προκύπτει αν στον πίνακα Α του συστήματος παραθέσουμε δεξιά τη στήλη με τα στοιχεία του δευτέρου μέλους ονομάζεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος και θα έχει τη μορφή:[α β] ή 2 2 22 2 2 2 Γενικά για ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων ισχύει: i) Ή δεν έχει λύση οπότε λέγεται αδύνατο και οι εξισώσεις του ονομάζονται ασυμβίβαστες ii) Ή έχει τουλάχιστον μία λύση και οι εκισώσεις του ονομάζονται συμβιβαστές. Η λύση ενός γραμμικού αλγεβρικού συστήματος βασίζεται γενικά στις ακόλουθες προτάσεις: Πρόταση. Αν ο βαθμός του πίνακα Α του συστήματος είναι διαφορετικός από τον βαθμό του επαυξημένου του πίνακα Αε τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Πρόταση 2. Αν ο βαθμός του πίνακα Α του συστήματος είναι ίσος με τον βαθμό του επαυξημένου του πίνακα Αε τότε το σύστημα έχει λύση. Αν τ είναι ο κοινός βαθμός των Α, Αε και ν το πλήθος των αγνώστων, τότε η λύση περιέχει ν-τ παραμέτρους με τ ν. Αν τν τότε θα έχουμε ν-τ0 παραμέτρους, οπότε το σύστημα θα έχει μοναδική λύση. Βαθμός πίνακα. Ο βαθμός ενός πίνακα είναι το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του αφού πρώτα τον έχουμε φέρει σε κλιμακωτή μορφή. Ισοδύναμα γραμμικά συστήματα. Ονομάζονται τα συστήματα που έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων. Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Ένα γραμμικό σύστημα μπορούμε να το επιλύσουμε με δύο τρόπους: i) Μέθοδος Cramer. Όταν ο βαθμός του πίνακα Α του συστήματος ισούται με αυτόν του επαυξημένου πίνακα Αε τότε οι άγνωστοι υπολογίζονται ως εξής:
det( ) det( 2) det( ), 2,,, όπου οι ορίζουσες det(a), det(a2),..., det(aν) det( ) det( ) det( ) προκύπτουν από την det(a) αν στη θέση θέση της πρώτης,δεύτερης,...,ν-οστής στήλης αντίστοιχα, βάλουμε τη στήλη με τα στοιχεία του δεύτερου μέλους των εξισώσεων του συστήματος. Παράδειγμα. Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο Cramer: + 2 + + 22 + 0 + 6 2 Λύση. Έστω ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος 2 0 6 6 0 0 0 0 4 0 0 2 R R 0 0 6 0 2 4 0 0 0 0 0 0 4 R2 R R2R R2R R2+ 2R Αν αφαιρέσουμε την τελευταία στήλη προκύπτει ο βαθμός του πίνακα Α του συστήματος οπότε παρατηρούμε ότι rank(a)rank(a ε ). Άρα το σύστημα έχει λύση και μάλιστα μοναδική γιατί ο κοινός βαθμός των Α, A ε είναι τ ενώ το πλήθος των αγνώστων είναι ν, οπότε θα έχουμε ν- τ-0 παραμέτρους. Έχουμε: + 2 + + 22 + 0 + 6 2
2 2 D 2 + 2 ( ) + 6 + 4 5 4 0 D D Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την: D 2, 2, D D D 2 0 0 2 D 0 2 + 2 + 6 2 9 6 6 6 0 0 D 0 + 6 ( ) + 6 4 2 6 6 6 2 0 0 2 D 2 0 + 2 6 + 6 6 6 6 D D 9 4 Άρα:, 2 2, D 4 D 4 D 4 D ii) Απαλοιφή Gauss. Είναι η διαδικασία αναγωγής του επαυξημένου πίνακα του συστήματος σε κλιμακωτή μορφή Κλιμακωτή μορφή πίνακα. Ένας πίνακας λέμε ότι βρίσκεται σε κλιμακωτή μορφή όταν: i) Οι μηδενικές του γραμμές αν υπάρχουν βρίσκονται μετά τις μη-μηδενικές γραμμές ii) Ο οδηγός κάθε γραμμής, δηλαδή το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής βρίσκεται τουλάχιστον μία θέση δεξιότερα από τον οδηγό της προηγούμενης γραμμής. Παράδειγμα: 0 0 0 0
Παράδειγμα. Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο Cramer: + 2 + + 22 + 0 + 6 2 Λύση. Έστω ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος 2 0 R 2 R 0 0 6 6 6 0 2 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 R2 R R2R R2R R2+ 2R Αν αφαιρέσουμε την τελευταία στήλη προκύπτει ο βαθμός του πίνακα Α του συστήματος οπότε παρατηρούμε ότι rank(a)rank(a ε ). Άρα το σύστημα έχει λύση και μάλιστα μοναδική γιατί ο κοινός βαθμός των Α, A ε είναι τ ενώ το πλήθος των αγνώστων είναι ν, οπότε θα έχουμε ν- τ-0 παραμέτρους. Έχουμε: + 2 + 2 2 4 4 + + + 9 4 4 4 Άρα: 2 2 Γραμμοπράξεις. Για να φέρουμε έναν πίνακα σε κλιμακωτή μορφή πραγματοποιούμε τις λεγόμενες πράξεις, δηλαδή: i) Εναλλάσουμε δύο γραμμές ii) Πολλαπλασιάζουμε μία γραμμή με έναν αριθμό διάφορο του μηδενός
iii) Αντικαθιστούμε μία γραμμή με το άθροισμα ή τη διαφορά αυτής της γραμμής και ενός πολλαπλασίου μιας άλλης γραμμής. Γραμμοϊσοδύναμοι πίνακες. Δύο πίνακες Α,Β λέγονται γραμμοϊσοδύναμοι όταν ο ένας μπορεί να προέλθει από τον άλλον εφαρμόζοντας μια πεπερασμένη ακολουθία από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών σε αυτόν. Συμβολισμός: A~B Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα. Ένας πίνακας λέμε ότι βρίσκεται σε ανηγμένη κλιμακωτή αν ικανοποιεί τις παρακάτω προϋποθέσεις: i) Είναι κλιμακωτός ii) Κάθε οδηγός του ισούται με iii) Κάθε στήλη του πίνακα που περιέχει οδηγό έχει μηδενικά όλα τα υπόλοιπα στοιχεία της 0 2 Παράδειγμα: 0 0 0 0 Για να φέρουμε έναν πίνακα σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή εφαρμόζουμε τα παρακάτω βήματα: Βήμα. Βρίσκουμε την πρώτη στήλη του πίνακα που περιέχει οδηγό μιας γραμμής και με εναλλαγή γραμμών μεταφέρουμε αυτή την γραμμή στην πρώτη θέση του πίνακα. Βήμα 2. Κάνουμε τον οδηγό του προηγούμενο βήματος μονάδα. Βήμα. Μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της στήλης που βρίσκονται κάτω από τη μονάδα του προηγούμενου βήματος. Βήμα 4. Επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω βήματα για τις υπόλοιπες γραμμές του πίνακα εκτός από την πρώτη. Σε περίπτωση που αυτές είναι μηδενικές προχωράμε στο βήμα 5. Βήμα 5. Ξεκινώντας από την τελευταία γραμμή και προχωρώντας προς τα πάνω, μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της στήλης που βρίσκονται πάνω από κάθε οδηγό. Ένας τετραγωνικός πίνακας Α τάξης n είναι μη-ιδιόμορφος, αν και μόνο αν είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον μοναδιαίο πίνακα Ιn, δηλαδή ισχύει: A~ Ιn. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή των αντιστρέψιμων πινάκων τύπου nn είναι ο μοναδιαίος
πίνακας Ιn. Αν η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή ενός πίνακα διαφέρει από τον μοναδιαίο, τότε ο πίνακας δεν αντιστρέφεται. Εύρεση αντίστροφου ενός μη-ιδιόμορφου πίνακα. Έστω ένας μη-ιδιόμορφος τετραγωνικός πίνακας Α. Ο αντίστροφος του Α προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης πινάκων ΑΧ Ιn, όπου 2 n 2 22 2n n n2 nn 00 0 0 Έστω ej, j,2,...,n οι πίνακες-στήλη e, e2,, e n, δηλαδή οι στήλες του 00 μοναδιαίου πίνακα Ιn και j, j,2,...,n οι πίνακες-στήλη πίνακα Χ. Έχουμε: ΑΧ Ιn ΑΧjej, j,2,...,n j j 2 j, δηλαδή οι στήλες του nj Αν φέρουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος [Α ej] στην ανηγμένη του κλιμακωτή μορφή, τότε [Α ej]~[ιn j]. Κάνοντας απαλοιφή Gauss, βρίσκουμε την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα [Α ee2...en][α Ιn]. Επομένως, αν ο Α αντιστρέφεται θα ισχύει: [A In]~[In A - ]. Στη θέση του Α θα εμφανιστεί ο μοναδιαίος πίνακας (αλλιώς, αν αυτό δεν συμβεί σημαίνει ότι ο Α δεν αντιστρέφεται) και στη θέση του Ιn θα εμφανιστεί ο Α -.