ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη Σχολικού Βιβλίου σελ. - Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ. 6-7 Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ Α. α Λάθος, β Σωστό, γ Σωστό, δ Λάθος, ε Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. z z + z = z + z = z + z = Θέτω z = λ λ + λ = Δ= 9 ± λ = = Άρα z = }, αορ.,, δεκτή Συνεώς ο γεωμετρικός τόος των εικόνων των μιγαδικών Κ (, και ακτίνα R =. z είναι κύκλος με κέντρο
ος τρόος y Μ ( z. Α(, Κ,. y Ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του z κινείται στον κύκλο με Κ (,, και ρ = άρα το z ( OA Άρα z. ος τρόος = =. ma αφού z = z z z < z z Β. Οι z, z είναι ρίζες της εξίσωσης z = + yi y, z = yi Ιm z Ι m z = + yi + yi = yi = y = y =±. Αό τους τύους Vieta S = z+ z =β =β w + βw+ γ =
+ y = γ. Ρ= z z = + yi yi = γ z = αφού κινούνται στον γεωμετρικό τόο του ( Β + y = y + = αφού g =± άρα ( = = άρα =β β = και γ = + y = + = εναλλακτική λύση Αφού z, z ρίζες της w Έχω z = + yi και z = yi Αφού γεωμετρικό τόος και αφού m( z m( z + βw+ γ =, Ι Ι = δηλ. z ο κύκλος + y =, έχω y αφού y =, αναγκαστικά z = + i και z = i ( + i + β( + i + γ = Για w= z = + i, έχω + i+ β + βi+ γ = + β + γ + + β i = + β + γ = + β = γ = β = Β. v =α v α v α άρα v =α v α vα α v + α v + α = α v + α v + α v + v + άρα v v + v + έστω v = ω τότε ω ω + ω+ ( ος τρόος ω ω ω + - + ( ω ω: αν ω τότε ω ω > +
άρα ( ω ω, ω έτσι: ωω ω ω ω ω ω ω, ω ω ω, ω Δ= + = 8, ± 8 ± 9,... = 8 = 8 + - + 9,... + 9,... 8 8 Άρα ω < ος τρόος Αό ( ω ω ω Θεωρώ f = f = 6 ( = ± Δ= 8,, = = { + + + + Έστω Για τότε f > άρα f γνησίως αύξουσα η f f = άρα f ( > < f άρα ώστε η ος τρόος
Έχω την ( ω ω ω ω ω ω < δηλ. ω ω ω < κάνω σχήμα Horner για το - - - Οότε ( ω ( ω + ω+ < Αλλά Δ= < οότε ω + ω+ > ω < ω < άρα v < ΘΕΜΑ Γ ( f ( f f = g + + = = + h = f + Γ. Έστω h = f + Άρα h( h = h h = ( h ( = ( h = + c Για = h = f + = Άρα h = + c c= h = + + άρα h ή h Εομένως διατηρεί ρόσημο και h = > Άρα h > για κάθε εομένως h = + f + = + f = +
Γ. + f = = =... Είναι και + + + + > για κάθε + > = + = > < + < άρα f για κάθε και f 6/ στο εομένως f γνησίως αύξουσα άρα f -. ( f f g = = f g =. Θέλουμε το λήθος ριζών της g( = g = +.. g = = ή = g > < ή > ( α >. + g γν. αύξουσα Α = (, ] g + + g γν. φθίνουσα Α = [, ] g γν. αύξουσα γν. φθίνουσα γν. αύξουσα g γν. αύξουσα Α [ =, + ( g A lim g,g = g(, lim g lim = = + = lim = g A =, και g g δεν έχει ρίζα στο Άρα ( A άρα η = (, ] g( Α = g(,g( g = g =, και g( Α g δεν έχει ρίζα στο, Άρα ( Α Άρα η = [ ] g ( Α = g(, lim g( + lim g = lim + = lim = + + + +
[ Άρα η g = έχει ακριβώς μια ρίζα στο A = [, + Εομένως η g = έχει ακριβώς μια ρίζα στο. g Α =, + g Α και g γνησίως αύξουσα Α Γ. f( t dtf εϕ = Είναι f( t dtf εϕ = Έστω η H = f( t dtf εϕ με, f συνεχής και συνεχής αραγωγίσιμη άρα ( f t dt αραγωγίσιμη άρα και f συνεχής, φ = συνεχής άρα f συνεχής και εϕ συνεχή ς. Εομένως H συνεχής ως ράξεις συνεχών. H = f( tdt f εϕ = ( f t dt = t + t dt Είναι t + > t = t t t + t > άρα ( t t dt H + > > = ( εϕ = < H f t dt f Η Η < αό Θ.Β. υάρχει, ώστε ως σύνθεση συνεχών H > =.
ος τρόος Θεωρώ g = f t dt ημ Rolle για την g στο, g συνεχής στο, g αραγωγίσιμη στο, g = f( tdt = Αιτιολόγηση στον α τρόο g = f( t dt ημ = Αό το θεώρημα Rolle υάρχει ένα τουλάχιστον f ημ +συν f ( t dt = f ημ συν f ( t dt= f ημ =συν f( t dt f εϕ = f( t dt, g = τέτοιο ώστε
ΘΕΜΑ Δ Δ. ( + ( f h f h lim = h h f( + h f( f( h + f( lim = h h f( + h f f( h f lim + = h h h Υολογίζουμε χωριστά: ( + ( + f h f f u f lim = lim u = h h h u u f( + u f = lim = f ( u u ( f h f f + u f lim = lim = f h h u u ( u =h ( + ( Αό ( έχουμε: f n f f n f lim = n n n f( + n f f( n f lim + lim = n n n n f + f = 6f = f = ( ( ( ( f γνησίως αύξουσα > άρα ( > f > f = < < f < f = f + f γν.φθινουσα γν. αθξουσα η f έχει ελάχιστο το f( = (δηλαδή f
Δ. f t g = dt > α t f( t η n( t = συνεχής > t ως ηλίκο συνεχών έτσι ορίζεται η ου είναι αρ/μη g > f με g = > (αφού f > > ή > Έτσι η g συνεχής και αρ/μη με g > άρα g γνησίως αύξουσα >. Θεωρούμε τη > + 6 Φ = g u du (ρέει: + + 6> + > > η Φ άρα γράφεται: c + 6 Φ = g u du + g u du c > + c + 6 + c c Φ = g u du g u du η g u συνεχής u>, άρα ορίζεται η R = g( u du ου είναι αρ/μη c έ τσι αρ / μες είναι και οι R( + 6,R( + ως έκθεση αρ/μων συναρτήσεων. Φ = g + 6 g + > g γν.αύξουσα όμως ( άρα Φ > έτσι η Φ γν. αύξουσα η ανίσωση: γράφεται: + 6> + g + 6 > g + > 8 + 6 + 6 g u du 8 + + g u du Φ 8 >Φ Φ γν.αύξουσα > > < 8 < < + > > και
Δ. f g ( = > η g αρ/μη ως ηλίκο αρ/μων ( [ ] ( f ( f f f + g = = ΘΜΤ στο, για την f f f υάρχει ξ (, : f ( ξ = f f ( ξ Έτσι η g = > Όμως ξ< f ( ξ < f f f ( ξ > f γν.αύξουσα άρα g κυρτή > η εξίσωση f( t ( α dt = ( f( α ( α > α t γράφεται: ( α g = ( f( α ( α f( α g = ( α α g = g α α g g η κυρτή έτσι η είναι άνω αό οοιαδήοτε εφ/νη της. Η εφ/νη της g στο ( α,g( α είναι yg( α = g ( α( α y= g ( α( α αφού Έτσι g g ( α( α Η ισότητα ισχύει μόνο για =α g = g α α έχει μία μόνο ρίζα = α. g α = δηλαδή για το σημείο εαφής. Έτσι η εξίσωση Ειμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη