Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι εξισώσεις κύματος ης τάξης + c = 0 (7..) ης τάξης x = 0, (7..) c xx όπου (, x) = είναι η άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή, ανεξάρτητες μεταβλητές στο χρόνο χώρο αντίστοιχα x είναι οι σταθερά. Εξισώσεις υπερβολικού τύπου, όπως οι (7..) (7..), περιγράφουν μεγάλο αριθμό φυσικών φαινομένων συστημάτων, όπως μη συνεκτική ροή, ακουστική, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, πλαστικότητα άλλα. Οι (7..) (7..) περιγράφουν την διάδοση (μεταφορά) μιας φυσικής οντότητας, όπως για παράδειγμα ένα ακουστικό σήμα, μία διαταραχή κ.τ.λ. που εκφράζεται από την εξαρτημένη μεταβλητή από μία αρχική σε μία μεταγενέστερη θέση στο χρόνο το χώρο. Είναι απαραίτητο λοιπόν εξισώσεις όπως οι (7..) (7..) να συνοδεύονται από συνθήκες που προσδιορίζουν την αρχική κατάσταση του φαινομένου. Συγκεκριμένα, η (7..) πρέπει να συνοδεύεται από μία αρχική συνθήκη που θα ορίζει την εξαρτημένη μεταβλητή σε κάποια χρονική στιγμή, έστω, ενώ η (7..) πρέπει να συνοδεύεται από δύο αρχικές συνθήκες όπου σε κάποια χρονική 0 0 c > 0 στιγμή, έστω, επιπλέον της εξαρτημένης μεταβλητής πρέπει να ορίζεται η παράγωγός της ως προς το χρόνο. Επομένως, οι αρχικές συνθήκες μαζί με την διαφορική εξίσωση καθορίζουν την εξέλιξη της φυσικής οντότητας χωρίς να απαιτείται ο ορισμός συμπληρωματικών μία 8

συνθηκών σε μεταγενέστερη χρονική στιγμή καθώς το. Στις υπερβολικές εξισώσεις το πεδίο ορισμού είναι ανοικτό στη διάσταση του χρόνου, > 0. Ως προς τη διάσταση του χώρου ανάλογα με το φαινόμενο που περιγράφεται τη γεωμετρία του, είναι πιθανόν να προσδιορίζονται ή όχι οριακές συνθήκες. Στη πρώτη περίπτωση αναφερόμαστε σε υπερβολικό πρόβλημα αρχικών οριακών τιμών στη δεύτερη σε υπερβολικό πρόβλημα αρχικών τιμών. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αποκλειστικά προβλήματα αρχικών τιμών. Τα υπερβολικά προβλήματα αρχικών τιμών που βασίζονται στις εξισώσεις κύματος ης ης τάξης (7..) (7..) αντίστοιχα είναι γνωστά σαν προβλήματα Cachy ορίζονται ως εξής: Πρόβλημα Cachy ης τάξης + c = 0, < x <, > 0, (7..3) x ( 0, ) ( ) x = f x, < x <. (7..4) Πρόβλημα Cachy ης τάξης = 0, < x <, > 0, (7..5) c xx ( 0, ) ( ) x = g x, < x <, (7..6α) ( 0, ) ( ) x = h x, < x <. (7..6β) Οι συναρτήσεις f ( x ), g( x ) h( x ) θεωρούνται γνωστές. Η διαδικασία αναλυτικής επίλυσης των δύο προβλημάτων Cachy είναι ευρέως γνωστή απλή. Εφαρμόζοντας την μέθοδο των χαρακτηριστικών η λύση του προβλήματος Cachy ης τάξης είναι (, ) ( x = f x c). (7..7) Η γραφική απεικόνιση της λύσης (7..7) για μία τυχαία συνάρτηση f ( x ) φαίνεται στο Σχήμα 7.. Παρατηρούμε ότι η αρχική κατανομή f ( x ) ταξιδεύει κατά μήκος της χαρακτηριστικής x = c αμετάβλητη στο χρόνο. 9

f ( x ) = 0 f ( x c ) = = x x = c Σχήμα 7.: Αναλυτική λύση εξίσωσης κύματος ης τάξης. Η αναλυτική λύση του ου D Alember δίδεται από την κλειστή έκφραση προβλήματος Cachy είναι γνωστή σαν λύση ( x, ) = g( x+ c) + g( x c) + h( s) ds (7..8) x+ c c x c Στη περίπτωση αυτή έχουμε δύο χαρακτηριστικές κατευθύνσεις που ορίζονται από τις ευθείες x c = ± η αρχική κατανομή g( x ) διαχωρίζεται σε δύο κατανομές που έχουν την ίδια μορφή αλλά με το μισό εύρος σε σχέση με το αρχικό έκαστη από αυτές ταξιδεύει κατά μήκος της αντίστοιχης χαρακτηριστικής ευθείας. Ο λόγος τον οποίο αναφερόμαστε, έστω περιληπτικά, στη αναλυτική επίλυση των δύο για 30

προβλημάτων Cachy είναι επειδή οι κομψές αναλυτικές λύσεις (7..7) (7..8) χρησιμοποιούνται εκτενώς στη τεκμηρίωση αξιολόγηση των αριθμητικών σχημάτων υπερβολικών εξισώσεων. Συγκρίνοντας τα αντίστοιχα αναλυτικά αριθμητικά αποτελέσματα προκύπτουν χρήσιμα συμπεράσματα για τις δυνατότητες τις αδυναμίες των προτεινομένων υπολογιστικών μεθόδων. Σημειώνεται ότι οι δύο εξισώσεις κύματος συνδέονται άμεσα μεταξύ τους μάλιστα η εξίσωση ης τάξης προκύπτει από την εξίσωση ης τάξης μετά από την παρακάτω μαθηματική επεξεργασία: = cx = ( cx) = c ( ) = c ( cx) = c x x xx (7..9) Βεβαίως, η (7..) μπορεί να διατυπωθεί αυτοδύναμα αξιοποιώντας φαινομενολογικούς κανόνες. Στις επόμενες παραγράφους του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε συστηματικά με την διατύπωση ρητών πεπλεγμένων σχημάτων πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση κύματος ης τάξης εξετάζοντας με λεπτομέρεια την ευστάθεια, την συνοχή την ακρίβειά τους, σε σχέση με τα αναλυτικά αποτελέσματα. Επίσης θα ορίσουμε τις πολύ βασικές σημαντικές έννοιες της αριθμητικής απόσβεσης, διασποράς διάχυσης. Τέλος θ α αναφερθούμε συνοπτικά στην αριθμητική επίλυση της (7..). 7. Πρόδρομη στο χρόνο - ανάδρομη στο χώρο Εφαρμόζοντας πρόδρομη ανάδρομη παραγώγιση ης τάξης στο χρόνο στο χώρο αντίστοιχα της (7..) προκύπτει η ρητή εξίσωση πεπερασμένων διαφορών + c 0 Δ + Δx = ή c > 0,. (7..) 3

( = ν ), (7..) + όπου cδ ν = Δ x (7..3) είναι ο αδιάστατος αριθμός CFL. Τα γράμματα C, F L αντιστοιχούν στα αρχικά γράμματα των επιστημόνων Cora, Fredrch Lews που πρώτοι όρισαν τον αριθμό αυτό τον χρησιμοποίησαν στην υπολογιστική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ο αριθμός CFL όπως θα δούμε είναι μείζονος σημασίας στην αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Προφανώς, πρόκειται για ρητό σχήμα ης τάξης, O[ Δ, Δ x]. Είναι το απλούστερο αριθμητικό σχήμα επίλυσης της (7..) στο εξής θα ονομάζεται σχήμα ανάντη παραγώγισης. Σημειώνεται ότι, για ν =, η (7..) ανάγεται στη εξίσωση + =, που ταυτίζεται με την αναλυτική λύση επομένως τα αριθμητικά αποτελέσματα που προκύπτουν θα πρέπει να είναι εξαιρετικής ακρίβειας. Δυστυχώς, όπως θα δούμε στη συνέχεια το σχήμα (7..) με ν = είναι ασταθές. Θα μελετήσουμε την ευστάθεια του αριθμητικού σχήματος εφαρμόζοντας ανάλυση Vo-Nema. Αντικαθιστώντας στην (7..) την υπόθεση =Ψ e α Δ k x = 0,,, I = 0,,, N, (7..4),, όπου α =, προκύπτει η εξίσωση Ψ =Ψ νψ ( e α Δx) + k μετά από τυπική μαθηματική επεξεργασία βρίσκουμε το λόγο + Ψ ξ = = ν + ν β + α ν β Ψ ( cos ) ( s ) Παρατηρούμε ότι ο λόγος επίσης να γραφεί στη μορφή ξ (7..5), β = kδ x. (7..6) + Ψ ξ = είναι μιγαδικός αριθμός μπορεί Ψ = ξ e αϕ, (7..7) 3

όπου + Ψ ξ = = ν + ν β + ν β Ψ ( cos ) ( s ) (7..8) ( ) ( ) Im s arca ξ arca ν β ϕ = = Re ξ ν + νcosβ (7..9) είναι το μέτρο η γωνία φάσης του μιγαδικού αριθμού ξ. Γνωρίζουμε ότι το σχήμα ανάντη παραγώγισης (7..) είναι ευσταθές μόνο εάν ο συντελεστής ενίσχυσης που εκφράζεται από το μέτρο του μιγαδικού αριθμού ξ είναι μικρότερος της μονάδας. Επομένως θα πρέπει + Ψ ξ = = ν + ν β + ν Ψ ( cos ) ( s ) β <. (7..0) Στο Σχήμα 7. φαίνονται οι τιμές του συντελεστή ενίσχυσης για διάφορες τιμές του αριθμού CFL όλο το εύρος της γωνίας β. Είναι προφανές ότι ξ < μόνο όταν ν <..33 v =.3 v = 0.8 v = 0.8.6 0.6 ξ β Σχήμα 7.: Συντελεστής ενίσχυσης σχήματος ανάντη παραγώγισης. 33

Περνούμε τώρα στη μελέτη συνοχής του σχήματος ανάντη παραγώγισης όπως αυτό εκφράζεται από την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (7..). Αντικαθιστούμε στην (7..) τα αναπτύγματα Taylor 3 + Δ Δ 4 = +Δ + + + O Δ! 3! (7..) 3 Δx Δx 4 = Δ xx + xx xxx + O Δx! 3! (7..) οδηγούμεθα στην εξίσωση Δ cδx Δ Δx 4 4 + cx = + xx c xxx + O Δ, Δx 6. (7..3) Παρατηρούμε λοιπόν ότι το ρητό αριθμητικό σχήμα (7..) προσεγγίζει την διαφορική εξίσωση (7..3) όχι την εξίσωση κύματος ης τάξης (7..). Βέβαια το σχήμα έχει συνοχή αφού για Δ 0 x 0 Δ το δεξιό τμήμα της (7..3) μηδενίζεται τότε η διαφορική εξίσωση (7..3) ανάγεται στην (7..). Πρόσθετα χρήσιμα συμπεράσματα για την συνοχή γενικότερα για τη συμπεριφορά ενός αριθμητικού σχήματος, όπως έχουμε σημειώσει νωρίτερα στο 5 ο Κεφάλαιο, μπορούν να προκύψουν αντικαθιστώντας, στην (7..3), τις χρονικές με χωρικές παραγώγους. Παραγωγίζουμε διαδοχικά την (7..3) ως προς τον χρόνο ως προς το χώρο: Δ cδx Δ Δx 4 4 + cx = + xx c xxx + O Δ, Δx 6 (7..4) Δ cδx Δ Δx 4 4 x + cxx = x + xxx x c xxxx + O Δ, Δx 6 (7..5) Αφού πολλαπλασιάσουμε την δεύτερη με βρίσκουμε c προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις c c c = c xx +Δ + x + O[ Δ ] +Δx xx xxx + O[ Δx] Με αντίστοιχη διαδικασία βρίσκουμε ότι 3 c xxx O [, ]. (7..6) = + Δ Δx (7..7) 34

x c xxx O xx [, ] = + Δ Δx (7..8) xxx [, ] = c + O Δ Δx. (7..9) Οι μερικές παράγωγοι (7..8) (7..9) αντικαθίστανται στην (7..6) η προκύπτουσα εξίσωση μαζί με την (7..7) για την δεύτερη τρίτη παράγωγο ως προς τον χρόνο αντικαθίστανται στην (7..3) που τώρα γράφεται στην μορφή c x x 3 + cx = Δ ( v) xx c Δ ( v 3v+ ) xxx + O Δx, Δx Δ, ΔxΔ, Δ 3 6. (7..0) Η (7..0) είναι η τροποποιημένη εξίσωση πεπερασμένων διαφορών είναι η εξίσωση που επιλύει υπολογιστικά, αντί της (7..) το αριθμητικό σχήμα (7..). Αρχικά παρατηρούμε ότι για ν = ο πρώτος ο δεύτερος όρος στο δεξιό τμήμα της (7..0) μηδενίζονται η διαφορική εξίσωση (7..0) σχεδόν ταυτίζεται με την εξίσωση κύματος. Το αποτέλεσμα αυτό σχετίζεται άμεσα με την παρατήρηση που έγινε νωρίτερα ότι για ν =, ταυτίζονται, εντός του ορίου των σφαλμάτων του υπολογιστή, η αριθμητική η αναλυτική λύση. Άρα για ν = έχουμε την βέλτιστη δυνατή συνοχή. Όμως, όπως αποδείξαμε, για ν = το σχήμα είναι ασταθές. Επομένως θα πρέπει να διακριτοποιήσουμε σε ένα υπολογιστικό πλέγμα με ν <, θυσιάζοντας τμήμα της συνοχής του σχήματος εξασφαλίζοντας παράλληλα την ευστάθειά του. Είναι πλέον προφανές ότι οι δύο πρώτοι όροι στο δεξιό τμήμα της (7..0), δεν μηδενίζονται θα είναι πάντα παρόντες κατά την εφαρμογή του σχήματος ανάντη παραγώγισης. Ο πρώτος όρος που περιλαμβάνει τη δεύτερη παράγωγο του ως προς x, έχει την τάση να αποσβένει το εύρος των τιμών των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Δηλαδή, ενώ δεν υπάρχει φυσικός μηχανισμός απόσβεσης στο μαθηματικό μοντέλο ( η παράγωγος ως προς x στην διαφορική εξίσωση), το εύρος της διαταραχής στα αριθμητικά αποτελέσματα μειώνεται σταδιακά. Το σφάλμα αυτό ονομάζεται σφάλμα εικονικής ή αριθμητικής απόσβεσης. Ο δεύτερος όρος που περιλαμβάνει την τρίτη παραγωγό ως προς x, έχει την τάση να 35

διασπείρει τις τιμές των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Δηλαδή, ενώ δεν υπάρχει φυσικός μηχανισμός διασποράς στο μαθηματικό μοντέλο (3 η παράγωγος ως προς x στην διαφορική εξίσωση), τα αριθμητικά αποτελέσματα διασπείρονται δημιουργώντας πτυχώσεις κυρίως στις παρυφές της διαταραχής. Το σφάλμα αυτό ονομάζεται σφάλμα εικονικής ή αριθμητικής διασποράς. Γενικά τα σφάλματα απόσβεσης οφείλεται σε άρτιες παραγώγους, ενώ τα σφάλματα διασποράς σε περιττές παραγώγους του ως προς x. Το συνολικό σφάλμα στα αριθμητικά αποτελέσματα αποτελείται από το σφάλμα απόσβεσης το σφάλμα διασποράς ονομάζεται σφάλμα εικονικής ή αριθμητικής διάχυσης. Με βάση την ανάλυση ευστάθειας συνοχής προκύπτει το συμπέρασμα ότι για τιμές του αριθμού CFL πολύ μικρότερες της μονάδας η ευστάθεια είναι ικανοποιητική, ενώ η συνοχή αρκετά χαλαρή. Αντίθετα για τιμές του αριθμού CFL πολύ κοντά στην μονάδα η ευστάθεια είναι οριακή, ενώ η συνοχή ικανοποιητική. Το συμπέρασμα αυτό είναι γενικό τις περισσότερες φορές καλύτερη ευστάθεια συνεπάγεται υποδεέστερη συνοχή το αντίστροφο. Τα σφάλματα εικονικής ή αριθμητικής διάχυσης είναι παρόντα στις περισσότερες υπολογιστικές μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Εδώ πολλά χρόνια γίνεται μία συστηματική διαρκής προσπάθεια διατύπωσης αριθμητικών μεθόδων που να είναι ευσταθείς να έχουν συνοχή. Τα αποτελέσματα είναι επιτυχή σε μεγάλο βαθμό επιτρέπουν την προσομοίωση ακριβή επίλυση σύνθετων φυσικών συστημάτων. Όμως, οι συνεχώς αυξανόμενες ανάγκες απαιτήσεις καθιστούν απαραίτητη την διατύπωση νέων βελτιωμένων αναβαθμισμένων μεθόδων με αποτέλεσμα το συγκεκριμένο ερευνητικό πεδίο να παραμένει ανοικτό να απασχολεί εκατοντάδες ερευνητές που στη πλειοψηφία τους είναι μηχανικοί, φυσικοί, μαθηματικοί προγραμματιστές. 36

7.3 Σύγκριση αναλυτικής αριθμητικής λύσης Ο κύριος λόγος αριθμητικής επίλυσης πρότυπων εξισώσεων είναι η δυνατότητα της συστηματικής λεπτομερούς σύγκρισης της αριθμητικής λύσης με την αντίστοιχη αναλυτική που λόγω της απλής μορφής της εξίσωσης είναι διαθέσιμη. Στη παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών με σκοπό να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα του αριθμητικού σχήματος ανάντη παραγώγισης με τα αντίστοιχα αναλυτικά. Αυτό επιτυγχάνεται υπολογίζοντας το μέτρο τη γωνία φάσης του αριθμητικού σχήματος της αναλυτικής λύσης. Οι δυο αυτές ποσότητες είναι πολύ σημαντικές όταν συγκρίνονται με τις αντίστοιχες αναλυτικές οδηγούν σε χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με την ακρίβεια την αξιοπιστία του αριθμητικού σχήματος. Η γενική λύση της γραμμικής εξίσωσης (7..) μπορεί να γραφεί στη μορφή (, ) ( ) ( ) =Ψ =, α =. (7.3.) m kx x X x e e α Αντικαθιστώντας την (7.3.) στην (7..) προκύπτει ότι m επομένως έχουμε την αναλυτική λύση (, ) ( ) = αkc k x c x= e α, α =. (7.3.) Εκμεταλλευόμενοι την λύση (7.3.) διατυπώνουμε την εξής αναλυτική έκφραση για τον λόγο ( ) Ψ() ( ) ( ) Ψ() ( ) (, ) (, ) Ψ +Δ Ψ +Δ X x +Δ x ξα = = = = e X x x ή ξ ξ Α αkcδ, (7.3.3) e αϕ Α = Α, (7.3.4) όπου το μέτρο η γωνία φάσης του αναλυτικού ξ δίδονται από τις εκφράσεις ξ Α = (7.3.5) cδ ϕα = kcδ = kδ x = βν Δx (7.3.6) 37

αντίστοιχα με β = kδ x ν = cδ. Έστω ότι επιλύουμε την (7..) με το σχήμα της πρόδρομης ανάδρομης παραγώγου στο χρόνο το χώρο αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι τις αναλυτικές ποσότητες (7.3.4), (7.3.5) (7.3.6) είναι διαφορετικές από τις αντίστοιχες αριθμητικές (7..7), (7..8) (7..9). Στη περίπτωση αυτή ο λόγος του αριθμητικού προς τον αναλυτικό ξ είναι αϕ ξ ξ e ξ α ( ϕ ϕα ) = = e (7.3.7) αϕα ξ ξ e ξ Α Α Α αποτελεί ποσοτική εκτίμηση του αριθμητικού σφάλματος μετά από ένα χρονικό βήμα. Επομένως, μετά από ένα χρονικό βήμα το αριθμητικό εύρος της διαταραχής σε σχέση με το αναλυτικό θα έχει μειωθεί (ή αυξηθεί) κατά ξ / ξ Α, ενώ η διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική αναλυτική γωνία φάσης θα είναι ϕ από ϕ Α. Είναι προφανές ότι οι αντίστοιχες αποκλίσεις μετά N χρονικά βήματα θα είναι ( / ) N ξ ξ Α N ( ϕ ). ϕ Α Συνεχίζουμε με την μελέτη ενός συγκεκριμένου παραδείγματος που περιλαμβάνει την επίλυση της (7..) στο πεδίο ορισμού R : > 0, 0 x με c = 0.8 αρχική συνθήκη ( 0, ) s( π ) x x =. (7.3.9) Στη περίπτωση αυτή ο κυματαριθμός k = π. Εργαζόμενοι σε ένα υπολογιστικό πλέγμα, έστω με Δ = 0.0 Δ x = 0.0, προκύπτει ν = 0.8 β 0.0π =. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές των παραμέτρων στις αναλυτικές εκφράσεις (7.3.5) (7.3.6) βρίσκουμε τις τιμές ξ Α = (7.3.0) ( )( ) ϕ = kcδ = βν = 0.0π 0.8 = 0.050655. (7.3.) Α Αντίστοιχα για το σχήμα πεπερασμένων διαφορών της παραγράφου 7., βρίσκουμε από τις εκφράσεις (7..8) (7..9) ( ) ( ) ξ = ν + ν cos β + νs β = 0.999684 (7.3.) 38

( ) ( ) Im ξ νs β ϕ = arca = arca 0.050695 Re ξ = ν + ν cos β (7.3.3) αντίστοιχα. Με βάση τα παραπάνω η αναλυτική η αριθμητική λύση μετά από ένα χρονικό βήμα είναι ( 0 0 ) = [ π ϕ ] = π( 0 8 0 0) = π( 0 008) Α.,x s x Α s x.. s x. (7.3.4) ( 00 ) = ξ π( 08 00) + ( ϕ ϕ).,x s x.. Α = ( ) = 0. 999684s π x 0. 008 0. 000004 (7.3.5) αντίστοιχα. Οι όποιες διαφορές ανάμεσα στις δύο λύσεις αυξάνουν σταθερά καθώς προχωρούμε σε μεταγενέστερες χρονικές στιγμές αυξάνει ο αριθμός των χρονικών βημάτων. Την χρονική στιγμή = N Δ, δηλαδή μετά από N χρονικά βήματα οι δύο λύσεις θα έχουν εξελιχθεί ως εξής: ( 00 ) [ π ϕ ] π( 08 00) Α N.,x = s x N Α = s x N.. = ( ) = s π x N 00. 08 (7.3.6) ( N 00.,x) = ( ξ ) N s π( x N 08. 00. ) + N ( ϕα ϕ) = N ( ) π ( ) = 0. 999684 s x N 0. 008 N 0. 000004 (7.3.7) Προτείνεται στον ενδιαφερόμενο αναγνώστη να προχωρήσει σε λεπτομερή ποσοτικό υπολογισμό των δύο λύσεων για > 0 επαναλάβει τους υπολογισμούς με διαφορετικά διαφορετικούς κυματαριθμούς στη συνέχεια να Δ x, για με στόχο να αποκτήσει μία πρώτη εκτίμηση των σφαλμάτων της αριθμητικής λύσης σε όλο το εύρος των εμπλεκομένων παραμέτρων. k Δy Σημειώνεται ότι οι ποσότητες ξ ϕ συνδέονται με την αριθμητική απόσβεση διασπορά του αριθμητικού σχήματος αντίστοιχα. Δεν θεωρείται σκόπιμο να παρουσιασθεί η μαθηματική απόδειξη της παραπάνω πρότασης αλλά με βάση τα παραπάνω ο συσχετισμός θα πρέπει να είναι γίνεται νοητικά αντιληπτός. Εκφράσεις όπως η (7.3.7) είναι πολύ σημαντικές διότι επιτρέπουν σύγκριση 39

θεωρητικών αριθμητικών αποτελεσμάτων από τη μία πλευρά με τα αντίστοιχα αναλυτικά από την άλλη πλευρά με τα καθαρά αριθμητικά (ή πειραματικά) αποτελέσματα του υπολογιστή. Μεταξύ άλλων επιτυγχάνεται η ποσοτική αξιολόγηση επιβεβαίωση ή απόρριψη θεωρητικών αριθμητικών αποτελεσμάτων που έχουν σχέση με την ευστάθεια, την συνοχή τη σύγκλιση του αριθμητικού σχήματος. Είναι προφανές ότι η ανάλυση η μεθοδολογία της παραγράφου αυτής δύναται με τις κατάλληλες τροποποιήσεις να εφαρμοσθεί σε άλλα αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών, μερικά εκ των οποίων περιγράφονται στις επόμενες παραγράφους. 7.4 Ρητά σχήματα Lax-Wedroff McCormack Στη παράγραφο αυτή θα αναφερθούμε εν συντομία σε δύο ρητά αριθμητικά σχήματα που προσεγγίζουν την εξίσωση κύματος, διατυπώνοντας τις αντίστοιχες εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών σχολιάζοντας σε κάθε περίπτωση την ακρίβεια, την ευστάθεια την συνοχή τους. Το ρητό αριθμητικό σχήμα Lax-Wedroff διατυπώνεται γράφοντας το ανάπτυγμα + Δ 3 = +Δ + + O Δ! (7.4.) αντικαθιστώντας την πρώτη δεύτερη παράγωγο ως προς το χρόνο από τις σχέσεις. Στην προκύπτουσα εξίσωση = c x = c xx + c x xx c O 3 = Δ + Δ + Δ (7.4.) οι χωρικές παράγωγοι προσεγγίζονται με κεντρώες παραγώγους προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών του σχήματος Lax- Wedroff + + + + = cδ + c Δ Δx Δx. (7.4.3) 40

Το σχήμα είναι ρητό, ης τάξης O Δx, Δ ευσταθές μόνο για ν <. Εφαρμόζοντας τις μεθοδολογίες ευστάθειας συνοχής προκύπτουν ο λόγος + Ψ ξ = = ν β + α ν Ψ ( cos ) ( s ) η τροποποιημένη εξίσωση β (7.4.4) 3 cδx Δx + cx = ( v ) xxx c ν ( v ). (7.4.5) xxxx 6 8 Σημειώνεται ότι το σχήμα Lax-Wedroff δεν έχει αριθμητική απόσβεση αλλά μόνο αριθμητική διασπορά. Το ρητό αριθμητικό σχήμα Mac Cormack χρησιμοποιείται ευρέως στην επίλυση της εξίσωσης κύματος. Η μέθοδος είναι ρητή αλλά σε κάθε χρονικό βήμα λύνονται δυο ρητές εκφράσεις που αντιστοιχούν στα επιμέρους βήματα πρόβλεψης διόρθωσης. Το αριθμητικό σχήμα Mac Cormack περιγράφεται από τις εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών + / Δ = c ( + Δx Δ = c ( + Δx + + / + / +/ ) (7.4.6α) ). (7.4.6b) Τονίζεται ότι εάν εφαρμοσθεί μόνο το βήμα της πρόβλεψης το αριθμητικό σχήμα είναι πάντα ασταθές. Ο όρος ενδιάμεση τιμή της τελική τιμή + στο βήμα / + είναι η που προκύπτει από την εξίσωση πρόβλεψης, ενώ η + προκύπτει από την εξίσωση διόρθωσης. Η μέθοδος Mac-Cormack έχει αντίστοιχα χαρακτηριστικά με τη μέθοδο Lax-Wedroff, δηλαδή είναι ης τάξης O Δx, Δ, ευσταθής μόνο για ν < εφαρμόζεται επίσης στην επίλυση μη γραμμικών υπερβολικών εξισώσεων. Όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (7.4.6) η χωρική παράγωγος προσεγγίζεται με πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά στην εξίσωση 4

πρόβλεψης ανάδρομη πεπερασμένη διαφορά στην εξίσωση στην εξίσωση διόρθωσης. Εφαρμόζοντας πρόδρομες πεπερασμένες διαφορές στις δύο εξισώσεις προκύπτει το αριθμητικό σχήμα + / Δ = c ( + Δx ) (7.4.7α) Δ Δ = c c + + Δx Δx ( ) ( ) + + / + / + /, (7.4.7b) που αποτελεί μια εναλλακτική μορφή της μεθόδου Mac Cormack. Το σχήμα (7.4.7) δεν έχει σφάλμα αριθμητικής απόσβεσης εάν συνδυαστεί κατάλληλα με το σχήμα Lax-Wedroff επιτυγχάνεται σημαντική μείωση στο σφάλμα διασποράς. 7.5 Πεπλεγμένα σχήματα Eler Tραπεζίου Όλοι οι αλγόριθμοι που εξετάστηκαν μέχρι τώρα, για την επίλυση της εξίσωσης κύματος, είναι ρητοί. Στη παράγραφο αυτοί εξετάζονται τα πεπλεγμένα σχήματα Eler τραπεζίου, που σαν πεπλεγμένα είναι πάντα ευσταθή ανεξάρτητα από το μέγεθος του αριθμού CFL. Αυτό σημαίνει ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα παραμένουν ευσταθή, ενώ το χρονικό βήμα Δ μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλο. Το πεπλεγμένο σχήμα Eler προκύπτει με πρόδρομη παραγώγιση στο χρόνο κεντρώα παραγώγιση στο χώρο. Η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών δίδεται από την αλγεβρική εξίσωση + c + ( Δ Δx + + )= 0. (7.5.) Το σχήμα είναι ης τάξης στο χρόνο ης τάξης στο χώρο O Δ, Δx. Αποδεικνύεται με ανάλυση Forer ότι είναι πάντα ευσταθές για οποιοδήποτε χρονικό βήμα Δ. Βέβαια, το σχήμα είναι πεπλεγμένο επομένως σε κάθε χρονικό βήμα λύνεται ένα τριδιαγώνιο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής 4

v + + v + + + =. (7.5.) Όπως γνωρίζουμε, η μέθοδος που χρησιμοποιείται στην επίλυση τριδιαγώνιων συστημάτων είναι ο αλγόριθμος Thomas. Τα πεπλεγμένα σχήματα απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αλλά παράλληλα επιτρέπουν μεγάλα χρονικά βήματα. Πολλές φορές όμως οι λύσεις που βασίζονται σε μεγάλα χρονικά βήματα είναι τελείως ανακριβείς αφού συνοδεύονται από μεγάλο σφάλμα αποκοπής. Η τροποποιημένη εξίσωση στη πεπλεγμένη μέθοδο Eler είναι c c + = Δ c x c Δ + Δ 6 3 3 x xx xxx. (7.5.3) Παρατηρούμε ότι το δεξιό τμήμα της τροποποιημένης εξίσωσης δεν μηδενίζεται για οποιαδήποτε επιλογή του αριθμού CFL. Το πεπλεγμένο σχήμα Eler είναι πάντα ευσταθές αλλά η συνοχή δεν είναι ικανοποιητική. Το σχήμα έχει μεγάλη αριθμητική διάχυση (απόσβεση διασπορά). Αυτό δεν πρέπει να μας ξαφνιάζει, αφού όπως έχουμε αναφέρει σχήματα που έχουν απόλυτη ευστάθεια υποφέρουν από έλλειψη συνοχής. Εύκολα προκύπτει ο λόγος vsβ ξ =. (7.5.4) + v s β Σε αντίθεση με αυτά που μόλις αναφέραμε η μέθοδος του τραπεζίου είναι μία πεπλεγμένη μέθοδος ης τάξης στο χρόνο στο χώρο O Δ, Δx, που έχει μηδενική αριθμητική απόσβεση. Πράγματι η τροποποιημένη εξίσωση περιλαμβάνει μόνο περιττές παραγώγους με αποτέλεσμα η μέθοδος να έχει μόνο αριθμητικό σφάλμα διασποράς. Το χαρακτηριστικό αυτό δεν είναι συνηθισμένο σε πεπλεγμένα σχήματα. Αφαιρώντας τα αναπτύγματα Taylor 3 + Δ Δ = +Δ + + +... (7.5.5) 6 43

3 + + Δ + Δ + = +Δ + + +... 6 (7.5.6) εφαρμόζοντας στην προκύπτουσα εξίσωση το ανάπτυγμα + = +Δ +... (7.5.7) προκύπτει η εξίσωση + Δ = + + + Δ + 3 0 ( ) x. (7.5.8) Η μεθοδολογία διατύπωσης της εξίσωσης (7.5.8) θυμίζει τη μέθοδο Crak- Ncolso ονομάζεται τραπεζοειδής πεπερασμένη διαφορά. Στη συνέχεια οι μερικές παράγωγοι ως προς το χρόνο αντικαθίστανται με βάση τη σχέση = c έχουμε την εξίσωση + cδ = x + x + Δ + 0 ( ) 3. (7.5.9) Τελικά εφαρμόζοντας κεντρώες πεπερασμένες διαφορές στις χωρικές παραγώγους προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών v 4 = ( + + + ) + + +. (7.5.0) Το σχήμα είναι πεπλεγμένο σε κάθε χρονικό βήμα επιλύεται ένα τριγωνικό σύστημα εξισώσεων. Η τροποποιημένη εξίσωση έχει τη μορφή 3 4 3 4 4 c Δ cδx cδx c Δ Δx c Δ + c = + 6 + + 0 4 80 x xxx xxxxx. (7.5.) Το σχήμα δεν έχει αριθμητική απόσβεση αλλά έχει αριθμητική διασπορά. Όταν η μέθοδος εφαρμόζεται σε μη γραμμικές εξισώσεις, μερικές φορές κρίνεται απαραίτητο να προστεθεί όρος ομαλοποίησης (αριθμητική απόσβεση) ώστε να εξασθενεί η έντονη διασπορά των αποτελεσμάτων. 44

7.6 Αριθμητική επίλυση εξίσωσης κύματος ης τάξης Έχοντας παρουσιάσει διάφορες τεχνικές αριθμητικής επίλυσης της εξίσωσης κύματος ης εξίσωσης κύματος ης τάξης, συνεχίζουμε με την αριθμητική επίλυση της τάξης (7..5) που υπόκειται στις οριακές συνθήκες (7..6). Πολλά από τις αριθμητικές τεχνικές που παρουσιάσαμε στις προηγούμενες παραγράφους μπορούν μετά από κατάλληλες τροποποιήσεις σεβόμενοι τις βασικές αρχές των υπερβολικών αριθμητικών σχημάτων να εφαρμοσθούν στις δευτεροβάθμιες υπερβολικές εξισώσεις. Ένα από τα αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών που δεν αναπτύχθηκε νωρίτερα αν έχει αρκετά ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά είναι η μέθοδος Leap Frog, όπου οι παράγωγοι ως προς το χρόνο το χώρο προσεγγίζονται με κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών. Υιοθετώντας την συγκεκριμένη μέθοδο στην εξίσωση κύματος ης παίρνουμε την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών + + + + c = 0 Δ Δx ή ( + ) + (7.6.) = ν + =0, (7.6.) τάξης όπου ν = cδ/ Δ x είναι ο αριθμός CFL. Το σχήμα είναι ρητό, είναι δεύτερης τάξης, O Δ, Δx υπερβολικά σχήματα, είναι ευσταθές μόνο για αποδεικνύεται ότι, όπως όλα τα ρητά ν <. Όπως βλέπουμε στο σχήμα (7.6.) εμφανίζονται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής σε τρία όχι όπως συνήθως σε δύο χρονικά βήματα (βλέπε Σχήμα 7.3). Αυτό οφείλεται στην προσέγγιση του όρου της δεύτερης παραγώγου ως προς το χρόνο που απαιτεί τις τιμές της μεταβλητής σε τρία τουλάχιστον επίπεδα. Η ιδιαιτερότητα αυτή εμφανίζεται σε άλλα σχήματα πεπερασμένων διαφορών που προσεγγίζουν δευτεροβάθμιες υπερβολικές εξισώσεις. 45

+ + Σχήμα 7.3: Διακριτοποίηση μεθόδου Leap Frog στην εξίσωση κύματος ης τάξης. Είναι προφανές ότι εάν η αρχική χρονική στιγμή ορίζεται στο εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (7.6.) ισχύει για στο = 0 0, η. Οι ποσότητες είναι γνωστές από την πρώτη αρχική συνθήκη (7..6α), ενώ ο υπολογισμός των αγνώστων ποσοτήτων = στο πρώτο χρονικό βήμα γίνεται με τη βοήθεια της δεύτερης αρχικής συνθήκης (7..6β). Εφαρμόζοντας κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών, ώστε να μην αλλοιωθεί η τετραγωνική ακρίβεια του σχήματος έχουμε ( x) h( x) h Δ = = = 0 = 0 0, = = = h = 0 = 0 Δ, (7.6.3) Οι κόμβοι είναι φανταστικοί. Στη συνέχεια αξιοποιώντας την (7.6.) την χρονική στιγμή βρίσκουμε ότι ( + ) = ν + =0. (7.6.4) 0 0 0 0 Τέλος αντικαθιστώντας στην (7.6.4) τους φανταστικούς κόμβους από την (7.6.3) εκτιμούμε τις ποσότητες 0 0 0 0 = ν ( + + ) +Δ h =0. (7.6.5) Αφού υπολογίσουμε τα χρονικά βήματα, για από την (7.6.5) εφαρμόζουμε στα επόμενα, την (7.6.). Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο την αρχική συνθήκη (7..6β), χωρίς την εμπλοκή της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών. Προσεγγίσουμε την 46

χρονική παράγωγο της αρχικής συνθήκης με πρόδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών γράφουμε = = 0 = 0 = 0 0 ( 0, x) = h( x) = h = + h Για = Δ Δ. (7.6.6) χρησιμοποιούμε πάλι την (7.6.) αλλά τώρα στο χρονικό μήμα τα υπολογίζονται από την (7.6.6) αντί της (7.6.5). Η εναλλακτική προσέγγιση (7.6.6) είναι πρώτης τάξης. Οι δύο αυτές μεθοδολογίες έχουν κοινά χαρακτηριστικά με την αριθμητική προσομοίωση των οριακών συνθηκών Newma σε ελλειπτικές παραβολικές εξισώσεις. Η ευστάθεια η συνοχή του σχήματος (7.6.) εξετάζονται ακολουθώντας τις βασικές μεθοδολογίες που αναπτύχθηκαν λεπτομερώς σε προηγούμενες παραγράφους. Όπως αναφέραμε στην εισαγωγή του κεφαλαίου οι δύο εξισώσεις κύματος συνδέονται άμεσα μεταξύ τους. Αποδεικνύεται εύκολα (βλέπε (7..9)) ότι το πρόβλημα Cachy ης τάξης (7..5) (7..6) είναι ισοδύναμο με τα εξής δύο προβλήματα Cachy ης τάξης: ο Πρόβλημα cυ = 0, < x <, > 0, (7.6.7α) x ( 0, ) ( ) x = g x, < x <. (7.6.7β) ο Πρόβλημα υ cx = 0, < x <, > 0, (7.6.8α) υ ( 0, ) (, ) = 0 s x = ds = h( s) ds c c, x < <. (7.6.8β) Επομένως η επίλυση του αρχικού δευτεροβάθμιου προβλήματος επιτυγχάνεται με την επίλυση των δύο πρωτοβάθμιων προβλημάτων (7.6.7) (7.6.8). 47