Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο Ιανουάριος 2015

Περιεχόμενα ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ... 4 ΓΕΝΙΚΑ... 5 I. Μερισμός... 5 II. Η χρονική αξία του χρήματος... 11 1. ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ... 12 2. ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΔΙΑΤΑΓΗ (ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ)... 20 2.1 Βασικοί τύποι προεξόφλησης γραμματίων... 20 3. ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣ ΔΙΑΤΑΓΗ (ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ)... 31 3.1 Χρήσιμοι τύποι επίλυσης προβλημάτων αντικατάστασης γραμματίων.... 31 4. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ... 40 4.1. Υπολογισμός της τελικής αξίας, όταν η χρονική δίνεται σε ακέραιο αριθμό περιόδων:... 40 4.2. Υπολογισμός της τελικής αξίας, όταν η χρονική δίνεται σε κλασματικό αριθμό περιόδων:... 41 4.3. Προεξόφληση στον Ανατοκισμό... 44 4.4. Ισοδυναμία στον Ανατοκισμό... 46 4.4.1 Χρήσιμοι τύποι επίλυσης προβλημάτων αντικατάστασης γραμματίων στον ανατοκισμό.... 46 5. ΡΑΝΤΕΣ... 51 5.1. Μέλλουσα ή τελική αξία ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας... 52 5.2. Υπολογισμός όρου με βάση την μελλοντική αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας... 53 5.3. Μέλλουσα ή τελική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας... 54 5.4. Υπολογισμός Όρου με βάση την μελλοντική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας... 55 5.5. Μέλλουσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας... 56 5.6. Παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας... 57 5.7. Υπολογισμός όρου με βάση την παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας... 58 5.8. Παρούσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας... 59 5.9. Υπολογισμός όρου με βάση την παρούσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας... 60 5.10. Παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας... 61 6. ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ ΜΕ ΤΟΚΟΧΡΕΟΛΥΤΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ... 62 6.1. Μέθοδος προοδευτικού χρεολυσίου ή Γαλλικό σύστημα.... 62 6.1.1. Υπολογισμός της δόσης (τοκοχρεολύσιο)... 62 6.1.2. Υπολογισμός του χρεολυσίου στο τέλος της μ περιόδου... 63 6.1.3. Υπολογισμός του ποσού του κεφαλαίου δανείου που εξοφλήθηκε στο τέλος της περιόδου μ (Ε μ )... 64 Σελ.2/107

6.1.4. Υπολογισμός του ποσού του ανεξόφλητου κεφαλαίου δανείου στο τέλος της περιόδου μ (Κ μ )... 65 6.1.5. Υπολογισμός του μέρους των τόκων στο τέλος της περιόδου μ (Ι μ )... 65 6.1.6. Υπολογισμός των συνολικών τόκων του δανείου (Ι)... 65 6.1.7. Πίνακες εξυπηρέτησης δανείου... 69 6.1.8. Υπολογισμός κεφαλαίου, χρόνου και επιτοκίου... 75 6.2. Μέθοδος σταθερού χρεολυσίου ή Αμερικάνικο σύστημα ή Sinking Fund... 77 6.2.1. Γενικά... 77 6.2.2. Υπολογισμός τοκοχρεολυτικής δόσης... 77 6.2.3. Πίνακες εξυπηρέτησης δανείου... 78 6.3. Μέθοδος προοδευτικά μειωμένου τοκοχρεολυσίου ή ίσων μερών κεφαλαίου.... 86 6.3.1. Γενικά... 86 6.4. Εξόφληση τοκοχρεολυτικών δανείων πριν από τη λήξη τους... 89 7. ΔΑΝΕΙΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟΥΣ Η ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΑ ΔΑΝΕΙΑ... 91 7.1. Γενικά... 91 7.2. Απόσβεση ομολογιακών δανείων στο άρτιο, με την προοδευτική μέθοδο... 92 7.2.1. Η σύνταξη του πίνακα απόσβεσης ομολογιακού δανείου... 92 7.2.2. Υπολογισμός με αλγεβρικό τρόπο των στοιχείων ομολογιακού δανείου 94 7.3. Απόσβεση ομολογιακών δανείων σε τιμή διαφορετική από το άρτιο, με την προοδευτική μέθοδο... 98 7.3.1. Η σύνταξη του πίνακα απόσβεσης ομολογιακού δανείου... 98 7.2.2. Υπολογισμός με αλγεβρικό τρόπο των στοιχείων ομολογιακού δανείου... 101 7.4. Λαχειοφόρα ομολογιακά δάνεια που εξοφλούνται τοκοχρεολυτικά στο άρτιο ή σε τιμή διαφορετικά από το άρτιο... 103 7.4.1. Γενικά... 103 7.4.2. Τεχνικές υπολογισμού των όρων λαχειοφόρου ομολογιακού δανείου 104 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 107 Σελ.3/107

Πρόλογος: Σκοπός του μαθήματος Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν την σύνθεση και ενοποίηση των διαλέξεων διδασκαλίας του μαθήματος «Οικονομικά Μαθηματικά», που περιλαμβάνεται στο προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών (ΠΠΣ) του Τμήματος Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος (ΤΕΙ) Κρήτης. Το κείμενο αυτό δεν φιλοδοξεί να αντικαταστήσει τα δόκιμα συγγράμματα της διεθνούς και εθνικής βιβλιογραφίας, που σχετίζονται με το εν λόγω γνωστικό αντικείμενο και ορισμένα από αυτά προτείνονται άλλωστε ως πολλαπλή βιβλιογραφία στο συγκεκριμένο μάθημα του ΠΠΣ του Τμήματος Λογιστικής. Αντίθετα φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα συμπληρωματικό χρήσιμο βοήθημα για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες που παρακολουθούν το συγκεκριμένο μάθημα. Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τα Μαθηματικά Πίστης. Ξεκινώντας από εφαρμογές απλής κεφαλαιοποίησης ο φοιτητής έρχεται σε επαφή με εφαρμογές και υποδείγματα που χρησιμοποιούνται για να αποτιμηθεί η αξία του κεφαλαίου μέσα στο χρόνο. Κατόπιν γίνεται εκτενής αναφορά στην προεξόφληση συναλλαγματικών καθώς και στην οικονομική ισοδυναμία συναλλαγματικών μέσα από τα υποδείγματα της παρούσας και μελλοντικής αξίας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται εφαρμογές σύνθετης κεφαλαιοποίησης, ισοδυναμίας επιτοκίων, γραμμικής και εκθετικής συνθήκης αποτίμησης τελικής αξίας κεφαλαίου. Εδώ η αναφορά στην παρούσα και μελλοντική αξία κεφαλαίων είναι πιο εκτενής, με εφαρμογές ισοδυναμίας, προεξόφλησης και αποτίμησης κεφαλαίων, διαχρονικά. Η εισήγηση ολοκληρώνεται με εφαρμογές παρούσας και μελλοντικής αξίας σε σειρές κεφαλαίων (ράντες) και απλά παραδείγματα αποτίμησης παρούσας αξίας ταμειακών εισροών. Στο φροντιστηριακό μέρος του μαθήματος παρουσιάζονται οι σημαντικότερες συναρτήσεις των Οικονομικών Μαθηματικών και οι φοιτητές μαθαίνουν να κατασκευάζουν τύπους υπολογισμού για όλες τις εφαρμογές που παρουσιάζονται στο μάθημα. Ελπίζοντας ότι οι σημειώσεις αυτές θα αποδειχθούν χρήσιμες για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες του Τμήματος, τους ζητούμε εκ των προτέρων την επιείκεια τους για τις παραλείψεις που ενδεχομένως περιλαμβάνονται σε αυτές. Σελ.4/107

Γενικά I. Μερισμός Μερισμό ονομάζουμε το χωρισμό ενός αριθμού σε μέρη ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα μιας ή πολλών σειρών αριθμών. Δηλαδή άλλοτε απαιτείται να μερισθεί ένας αριθμός α) σε μέρη ανάλογα μιας σειράς αριθμών, β) σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα μιας σειράς αριθμών, και γ) σε μέρη ανάλογα δυο ή πολλών σειρών αριθμών. α) Μερισμός αριθμού χ σε μέρη ανάλογα μιας σειράς αριθμών α, β, γ Αν πρόκειται να μερισθεί ο αριθμός χ σε τρία μέρη ανάλογα των αριθμών α, β, γ, τότε διαιρούμε τον αριθμό χ με το άθροισμα των α, β, γ, και στην συνέχεια το πηλίκο αυτής της διαίρεσης πολλαπλασιάζουμε με τον κάθε ένα αριθμό χωριστά, για να εξάγουμε τα τρία μέρη του αριθμού χ, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Μέρη αριθμού χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: β) Μερισμός αριθμού χ σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα μιας σειράς αριθμών α, β, γ Εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτον, δημιουργούμε τους αντίστροφους αριθμούς των α, β, γ, δηλαδή: Στην συνέχεια, μετατρέπουμε τους αντίστροφους αριθμούς σε ομώνυμα κλάσματα, δηλαδή: Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό χ ανάλογα με τους αριθμητές των κλασμάτων, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Μέρη αριθμού χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Σελ.5/107

γ) Μερισμός αριθμού χ σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών α, β, γ και δ, ε, ζ Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: αδ, βε, δζ Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό χ ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Μέρη αριθμού χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Παράδειγμα 1 Να μερισθεί ο αριθμός 72 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 Λύση: Μερισμός αριθμού 72 Μέρη αριθμού 72 Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Παράδειγμα 2 Να μερισθεί ο αριθμός 117 σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 Λύση: Πρώτον, δημιουργούμε τους αντίστροφους αριθμούς των 2, 3, 4, δηλαδή: Στην συνέχεια, μετατρέπουμε τους αντίστροφους αριθμούς σε ομώνυμα κλάσματα, δηλαδή: Σελ.6/107

Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό χ ανάλογα με τους αριθμητές των κλασμάτων, δηλαδή: Μερισμός αριθμού 117 Μέρη αριθμού 117 Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Παράδειγμα 3 Να μερισθεί ο αριθμός 2.408 σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 και 5, 6, 7. Λύση: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 2 5=10, 3 6=18, 4 7=28 Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό χ ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός αριθμού 2.408 Μέρη αριθμού 2.408 Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Παράδειγμα 4 Τα κέρδη για διανομή της ομόρρυθμης επιχείρησης Ζ την τελευταία χρήση ήταν 789.000. Στο εταιρικό κεφάλαιο της επιχείρησης συμμετέχουν ο Α με 180.000, ο Β με 218.000, και ο Γ με 358.000. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα τριών άλλων αριθμών (των συμμετοχών των Α, Β, Γ). Θα έχουμε δηλαδή: Σελ.7/107

Μερισμός κερδών 789.000 Μέρη κερδών 789.000 Κέρδη Α εταίρου: Κέρδη Β εταίρου: Κέρδη Γ εταίρου: Παράδειγμα 5 Τα κέρδη για διανομή της ομόρρυθμης επιχείρησης Ζ την τελευταία χρήση ήταν 789.000. Στο εταιρικό κεφάλαιο της επιχείρησης συμμετέχουν ο Α με 180.000, ο Β με 218.000, και ο Γ με 358.000. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα τριών άλλων αριθμών (των συμμετοχών των Α, Β, Γ). Θα έχουμε δηλαδή: Μερισμός κερδών 789.000 Μέρη κερδών 789.000 Κέρδη Α εταίρου: Κέρδη Β εταίρου: Κέρδη Γ εταίρου: Παράδειγμα 6 Ο Α ίδρυσε την 1/2 μια επιχείρηση με κεφάλαιο 34.000. Την 1/6 συμφώνησε να συνεταιρισθεί με το Β, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 34.000. Την 1/9 συμφώνησαν και οι υο τους να συνεταιρισθούν με το Γ, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 34.000. Στο τέλος της χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε κέρδη για διανομή 249.876. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα τριών άλλων αριθμών (των μηνών συμμετοχής στην επιχείρηση των Α, Β, Γ), επειδή οι τελευταίοι συμμετέχουν με ίσια ποσά στο εταιρικό κεφάλαιο. Δηλαδή πρέπει να γίνει ο μερισμός του αριθμού 249.876 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 11, 7, 4 (οι μήνες συμμετοχής των Α, Β, Γ στην επιχείρηση). Θα έχουμε δηλαδή: Σελ.8/107

Μερισμός κερδών 250.000 Μέρη κερδών 250.000 Κέρδη Α εταίρου: Κέρδη Β εταίρου: Κέρδη Γ εταίρου: Παράδειγμα 7 Ο Α ίδρυσε την 1/3 μια επιχείρηση με κεφάλαιο 6.800. Την 1/4 συμφώνησε να συνεταιρισθεί με το Β, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 3.000. Την 1/6 συμφώνησαν και οι δυο τους να συνεταιρισθούν με το Γ, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση 8.400. Στο τέλος της χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε κέρδη για διανομή 24.988. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Επειδή οι τρεις συνέταιροι συμμετέχουν με διαφορετικά ποσά στο εταιρικό κεφάλαιο αφενός και αφετέρου έχουν διαφορετικό χρόνο συμμετοχής στην επιχείρηση, η διανομή των κερδών σε αυτούς θα γίνει ανάλογα και των διαφορετικών ποσών συμμετοχής τους και του διαφορετικού χρόνου συμμετοχής τους. Το πρόβλημα δηλαδή έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή 24.988) σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών, των ποσών συμμετοχής (68.000, 30.000, 84.000) και των μηνών συμμετοχής των τριών εταίρων (10, 9, 7). Θα έχουμε επομένως: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 6.800 10=68.000, 3.000 9=27.000, 8.400 7=58.800 Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό 24.988 ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός αριθμού 24.988 Μέρη αριθμού 24.988 Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Σελ.9/107

Παράδειγμα 8 Για την εκτέλεση ενός έργου εργάσθηκαν 4 εργάτες, οι Α, Β, Γ, Δ. Ο Α εξεργάσθηκε 12 ημέρες με 8 ώρες ημερήσια απασχόληση, ο Β εργάσθηκε 10 ημέρες με 7 ώρες ημερήσια απασχόληση, ο Γ εργάσθηκε 8 ημέρες με 9 ώρες ημερήσια απασχόληση και ο Δ εργάσθηκε 3 ημέρες με 4 ώρες ημερήσια απασχόληση. Το σύνολο της αμοιβής τους είναι 1.350. Ζητείται να υπολογισθεί η αμοιβή κάθε εργάτη χωριστά. Λύση: Επειδή οι 4 εργάτες εργάσθηκαν διαφορετικές ημέρες αφενός και αφετέρου με διαφορετικές ώρες ημερήσιας απασχόλησης, η διανομή της συνολικής αμοιβής σε αυτούς θα γίνει ανάλογα και των διαφορετικών ημερών εργασίας και των διαφορετικών ωρών ημερήσιας απασχόλησης τους. Το πρόβλημα δηλαδή έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (συνολική αμοιβή 1.350) σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών, των ημερών απασχόλησης (12, 10, 8, 3) και των ωρών ημερήσιας απασχόλησης (8, 7, 9, 4). Θα έχουμε επομένως: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 12 8=96, 10 7=70, 8 9=72, 3 4=12 Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό 1.350 ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός αριθμού 1.350 Μέρη αριθμού 1.350 Α εργάτης: Β εργάτης: Γ εργάτης: Δ εργάτης: Σελ.10/107

II. Η χρονική αξία του χρήματος Η έκφραση χρονική αξία του χρήματος χρησιμοποιείται στα οικονομικά, διότι η αξία μιας δεδομένης ποσότητας χρήματος μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου. Για παράδειγμα, αν αγοράσουμε ένα ομόλογο διάρκειας ενός έτους σε ονομαστική αξία 100 ευρώ και επιτόκιο 4% τότε δεν έχουμε πλέον αυτά τα 100 ευρώ σήμερα αλλά θα έχουμε 104 ευρώ σε ένα χρόνο. Επομένως 100 ευρώ είναι η σημερινή προεξοφλημένη αξία των «104 ευρώ σε ένα χρόνο». Ομοίως, η παρούσα αξία ενός ποσού πχ 100 ευρώ σε ένα χρόνο θα είναι ίση με την αγοραστική αξία που θα έχει αυτό το ποσό σε ένα χρόνο, πχ για ετήσιο πληθωρισμό 4% θα είναι 100/1,04=96 ευρώ και 15 λεπτά. Η έννοια της χρονικής αξίας του χρήματος είναι δηλαδή συνδεδεμένη με την έννοια του τόκου (ή του πληθωρισμού) και αυτού που οι οικονομολόγοι ονομάζουν κόστος ευκαιρίας του χρήματος. Βασικές μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στη μελέτη και την επίλυση των προβλημάτων για τη χρονική αξία του χρήματος είναι το κεφάλαιο, ο χρόνος, ο τόκος και το επιτόκιο. Κεφάλαιο (K) είναι κάθε οικονομικό αγαθό που μετράται σε χρηματικές μονάδες και χρησιμοποιείται για «παραγωγικούς» σκοπούς. Χρόνος (t) λέγεται το χρονικό διάστημα της παραγωγικής χρησιμοποίησης του κεφαλαίου. Τόκος (I) λέγεται η αύξηση του κεφαλαίου, κατά το χρονικό διάστημα της παραγωγικής του ικανότητας. Επιτόκιο (i) είναι ο τόκος μιας νομισματικής μονάδας στη μονάδα του χρόνου. Το άθροισμα C+I, που προκύπτει από την ενσωμάτωση του τόκου I στο κεφάλαιο C λέγεται τελική αξία ή μελλοντική αξία του κεφαλαίου και συμβολίζεται με FV (future value). Η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο από το οποίο προέκυψε λέγεται κεφαλαιοποίηση. Υπάρχουν δύο συστήματα κεφαλαιοποίησης σε ευρεία χρήση, ανάλογα με το πότε προκύπτει η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο : Απλή κεφαλαιοποίηση ή απλός τόκος (simple interest) είναι εκείνο το σύστημα στο οποίο ο τόκος ενσωματώνεται στο κεφάλαιο μόνο στο τέλος του χρονικού διαστήματος που το κεφάλαιο έχει επενδυθεί. Σύνθετη κεφαλαιοποίηση ή ανατοκισμός (compound interest) ονομάζεται το σύστημα στο οποίο ο τόκος κεφαλαιοποιείται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου στην οποία υποδιαιρείται το χρονικό διάστημα επένδυσης. Σελ.11/107

Μέρος Πρώτο: Βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις Οι βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις έχουν συνήθως διάρκεια από τρεις μήνες έως ένα έτος. Στο πλαίσιο τους λύνονται προβλήματα δανεισμού ή καταθέσεων (όπου ισχύει ο απλός τοκισμός), προεξόφλησης και ισοδυναμίας γραμματίων. 1. Απλός Τόκος Ο απλός τόκος είναι ανάλογος του κεφαλαίου, του επιτοκίου και του χρόνου. Επομένως ο τύπος υπολογισμού του δίνεται από τη σχέση: όπου: I = ο απλός τόκος Κ 0 = το αρχικό κεφάλαιο i = το επιτόκιο η = ο χρόνος Το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου ονομάζεται τελική αξία, συμβολίζεται με K n και δίνεται από τη σχέση: Οι παραπάνω τύποι υπολογισμού του τόκου ή της τελικής αξίας εξ ορισμού αποτελούν τη βάση για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος σχετικού με βραχυχρόνιες οικονομικές πράξεις. Δηλαδή ανάλογα με το τι θα ζητείται κάθε φορά σε ένα πρόβλημα, θα ξεκινάμε με αυτό το τύπο αρκεί το επιτόκιο και η χρονικά διάρκεια της οικονομικής πράξης (δανεισμός ή κατάθεση) να εκφράζονται σε ετήσια βάση. Διαφορετικά αν τα δύο αυτά μεγέθη, επιτόκιο και χρόνος, δίδονται σε διαφορετική χρονική βάση, τότε πρέπει πάντα να προσαρμόζεται το μέγεθος που δίδεται σε χρονική βάση μικρότερου του έτους, σε ετήσια βάση. Δηλαδή: Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=μ/12, όπου μ ο αριθμός των μηνών διάρκειας της οικονομικής πράξης. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε αριθμό ημερών, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των ημερών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=v/360, όπου v ο αριθμός των ημερών διάρκειας της οικονομικής πράξης. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε μηνιαία βάση και ο χρόνος του δανείου σε έτη, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή του επιτοκίου σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το i με 12/m, όπου m ο αριθμός των μηνών του επιτοκίου. Μετά από αυτές τις προσαρμογές του βασικού τύπου του απλού τόκου ή της τελικής αξίας, θα τους επιλύουμε ως προς ένα από τα μεγέθη τους που αποτελούν το ζητούμενο του κάθε προβλήματος. Σελ.12/107

