Kεφ. (part, pages - Σχέση διασπράς Exυμε βρεί την εξίσωση κύματς: λν = υ, όπυ υ = Τ /μ στη περίπτωση της χρδς. Οπότε υ ν = = λ ω = Τ /μ Τ /μ λ k H σχέση αυτ πυ συνδέει την γωνιακ συχνότητα ω με τν κυματαριθμό k καλείται σχέση διασπράς για τ ταλαντύμεν σύστημα. Για την περίπτωση της χρδς, η σχέση αυτ είναι γραμμικ. Eντπισμένα κύματα: εκείνα για τα πία ισχύει, ω/k = σταθερό. Mη-εντπισμένα ( διασκρπισμένα κύματα: είναι εκείνα για τα πία ισχύει ω/k συνάρτηση τυ λ. Παράδειγμα: N σωματίδια πάνω σε χρδ Eίχαμε βρει για εγκάρσια ταλάντωση, - ω A- + - ω A - ω A+, ( όπυ ω = Τ / ma και y (t=a cost+φ. Aν κάνυμε ένα παραλληλισμό με την λύση πυ βρίκαμε στη συνεχ χρδ, A A(z=A o si(kz όπυ z=a, τα πλάτη στην ( μπρύν να γραφύν, Chapter
3 A - = A o si [k(-a], A = A o si [ka], A + = A o si [k(+a], αντικαθιστώντας στην ( έχμε, - ω si(k(-a + - ω si(ka- ω si(k(+a - ω [si(kacos(ka - cos(kasi(ka] + ( ω - ω si(ka - ω [si(kacos(ka + cos(kasi(ka] απ όπυ πρκύπτει η σχέση διασπράς, ω = ω [ - cos(ka] = 4 ω si ( ka ω = ω ka si( όπυ ω = Τ / ma. Στ επόμεν σχμα απεικνίζεται η σχέση διασπράς, ω=f(k. Chapter
4 Aνάλυση Fourier Eίδαμε ότι η γενικ κίνηση ενός συστματς είναι υπέρθεση όλων των μρφών ταλάντωσς τυ, κατ επέκταση και στη περίπτωση της χρδς με δεδμένες ριακές συνθκες στα άκρα της (z=, z=l, η κίνησ της θα δίδεται από τη σχέση ψ(z, t = si(k z cos t + φ όπυ ι κυματαριθμί k ικανπιύν κάπιες συνριακές συνθκες, ενώ ι γωνιακές συχνότητες ω ικανπιύν ρισμένες σχέσεις διασπράς, ενώ ι σταθερές (A,φ υπλγίζνται από τις αρχικές συνθκες τυ πρβλματς (στ χρόν t=. Θεώρημα: Aν f(z είναι μιά συνάρτηση ως πρς z, η πία όμως πληρί ρισμένες συνριακές συνθκες, έστω στα σημεία z= και z=l. Tότε η συνάρτηση αυτ μπρεί να αναπτυχθεί σε μια σειρά τριγωνμετρικών συναρτσεων της μρφς f (z = [ si(kz + B cos(kz] Τ ανάπτυγμα αυτό καλείται σειρά Fourier. Chapter
5 Διαμκεις ταλαντώσεις σε αλυσίδα ταλαντωτών Θεωρύμε N ίσες μάζες M συνδεδεμένες μεταξύ τυς με (N+ ελατρια. Στη κατάσταση ισρρπίας ι μάζες ισαπέχυν μεταξύ τυς απόσταση α. Θεωρύμε τις δύ άκρες της αλυσίδς πακτωμένες. H x-συνιστώσα της συνλικς δύναμης πυ ασκείται πάνω στη -στ μάζα είναι: F x = Τ + T = k(ψ + = k(ψ + + k(ψ + πότε η εξίσωση κίνησης της -στς μάζας γράφεται: Μ d ψ k(ψ ψ ψ + dt = ( Για λύση καννικς μρφς ταλάντωσης ψ (z,t = A (z cost+φ, ψ (z,t = A (z cost+φ,................... ψ (z,t = A (z cost+φ.................. πρκύπτει αντικαθιστώντας στην ( - ω A = - k M (A -A- -A+ ν καλέσυμε ω = k / M, αυτ γράφεται, ( ω + ( Chapter
6 ντιλαμβανόμαστε ότι η ( ισχύει για =,N, δηλ. πρόκειται για ένα γραμμικό σύστημα N εξισώσεων...... Ν Ν 3 + Ν+ όπυ = Ν+ =. T σύστημα αυτό επιλύεται κατά τα γνωστά και δίδει N ιδισυχνότητες ω,ω,...,ω N. Για καθεμιά ιδισυχνότητα ω, θα υπλγίσυμε τα πλάτη A,A,..A (N-. Λέμε ότι τα πλάτη αυτά ρίζυν ένα ιδιδυάνυσμα A =(A,A,..A (N-, τ πίν αντιστιχεί στην ιδισυχνότητα ω. Aν κάνυμε ένα παραλληλισμό με την λύση πυ βρίκαμε στη συνεχ χρδ (όπως κάναμε και στη περίπτωση των εγκαρσίων ταλαντώσεων δηλ. A A(z=A o si(kz, όπυ z=a A - = A o si k(-a, A = A o si ka, A + = A o si k(+a, Aντικαθιστώντας στην ( έχμε, ( k( si( k( + si(ka si = απ όπυ πρκύπτει η γνωστ μας σχέση διασπράς, Chapter
7 ω ka = ω si(, όπυ είναι ω = Τ/ma. H γενικ λύση για διαμκεις ταλαντώσεις θα ψ(z,t =Ao si(ka cost+φ, =,N Eφαρμόζντας τις συνριακές συνθκες: ψ= στ σημεί z=na=l δηλαδ, sikl έπεται kl= π, π, 3π,..., Nπ k =π/l, k =π/l=k, k 3 =3π/L=3k,.........., k N =Nπ/L=Nk, Παράδειγμα: N συζευγμένα μαθηματικά εκκρεμ Θεωρύμε N μαθηματικά εκκρεμ, καθένα μκυς l, τα πία συζεύγνυνται μεταξύ τυς μέσω ελατηρίων σταθεράς k. Chapter
8 Yπθέτυμε ότι ι μετατπίσεις είναι πλύ μικρές, ώστε η κίνηση των σωμάτων να περιρίζεται περίπυ στν ριζόντι άξνα (κατά συνέπεια να θεωρσυμε μόν διαμκεις ταλαντώσεις στα ελατρια. H (ριζντία δύναμη πυ δέχεται τ σώμα είναι (δέστε και τ παράδειγμα τυ απλύ εκκρεμύς F = - Mg si θ - k(ψ -ψ - + k(ψ + -ψ όπυ siθ ψ /!. Συνεπώς η εξίσωση κίνησης της -στς μάζας κατά τν εφαπτμενικό άξνα είναι d θ ψ Μ! Μg k(ψ ψ ψ + dt =! όμως θ si θ ψ /l (σε rads, άρα η εξίσωση γράφεται, d ψ Μ k(ψ ψ + d dt d ψ dt ψ dt = Μg! = g ψ! ψ k Μ (ψ (ψ + + = ( όπυ ω = g /! και ω = k / M. H διαφρικ εξίσωση ( είναι μεν γραμμικ, αλλά είναι συζευγμένη με άλλες διαφρικές εξισώσεις, Chapter
9 δηλ. συνλικά έχυμε ένα σύστημα N διαφ. εξισώσεων. Aναζητύμε λύσεις καννικών τρόπων ταλάντωσης, της μρφς ψ (t = A cost+φ, ψ (t = A cost+φ,.............. ψ (t = A cost+φ ( πότε αντικαθιστώντας στην (, λαμβάνυμε = ( + + = ( ω ω + (3 πυ ισχύσει για =,N, άρα πρκύπτει τ γραμμικό σύστημα N εξισώσεων... + ω + ω + ω... 3 + (4 (όπυ =. Kατά τα γνωστά, για μη μηδενικές λύσεις (A, A, A 3,..., A N, θα πρέπει η ρίζυσα (διαστάσεων Ν Ν να ισύται με μηδέν, Chapter
+ ω + ω + ω............ Aπό τ ανάπτυγμα της ρίζυσας υπλγίζνται N ρίζες για τ ω και για κάθε ρίζα ω i, ι (4 θα μας δόσυν τα πλάτη (A, A,.. A N-. Aν κάνυμε ένα παραλληλισμό με την λύση πυ βρίκαμε στη συνεχ χρδ (όπως κάναμε και στη περίπτωση των εγκαρσίων ταλαντώσεων. ντιστιχύμε δηλ. στη διάκριτη μεταβλητ την συνεχ μεταβλητ (z, όπυ z=a, πυ βρίκαμε στη περίπτωση της χρδς, δηλ. A(z=A o si(kz, πότε έχυμε τις αντιστιχίες, A - = A o si k(-a, A = A o si ka, A + = A o si k(+a, Aντικαθιστώντας στην (4 πρκύπτει, ( k( a si( k( + a + ω si(ka si = απ όπυ πρκύπτει η σχέση διασπράς, ω = ω + ω si ka ( όπυ ω = g /! και ω = k / M. Chapter
Στη επόμεν σχμα απεικνίζεται η γραφικ παράσταση της σχέσης διασπράς ω=ƒ(k για συζευγμένα εκκρεμ για διαμκεις ταλαντώσεις Chapter