ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς επίσης κι ότν έχει πεπερσμένο ριθμό συνεχειών λλά είνι φργμένη στο [, ]. Η έννοι του ορισμένου ολοκληρώμτος μπορεί ν επεκτθεί κι στις περιπτώσεις όπου τ άκρ των διστημάτων ολοκλήρωσης γίνοντι άπειρ, κθώς επίσης κι στις περιπτώσεις όπου η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση δεν είνι φργμένη σε διάστημ με πεπερσμέν άκρ. Το ολοκλήρωμ ( ) τ εξής: >---------------< f d κλείτι γενικευμένο ολοκλήρωμ, ν συμίνει έν τουλάχιστον πό () = ή = ή κι τ δύο, δηλδή το έν ή κι τ δύο όρι της ολοκληρώσεως είνι άπειρο. () Η f( ) δεν έχει πεπερσμένη τιμή σε έν ή περισσότερ σημεί του σημεί κλούντι νώμλ σημεί της f( ).. Τέτοι Τ ολοκληρώμτ στ οποί συμίνει το () ή το () κλούντι γενικευμέν ολοκληρώμτ πρώτου κι δεύτερου είδους ντίστοιχ. Τ ολοκληρώμτ στ οποί συμίνουν κι το () κι () κλούντι γενικευμέν ολοκληρώμτ τρίτου είδους. >---------------< Στη συνέχει θ εξετάσουμε εκτενέστερ τ γενικευμέν ολοκληρώμτ ου, ου κι 3 ου είδους.. Γενικευμέν ολοκληρώμτ πρώτου είδους Το γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους γενικεύει την έννοι του ορισμένου ολοκληρώμτος γι διστήμτ ολοκλήρωσης της μορφής [, ), (,] κι (-, ). Έτσι έχουμε τον κτωτέρω ορισμό: Ορισμός. 5

Αν μι πργμτική συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημ [, ] με, [ ) τότε το όριο lim ( ) f t dt ονομάζετι γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους κι συμολίζετι ως εξής: ( ) = ( ) lim f t dt f d. (.) Ότν η συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημ [,] με (-,] τότε το γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους έχει τη μορφή: ( ) = lim ( ) f d f t dt. (.) Αν τ όρι (.) κι (.) υπάρχουν τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμ συγκλίνει, ενώ ότν δεν υπάρχουν τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμ ποκλίνει. Πρδείγμτ () Εκθετικό (ή γεωμετρικό) ολοκλήρωμ k e d. Γι ν μελετήσουμε την σύγκλιση του ολοκληρώμτος υτού πρέπει σύμφων με τον ορισμό. ν υπολογίσουμε το όριο kt lim e dt. Επειδή k k kt e e e dt = θ έχουμε k k k e οτν k > 0 e e k e d = lim e dt = lim = k k οτν k 0 k k k kt. Άρ το εκθετικό ολοκλήρωμ συγκλίνει ότν k > 0 κι ποκλίνει ότν k 0. d () -ολοκλήρωμ πρώτου είδους 0, >,. 6

Έχουμε ότι lim οτν = = lim ( l l) οτν = d dt lim. t Ο υπολογισμός των νωτέρω ορίων μς οδηγεί στο ποτέλεσμ d οτν > = οτν. πό το οποίο συμπερίνουμε ότι το -ολοκλήρωμ συγκλίνει ότν το είνι μεγλύτερο της μονάδς κι ποκλίνει ότν το είνι μικρότερο ή ίσο με την μονάδ. Το γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους της μορφής ( ) άπειρο) f d (δηλδή κι τ δύο όρι είνι Αν η πργμτική συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημ [, ] τότε το ολοκλήρωμ f ( ) d ορίζετι ως εξής ( ) = ( ) ( ) f d f d f d. (.3) όπου οποιοσδήποτε πργμτικός ριθμός. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν τ όρι lim f ( t) dt f ( ) d = = lim f ( t) dt f ( ) d = = (.4) δηλδή τ ολοκληρώμτ του δεύτερου μέρους του ορισμού (.3) συγκλίνουν, τότε προσθέτοντς τ όρι υτά έχουμε: lim f ( t) dt lim f ( t) dt = lim f ( t) dt f ( t) dt = lim f ( t) dt. (.5) Από τις σχέσεις (.3) κι (.5) συμπερίνουμε ότι 7

( ) = ( ) ( ) = lim ( ) f d f d f d f t dt (.6) Αν όμως = κι = (ή ντιστρόφως) τότε η σχέση (.6) δεν ισχύει. Πράδειγμ Θεωρούμε την συνάρτηση f( ) -------------------------------------------------- =, τότε τ ολοκληρώμτ του πρώτου μέλους της (.6) δίνουν lim tdt = lim = κι lim tdt = lim =, ενώ το τελευτίο όριο της (.6) είνι lim tdt = lim = 0 Δεν μπορούμε όμως ν πούμε ότι = 0. Επομένως, σύμφων με τ πρπάνω, θ λέμε ότι το ολοκλήρωμ ( ) f d συγκλίνει μόνο ότν κι τ δύο ολοκληρώμτ του ορισμού (.3) συγκλίνουν κι ότι δεν υπάρχει ότν τουλάχιστον έν πό υτά ποκλίνει. --------------------------------------------------. Γενικευμέν ολοκληρώμτ δεύτερου είδους Το γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους γενικεύει το ορισμένο ολοκλήρωμ στην περίπτωση όπου η συνάρτηση f πειρίζετι γι κάποι τιμή της μετλητής στο διάστημ ολοκλήρωσης [, ]. Ορισμός. Έστω μι πργμτική συνάρτηση f η οποί είνι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημ [, ] με, [ ) κι lim f( ) f ( t) dt ή ισοδύνμ το lim ( ) lim = ±. Ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους το όριο f d κι το συμολίζουμε ε 0 ε 8

( ) = lim ( ) f d f t dt. (.) Μι άλλη μορφή γενικευμένων ολοκληρωμάτων ου είδους είνι ( ) = lim ( ) f d f t dt (.) Όπου η συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημ [, ] με, ( ] κι lim f( ) = ±. Στις εκφράσεις (.) κι (.) η συνάρτηση f δεν ορίζετι ντίστοιχ στο πάνω κι στο κάτω άκρο του διστήμτος ολοκλήρωσης. Αν τ νωτέρω όρι υπάρχουν λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμ ου διφορετικά λέμε ότι ποκλίνει. είδους συγκλίνει, Πρδείγμτ () -ολοκληρώμτ δεύτερου είδους d κι ( ) d,. ( ) Από τον ορισμό (.) έχουμε ότι ( ) ( t ) ( ) ( ) ν d dt = lim = lim l( ) l( ) ν =. Μετά τον υπολογισμό του νωτέρου ορίου ρίσκουμε ότι ( ) ( ) ν < d =. ν Έτσι το -ολοκλήρωμ ου είδους συγκλίνει γι < κι ποκλίνει γι. Σύγκλιση κτά Cauhy 9

Θεωρούμε την περίπτωση κτά την οποί η συνάρτηση f ορίζετι στο κλειστό διάστημ [, ] εκτός πό έν ενδιάμεσο σημείο 0 του διστήμτος υτού όπου lim f( ) 0 = ±. Αν υπάρχουν τ όρι 0 ε 0 lim f ( ) d f ( ) d = = ε 0 (.3) τότε προσθέτοντς τις σχέσεις υτές έχουμε lim f ( ) d f ( ) d 0 = = ε 0 ε 0 0 ε 0 ε lim f ( ) d lim f ( ) d = lim f ( ) d f ( ) d. (.4) ε 0 ε 0 ε 0 0 ε 0 ε Στην περίπτωση υτή ορίζουμε ως γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους της μορφής ( ) ή διφορετικά 0 ε f ( ) d = lim f ( ) d f ( ) d ε 0 0 ε f d το εξής (.5) 0 ε ( ) = lim ( ) lim ( ) f d f d f d (.6) ε 0 ε 0 0 ε Αν έν πό τ όρι της σχέσης (.6) δεν υπάρχει λέμε ότι το ολοκλήρωμ ( ) όμως = κι = (ή ντιστρόφως) τότε η ισότητ (.4) δεν ισχύει. Πράδειγμ -------------------------------------------------- f d ποκλίνει. Αν Έστω ότι θέλουμε ν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ 5 d. 4 0 Γι το ολοκλήρωμ υτό, η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση του οποίου δεν ορίζετι στο σημείο 4 του διστήμτος ολοκλήρωσης, τ όρι της (.4) είνι 4 ε d 4 ε ε 0 0 0 4 ε ε 0 0 ( ε ) lim = lim l 4 = lim l l 4 =, 0

d 5 5 lim lim l 4 lim ( l lε) = ε 0 0 4 ε 4 = =, ε ε 0 4 ε 4 ε 5 5 d d d lim = lim ( lε l 4 lε l) = l 4 4 4 4 ε 0 ε 0 0 4 ε 4 ε Δεν μπορούμε όμως ν πούμε ότι = l 4. -------------------------------------------------- Συμπερίνουμε λοιπόν ότι το άθροισμ f ( ) d ( ) ολοκληρώμτ συγκλίνουν οπότε γράφουμε 0 f d συγκλίνει μόνο ότν κι τ δύο 0 f ( ) d = f ( ) d f ( ) d = lim f ( ) d f ( ) d 0 0 ε ε 0 0 0 ε Αν τ όρι (.3) δεν υπάρχουν λλά υπάρχει το όριο 0 ε lim f ( ) d f ( ) d 0 ε ε 0 τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμ ( ) ονομάζετι πρωτεύουσ τιμή του Cauhy. f d συγκλίνει κτά Cauhy κι η τιμή του 3. Γενικευμέν ολοκληρώμτ τρίτου είδους Το γενικευμένο ολοκλήρωμ 3 ου είδους νφέρετι σε διστήμτ με άκρ συγχρόνως δεν είνι φργμένες σ έν ή περισσότερ σημεί των διστημάτων υτών. ή κι κι Ορισμός 3. Έστω μι πργμτική συνάρτηση f η οποί είνι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημ (, ] με, ( ) κι lim f( ) = ±. Ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ 3 ου είδους το άθροισμ του f d γενικευμένου ολοκληρώμτος ου είδους ( ) κι του ου είδους ( ) δηλδή 0 0 f d με 0, ( ),

0 ( ) = ( ) ( ) f d f d f d. (3.) 0 f d Αν τ ολοκληρώμτ ( ) κι ( ) 0 0 f d συγκλίνουν τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμ 3 ου είδους συγκλίνει. Εάν έν πό τ πρπάνω γενικευμέν ολοκληρώμτ ποκλίνει τότε κι το γενικευμένο ολοκλήρωμ 3 ου είδους ποκλίνει. Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση d Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ Ι =. 9 Λύση Υπολογίζουμε πρώτ το ντίστοιχο όριστο ολοκλήρωμ d d d = = = arta ( ) 8 8 8. 9 8 8 Η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση ορίζετι γι κάθε πργμτικό ριθμό, άρ σύμφων με τον ορισμό (.3) (γι το γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους) έχουμε d d Ι = = I I 9 9 dt Ι = lim lim arta arta = t t 9 8 8 8 8 π = arta 8 8 8 Ι dt = lim = lim arta arta t t 9 8 8 8 8

Προσθέτοντς τ Ι κι Ι ρίσκουμε ότι π = arta 8 8 8 π Ι =. 8 Άσκηση Ν υπολογισθεί το ολοκλήρωμ e Ι = d. Λύση Γι τον υπολογισμό του e Ι = d θέτουμε = u κι έχουμε e u u d = e du = e = e. e Επομένως Ι lim ( ) d e e e e. = = = = Άσκηση 3 Ν μελετηθεί ως προς την σύγκλιση το ολοκλήρωμ d Ι =. Λύση Πρόκειτι γι ολοκλήρωμ 3 ου είδους, έτσι πό τον ορισμό (3.) κι τους ορισμούς (.) κι (.) έχουμε 0 0 d d dt dt Ι = = lim lim t t t t. 0 0 Με την ντικτάστση t = u ρίσκουμε ότι dt arta t t t =. Αντικθιστούμε την ισότητ υτή στην προηγούμενη σχέση κι έχουμε 3

I= lim arta lim arta = π, άρ το Ι συγκλίνει. 4. Σειρές πργμτικών ριθμών Η έννοι της σειράς πργμτικών ριθμών γενικεύει την έννοι του πεπερσμένου θροίσμτος πργμτικών ριθμών, γι υτό μερικές φορές ονομάζετι κι άθροισμ με άπειρους όρους. Όμως η διφορά των δύο υτών εννοιών είνι σφής διότι το άθροισμ πργμτικών ριθμών είνι επίσης πργμτικός ριθμός που ορίζετι μονοσήμντ, ενώ έν άθροισμ με άπειρους όρους είνι το όριο μις κολουθίς το οποίο μπορεί ν υπάρχει λλά κι ν μην υπάρχει. >---------------< ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Μι συνάρτηση μις θετικής κέρις μετλητής, που συμολίζετι με f() ή u, όπου =,,3,, κλείτι κολουθί. Έτσι, κολουθί είνι έν σύνολο ριθμών u, u, u3,... σε ορισμένη διάτξη (δηλ. μι ντιστοιχί με τους φυσικούς ριθμούς) κι η οποί σχημτίζετι σύμφων με ορισμένο κνόν. Κάθε ριθμός της κολουθίς λέγετι όρος. Ο u λέγετι γενικός όρος ή όρος τάξεως ή κόμ -στός όρος. Η κολουθί λέγετι πεπερσμένη ή άπειρη, ν έχει ντίστοιχ πεπερσμένο ή άπειρο πλήθος όρων. Η κολουθί u u u3 u.,,,... συμολίζετι σύντομ με { } Πράδειγμ. Το σύνολο των ριθμών, 7,, 7,, 3 ποτελεί μι πεπερσμένη κολουθί, u = 5 = 5 3, ( =,,..., 7). της οποίς ο γενικός όρος είνι ( ) Πράδειγμ. Το σύνολο των ριθμών, /3, /5, /7, είνι μι άπειρη κολουθί, της οποίς ο u =, ( =,,...). γενικός όρος είνι ( ) >---------------< Θεωρούμε την κολουθί των πργμτικών ριθμών { } κολουθί { }, ( =,,...), ως εξής: u, ( =,,...), κι σχημτίζουμε μι νέ = u, = u u,, = u u... u = u, k k= Η κολουθί υτή ονομάζετι σειρά πργμτικών ριθμών κι οι όροι της μερικά θροίσμτ., ( =,,...), υπάρχει, δηλδή ν lim = S, τότε λέμε ότι η σειρά συγκλίνει κι το όριο S ονομάζετι άθροισμ της σειράς. Αν το όριο της κολουθίς { } 4

Συμολικά γράφουμε u = S ή = lim uk = uk S k = =. k = Αν το όριο της { }, ( =,,...), δεν υπάρχει ή είνι το ± τότε λέμε ότι η σειρά ποκλίνει. Γι την σύγκλιση (πόκλιση) των σειρών πργμτικών ριθμών ισχύουν τ επόμεν θεωρήμτ: Θεώρημ 4.: Αν η σειρά a = a a... συγκλίνει (ποκλίνει) τότε η σειρά = a= ap a p... συγκλίνει (ποκλίνει) κι ντίστροφ. = p Θεώρημ 4.: Αν οι σειρές όπου ab,. a κι b = = συγκλίνουν τότε συγκλίνει κι η σειρά ( aa bb) = Θεώρημ 4.3: Αν η σειρά ποκλίνει. a συγκλίνει κι η b = = ποκλίνει τότε η σειρά ( a b) = Πρτήρηση: Αν οι σειρές θετικών όρων ποκλίνει, όμως γι την σειρά ( a b ) ότι είνι δυντόν ν είνι της μορφής. a, b = = ποκλίνουν, τότε η σειρά ( a b) δεν μπορούμε πάνοτε ν γάλουμε συμπέρσμ λόγω του = = Υπολογισμός θροίσμτος σειρών πργμτικών ριθμών Λόγω της ποικιλίς των μορφών που έχουν οι σειρές, δεν είνι πάντοτε δυντόν ν υπολογίσουμε το άθροισμά τους. Δύο πό τις λίγες μεθόδους που υπάρχουν γι τον υπολογισμό του θροίσμτος φορούν τις Τηλεσκοπικές σειρές κι τις Γεωμετρικές σειρές. 5

Σχέση μετξύ Γενικευμένων Ολοκληρωμάτων κι Σειρών Έν γενικευμένο ολοκλήρωμ ου είδους της μορφής ( ) f t dt μπορεί ν μεττρπεί σε μι σειρά πργμτικών ριθμών. Το ίδιο μπορεί ν γίνει κι γι τ ολοκληρώμτ ου είδους. 0 Μπορούμε ν διπιστώσουμε την σύγκλιση ή πόκλιση ενός γενικευμένου ολοκληρώμτος ή μις σειράς πργμτικών ριθμών χωρίς ν κτφύγουμε στον υπολογισμό της τιμής του ολοκληρώμτος ή του θροίσμτος της σειράς με την οήθει ορισμένων κριτηρίων. Ακολουθίες κι Σειρές Πργμτικών Συνρτήσεων Ακολουθίες πργμτικών συνρτήσεων Οι κολουθίες των πργμτικών συνρτήσεων ορίζοντι με τρόπο νάλογο των κολουθιών των πργμτικών ριθμών. Δηλδή, η πεικόνιση που ορίζετι πό την ντιστοιχί μετξύ των φυσικών f, f,..., f,... με κοινό πεδίο ορισμού Α, ριθμών κι ενός συνόλου πργμτικών συνρτήσεων { } ονομάζετι κολουθί πργμτικών συνρτήσεων κι συμολίζετι με { ( )} A. f, ( =,,...), όπου Πράδειγμ Οι εκφράσεις f ( ) = κι g ( ) { f ( ) } Αντίστοιχ. 3 =,,,... 3 κι { g ( )} = με A = [0, ), ορίζουν τις κολουθίες 3 =,,,... 3. Η γρφική πράστση των όρων των νωτέρω κολουθιών είνι τώρ κμπύλες κι όχι σημεί όπως στις κολουθίες πργμτικών ριθμών. Το όριο μις κολουθίς συνρτήσεων, ν υπάρχει, είνι μι συνάρτηση. Το ποτέλεσμ της σύγκλισης μις κολουθίς πργμτικών συνρτήσεων εξρτάτι πό την σειρά λήψης των ορίων. Δεν είνι πάντ δυντόν ν ενλλάσσουμε τ όρι των μετλητών. Σειρές πργμτικών συνρτήσεων 6

Αν { ( )} f, ( =,,...), μι κολουθί συνρτήσεων με πεδίο ορισμού Α, η ντίστοιχη σειρά ορίζετι ως εξής f( ) = lim f( )... f( ) = lim S( ), = όπου ( ) ( )... ( ) ( ) S = f f = f k k= η κολουθί των μερικών θροισμάτων της { ( )} f. Αν το όριο της κολουθίς { ( )} S, ( =,,...), των μερικών θροισμάτων υπάρχει γι κάθε που νήκει σ έν υποσύνολο J του Α κι είνι η συνάρτηση F(), τότε την συνάρτηση υτή την ονομάζουμε άθροισμ της σειράς. Κριτήρι σύγκλισης Σειρών Εφρμόζοντι τ ίδι κριτήρι σύγκλισης όπως κι με τις σειρές πργμτικών ριθμών. Η διφορά είνι ότι το ποτέλεσμ εξρτάτι πό το. Επιπλέον ισχύουν τ κριτήρι του Weiertra κι του Dirihlet. 7