Παράδειγμα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 8 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε μήνες. Επομένως θα τη μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 2 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 10% για 1 χρόνο και 4 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες. Επομένως θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 3 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με εξαμηνιαίο 12% για 1 χρόνο. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και το επιτόκιο σε μηνιαία βάση. Επομένως θα μετατρέψουμε το επιτόκιο σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το στον παραπάνω με λ, όπου λ ο λόγος 12 αριθμό μηνών του επιτοκίου, Δηλαδή: Σελ.13/107

Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 4 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 10.000, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με τριμηνιαίο επιτόκιο 3% για 1 χρόνο και 3 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες και το επιτόκιο σε μηνιαία βάση. Επομένως θα μετατρέψουμε το επιτόκιο σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το στον παραπάνω τύπο με λ, όπου λ ο λόγος 12 αριθμό μηνών του επιτοκίου και επίσης θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 50.000, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 8% για 18 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε μήνες. Επομένως θα μετατρέψουμε τους μήνες σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Άρα ο τόκος θα είναι: Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : Σελ.14/107

Παράδειγμα 6 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 100.000, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 10% για 1 χρόνο και 2 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες. Επομένως θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Άρα ο τόκος θα είναι: Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 7 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 20.000, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με εξαμηνιαίο 4% για 1 χρόνο. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι το επιτόκιο δίδεται σε μηνιαία βάση και η χρονική διάρκεια δίδεται σε ετήσια βάση. Επομένως θα μετατρέψουμε το επιτόκιο σε ετήσιο πολλαπλασιάζοντας το στον παραπάνω τύπο με λ, όπου λ ο λόγος 12 αριθμό μηνών του επιτοκίου. Δηλαδή: Άρα ο τόκος θα είναι: Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : Σελ.15/107

Παράδειγμα 8 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 10.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με τετραμηνιαίο επιτόκιο 2,5% για 1 χρόνο και 5 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες και το επιτόκιο σε μηνιαία βάση. Επομένως θα μετατρέψουμε το επιτόκιο σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το στον παραπάνω τύπο με λ, όπου λ ο λόγος 12 αριθμό μηνών του επιτοκίου, και επίσης θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 9 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 50.000 για 18 μήνες, θα αποκτήσει τελική αξία 55.800 Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε μήνες. Επομένως θα μετατρέψουμε τους μήνες σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Στην συνέχεια επειδή το ζητούμενο είναι το επιτόκιο, επιλύουμε τον παραπάνω τύπο ως προς αυτό, δηλαδή: Επομένως το επιτόκιο θα είναι: Σελ.16/107

Παράδειγμα 10 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 100.000 για 1 χρόνο και 3 μήνες θα αποκτήσει τελική αξία 102.900. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες. Επομένως θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Στην συνέχεια επειδή το ζητούμενο είναι το επιτόκιο, επιλύουμε τον παραπάνω τύπο ως προς αυτό, δηλαδή: Επομένως το επιτόκιο θα είναι: Παράδειγμα 11 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 100.000 από 10/4 έως 24/10 θα αποκτήσει τελική αξία 102.500. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια ορίζεται με ημερομηνίες, δηλαδή σε αντίστοιχο αριθμό ημερών. Επομένως θα μετατρέψουμε τις ημέρες σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου ν/360. Δηλαδή: Στην συνέχεια επειδή το ζητούμενο είναι το επιτόκιο, επιλύουμε τον παραπάνω τύπο ως προς αυτό, δηλαδή: Πριν εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο, υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών, ως εξής: ΜΗΝΕΣ 4 5 6 7 8 9 10 ΣΥΝΟΛΟ ΗΜΕΡΕΣ 30-9=21 30 30 30 30 30 24 195 Σελ.17/107

Επομένως το επιτόκιο θα είναι: Παράδειγμα 12 Να βρεθεί το χρονικό διάστημα κατά το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 50.000 με ετήσιο επιτόκιο 7,5 %, θα αποκτήσει τελική αξία 55.800 Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Επειδή ισχύει ετήσιο επιτόκιο, θα επιλύσουμε τον παραπάνω τύπο απευθείας ως προς η, δηλαδή: Επομένως το χρονικό διάστημα θα είναι: Παράδειγμα 13 Να βρεθεί το χρονικό διάστημα κατά το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 20.000 με εξαμηνιαίο επιτόκιο 3,5%, θα αποκτήσει τελική αξία 29.000. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Επειδή ισχύει εξαμηνιαίο επιτόκιο, θα πολλαπλασιάσουμε στον παραπάνω τύπο το επιτόκιο με λ, όπου λ ο λόγος 12 μήνες επιτοκίου, και στην συνέχεια θα τον επιλύσουμε ως προς η, δηλαδή: Επομένως το χρονικό διάστημα θα είναι: Σελ.18/107

Παράδειγμα 14 Αν ένα κεφάλαιο 10.000 κατατεθεί στις 20/4 με εξαμηνιαίο επιτόκιο 8%, να υπολογισθεί η ημερομηνία που θα αποκτήσει τελική αξία 10.700. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Ισχύει εξαμηνιαίο επιτόκιο αφενός και αφετέρου η χρονική διάρκεια ορίζεται με ημερομηνίες, δηλαδή σε αντίστοιχο αριθμό ημερών. Επομένως θα μετατρέψουμε τις ημέρες σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου ν/360 και θα πολλαπλασιάσουμε επίσης το επιτόκιο με λ, όπου λ ο λόγος 12 μήνες επιτοκίου. Δηλαδή: Επειδή δε ζητείται η ημερομηνία λήξης της κατάθεσης, απαιτείται ο υπολογισμός των ημερών κατάθεσης, οπότε επιλύουμε τον παραπάνω τύπο ως προς v, δηλαδή: Άρα οι ημέρες κατάθεσης θα είναι: Επομένως η ημερομηνία λήξης βρίσκεται ως εξής: ΜΗΝΕΣ 4 5 6 7 8 9 ΣΥΝΟΛΟ ΗΜΕΡΕΣ 30-19=11 30 30 30 30 >27 158 Ημερομηνία λήξης: 27/9 Σελ.19/107

2. Προεξόφληση συναλλαγματικών σε διαταγή (γραμματίων) Οι σύγχρονες συναλλαγές έχουν σαν βασικό χαρακτηριστικό τους την μερική ή ολική αντικατάσταση του χρήματος με την πίστη. Δηλαδή στο σύνολο σχεδόν των συναλλαγών, οι συναλλασσόμενοι δεν συναλλάσσονται πλέον αποκλειστικά με μετρητά, αλλά και επί πιστώσει χωρίς τη μεσολάβηση του χρήματος. Με τις επί πιστώσει συναλλαγές δημιουργείται η έννοια της απαίτησης. Αυτή συνήθως παίρνει την μορφή της συναλλαγματικής εις διαταγή (γραμματίου), η οποία εκδίδεται από τον εκδότη (πωλητή) και αποτελεί εντολή προς τον οφειλέτη (πελάτη) να πληρώσει το αναγραφόμενο ποσό σε ορισμένο τόπο και χρόνο. Οι εκδότες - κάτοχοι γραμματίων με οφειλέτες τους πελάτες τους ενεργούν με τους εξής τρόπους: Τοποθετούν τα γραμμάτια σε ασφαλές μέρος και περιμένουν να λήξουν για να εισπράξουν το αναγραφόμενο ποσό από τους οφειλέτες τους. Μεταβιβάζουν με οπισθογράφηση τα γραμμάτια που κατέχουν σε τρίτους, οπότε μεταβιβάζουν και την απαίτηση τους. Αναθέτουν σε τράπεζα να εισπράξει τα αναγραφόμενα ποσά των γραμματίων που κατέχουν έναντι προμήθειας. Στη περίπτωση που έχουν ανάγκη χρημάτων, ρευστοποιούν τα γραμμάτια που κατέχουν σε τράπεζα, οπότε τους παρακρατούνται οι τόκοι που αντιστοιχούν στο χρονικό διάστημα από την ημέρα της ρευστοποίησης του γραμματίου μέχρι τη λήξη του. Η ρευστοποίηση αυτή λέγεται προεξόφληση. Οι τόκοι δε που παρακρατούνται από την τράπεζα κατά την ρευστοποίηση των γραμματίων ονομάζονται προεξόφλημα. Το προεξόφλημα υπολογίζεται με τους εξής δυο μεθόδους: 1) Βάση της Ονομαστικής Αξίας (Κ), δηλαδή του ποσού που αναγράφεται στο γραμμάτιο και εισπράττεται κατά τη λήξη του. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Εξωτερική Προεξόφληση και το προεξόφλημα που παρακρατείται από την τράπεζα Εξωτερικό Προεξόφλημα (Ε). 2) Βάση της Παρούσας Αξίας (Α), δηλαδή του ποσού που εισπράττεται κατά την προεξόφληση του γραμμάτιου. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Εσωτερική Προεξόφληση και το προεξόφλημα που παρακρατείται από την τράπεζα Εσωτερικό Προεξόφλημα (Ε ). 2.1 Βασικοί τύποι προεξόφλησης γραμματίων α) Υπολογισμός εξωτερικού προεξοφλήματος συναρτήσει της ονομαστικής αξίας Σύμφωνα με τον προαναφερθέντα ορισμό της εξωτερικής προεξόφλησης, το εξωτερικό προεξόφλημα υπολογίζεται βάση της ονομαστικής αξίας του γραμματίου αφενός και αφετέρου επειδή αποτελεί στην ουσία παρακρατηθέντα τόκο, λαμβάνεται υπόψη το επιτόκιο προεξόφλησης και το χρονικό διάστημα από την ημέρα προεξόφλησης του γραμματίου έως την ημέρα λήξη του. Δηλαδή ο τύπος υπολογισμού του είναι ανάλογος του τύπου του απλού τόκου, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες. Θα είναι δηλαδή: Σελ.20/107

όπου: Κ= η ονομαστική αξία του γραμματίου ν= οι ημέρες προεξόφλησης, δηλαδή ο αριθμός ημερών από την ημέρα προεξόφλησης, μέχρι την ημέρα λήξης του γραμματίου i= το επιτόκιο προεξόφλησης Για την απλούστευση του τύπου, αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος με i θα έχουμε: Στην συνέχεια απαλείφοντας το i από τον αριθμητή και θέτοντας όπου Δ Διαιρέτης ο αρχικός τύπος γίνεται: Με βάση τον προαναφερθέντα βασικό τύπο ορισμού εξάγονται όλοι οι αναγκαίοι τύποι υπολογισμού, που εφαρμόζονται στην επίλυση προβλημάτων εξωτερικής προεξόφλησης γραμματίων, όπου κάθε φορά το ζητούμενο θα είναι είτε το προεξόφλημα, είτε η ονομαστική αξία, είτε η παρούσα αξία, είτε ο χρόνος προεξόφλησης. Δεν υπάρχει δηλαδή λόγος αποστήθισης πολλών τύπων, απλώς απαιτείται πρακτική εξάσκηση στην επίλυση προβλημάτων εξωτερικής προεξόφλησης γραμματίων. β) Υπολογισμός εσωτερικού προεξοφλήματος συναρτήσει της παρούσας αξίας Σύμφωνα με τον προαναφερθέντα ορισμό της εσωτερικής προεξόφλησης, το εσωτερικό προεξόφλημα υπολογίζεται βάση της παρούσας αξίας του γραμματίου (του ποσού που εισπράττεται κατά την προεξόφληση) αφενός και αφετέρου επειδή αποτελεί στην ουσία παρακρατηθέντα τόκο, λαμβάνεται υπόψη το επιτόκιο προεξόφλησης και το χρονικό διάστημα από την ημέρα προεξόφλησης του γραμματίου έως την ημέρα λήξη του. Δηλαδή ο τύπος υπολογισμού του είναι ανάλογος του τύπου του απλού τόκου, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες. Θα είναι δηλαδή: όπου: A= η παρούσα αξία του γραμματίου ν= οι ημέρες προεξόφλησης, δηλαδή ο αριθμός ημερών από την ημέρα προεξόφλησης, μέχρι την ημέρα λήξης του γραμματίου i= το επιτόκιο προεξόφλησης Για την απλούστευση του τύπου, αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος με i θα έχουμε: Σελ.21/107

Στην συνέχεια απαλείφοντας το i από τον αριθμητή και θέτοντας όπου Δ Διαιρέτης ο αρχικός τύπος γίνεται: Με βάση τον προαναφερθέντα βασικό τύπο ορισμού εξάγονται όλοι οι αναγκαίοι τύποι υπολογισμού, που εφαρμόζονται στην επίλυση προβλημάτων εσωτερικής προεξόφλησης γραμματίων, όπου κάθε φορά το ζητούμενο θα είναι είτε το προεξόφλημα, είτε η ονομαστική αξία, είτε η παρούσα αξία, είτε ο χρόνος προεξόφλησης. Δεν υπάρχει δηλαδή λόγος αποστήθισης πολλών τύπων, απλώς απαιτείται πρακτική εξάσκηση στην επίλυση προβλημάτων εσωτερικής προεξόφλησης γραμματίων. Παράδειγμα 1 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη του εμπορεύματα αξίας 5.000. Συμφώνησαν μεταξύ τους να εκδώσει ο πρώτος στο δεύτερο δυο γραμμάτια με αντίστοιχες λήξεις στις 30/4 και 30/6. Με δεδομένο ότι, ο έμπορος σκοπεύει να προεξοφλήσει στις 15/3 σε τράπεζα τα δυο γραμμάτια και να λάβει κατά την προεξόφληση του καθενός τη μισή αξία του εμπορεύματος που πούλησε, να υπολογισθούν τα προεξοφλήματα και οι ονομαστικές αξίες που αναγράφονται στα δυο γραμμάτια και με τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 10% και εμπορικό έτος, δηλαδή σύνολο ημερών έτους 360 και 30 ημέρες όλοι οι μήνες του έτους. Λύση 1) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής αξίας Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/4 με εξωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε το προεξόφλημα και την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει να στον προαναφερόμενο τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της παρούσας αξίας, θέτοντας όπου Κ=Α+Ε,, διότι η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε). Τότε θα έχουμε: Σελ.22/107

Για την εφαρμογή του παραπάνω τύπου, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-14=16 30 46 Στην συνέχεια υπολογίζουμε τον διαιρέτη Δ, δηλαδή: Ακολούθως για τον υπολογισμό του προεξοφλήματος θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: Άρα η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε=2.500+32,36=2.532,36. 2) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/6 με εξωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον ίδιο τύπο. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-14=16 30 30 30 106 Ισχύει ο ίδιος διαιρέτης όπως και προηγουμένως, Δ=3.600 Ακολούθως για τον υπολογισμό του προεξοφλήματος θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: Άρα η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε=2.500+75,84=2.575,84. Σελ.23/107

3) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/4 με εσωτερική προεξόφληση. Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε το προεξόφλημα και την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του, θα εφαρμοσθεί απευθείας ο βασικός τύπος του εσωτερικού προεξοφλήματος: Ισχύουν οι 46 ημέρες προεξόφλησης και Δ=3.600 Άρα το προεξόφλημα θα είναι: Επομένως η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε=2.500+31,94=2.531,94. 4) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/6 με εσωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως εφαρμόζεται ο ίδιος τύπος. Ισχύουν οι 106 ημέρες προεξόφλησης και Δ=3.600 Άρα το προεξόφλημα θα είναι: Επομένως η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε=2.500+31,94=2.573,61. Παράδειγμα 2 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη του εμπορεύματα αξίας 1.000. Συμφώνησαν μεταξύ τους να εκδώσει ο πρώτος στο δεύτερο δυο γραμμάτια με αντίστοιχες λήξεις στις 30/5 και 30/8. Με δεδομένο ότι, ο έμπορος σκοπεύει να προεξοφλήσει στις 20/3 σε τράπεζα τα δυο γραμμάτια και να λάβει κατά την προεξόφληση του καθενός τη μισή αξία του εμπορεύματος που πούλησε, να υπολογισθούν οι ονομαστικές αξίες που αναγράφονται στα δυο γραμμάτια και με τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 8% και εμπορικό έτος. Λύση 1) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/5 με εξωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την Σελ.24/107

προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει αρχικά να στον προαναφερόμενο τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της παρούσας αξίας, θέτοντας όπου Κ=Α+Ε, δηλαδή: Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την ονομαστική αξία του γραμματίου, επειδή η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Κ=Α+Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Για την εφαρμογή του παραπάνω τύπου, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-19=11 30 30 71 Στην συνέχεια υπολογίζουμε τον διαιρέτη Δ, δηλαδή: Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: 2) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/8 με εξωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-19=11 30 30 30 30 30 161 Ισχύει Δ=4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα έχουμε: Σελ.25/107

3) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/5 με εσωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος: Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την ονομαστική αξία του γραμματίου, επειδή η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Κ=Α+Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Ισχύουν 71 ημέρες προεξόφλησης και Δ=4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα έχουμε: 4) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/8 με εσωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον ίδιο τύπο. Ισχύουν 161 ημέρες προεξόφλησης και Δ=4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα εφαρμοσθεί ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της παρούσας αξίας, δηλαδή: Παράδειγμα 3 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη ένα εμπόρευμα και για το λόγο αυτό έκδωσε δύο γραμμάτια ονομαστικών αξιών 400 και 600 με λήξεις στις 30/7 και 25/8 αντίστοιχα. Με δεδομένο ότι ο έμπορος θα προεξοφλήσει και τα δύο γραμμάτια σε τράπεζα στις 18/3, να υπολογισθεί η αξία του εμπορεύματος λαμβάνοντας υπόψη και τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί επίσης υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 6% και εμπορικό έτος. Λύση Θεωρούμε ότι, τα ποσά που θα εισπράξει ο έμπορος κατά την προεξόφληση των δύο γραμματίων αποτελούν αθροιζόμενα την αξία του εμπορεύματος. Επομένως θα πρέπει να υπολογισθούν οι παρούσες αξίες των δύο γραμματίων, όπως ακολουθεί: α) Υπολογισμός των παρουσών αξιών με εξωτερική προεξόφληση α1) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Σελ.26/107

Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την παρούσα αξία του γραμματίου, επειδή η παρούσα αξία, το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α), είναι ίση με την ονομαστική αξία μείον τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Α=Κ-Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-17=13 30 30 30 30 133 Στην συνέχεια υπολογίζουμε το διαιρέτη Δ, δηλαδή: Ακολούθως η παρούσα αξία με εφαρμογή του προαναφερόμενου τύπου θα είναι: α2) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του δεύτερου γραμματίου Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον προαναφερόμενο τύπο. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-17=13 30 30 30 30 25 158 Ισχύει Δ=6.000 Ακολούθως για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί όπως και προηγουμένως ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: Άρα η αξία του εμπορεύματος είναι το άθροισμα των δύο παρουσών αξιών όπως προαναφέραμε, δηλαδή 391,13+584,20=975,33 Σελ.27/107

β) Υπολογισμός των παρουσών αξιών με εσωτερική προεξόφληση β1) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την παρούσα αξία του γραμματίου συναρτήσει της ονομαστικής αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει αρχικά στον προαναφερόμενο τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, θέτοντας όπου Α=Κ-Ε, δηλαδή: Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την παρούσα αξία του γραμματίου, επειδή η παρούσα αξία, το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α), είναι ίση με την ονομαστική αξία μείον τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Α=Κ-Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Ισχύουν ημέρες προεξόφλησης 133 και Δ=6.000 Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: β2) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμοσθεί ο ίδιος τύπος. Ισχύουν ημέρες προεξόφλησης 158 και Δ=6.000 Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί όπως και προηγουμένως ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: Άρα η αξία του εμπορεύματος είναι το άθροισμα των δύο παρουσών αξιών όπως προαναφέραμε, δηλαδή 391,33+584,61=975,94 Σελ.28/107

Παράδειγμα 4 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη ένα εμπόρευμα αξίας 500. Για το λόγο αυτό έκδωσε ένα γραμμάτιο ονοματικής αξίας μεγαλύτερης κατά 20 από την αξία του εμπορεύματος. Ποια ημερομηνία λήξης πρέπει να έχει το γραμμάτιο, ώστε αν ο έμπορος το προεξοφλήσει σε τράπεζα στις 18/3 να εισπράξει την αξία του εμπορεύματος. Να υπολογισθεί η ημερομηνία λήξης του γραμματίου, λαμβάνοντας υπόψη και τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί επίσης υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 9% και εμπορικό έτος. Λύση 1) Υπολογισμός της ημερομηνίας λήξης του γραμματίου με εξωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με τον βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την ημερομηνία λήξης του γραμματίου, δηλαδή τις ημέρες προεξόφλησης του, συναρτήσει της παρούσας αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του την αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει αρχικά στον προαναφερόμενο τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της παρούσας αξίας, θέτοντας όπου Κ=Α+Ε, δηλαδή: Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει τις ημέρες προεξόφλησης του γραμματίου, επιλύουμε τον προαναφερόμενο τύπο ως προς ν και θα έχουμε: Πριν την εφαρμογή του παραπάνω τύπου υπολογίζουμε το προεξόφλημα Ε από τη γνωστή σχέση Ε=Κ-Α=>Ε=520-500=20 Επίσης υπολογίζεται ο διαιρέτης Δ: Άρα οι ημέρες προεξόφλησης θα είναι: Επομένως η ημερομηνία λήξης βρίσκεται, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Σελ.29/107

Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-17=13 30 30 30 30 > 21 154 Ημερομηνία Λήξης: 21/8 2) Υπολογισμός της ημερομηνίας λήξης του γραμματίου με εσωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με τον βασικό τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την ημερομηνία λήξης του γραμματίου, δηλαδή τις ημέρες προεξόφλησης του συναρτήσει της παρούσας αξίας του, θα πρέπει να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει τις ημέρες προεξόφλησης του γραμματίου, αν επιλύουμε απευθείας τον προαναφερόμενο τύπο ως προς ν. Θα έχουμε: Ισχύουν όπως προηγουμένως Ε=20 και Δ=4000 Άρα οι ημέρες προεξόφλησης θα είναι: Επομένως η ημερομηνία λήξης βρίσκεται, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-17=13 30 30 30 30 > 27 154 Ημερομηνία Λήξης: 27/8 Σελ.30/107

3. Αντικατάσταση συναλλαγματικών εις διαταγή (γραμματίων) Όπως έχουμε προαναφέρει στις προεξοφλήσεις γραμματίων, υπάρχουν περιπτώσεις που ο εκδότης γραμματίων (πωλητής) δεν προεξοφλεί τα γραμμάτια που του οφείλουν οι πελάτες του, αλά τα κρατά και περιμένει να εξοφληθούν από τους οφειλέτες τους όταν λήγουν. Σε τέτοιες περιπτώσεις συμβαίνει πολλές φορές οι οφειλέτες γραμματίων να ζητήσουν, προκειμένου να διευκολυνθούν, την αντικατάσταση των γραμματίων που ήδη οφείλουν με νέα γραμμάτια. Η αντικατάσταση των γραμματίων στηρίζεται στην αρχή της οικονομικής ισοδυναμίας. Δηλαδή τα αντικαθιστάμενα γραμμάτια πρέπει να είναι οικονομικώς ισοδύναμα με αυτά που τα αντικαθιστούν. Για να επιτευχθεί αυτό πρέπει, το άθροισμα των παρουσών αξιών των αντικαθιστάμενων γραμματίων να ισούται με το άθροισμα των παρουσών αξιών των νέων γραμματίων, σε ορισμένη χρονική στιγμή και με το ίδιο επιτόκιο. Η χρονική στιγμή κατά την οποία το άθροισμα των παρουσών αξιών των αντικαθιστάμενων γραμματίων είναι ίσο με το άθροισμα των παρουσών αξιών των νέων γραμματίων, ονομάζεται εποχή ισοδυναμίας. Συνήθως ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η ημέρα υπολογισμού, δηλαδή η ημέρα κατά την οποία γίνεται η αντικατάσταση των γραμματίων. Στις περιπτώσεις όμως που αντικαθίστανται πολλά γραμμάτια με ένα νέο μόνο, ή που αντικαθίσταται ένα γραμμάτιο με πολλά νέα, τότε είναι πιθανόν ως εποχή ισοδυναμίας να ληφθεί η ημέρα λήξης του ενός γραμματίου είτε του νέου που αντικαθιστά τα πολλά γραμμάτια, είτε αυτού που έχει ήδη εκδοθεί και αντικαθίσταται με πολλά νέα γραμμάτια. Σε αυτές τις περιπτώσεις ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η κοινή λήξη δηλ. η ημέρα λήξης του ενός γραμματίου. 3.1 Χρήσιμοι τύποι επίλυσης προβλημάτων αντικατάστασης γραμματίων. Σύμφωνα με την προαναφερόμενη αρχή της οικονομικής ισοδυναμίας ισχύει: όπου: Α 1, Α 2,...Α ν : οι παρούσες αξίες των γραμματίων που αντικαθίστανται. Α 1, Α 2,...Α ν : οι παρούσες αξίες των νέων γραμματίων. Η παραπάνω σχέση επεξεργάζεται περαιτέρω ως εξής: Δηλαδή η παρούσα αξία ενός γραμματίου θα είναι ίση με τη διαφορά της ονομαστικής αξίας του και του προεξοφλήματος του, όταν η ημέρα λήξης του είναι μεταγενέστερη χρονικά της ημέρας αντικατάστασης. Όταν όμως η ημέρα λήξης ενός γραμματίου είναι προγενέστερη χρονικά της ημέρας αντικατάστασης, τότε η παρούσα αξία του θα είναι ίση με το άθροισμα της ονομαστικής αξίας του και του προεξοφλήματος του, διότι όπως είναι ευνόητο η αξία του σε μεταγενέστερη χρονική στιγμή θα είναι μεγαλύτερη από την αξία που έχει όταν λήγει σε προηγούμενη χρονική στιγμή. Επομένως όταν εφαρμόζουμε την παραπάνω σχέση (2), θα επιλέγουμε το + ή το - πριν από το προεξόφλημα (Ε), ανάλογα αν η λήξη του γραμματίου είναι πριν ή μετά από την ημέρα αντικατάστασης. Σελ.31/107

Παράδειγμα 1 Έστω ότι ένας έμπορος είχε εκδώσει σε πελάτη του δύο γραμμάτια Κ 1 =300 και Κ 2 =400 με αντίστοιχες λήξεις την 13/5 και 20/7. Οι προαναφερόμενοι συμφώνησαν σήμερα (π.χ. 15/3) προς διευκόλυνση του δευτέρου, να αντικαταστήσουν τα γραμμάτια αυτά με δυο νέα γραμμάτια με αντίστοιχες λήξεις την 1/9 και 20/11, εκ των οποίων το δεύτερο θα έχει διπλάσια ονομαστική αξία από το πρώτο. Αν ισχύει επιτόκιο προεξόφλησης 10% και εποχή ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού, ζητείται να υπολογισθούν οι ονομαστικές αξίες των νέων γραμματίων α) εξωτερικώς και β) εσωτερικώς. Λύση Αφού ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η ημέρα υπολογισμού, τότε αυτή είναι η 13/5. παρατηρούμε ότι οι λήξεις όλων των γραμματίων παλιών και νέων είναι μετά από αυτή την ημερομηνία. Άρα οι παρούσες αξίες τους αυτή την ημέρα είναι ίσες με τη διαφορά των ονομαστικών αξιών τους με τα προεξοφλήματα τους. Επομένως η προαναφερόμενη σχέση (2) γίνεται: α) Υπολογισμός με εξωτερική προεξόφληση Στην συνέχεια επεξεργαζόμαστε την παραπάνω σχέση (1), θέτοντας στη θέση του Ε το γνωστό τύπο που εξ ορισμού το συσχετίζει με την ονομαστική αξία, δηλαδή: Οπότε η παραπάνω σχέση μετατρέπεται ως εξής: Αυτή τη σχέση θα λύσουμε ως προς Κ 1, Κ 2, λαμβάνοντας υπόψη ότι Κ 2 =2Κ 1 Στην συνέχεια υπολογίζουμε στον παρακάτω πίνακα τις ημέρες αντικατάστασης (ν) του κάθε γραμματίου, δηλαδή τις ημέρες που περιλαμβάνονται μεταξύ της ημέρας αντικατάστασης και της ημέρας λήξης του καθενός. Κ 1 Κ 2 Κ 1 Κ 2 Μ ΗΜ ΗΜ ΗΜ Μ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30-14=16 30 13 30-14=16 30 30 30 20 30-14=16 30 30 30 30 30 1 30-14=16 30 30 30 30 30 30 30 20 Σ 59 126 167 246 Σελ.32/107

Ακολούθως αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση (2) τις ημέρες αντικατάστασης των γραμματίων, τις ονομαστικές αξίες των παλιών γραμματίων καθώς και όπου Δ=360/0,1=3.600. Θα έχουμε: Είναι γνωστό από τα δεδομένα ότι Κ 2 =2Κ 1 Επομένως από την (3) θα έχουμε: Άρα Κ 2 =2 241,78=483,56 β) Υπολογισμός με εσωτερική προεξόφληση Όπως και προηγουμένως επεξεργαζόμαστε την παραπάνω σχέση (1), θέτοντας στη θέση του Ε το γνωστό τύπο που εξ ορισμού το συσχετίζει με την παρούσα αξία, δηλαδή την ονομαστική αξία, δηλαδή: και στην συνέχεια τον επεξεργαζόμαστε για να τον συσχετίσουμε με Οπότε η παραπάνω σχέση (1) μετατρέπεται ως εξής: Αυτή τη σχέση θα λύσουμε ως προς Κ 1, Κ 2, λαμβάνοντας υπόψη ότι Κ 2 =2Κ 1 Ακολούθως αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση (2) τις ημέρες αντικατάστασης των γραμματίων που έχουμε υπολογίσει παραπάνω, τις ονομαστικές αξίες των παλιών γραμματίων καθώς και όπου Δ=360/0,1=3.600. Θα έχουμε: Είναι γνωστό από τα δεδομένα ότι Κ 2 =2Κ 1 Επομένως από την (3) θα έχουμε: Άρα Κ 2 =2 241,05=482,11 Σελ.33/107

Παράδειγμα 2 Έστω ότι ένας έμπορος έχει εκδώσει σε πελάτη του τρία γραμμάτια Κ 1 =600, Κ 2 =700 και Κ 3 =900 με αντίστοιχες λήξεις την 19/5 και 29/6 και 12/7. Οι προαναφερόμενοι συμφώνησαν σήμερα προς διευκόλυνση του δευτέρου, να αντικαταστήσουν τα γραμμάτια αυτά με ένα νέο γραμμάτιο με λήξη την 9/9. Αν ισχύει επιτόκιο προεξόφλησης 10% και εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη, ζητείται να υπολογισθεί η ονομαστική αξία του νέου γραμματίου α) εξωτερικώς και β) εσωτερικώς. Λύση Αφού ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η κοινή λήξη, τότε αυτή είναι η 9/9, δηλαδή του ενός γραμματίου που αντικαθιστά τα παλιά. Παρατηρούμε ότι οι λήξεις των παλιών γραμματίων είναι πριν από αυτή την ημερομηνία. Άρα οι παρούσες αξίες τους αυτή την ημέρα είναι ίσες με το άθροισμα των ονομαστικών αξιών τους με τα προεξοφλήματα τους, η δε παρούσα αξία του νέου γραμματίου ταυτίζεται με την ονομαστική αξία του. Επομένως η προαναφερόμενη σχέση (2) γίνεται: α) Υπολογισμός με εξωτερική προεξόφληση Στην συνέχεια επεξεργαζόμαστε την παραπάνω σχέση, θέτοντας στη θέση του Ε το γνωστό τύπο που το συσχετίζει με την ονομαστική αξία, δηλαδή Οπότε η παραπάνω σχέση μετατρέπεται ως εξής: Αυτή τη σχέση θα λύσουμε ως προς Κ. Στην συνέχεια υπολογίζουμε στον παρακάτω πίνακα τις ημέρες αντικατάστασης (ν) του κάθε γραμματίου, δηλαδή τις ημέρες που περιλαμβάνονται μεταξύ της ημέρας αντικατάστασης και της ημέρας λήξης του καθενός. Κ 1 Κ 2 Κ 2 Μ ΗΜ ΗΜ ΗΜ 5 30-18=12 0 0 6 30 30-28=2 0 7 30 30 30-11=19 8 30 30 30 9 9 9 9 Σ 111 71 58 Ακολούθως αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση (2) τις ημέρες αντικατάστασης των γραμματίων, τις ονομαστικές αξίες των παλιών γραμματίων καθώς και όπου Δ=360/0,1=3.600. Θα έχουμε: Σελ.34/107

β) Υπολογισμός με εσωτερική προεξόφληση Όπως και προηγουμένως επεξεργαζόμαστε την παραπάνω σχέση (1), θέτοντας στη θέση του Ε το γνωστό τύπο που εξ ορισμού το συσχετίζει με την παρούσα αξία, δηλαδή την ονομαστική αξία, δηλαδή: και στην συνέχεια τον επεξεργαζόμαστε για να τον συσχετίσουμε με Οπότε η παραπάνω σχέση (1) μετατρέπεται ως εξής: Αυτή τη σχέση θα λύσουμε ως προς Κ. Ακολούθως αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση (2) τις ημέρες αντικατάστασης των γραμματίων, τις ονομαστικές αξίες των παλιών γραμματίων καθώς και όπου Δ=360/0,1=3.600. Θα έχουμε: Παράδειγμα 3 Έστω ότι ένας έμπορος έχει εκδώσει σε πελάτη του ένα γραμμάτιο Κ=1.600 με λήξη την 5/7. Οι προαναφερόμενοι συμφώνησαν σήμερα προς διευκόλυνση του δευτέρου, να αντικαταστήσουν το γραμμάτιο αυτό με δυο νέα γραμμάτια Κ 1, Κ 2 με αντίστοιχες λήξεις την 19/6 και 29/8. Ζητείται να υπολογισθούν οι ονομαστικές αξίες των νέων γραμματίων, λαμβάνοντας υπόψη ότι ισχύει επιτόκιο 10%, εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη και ότι η ονομαστική αξία του δεύτερου νέου γραμματίου είναι 100 μεγαλύτερη από αυτή του πρώτου νέου γραμματίου. Λύση Αφού ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η κοινή λήξη, τότε αυτή είναι η 5/7, δηλαδή του ενός γραμματίου που αντικαθιστάται από τα δυο νέα. Παρατηρούμε ότι η λήξη του πρώτου νέου γραμματίου είναι πριν από αυτή την ημερομηνία και η λήξη του δεύτερου νέου γραμματίου είναι μετά από αυτή την ημερομηνία. Άρα η παρούσα αξία του πρώτου νέου γραμματίου είναι ίση με τη διαφορά της ονομαστικής αξίας του με το προεξόφλημα του, και η παρούσα αξία του δεύτερου νέου γραμματίου είναι ίση με το άθροισμα της ονομαστικής αξίας του με το προεξόφλημα του. Επίσης η παρούσα αξία του παλιού γραμματίου ταυτίζεται με την ονομαστική αξία του. Επομένως η προαναφερόμενη σχέση (2) γίνεται: Σελ.35/107