4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται από µια σειρά από τµήµατα ανάλογα µε τη ζητούµενη ακρίβεια. Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τα ρητά πολυωνυµικά τµήµατα. Μια απλή καµπύλη eze εκφράζεται ως ρητό τµήµα αντικαθιστώντας τις συντεταγµένες της καµπύλης Χ Υ και Ζ µε τις οµογενείς συντεταγµένες Χ/ Y/ και Z/ αντίστοιχα. Στην πιο απλή περίπτωση και οι οµογενείς συντεταγµένες είναι ίδιες µε τις καρτεσιανές. 'Όταν ο συντελεστής είναι ίδιος για όλες τις συντεταγµένες Χ Υ και Ζ παίρνουµε την ίδια καµπύλη µε τις καρτεσιανές συντεταγµένες ενώ εάν ο συντελεστής αυτός είναι διαφορετικός για κάθε συντεταγµένη τότε παίρνουµε διαφορετική καµπύλη. Συνεπώς µπορούµε να µεταβάλουµε τη µορφή της καµπύλης µε ένα πρόσθετο τρόπο µεταβάλλοντας την τέταρτη συντεταγµένη του το βάρος του σηµείου ελέγχου. Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να απεικονίσουµε µε ακρίβεια κυκλικά τµήµατα και κωνικές τοµές εν γένει. 4.5.6. Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ Ενα σηµείο Ρxyz στον τρισδιάστατο χώρο γράφεται ως P x y z # στον τετραδιάστατο χώρο. To σηµείο Ρ παράγεται από το P διαιρώντας τις συντεταγµένες του µε την τέταρτη διάσταση. Γίνεται δηλ. µια αντιστοίχηση του P στο hyelae σχ.4.54. Η αντιστοίχηση αυτή είναι µια προοπτική αντιστοίχηση µε κέντρο στην αρχή των αξόνων. Σχ.4.54. Μια αναπαράσταση του σηµείου στο χώρο σε οµογενή µορφή. 4.5.6. ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Για την περίπτωση του κυκλικού τµήµατος σχ.4.55 η οµογενής καµπύλη eze δευτέρου βαθµού που παριστάνει το κυκλικό τµήµα δίνεται από την εξίσωση :
Μοντέλα Ακµών -- Y X που σηµαίνει ότι : Χ - Υ - Σχ.4.55. Προσέγγιση κυκλικού τµήµατος µε τµήµα eze. Οι παραπάνω σχέσεις δεν µας δίνουν ποτέ ένα κύκλο µε ακρίβεια ακόµα και εάν προσεγγίσουµε τον κύκλο µε µεγαλύτερου βαθµού πολυωνυµική καµπύλη. Αντίθετα µε τη χρήση των ρητών συναρτήσεων που ορίζονται από τον λόγο δύο πολυωνύµων όλες οι κωνικές τοµές µπορούν να απεικονισθούν µε ακρίβεια. Με τις ρητές συναρτήσεις η εξίσωση της καµπύλης είναι της µορφής x X / και y Y / Παραδέιγµατα: Κύκλος ακτίνας µε κέντρο την αρχή των αξόνων x - / y / Έλλειψη µε κέντρο την αρχή των αξόνων πρωτεύον άξονας ο y δευτερεύον ο x και ακτίνες και αντίστοιχα. x - / y 4 / Στην προηγούµενη εξίσωση εάν αλλάξουµε το βάρος του µεσαίου σηµείου µε συντεταγµένες [ ] από σε / a παίρνουµε την εξίσωση : / / / Y X που σηµαίνει ότι
Μοντέλα Ακµών -- X Y και µπορούµε να δείξουµε ότι Χ Υ δηλαδή έχουµε την εξίσωση του κυκλικού τµήµατος. Στη γενική του περίπτωση που το κυκλικό τµήµα περιέχεται σε γωνία φ το βάρος του τρίτου σηµείου ελέγχου είναι cosφ. Στην περίπτωση που η γωνία του τόξου είναι 8 σχ.4.56 τότε η εξίσωση του κυκλικού τµήµατος ηµικύκλιο είναι : Y X Η γενική µορφή των πολυώνυµων δευτέρου βαθµού είναι : Σχ.4.56. Σηµεία ελέγχου ηµικύκλιου. Η εξίσωση αυτή περιγράφει ακριβώς ένα κωνικό τµήµα που περιέχεται σε ένα τρίγωνο Ρ Ρ Ρ που ορίζεται από τα τρία διανύσµατα θέσης και. Το τµήµα αρχίζει από το σηµείο Ρ µε κατεύθυνση Ρ Ρ και τελειώνει στο σηµείο Ρ µε κατεύθυνση Ρ Ρ. H πληρότητα της καµπύλης ελέγχεται από το λόγο / k
Μοντέλα Ακµών -4- Για k< k και k> παίρνουµε αντίστοιχα µια υπερβολή µια παραβολή και µια έλλειψη. Παρόµοια µπορούµε να ορίσουµε και ρητά πολυωνυµικά τµήµατα µεγαλύτερου βαθµού. 4.5.6. ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΡΗΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ EZIER Η κυβική µορφή των τµηµάτων είναι : Χρησιµοποιώντας τα τµήµατα αυτά µπορούµε να απεικονίσουµε µε ακρίβεια όλες σχεδόν τις κλασικές κωνικές τοµές και να τις διαχειριστούµε µε οµοιόµορφο τρόπο όπως και τις συνθετικές καµπύλες. Η γενική εξίσωση για µια ρητή καµπύλη eze -βαθµού είναι: P Τα Ρ x y z και Β είναι όπως και στις απλές καµπύλες. Τα είναι τα βάρη και είναι αριθµοί. Συνεπώς είναι ο κοινός παρανοµαστής. Τα > για όλα τα και > για όλα τα []. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται και ως P R όπου j j j R Η συνάρτηση R είναι οι ρητές συναρτήσεις για αυτή την καµπύλη. Στο σχ.4.57α φαίνονται οι κυβικές βασικές συναρτήσεις και στο σχ.4.57β µια κυβική ρητή καµπύλη.
Σχ.4.57. Ρητές καµπύλες α Βασικές συναρτήσεις β Η καµπύλη eze. 4.5.6.4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΡΗΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ EZIER Για µια καµπύλη που ορίζεται από τα σηµεία ελέγχου Ρ και τα βάρη ορίζουµε τα σηµεία ελέγχου P x y z και την πολυωνυµική καµπύλη P στον τετραδιάστατο χώρο. Εφαρµόζουµε την προοπτική απεικόνιση στην και µας δίνει την αντίστοιχη ρητή καµπύλη eze σχ.4.58. Σχ.4.58. Γεωµετρική κατασκευή µιας ρητής καµπύλης eze. 4.5.6.5 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΩΝ EZIER Οι ιδιότητες των ρητών βασικών συναρτήσεων είναι:. Θετικές τιµές R για όλα τα ζεύγη και.. Άθροισµα ίσο µε τη µονάδα R για.. R R 4. Η συνάρτηση R έχει ένα µέγιστο στο διάστηµα []. Μοντέλα Ακµών -5-
5. Εάν για όλα τα τότε R. Συνεπώς τα απλά πολυώνυµα este είναι µια ειδική περίπτωση των ρητών συναρτήσεων. Οι ιδιότητες των ρητών καµπυλών eze είναι:. Κυρτό πολύγωνο. Η καµπύλη περιέχεται στο κυρτό πολύγωνο που ορίζουν τα σηµεία ελέγχου της καµπύλης.. εν µεταβάλλεται από τους γεωµετρικούς µετασχηµατισµούς. Οι µετασχηµατισµοί πραγµατοποιούνται µε εφαρµογή στα σηµεία ελέγχου.. Αριθµός τοµών επιπέδου ή ευθείας για την περίπτωση της δυσδιάστατης καµπύλης µε την καµπύλη είναι µικρότερος ή ίσος από τον αριθµό τοµών του επίπεδου µε το πολύγωνο ελέγχου. 4. Η καµπύλη περνάει από τα ακραία σηµεία P και P. 5. Η παράγωγος k-βαθµού στα σηµεία και εξαρτάται από τα πρώτα ή τα τελευταία αντίστοιχα k σηµεία. Ειδικά και είναι παράλληλοι προς τα τµήµατα P -P και P -P -. 6. Οι πολυωνυµικές καµπύλες eze είναι µια ειδική περίπτωση των ρητών καµπυλών eze. 4.5.6.6 ΡΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ -SPLINE Αντίστοιχα µε τις ρητές eze ορίζονται και οι ρητές -Sle και µας δίνουν τις Ratoal -Sles που µπορεί να είναι οµοιόµορφες ή ανοµοιόµορφες NURS. Η γενική εξίσωση µιας καµπύλης NURS βαθµού είναι: N N P a b όπου P είναι τα σηµεία ελέγχου τα βάρη των σηµείων ελέγχου και N οι βασικές συναρτήσεις βαθµού που ορίζονται στο ανοµοιόµορφο και µη περιοδικό διάστηµα κόµβων U {a a m-- b b} πολλαπλότητα a και b. Θέτοντας R N j N j j Η εξίσωση γίνεται R P 4.5.6.7 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΩΝ -SPLINE Οι R είναι οι ρητές βασικές συναρτήσεις και έχουν τις παρακάτω ιδιότητες. Μοντέλα Ακµών -6-
. Θετικές τιµές R για όλα τα ζεύγη και.. Άθροισµα ίσο µε τη µονάδα R για.. R R 4. Η συνάρτηση R έχει ένα µέγιστο στο διάστηµα []. 5. Τοπικότητα R για [. Επιπλέον για κάθε διάστηµα κόµβων τουλάχιστον από τις συναρτήσεις R είναι µη µηδενικοί και είναι οι R - R για το διάστηµα [. 6. Ολες οι παράγωγοι της R υπάρχουν στο εσωτερικό ενός διαστήµατος όπου η βασική συνάρτηση είναι µη-µηδενική. Στον κόµβο η R είναι -k φορές παραγωγίσιµη όπου k είναι η πολλαπλότητα του κόµβου. 7. Εάν για όλα τα τότε R N. Συνεπώς οι απλές βασικές συναρτήσεις είναι µια ειδική περίπτωση των ρητών συναρτήσεων. Οι ιδιότητες των ρητών καµπυλών -Sles είναι:. Κυρτό πολύγωνο. Η καµπύλη περιέχεται στο κυρτό πολύγωνο που ορίζουν τα σηµεία ελέγχου της καµπύλης. Επιπλέον ισχύει και τοπικότητα στο κυρτό πολύγωνο. Το τµήµα της καµπύλης που ορίζεται µεταξύ των κόµβων [ περιέχεται µέσα στο κυρτό πολύγωνο που ορίζεται από τα σηµεία ελέγχου P - P σχ.4.59. Σχ.4.59. Η ιδιότητα του τοπικού κυρτού πολύγωνου σε ρητές καµπύλες -Sle. α Το κυρτό πολύγωνο για [/4 / και ορίζεται από τα σηµεία ελέγχου Ρ Ρ Ρ Ρ 4. β Οι αντίστοιχες βασικές συναρτήσεις.. εν µεταβάλλεται από τους γεωµετρικούς µετασχηµατισµούς. Οι µετασχηµατισµοί πραγµατοποιούνται µε εφαρµογή στα σηµεία ελέγχου.. Αριθµός τοµών επιπέδου ή ευθείας για την περίπτωση της δυσδιάστατης καµπύλης µε την καµπύλη είναι µικρότερος ή ίσος από τον αριθµό τοµών του επίπεδου µε το πολύγωνο ελέγχου. 4. Η καµπύλη περνάει από τα ακραία σηµεία P και P. Μοντέλα Ακµών -7-
5. Στα εσωτερικά σηµεία της καµπύλης εκτός των τιµών των κόµβων υπάρχει η παράγωγος οποιουδήποτε βαθµού. Στις τιµές των κόµβων υπάρχει η παράγωγος k- βαθµού όπου k η πολλαπλότητα του κόµβου. 6. Μια ρητή καµπύλη χωρίς εσωτερικούς κόµβους είναι µια ρητή eze. Οι πολυωνυµικές καµπύλες -Sle είναι µια ειδική περίπτωση των ρητών καµπυλών -Sle. 7. Τοπικότητα. Εάν µετακινήσουµε ένα σηµείο ελέγχου P ή αλλάξουµε το βάρος του σηµείου ελέγχου τότε η αλλαγή αυτή επηρεάζει µόνο το τµήµα της καµπύλης [ σχ.4.6 για κυβική καµπύλη και 4.56 για δευτεροβάθµια καµπύλη. Σχ.4.6. Μεταβολή ρητής κυβικής καµπύλης -Sle µε το βάρος του σηµείου ελέγχου P. α c η µεταβολή των βασικών συναρτήσεων συναρτήσει του βάρους /. Σχ.4.6. Μεταβολή ρητής δευτεροβάθµιας καµπύλης -Sle µε το βάρος του σηµείου ελέγχου P. α c η µεταβολή των βασικών συναρτήσεων συναρτήσει του βάρους 4 /. Για τιµές του [ όταν το αυξάνει ή µειώνεται τότε το σηµείο κινείται πλησιέστερα ή αποµακρύνεται αντίστοιχα από το σηµείο P. Συνεπώς και όλη η καµπύλη έλκεται ή απωθείται αντίστοιχα από το σηµείο P. Η αντίστοιχη κίνηση του σηµείου είναι κατά µήκος µιας ευθείας γραµµής για σταθερή τιµή του σχ.4.57. Μοντέλα Ακµών -8-
Σχ.4.6. Μεταβολή καµπύλης συναρτήσει του βάρους του σηµείου Ρ. Η γραµµή Ρ ΝΒ δείχνει τη µεταβολή ενός σηµείου και διέρχεται από το σηµείο Ρ. Μοντέλα Ακµών -9-