Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης"

Μόνιμος Ζαχαρίου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ιουνίου 05 Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Επαναληπτικών Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Εσπερινών Γενικών Λυκείων A. Σχολ. βιβλίο σελ. A. Σχολ. βιβλίο σελ.5 A. Σχολ. βιβλίο σελ.79 A. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05 B. Έστω z = + yi τό τε : z i 8 = z + yi i 8 = + yi + y 8 = + y + + = + + = = y 6y y 6 6y 8 0 y 0 άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η ευθεία με εξίσωση y = 0. B. Έστω w = α + βi τό τε : w i = Im w + α+ βi i = β+ α+ β i = β+ α β β, β 0 + = ( ) = ( + ) β = α β β β β που ισχύει άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι η παραβολή με α β β α + β β + = β + β + α = β εξίσωση y =.

2 B. M( z) ε : y = 0 ( ευθεία) Ν( w) C π : = y ( παραβολή) Τότε z w = ( MN ). Εύρεση του z w min α τρόπος Μετακινούμε την ευθεία ε παράλληλα προς τον εαυτό της πλησιάζοντας την παραβολή. Όταν η παράλληλη προς την ε ακουμπήσει την παραβολή θα είναι παράλληλη εφαπτομένη της παραβολής προς την ε και επομένως το σημείο επαφής Α θα είναι το σημείο της παραβολής που θα απέχει από την ε ελάχιστη απόσταση. z w = d( εφ,ε) = d ( Α,ε) min Έστω Α( A, y A) το σημείο επαφής της εφαπτομένης της παραβολής C n : = y C π : = y που είναι παράλληλη προς την ευθεία ε : y = 0. Τότε: α) Α Cπ A = y A ( ) A β) Η εφαπτομένη της Cπ στο Α έχει εξίσωση εφ: A = ( y + y A) και λ εφ = A γ) Αφού εφ//ε λεφ = λε = A = ( ) Τότε η ( ) δίνει ya = και άρα Α(, ). A ya Α(, ) και ε : y = 0 τότε z w = d ( Α,ε) = = = = min + β τρόπος Έστω Μ ( M, y M) τυχαίο σημείο της παραβολής τότε M ym M ym d( M,ε) = = + ( ) Όμως Μ Cπ M = ym ym = M M M M M M M + d( M,ε) = = = Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05

3 + Αφού z w d Μ,ε αρκεί να ελαχιστοποιηθεί M M M = = min min min το +. M Το M M + είναι τριώνυμο με α = >0 άρα ελαχιστοποιείται όταν M = = άρα + = + = 8 + = 8 M M min 8 d ( Μ,ε) min = = = οπότε z w min =. και τότε Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05 ΘΕΜΑ Γ Γ. f ( ) = +, > 0

4 * Η f παραγωγίζεται στο άρα και στο 0, με ( ) ( )( + ) R + f = + = + = = = > 0 > 0 f f - + f( ) ( ] ( ] [ ) [ + ) Η f είναι συνεχής στο 0,, f < 0 στο 0, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, Η f είναι συνεχής στο, +, f > 0 στο, + άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f ( ) = + = ( ) lim f ( ) = lim = + ( ) διότι lim = + και lim = lim f ( ) = lim + = + ( ) διότι lim = + και lim = f γν.φθίνουσα ( ) (( ]) = ) = [ ) f γν.αύξουσα ( ) ([ + )) = ) = + ( )[ + ) (( ]) [ ) f 0, f, lim f, f, f, lim f, [ ) άρα το σύνολο τιμών της f είναι το f 0, f, + =, +. Γ. Αφού το σύνολο τιμών της f είναι το [, + ) ισχύει f ( ) για κάθε > 0 g( ) = f( ) Dg = { D f / f ( ) 0} = { ( 0, + ) / f ( ) 0} = ( 0, + ) Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05

5 ος τρόπος: Μπορώ να λύσω το σύστημα: > 0 > 0 > 0 > Γ. Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05 ( ] = ( ] [ + ) ρα δική λύση της f ( ) = στο[, + ) Επειδή ισχύει f =,το 0, στο οποίο η f ως γνησίως φθίνουσα είναι, το είναι η μοναδική λύση της f στο 0, Ακόμα, στο οποίο η f ως γνησίως αύξουσα είναι, ά το είναι επίσης η μονα άρα αρκεί να λύσω την εξίσωση: 5 5 f ( ) = για ( 0,] ( 0,] ( 0,] ( ] f = + = 0 = < Θέτω ω και επειδή 0, ισχύει 0 ω 5 5 οπότε η + = 0 γίνεται ω + = 0 ω + 5ω = 0 ω 5ω + = 0 ω 5+ Το τριώνυμο έχει Δ = 5 6 = 9 και ρίζες τις: ω = = απορρίπτεται λόγω 5 και ω = = δεκτή = Τότε η = ω δίνει: = = ( 0,) Αν, +,με όμοι α αντιμετώπιση, 5 5 = ω 5 f f( ) = f( ) = f( ) = + = 0 ω+ = 0 ω Όμως, ω () + > > > > άρα ω = = = δεκτή, ω = απορρίπτεται λόγω () 5 Τελικά η εξίσωση f f ( ) =, > 0 f ( ) = έχει ρίζες 5 5 τις = και = οπότε ισχύει f = και f = 5

6 Γ. ( + ) f ( ξ ) και εξίσωση y f ( ξ) = f ( ξ)( ξ ) ( ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, άρα στο σημείο Α ξ,f ξ δέχεται εφαπτομένη με κλίση 5 Αφού θέλω να διέρχεται από το Μ 0, πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου Μ να επαληθεύουν την εξίσωση της άρα: f ( ξ) = f ( ξ)( 0 ξ) f( ξ) = ξf ( ξ) f( ξ) + ξf ( ξ) = 0 δηλαδή αρκεί να δείξω ότι υπάρχει ξ, ώστε να ισχύει η παραπάνω σχέση. 5 Θεωρώ συνάρτηση g ( ) = f ( ) f ( ) + στο, = R * από Γ: f συνεχής στο άρα και στο, = + f συνεχής στο R άρα και στο, * άρα η g είναι συνεχής στο, ως πράξη συνεχών 5 5 g = f ( ) f + = 0 + = > 0 5 Γ 5 5 g f = 0 + = + = = < οπότε g( ) g < 0 άρα ισχύει θ.bolzano οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, 5 τέτοιο ώστε g( ξ) = 0 ξ f ( ξ) f ( ξ) + = 0 Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05 6

7 ΘΕΜΑ Δ Δ. f ( ) = + + α, R είναι παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγισίμων με: f ( ) = ( + + α ) = + + α = ( α ) ( ) Αφού η f στο = παρουσιάζει ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο το οποίο 0 ( ) είναι εσωτερικό σημείο του R ισχύει θ.fermat άρα f = α = 0 α = Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05 Δ. Για α = f ( ) = + και f ( ) = ( + ) f ( ) = 0 ( + ) = 0 = 0, =, = Φτιάχνω πίνακα προσήμων για να βρω το πρόσημο του γινομένου ( + ) ( ) [ ] [ ) f 0, 0, + Πίνακας μεταβολών f f( ) TE TM TE ( ] < ( ) ( ] [ ] > ( ) [ ] [ ] < [ ] [ + ) > στο (, + ) [ + ) Η f είναι συνεχής στο, με f 0 στο, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, Η f είναι συνεχής στο,0 με f 0 στο,0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,0 Η f είναι συνεχής στο 0, με f 0 στο 0, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, Η f είναι συνεχής στο, με f 0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, 7

8 Επομένως: στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f = + = = στο 0 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f 0 = 0 στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f = + = 5 Επειδή f < f το f είναι και ολικό ελάχιστο της f οπότε ισχύει f για κάθε R. Αφού πρέπει να ισχύει f β για κάθε R πρέπει β. Δ. f + g = = ( ) g + Θα βρω το lim = lim + = lim = lim = = λ ( + ) + lim ( g ( ) ) = lim = lim = lim = lim = = β άρα η ευθεία με εξίσωση y = + είναι η ασύμπτωτη της C στο + f Δ. + f lim ημ v u = + + u 0 u 0 lim ημ = lim ημu = 0 f + lim = lim = lim Διακρίνω περιπτώσεις: + v + v + v Αν v > τότε lim = lim = 0 v v ( ) Τότε ( ) = 0 0 = ( ) Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05 8

9 ( f ) Αν v = τότε lim lim = ( ) Τότε ( ) = 0 = ( ) Αν v < v =,,,0 τότε: + f( ) + ημ = ημ = ημ = v v v ημ v + ( 5) ημ u = ημu lim + = 6 lim = lim = ( 7) u + u u 0 +, v= 0 v +, v = lim = ( 8) +, v = 0, v = +, v= 0 ( 5 ) ημ ( 6) v +, v = Οπότε lim f = lim = ( 7,8 ), v = = 0, v Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης /6/05 0, v > lim f =, v = +,v = 0 ή v = Τελικά + 9

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Ιουνίου 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Απαντήσεις Επαναληπτικών Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 63. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9. Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα