g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ή ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου Με τη φράση «πρόσημο τριωνύμου» δηλώνουμε τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο πρόσημο θα έχουν οι τιμές της συνάρτησης f α β γ, α 0 για όλες τις τιμές της μεταβλητής. Η επίλυση ανισώσεων ου βαθμού ανάγεται στην εύρεση του προσήμου ενός τριωνύμου. Έτσι η λύση της ανίσωσης 5 6 0 σημαίνει την εύρεση των πραγματικών τιμών του για τις οποίες η συνάρτηση: α, β 5, γ 6 f 5 6 (ΤΡΙΩΝΥΜΟ με ) έχει τιμές με πρόσημο θετικό και όπως θα δούμε παρακάτω, ομόσημες του συντελεστή α του επίλυση της ανίσωσης:, αφού αυτή μετατρέπεται ισοδύναμα στην. Όμοια αντιμετώπιση έχει και η 0 0 και η επίλυσή της ανάγεται στην εύρεση των τιμών του για τις οποίες η συνάρτηση (ΤΡΙΩΝΥΜΟ με α, β 0, γ g ) έχει τιμές με πρόσημο θετικό ή ετερόσημες του συντελεστή α του. Για την αντιμετώπιση του παραπάνω θέματος διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λ.ε. τ./ η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (ΤΡΙΩΝΥΜΑ ΜΕ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΑΡΝΗΤΙΚΗ) Δίνονται οι συναρτήσεις: α) β) g 5. f Οι συναρτήσεις αυτές είναι της μορφής: α β γ, α 0 (ΤΡΙΩΝΥΜΑ). Έχουν πεδίο ορισμού το και διακρίνουσα Δ ( Δ β αγ ) αρνητική ( Δ 3, Δ 6 ). Η πρώτη έχει συντελεστή στο α 0. χουμε: f g, α 0 ενώ η δεύτερη Δίνοντας διάφορες τιμές στη μεταβλητή έ- α) f 7 0, f 3 0, f 0, f 3 0, f 3 7 0. β) g5 0 0, g 8 0, g 0, g 5 0 f 0 0, g 0 5 0,, g5 0 0. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f έχει θετικές τιμές δηλ. ομόσημες του α 0 ενώ η g έχει αρνητικές τιμές, επίσης ομόσημες του α 0. Συμβαίνει αυτό άραγε για κάθε τιμή της μεταβλητής ; Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση των παραπάνω συναρτήσεων βλέπουμε ότι πράγματι συμβαίνει αφού για κάθε πραγματική τιμή του

Μαθηματικά για την Α Λυκείου η συνάρτηση (το τριώνυμο) έχει τιμές ομόσημες του α. Τα παραπάνω συμπεράσματα παρουσιάζονται σχηματικά στον πίνακα: f ή Οι συναρτήσεις αυτές είναι επίσης της μορφής g ομόσημο του α η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (ΤΡΙΩΝΥΜΑ ΜΕ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΜΗΔΕΝ) Δίνονται τα τριώνυμα: α) β) g 6 9 f 3 6 3 α β γ, α 0 (ΤΡΙΩΝΥΜΟ). Έχουν πεδίο ορισμού το και διακρίνουσα Δ μηδέν ( Δf Δg 0 ). Η πρώτη έχει συντελεστή στο α 3 0 ενώ η δεύτερη α 0., α) f 7 0, f 0, f 7 0, ενώ f 0. β) g9 6 0, g0 9 0, g 9 0 g 5 0, ενώ g 3 0. f 0 3 0, Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f έχει θετικές τιμές δηλαδή ομόσημες του α=3>0 εκτός από την τιμή για την οποία μηδενίζεται ενώ η συνάρτηση g έχει αρνητικές τιμές επίσης ομόσημες του α 0 εκτός από την τιμή 3 για την οποία μηδενίζεται. Από τη μορφή που παίρνουν οι συναρτήσεις: f 3 0 και g 3 0 είναι φανερό ότι για κάθε πραγματική τιμή του οι τιμές τους είναι: για την f, θετικές (ομόσημες του α 3 0) εκτός από την τιμή, όπου f 0 και για την g, αρνητικές (ομόσημες του α 0 ) εκτός από την τιμή 3, όπου f 3 0. Τα συμπεράσματα αυτά επιβεβαιώνονται και από τις γραφικές παραστάσεις των δύο αυτών συναρτήσεων. Στην περίπτωση αυτή οι συναρτήσεις παίρνουν τη μορφή β α α ή όπως προκύπτει από 6 3 γνωστή ταυτότητα παίρνει μορφή τελείου τετραγώνου. π.χ. f 3 3 f 3 3 ενώ 6 g 3 g 6 9 3. ή ή και παρουσιάζονται σχηματικά στον πίνακα: f ή g ομόσημο του α β ( ή 3) α ομόσημο του α χουμε: Δίνοντας διάφορες τιμές στη μεταβλητή έ- ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λ.ε. τ./

Μαθηματικά για την Α Λυκείου 3 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ δηλαδή για ή 3 και θετικές τιμές δηλ. (ΤΡΙΩΝΥΜΑ ΜΕ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΘΕΤΙΚΗ) Δίνονται τα τριώνυμα: α) f 7 0 Οι συναρτήσεις αυτές είναι επίσης της μορφής β) g 7 3. α β γ, α 0 (ΤΡΙΩΝΥΜΑ). Έχουν πεδίο ορισμού το και διακρίνουσα Δ θετική ( Δ 9, Δg 5). Η πρώτη έχει συντελεστή στο f, α 0 ενώ η δεύτερη α 0. Στην περίπτωση αυτή οι συναρτήσεις παραγοντοποιούνται παίρνοντας τη μορφή: f α όπου, οι ρίζες τους. π.χ. f 5 5 και g 3 3 Δίνοντας διάφορες τιμές στη μεταβλητή έχουμε: α) f 8 0, f 0 0 0, f 0 f 5 0, f 3 0,, f 7 0 0, β) g 5 0, g 0, f 0, 7 9 f 0, f 0 0 0. g 0 3 0, g 0, g 3 0 g 7 0,, g 3 0, g 5 8 0. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f έχει θετικές τιμές δηλ. ομόσημες του α=>0 για τις τιμές που βρίσκονται έξω από το διάστημα των ριζών δηλαδή για ή 5 και αρνητικές τιμές δηλ. ε- τερόσημες του α για τις τιμές του που βρίσκονται μεταξύ των ριζών δηλαδή για 5 ενώ μηδενίζεται για και για 5. Επίσης η συνάρτηση g έχει αρνητικές τιμές δηλ. ομόσημες του α 0 για τις τιμές του που βρίσκονται έξω από το διάστημα των ριζών. ετερόσημες του α για τις τιμές του που βρίσκονται μεταξύ των ριζών δηλαδή για 3 ενώ μηδενίζεται για και για 3. Τα συμπεράσματα αυτά φαίνονται στις γραφικές παραστάσεις τους: και δίνονται σχηματικά στον πίνακα: X f ή g ομόσ. α ετερόσ. α ομόσ. α ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι τιμές της συνάρτησης α 0 (ΤΡΙΩΝΥΜΟ) είναι: f α β γ, ετερόσημες του α μόνο όταν Δ 0 και για τις τιμές του μεταξύ των ριζών δηλ. (3 η περίπτωση) ομόσημες του α σε κάθε άλλη περίπτωση ε- κτός από τις ρίζες της για τις οποίες μηδενίζεται. Αφού μάθαμε να προσδιορίζουμε το πρόσημο του τριωνύμου θα προσπαθήσουμε να επιλύσουμε τα ακόλουθα προβλήματα και ασκήσεις. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένα φάρμακο χορηγείται σε ενήλικες και βελτιώνει την υγεία τους σε χρόνο που δίνεται από τη συνάρτηση f t t 3κt όπου κ η ηλικία του ασθενούς και t ο χρόνος σε ημέρες ( t 0). Σε πόσες μέρες θα αρχίσει να βελτιώνε- ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λ.ε. τ./3

Μαθηματικά για την Α Λυκείου ται η υγεία του ασθενούς (36 ετών), από τη λήψη του φαρμάκου; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αναζητούμε τις τιμές του t για τις οποίες η συνάρτηση f έχει θετικές τιμές. Δηλαδή επιλύουμε την ανίσωση: ρ όταν f t 0 t 3κt 0, κ 0. Είναι: α 0, Δ 9κ 0, ρ 0, κ. Επομένως η συνάρτηση έχει θετικές τιμές κ t (οι αρνητικές τιμές του t απορρίπτο- νται). Δηλαδή η υγεία του ασθενούς θα αρχίσει να βελτιώνεται μετά από 36 t 9 ημέρες. t 0 κ/ f(t) ΑΣΚΗΣΗ + Για ποιες τιμές του ορίζεται κάθε μία από τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες: α) 3 β) ( g ). ρ. Είναι: α 0, Δ 6 0, ρ, ΑΡΑ: 0 g 0. Επίσης: + g() 0 + 0 γ) Ομοίως τη συνάρτηση ( h ). Είναι: α, Δ 0, ρρ. Άρα: για κάθε. Επίσης: h() h 0 h 0 που ισχύει + + 0 + δ) Τέλος, θεωρούμε τη συνάρτηση φ 5 8. γ) δ) 5 8 Για να ορίζονται οι παραπάνω τετραγωνικές ρίζες πρέπει το υπόριζό τους να μην είναι αρνητικό.. α) Θεωρώ τη συνάρτηση f 3, Είναι: α 0, Δ 6, ρ 3, ρ. ΑΡΑ: 3 0 f 0 3 ή. Επίσης: 3 + f() + 00+ β) Ομοίως τη συνάρτηση g, Είναι: α 0, Δ 7 (δεν έχει ρίζες). Άρα: 5 8 0 φ 0. Αυτό όμως δεν ισχύει για καμία τιμή της μεταβλητής αφού το πρόσημο του τιρωνύμου είναι πάντα αρνητικό: + φ() Επομένως: η τετραγωνική ρίζα αυτή δεν ορίζεται. ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η ανίσωση: 3 3 (). Η () είναι ισοδύναμη με την: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λ.ε. τ./

Μαθηματικά για την Α Λυκείου 3 3 3 0 3 3 3 3 3 0 Το τριώνυμο της πρώτης έχει διακρίνουσα αρνητική: Δ 7 0, α 0 οπότε έχει θετικές τιμές (ομόσημες του α ) για κάθε τιμή της μεταβλητής. Άρα η ανίσωση: 3 0 επαληθεύεται για κάθε. Το τριώνυμο της δεύτερης έχει διακρίνουσα θετική: Δ 0, α 0 και ρ, ρ. Εμείς θέλουμε να έχει τιμές ετερόσημες του α, που συμβαίνει για. 3+ + + 3+ + 00+ Τελικά, οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν στο διάστημα (,), δηλαδή. ΑΣΚΗΣΗ 3 f λ μ κ έχει αρνητικές Για ποιες τιμές της μεταβλητής η συνάρτηση τιμές; (κ, λ, μ: πλευρές ορθογωνίου τριγώνου). Η συνάρτηση είναι της μορφής α 0 (ΤΡΙΩΝΥΜΟ),. Είναι: α λ μ 0, λ μ κ α β γ, Δ κ λ μ κ κ 0. Εμείς θέλουμε να έχει τιμές ετερόσημες του α (αρνητικές). Αυτό όμως δεν είναι δυνατό να συμβεί αφού f 0 για κάθε. (βλέπε... συμπεράσματα). ΑΣΚΗΣΗ Αν f και να βρεθεί για ποιες τιμές του g λ λ 3λ * λ οι συναρτήσεις έχουν τιμές με γινόμενο αρνητικό. Θέλουμε: Όμως: α 0 και Δ 3 0 ). f g 0, για κάθε (). f 0 για κάθε (αφού Άρα: Η ανίσωση () ισχύει αν κάθε. Για το τριώνυμο: χουμε: α λ, g 0 για λ λ 3λ, λ 0 έ- Δ 3λ 0. Άρα: για να έχει αρνητικές τιμές για κάθε πρέπει α λ 0 ο- πότε αφού Δ 0 να έχει για κάθε τιμές ο- μόσημες του α. Απάντηση: Για λ 0. ΑΣΚΗΣΗ 5 Το κλάσμα για γίνεται μηδέν. Ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή του και ποια η μικρότερη όταν. Κατ αρχήν το κλάσμα ορίζεται για κάθε αφού ( Δ 3 0 ). Έστω 0 για κάθε λ δηλαδή τότε: λ λ λ 0 (). λ Η εξίσωση () πρέπει να έχει ως προς λύσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αν λ 0 είναι ου βαθμού ως προς γίνεται: 0 (δεκτή λύση). Αν λ 0 είναι ου βαθμού και έχει λύσεις (ως προς ) στο. Πρέπει Δ 0 λ λ λ 0 3λ λ 0(). Η ανίσωση () είναι τριώνυμο ως προς λ, έ- χει: α 3, Δ 6 0, ρ, ρ. 3 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λ.ε. τ./5

Μαθηματικά για την Α Λυκείου Εμείς θέλουμε να έχει τιμές ετερόσημες του α ή μηδέν και αυτό συμβαίνει όπως φαίνεται και στον πίνακα και στη γραφική παράσταση: λ /3+ Δ 0 + 0 για λ. 3 Επομένως: Η μικρότερη τιμή του κλάσματος είναι και η μεγαλύτερη 3. 5. Το κλάσμα για ποιες τιμές της μεταβλητής είναι μικρότερο από ; 6. Αν η γραφική παράσταση της f α β γ, α 0 είναι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ. Έστω συνάρτηση f α β γ, α 0. Τι συμπεραίνετε για τις τιμές του κ αν: α) 3f κ 0, β) α f κ 0, γ) α f κ 0.. Αν για τους αριθμούς κ, κ έχουμε: f κ f κ 0, ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το τριώνυμο f, τους αριθμούς κ, κ και τις ρίζες του; 3. Δίνεται το τριώνυμο: f λ λ. Ποιες από τις παρακάτω ανισώσεις είναι αληθείς; α) 00 f 0 3, β) 5fλ 0, γ) f 0 0, δ) f 00 0 f 5λ 0., ε). Για ποιες τιμές του λ η ανίσωση: λ 0 είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής ; να βρείτε το πρόσημο των τιμών, f, f συντελεστή α. f0, f 0, f, της διακρίνουσας και τον 7. Το περιοδικό «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β» της Ε.Μ.Ε. κυκλοφορεί σε τεύχη. Αν το κόστος του περιοδικού δίνεται από τη συνάρτηση σ λ λ και οι εισπράξεις από τις πωλήσεις του απ την π λ, λ ν αποδείξετε ότι όποια κι αν είναι η κυκλοφορία του περιοδικού η ΕΜΕ θα έχει πάντα κέρδος. (Υπόδειξη: Κέρδος: κ π σ λ λ λ λ λ λ ). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λ.ε. τ./6