00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση
Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr
4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 78 Η ανάλυση των δεδομένων που προέυψαν από στατιστιή έρευνα η οποία είχε ως αντιείμενο τον αριθμό των παιδιών των υπαλλήλων μια εταιρείας έδειξε ότι: Δεν υπήρχαν υπάλληλοι με πέντε ή περισσότερα παιδιά Η μέση τιμή των παιδιών που είχαν οι υπάλληλοι της εταιρείας υπολογίστηε ότι ήταν,65 Το ποσοστό των υπαλλήλων που είχαν ως αι δύο παιδιά ήταν 80% Το ποσοστό των υπαλλήλων με ένα παιδί ήταν ίσο με αυτό των υπαλλήλων που δεν είχαν ανένα παιδί Οι υπάλληλοι που είχαν τρία παιδιά ήταν τριπλάσιοι από αυτούς που είχαν τέσσερα παιδιά Να συμπληρωθεί ο πίναας σχετιών αι σχετιών αθροιστιών συχνοτήτων. 79 Μια βιομηχανία παράγει τα προϊόντα A,B,Γ,Δ σε ποσοστό 0%, 0%, 30%, 40% επί του συνόλου της παραγωγής της με αντίστοιχο όστος 4,, 0, 8 ανά μονάδα προϊόντος. α) Να βρείτε το μέσο όστος ανά μονάδα προϊόντος της παραγωγής. β) Να δείξετε ότι η διασπορά του όστους είναι s 4. γ) Να βρείτε αν υπάρχουν τιμές του α, για τις οποίες, αν το όστος άθε προϊόντος αυξηθεί ατά a το δείγμα της παραγωγής γίνεται ομοιογενές. 80 Οι ημερήσιες αποδοχές των 5 υπαλλήλων μιας εταιρίας σε είναι 7, 3, 9, 3, 7, 6, 8, 5, 3, 30, 9, 4, 6, 7, 9 Να υπολογιστεί η μέση τιμή. Αν οι αποδοχές των υπαλλήλων των οποίων οι εβδομαδιαίες αποδοχές είναι μιρότερες από τη μέση τιμή αυξάνονται, αι γίνονται ίσες με τη μέση τιμή, τότε ποια είναι η μέση τιμή αι η διάμεσος. 8 Α) Να αποδείξετε ότι s x ifi x. i Β) Ένα σχολείο έχει δύο τμήματα στην Γ τάξη τα Α αι Β με 0 αι 5 μαθητές αντίστοιχα. Ο μέσος όρος των βαθμών στο Α τμήμα είναι 9 ενώ ο μέσος όρος των βαθμών αι στα δύο τμήματα είναι 0. α) Να βρείτε το μέσο όρο των βαθμών του τμήματος Β β) Αν φύγουν δύο μαθητές από το τμήμα Α με βαθμό αι ο ένας πάει στο τμήμα Β, να βρείτε τους νέους μέσους των βαθμών των τμημάτων. γ) λ Αν για τα τμήματα Α αι Β ισχύουν αντίστοιχα ότι x i f i 85, 0 0 αι x i f i 48, 0 λ 5, να βρείτε ποιο από τα δύο τμήματα έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια βαθμών. i i 8 Ένα δείγμα έχει μέγεθος ν 8, 8 (xi 6) 75 αι S i. Να βρείτε η x αι το 8 xi i. 83 Α) Έστω x, x,..., x ν, παρατηρήσεις με μέση τιμή x αι απόλιση s x. Να αποδείξετε ότι αν από άθε παρατήρηση αφαιρέσουμε τη μέση τιμή x αι διαιρέσουμε με την απόλιση s x, οι νέες παρατηρήσεις που προύπτουν έχουν μέση τιμή 0 αι απόλιση. Β) Έστω x η μέση τιμή αι s η τυπιή απόλιση των παρατηρήσεων: x,x,...,x ν. Να δειχτεί ότι η μέση τιμή x x x x xν x αι η τυπιή απόλιση των παρατηρήσεων,,..., είναι 0 αι αντίστοιχα. s s s 3 3 x αx α x α 84, x α Έστω η συνάρτηση f με fx x α β x α με α 0, β αι η μεταβλητή x με τιμές τις α, 0, γ, β, 3. Αν η f είναι συνεχής στο α αι η μεταβλητή X έχει μέση τιμή αι διάμεσο ίσες με, να βρεθούν οι αριθμοί α,β,γ αι ο συντελεστής μεταβολής των παρατηρήσεων της μεταβλητής x. M. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυείου Μαθηματιά Γενιής Παιδείας 85 Δίνεται η συνάρτηση fx t x 3 t x 3... t x 3, x R όπου t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις ενός ν δείγματος με τυπιή απόλιση s 0 αι μέση τιμή x. ν i Α) Να αποδείξετε ότι s t i x v Β) Να αποδείξετε ότι fx 3ν x x x s x Γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R Δ) Να βρείτε το σημείο x στο οποίο η f έχει το μέγιστο ρυθμό μεταβολής. x 86 Δίνεται η συνάρτηση fx x s x όπου x αι s η μέση τιμή αι η τυπιή απόλιση αντίστοιχα ενός δείγματος με x 0. Aν η γραφιή παράσταση της f διέρχεται από το A, τότε: Α) Να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής CV του δείγματος αι να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Β) Να βρείτε τα αρότατα της f στο R. Γ) Αν είναι γνωστό ότι lim f x να υπολογίσετε τη μέση τιμή x αι την τυπιή απόλιση s του δείγματος. xs ) Να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που περιέχονται στο διάστημα,5 εάν υποθέσουμε ότι η αμπύλη ατανομής του δείγματος είναι περίπου ανονιή αθώς αι το εύρος R των τιμών του δείγματος. A) 50%,oxi B) f(/) ελαχ Γ),Δ) 83,85%, 6 87 ίνεται η συνάρτηση fx 0 s x x x, x R όπου x η μέση τιμή αι s η τυπιή απόλιση των παρατηρήσεων ενός δείγματος μεγέθους ν (με x 0, s 0 ). Αν η εφαπτομένη της αμπύλης της f στο σημείο B,f() είναι παράλληλη στην ευθεία y 8, τότε: A. Να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές αι ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο. Β. Αν η συνάρτηση f έχει ελάχιστη τιμή ίση με τότε: α. Να βρείτε την μέση τιμή αι την τυπιή απόλιση. β. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο B. 88 Δίνονται οι αριθμοί 3, 9,, 7. Συμπληρώνουμε το σύνολο των αριθμών με παρατηρήσεις με τιμή 0. α) Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή x των 4 αριθμών είναι ίση με τη μέση τιμή των τεσσάρων αριθμών. β) Να αποδείξετε ότι γ) Αν την k 4 4 (t i x) (t i x) i i s είναι η διαύμανση των τεσσάρων αριθμών αι s είναι η διαύμανση των 4 αριθμών, να βρείτε s αι να αποδείξετε ότι 4 s s k 4 δ) Να αποδείξετε ότι το σύνολο 3, 9,, 7, δεν είναι ομοιογενές αι να βρείτε πόσες παρατηρήσεις με τιμή 0 χρειάζεται να προσθέσουμε σε αυτό, ώστε να γίνει ομοιογενές με συντελεστή μεταβολής 0%. 5 89 Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f x x ln αι τα σημεία M x,f(x ), M x,f(x ),, Mν x ν,f(x ν ) της γραφιής της παράστασης, µε 0 x x... xν. Αν η μέση τιμή των τετμημένων των M,M,...,M ν είναι 40. A) Βρείτε τη μέση τιμή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων της γραφιής παράστασης της f στα σημεία M,M,...,M ν Β) Αν σημείων M,M,...,M ν. x 40 x 40... x 40 500ν, να βρείτε την τυπιή απόλιση των τετμημένων των ν ν Γ) Αν x x 80 να βρείτε το εύρος του δείγματος των τεταγμένων των σημείων M,M,...,M ν 9
4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 90 Ρίχνουμε δύο ζάρια αι σημειώνουμε τις ενδείξεις τους σε ένα διατεταγμένο ζεύγος. Αν Ω ο δειγματιός χώρος αυτού του πειράματος τύχης, θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Χ x, y Ω/το σημείο x,y ανήει στην ευθεία y x- Y x, y Ω/το σημείο x,y ανήει στην γραφιή παράσταση της y x Να βρείτε τις πιθανότητες: PX, PY, PX Y 9 Αν Ω,,3,4,5 είναι ο δ.χ. ενός πειράματος τύχης με P P αι P Α) Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω για, τότε 3 Β) Αν Ε λ Ω/λ θέση τοπιού αροτάτου της f x x -6x 9x, να βρεθεί η PE. 9 Έστω Ω ω,ω,ω,ω ο δειγματιός χώρος ενός πειράματος τύχης αι τα ενδεχόμενά του Α=ω,ω,ω 3 4 αι Β=ω,ω 3. Αν ισχύουν : ΡΑ, ΡΒ αι P(ω 4 ), να βρεθεί ο R * αι οι πιθανότητες 3 3 P(ω ),P(ω 4 ). ΑΠ: P(ω ) 0, 5, P(ω 4 ) 0 93 `Εστω ο δειγματιός χώρος Ω 0,,,3,...,0 αι οι πιθανότητες Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Ρ0 αι ΡΑ, όπου A 0,,4,...,0 P,,,.., 0 3 94 Έστω ο δειγματιός χώρος Ω αι δύο ενδεχόμενά του A, B, με PA PB. Θεωρούμε τις παρατηρήσεις PA, PB, PA B, PA B. Α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή αι τη διάμεσό τους. Β) Να αποδείξετε ότι η διαύμανσή τους είναι s PA B PA B 8 Γ) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο A είναι ίση με s 95 Σε άποια σχολιή τάξη πήραμε ένα δείγμα μαθητών αι το εξετάσαμε ως προς το βάρος τους. Διαπιστώσαμε ότι το βάρος τους υμαίνεται από 45 kg έως 75 kg αι η ατανομή των βαρών τους είναι περίπου ανονιή. Α. Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο αι το εύρος του δείγματος. Β. Να βρείτε τη διασπορά των βαρών τους. Γ. Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές.. Αν το άθροισμα όλων των βαρών είναι 800kg να βρείτε το μέγεθος του δείγματος. Ε. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα το βάρος του να είναι μεταξύ 50kg αι 60kg ; 96 Έστω Ω 0,,,3,4,5 ένας δειγματιός χώρος που αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα. Ελέγουμε ένα 3 απλό ενδεχόμενο λ Ω. Αν fx x λx λ x λ, να βρείτε τη πιθανότητα η γραφιή παράσταση της να έχει στο σημείο της με τετμημένη, εφαπτόμενη παράλληλη στον άξονα x x. (απ: 6 ) 97 Θεωρούμε ένα δειγματιό χώρο Ω αι τις πιθανότητες P, P. Ορίζουμε μια συνάρτηση P τέτοια ώστε: α β PA P A P A για άθε A Ω με α 0 αι β 0. Να αποδείξετε ότι: α β α β Α) 0 PA για άθε A Ω Β) PΩ Γ) PA B PA PB όταν A B. M. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυείου Μαθηματιά Γενιής Παιδείας 98 Σε μια βιοτεχνία έχουμε 00 ρούχα άσπρα αι μαύρα από τα οποία μεριά είναι παντελόνια αι τα άλλα είναι σαάια αι δεν υπάρχει άλλο είδος ρούχου. Αν υπάρχουν 50 άσπρα σαάια, η πιθανότητα να επιλέξουμε στην τύχη σαάι είναι 40% αι η γωνία του υλιού διαγράμματος που αντιστοιχεί στα μαύρα ρούχα είναι ο 90, τότε: Α) Να άνετε τον πίναα ατανομής συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ:"είδος ρούχου ως προς το χρώμα αι την ατηγορία» αι να παραστήσετε την πιο πάνω ατανομή στο επίπεδο με όποιο τρόπο θέλετε. Β) Να βρείτε τις πιθανότητες να αγοράσει: α) σαάι ή μαύρο ρούχο. β) σαάι αι άσπρο ρούχο. γ) ή μόνο παντελόνι ή μόνο άσπρο ρούχο. x 99 Α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση fx e x, x R ως προς τη μονοτονία. Β) Έστω τα ενδεχόμενα A αι B ενός δειγματιού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι: α) f P(A B) e PA PB β) Αν A B τότε PB e PA e γ) Αν PA τότε f P(A B) e 300 Έστω Ω 0,,,3,4,5,6,7,8,9 ένας δειγματιός xώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. 3 Ελέγουμε ένα απλό ενδεχόμενο λ Ω. Αν fx x λx 6x λ, να βρείτε την πιθανότητα η f να μην έχει τοπιά αρότατα. (απ: 3 0 ) 30 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) 3 α β αν x όπου α,β είναι τα αποτελέσματα δύο αx 3βx x αν x διαδοχιών ρίψεων ενός αμερόληπτου ζαριού, αντίστοιχα. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου, η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο με τετμημένη xo ΑΠ: 30 Δίνεται η συνάρτηση fx lnx, x R Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία αι τα αρότατα. Β) Έστω Ω ο δειγματιός χώρος ενός πειράματος τύχης, με μη μηδενιές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του αι A, B δύο ενδεχόμενά του για τα οποία ισχύει η σχέση fp(a) PB. Να αποδείξετε ότι το B είναι βέβαιο ενδεχόμενο αι το A αδύνατο ενδεχόμενο. 303 Δίνεται η συνάρτηση f x ln x x, x 0 αι τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματιού χώρου Ω. Α. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία. P(A) Β. Αν A αι A B να αποδείξετε ότι: ln P(A) P(B) P(B) Γ. Αν η εφαπτομένη στη αμπύλη της f στο xo ημιαξόνων τότε: i) να βρείτε την πιθανότητα PA. ii) να αποδείξετε ότι fp(a B) P(A) είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας των θετιών ln(4e) για A B. ΑΠ: Γ) i) PA 0,5, ii) A B A 304 Έστω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματιού χώρου Ω αι η συνάρτηση f x 4x P A Β ln x P A Β, με x 0 Α) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της f Β) Αν η εφαπτομένη της γραφιής παράστασης της f στο σημείο xo είναι παράλληλη στον άξονα x x να βρείτε την πιθανότητα PB A ΑΠ Β) 0,75 3
4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 x xp(a ) P(A) αν x 305 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματιού χώρου αι η συνάρτηση f(x) x η 3 P(B) αν x οποία είναι συνεχής στο xo. Α) Να αποδείξετε ότι P(A) P(B) Β) Να βρείτε τη μέση τιμή αι τη διάμεσο των αριθμών: P(A), P(B), P(A B), P(A B) 306 Έστω Α ένα ενδεχόμενο του δ.χ. Ω αι PA, PA, P, PΩ οι παρατηρήσεις ενός δείγματος. Α. Να βρείτε την μέση τιμή αι τη διάμεσο των παρατηρήσεων. 8 8 Β. Να αποδείξετε ότι: s P(A) 4 Γ. Αν PA να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 8 PB 307 Έστω τα ενδεχόμενα A αι B ενός δειγματιού χώρου Ω με A,B αι η συνάρτηση fx xpa x Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρείτε την παράγωγο f x Γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, Δ) Αν ο ρυθμός μεταβολής της f ως προς x για x είναι, να αποδείξετε ότι PA PB 308 Θεωρούμε τα ασυμβίβαστα ανά δύο ενδεχόμενα Α,Β αι Γ, διάφορα του ενού, του ίδιου δειγματιού χώρου Ω, ώστε P(Α) Ρ(Β) Ρ(Γ). Οι πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων Α,Β αι Γ, ιανοποιούν τις σχέσεις P(A) P(B) P(B) P(A) αι P A B P(Γ) 0,. Α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A, B αι Γ. Β) Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο x 0P(B)x 3 lim. x x 5P(A) αx βx 309 Δίνεται η συνάρτηση f(x) x με xr. Α) Αν η εφαπτομένη της C f στο σημείο της A3,f(3) είναι η ευθεία ε: y 7x, να βρείτε τα α,β Ν *. α β 3α-β 8α-β Β) Έστω Ω ={ α,,, }, δειγματιός χώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, 3 όπου τα α,β έχουν τις τιμές που προύπτουν από το ερώτημα α). Θεωρούμε την συνάρτηση 4 3 g(x) x (λ )x x 00 με xr, λ Ω, αι το ενδεχόμενο 3 E λ Ω/ η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Nα βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου E. 30 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε fx P(A) f x P(B) x P A B PA B με A,B μη ενά ενδεχόμενα ενός δειγματιού χώρου Ω. Αν η εφαπτομένη της γραφιής παράστασης της f στο σημείο παράλληλη στην ευθεία y x τότε: Α) Να αποδείξετε ότι P A B 0 Β) Αν το σημείο K 0, 4 ανήει στη γραφιή παράσταση της f, να αποδείξετε ότι P A f x P(A) f x P(B) 8 Γ) Αν lim x x P(A) 3 5 6, να αποδείξετε ότι PA B αι PB 3 είναι M. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυείου Μαθηματιά Γενιής Παιδείας 3 x x 3 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματιού χώρου Ω αι η συνάρτηση f(x) P(A) P(B) xp(a B). 3 Αν η εφαπτομένη στη αμπύλη της f στο xo είναι παράλληλη στον άξονα x x. Α) Να αποδείξετε ότι P A B 0. f (x) Β) Να αποδείξετε ότι: lim P(A) P(B) x x x 3 7 3 5 3.Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f(x) 4x x x 00 αι g(x) 3x x x 009 αι ο δειγματιός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης. A) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των C f,c g στο οινό τους σημείο. B) Αν τα A, B είναι ενδεχόμενα του Ω με P(A) P(B), με πιθανότητες τις θέσεις των τοπιών αροτάτων της f 7 αι P(A B), τότε: α) Να αποδείξετε ότι P A B 0. β) Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται ανένα από τα A,B. γ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται αριβώς ένα από τα A,B. x 33 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματιού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν PA x, PB, x P A x x B, x 0,. Α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A B, B A Β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της PA B όταν x Γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της PA B., A B. 34 Έστω το ενδεχόμενο Α αι Α το αντίθετο του, με PA PA. Δίνεται αόμα η συνάρτηση λ 3 3 f(x) x x x, με λ 0 3 6 α) Να αποδείξετε ότι PA αι PA. β) Να βρείτε την f (x) αι την. γ) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει αρότατα για x PA αι x PA να αποδείξετε ότι λ. δ) Για την τιμή του λ που βρήατε στο προηγούμενο ερώτημα να βρείτε το είδος της μονοτονίας της παραγώγου της συνάρτησης f αθώς επίσης αι τα αρότατα της παραγώγου. ε) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες PΑ αι PA. 35 Έστω η συνάρτηση fx x, x R Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε, της C f στο σημείο A,f() Β) Έστω το σημείο B0,0. Να βρείτε το σημείο M της εφαπτομένης ε το οποίο απέχει ελάχιστη απόσταση από το B Γ) Έστω K x,y, K x,y,, Kν x ν,y ν σημεία της εφαπτομένης ε. Αν η μέση τιμή y των τεταγμένων των σημείων είναι, να βρείτε τη μέση τιμή x των τετμημένων τους. Ε) Έστω η ευθεία η παράλληλη στην εφαπτομένη ε η οποία διέρχεται από το σημείο 0, 4, όπου είναι στοιχείο του δειγματιού χώρου Ω 0,,,...,0 ο οποίος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Δ: η ευθεία η να διέρχεται από το σημείο B0,0. 33
4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 36 Δίνεται η συνάρτηση fx x 3 x, 3 Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία αι τα αρότατα. Β) Αν οι τετμημένες των σημείων A x,f(x ) A x,f(x ),, 0 0 0 A x,f(x ) έχουν μέση τιμή x αι τυπιή απόλιση s 3 να βρείτε τη μέση τιμή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτόμενων στην αμπύλη της f στα σημεία A,A,...,A 0 P A Γ) Αν A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματιού χώρου με να αποδείξετε ότι 8f P(A B) 3 0. 37 Στο σχήμα είναι το πολύγωνο σχετιών συχνοτήτων που αναφέρεται σε ομαδοποίηση των βαθμών σε λάσεις ίσου πλάτους c.. i) Να βρείτε το c ii) Να ατασευάσετε: α) το ιστόγραμμα συχνοτήτων β) το υλιό διάγραμμα σχετιών συχνοτήτων f i % γ) Να βρείτε τη διάμεσο δ) Αν δοθεί έπαινος στο,5% των μαθητών με την αλύτερη βαθμολογία, τι βαθμό πρέπει να έχει ένας μαθητής για να πάρει έπαινο; ε) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να έχει βαθμό από 0 έως 7; αριθμός μαθητών 0, 4-0, - 6 0 4 8 β α θ μ ο ί ν 38 Α) Να αποδείξετε ότι s ti x. i Β) Οι μαθητές της Γ τάξης ξόδεψαν ετησίως ατά μέσο όρο 00 euro αγοράζοντας διάφορα είδη από το υλιείο. Δίνεται ότι το δείγμα των ποσών που ξόδεψε άθε μαθητής είναι ομοιογενές. α) να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της τυπιής απόλισης β) Για s 0 i) αν t, t,...,t ν είναι τα ποσά του ξόδεψαν οι ν μαθητές του σχολείου αι ισχύει ότι t, t,...,tν 404000 να βρείτε πόσους μαθητές έχει η τάξη. ii) Έστω ότι τα ποσά που ξόδεψαν οι μαθητές της Γ τάξης αολουθούν περίπου την ανονιή ατανομή. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανοτητα αυτός να ξόδεψε τουλάχιστον 0 euro 39 Τις ελάχιστες θερμορασίες για 00 συνεχείς ημέρες τις ομαδοποιήσαμε σε πέντε λάσεις πλάτους c όπως φαίνεται στο διπλανό πίναα. Έστω ότι η διάμεσος είναι 3 αι η μέση τιμή. Α) να βρείτε το πλάτος c των λάσεων Β) Να συμπληρώσετε τον πίναα Γ) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές Δ) Επιλέγουμε τυχαία μια ημέρα. Να βρείτε την πιθανότητα να είχε ελάχιστη θερμορασία μιρότερη από o 5 C Συνολο, x i - ν i 6 30 f i% F i% 40 30 Έστω X μια ποσοτιή μεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν αι x,x,...,x ν οι παρατηρήσεις με μέση τιμή x αι τυπιή απόλιση s. Θεωρούμε τη συνάρτηση gx 4x x 3 x 0 s, x R. Αν η gx παρουσιάζει για x ελάχιστο με ελάχιστη τιμή g τότε: α. Να βρείτε τη μέση τιμή x αι την τυπιή απόλιση s. β. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. γ. Επιλέγουμε στην τύχη μια παρατήρηση από τις ν παρατηρήσεις. Ποια η πιθανότητα να βρίσεται μεταξύ,7 αι,3 αν η ατανομή θεωρηθεί ανονιή; δ. Αυξάνουμε άθε παρατήρηση ατά την ίδια ποσότητα λ 0. Να βρείτε την μιρότερη τιμή του λ ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές. M. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr