Πρώτο πακέτο ασκήσεων

ΕΚΠΑ Ακαδημαϊκό έτος 208-209 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι Πρώτο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 6 Νοεμβρίου (στο μάθημα της κ. Κουραντή, του κ. Παπανδρέου ή του κ. Πινόπουλου). Θα υπάρξει και δυνατότητα να στείλετε τις λύσεις ηλεκτρονικά με σύνδεσμο που θα ανακοινωθεί στο eclass. Φροντίστε να κρατήσετε ένα αντίγραφο για τον εαυτό σας για να μπορέσετε να κάνετε αυτο-βαθμολόγηση. Οι λύσεις θα αναρτηθούν στο τέλος της ίδιας μέρας και εργασίες δε θα γίνονται δεκτές μετά από αυτή την ημέρα. Οι συνολικές μονάδες για το πακέτο είναι 0. Σε κάθε άσκηση αναφέρονται οι μονάδες που της αντιστοιχούν. Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΜΕ ΣΝΤΟΜΗ ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ (0 ερωτήσεις 0.3 μονάδες = 3 μονάδες). Αν το αγαθό x 2 μετράται στον οριζόντιο άξονα και το αγαθό x στον κάθετο άξονα και αν η τιμή του αγαθού x είναι p και του αγαθού x 2 είναι p 2, τότε η κλίση της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού είναι p p 2. ΛΑΘΟΣ Έχει σημασία σε ποιο άξονα μετράμε ποιο αγαθό! Η κλίση της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού είναι p p 2 όταν το αγαθό x μετράται στον οριζόντιο και το αγαθό x 2 στον κάθετο άξονα [διάγραμμα (a) παρακάτω]. Εφόσον στην συγκεκριμένη ερώτηση το αγαθό x 2 μετράται στον οριζόντιο άξονα και το x στον κάθετο άξονα, τότε η κλίση του περιορισμού θα είναι p 2 p [διάγραμμα (b) παρακάτω]. x 2 Διάγραμμα (a) το αγαθό x στον οριζόντιο άξονα m p2 εφω = m p 2 m p = p p 2 άρα η κλίση είναι p p 2 O ω m p x

Διάγραμμα (b) το αγαθό x 2 στον οριζόντιο άξονα m p O x ω m p2 εφω = m p m p2 x 2 = p 2 p άρα η κλίση είναι p 2 p 2. Αν όλες οι τιμές διπλασιαστούν και το χρηματικό εισόδημα παραμείνει αμετάβλητο, το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων δεν αλλάζει επειδή οι σχετικές τιμές δεν αλλάζουν. ΛΑΘΟΣ Όντως οι σχετικές τιμές δεν αλλάζουν, δηλαδή η κλίση της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού παραμένει ίδια. Όμως η γραμμή μετατοπίζεται παράλληλα προς τα μέσα οπότε το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων αλλάζει. Ο διπλασιασμός όλων των τιμών είναι ακριβώς το ίδιο με την διαίρεση του εισοδήματος δια 2 οπότε το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων περιορίζεται. 3.Εάν τα αγαθά και είναι τέλεια συμπληρωματικά, τότε πρέπει ο καταναλωτής να είναι αδιάφορος μεταξύ των συνδυασμών: (α) Μια μονάδα και μια μονάδα (β) Δυο μονάδες και μια μονάδα ΛΑΘΟΣ Δεν γνωρίζουμε σε ποια αναλογία καταναλώνονται τα δυο αγαθά! Εάν καταναλώνονται σε αναλογία : τότε πράγματι ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ (α) και (β) [διάγραμμα (a) παρακάτω]. Εάν όμως καταναλώνονται σε αναλογία 2: τότε ο καταναλωτής προτιμάει το (β) από το (α) το τελευταίο βρίσκεται σε χαμηλότερη καμπύλη αδιαφορίας [διάγραμμα (b) παρακάτω]. Διάγραμμα (a) Η αναλογία είναι : άρα είναι αδιάφορος 2 2

Διάγραμμα (b) Η αναλογία είναι 2: άρα δεν είναι αδιάφορος 0.5 2 4. Αν το αγαθό είναι ουδέτερο αγαθό, ο οριακός λόγος υποκατάστασης του από το αγαθό είναι μηδέν. ΣΩΣΤΟ Εφόσον το είναι ουδέτερο ισχύει MU = 0: μεγαλύτερη ποσότητα από το X δεν επηρεάζει την χρησιμότητα. Συνεπώς, ο οριακός λόγος υποκατάστασης του από το αγαθό είναι MRS = MU x MU y = 0. Αν απομακρύνουμε μια μονάδα από το αγαθό, ο καταναλωτής χρειάζεται μηδέν μονάδες του αγαθού προκειμένου να αποζημιωθεί για την απώλεια του. 5. Ένας καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας U = (a x ) x 2 με α > x. Για αυτόν τον καταναλωτή, το x 2 είναι αγαθό ενώ το x δεν είναι αγαθό (δηλαδή είναι «κακό»). ΣΩΣΤΟ πολογίζουμε την οριακή χρησιμότητα για κάθε αγαθό MU x = x 2 < 0 : μεγαλύτερη ποσότητα από το x μειώνει την χρησιμότητα, άρα «κακό» MU x2 = α x > 0 : μεγαλύτερη ποσότητα από το x 2 αυξάνει την χρησιμότητα, άρα αγαθό 6. Ένας καταναλωτής θεωρεί ότι τα αγαθά και είναι τέλεια υποκατάστατα. Η άριστη επιλογή του καταναλωτή σε αυτή την περίπτωση θα αποτελεί πάντα λύση γωνίας (δηλαδή, θα καταναλώνει πάντα μόνο ένα από τα δυο αγαθά). ΛΑΘΟΣ Λύση γωνίας έχουμε εάν ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι διαφορετικός από την κλίση της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού. πάρχει περίπτωση όμως ο οριακός λόγος υποκατάστασης να είναι ίσος με την κλίση της γραμμής εισοδηματικού περιορισμού οπότε έχουμε και εσωτερικές λύσεις: ουσιαστικά, κάθε ποσότητα των δυο αγαθών που ικανοποιεί τον εισοδηματικό περιορισμό θα είναι άριστη επιλογή (η καμπύλη αδιαφορίας και η γραμμή εισοδηματικού περιορισμού συμπίπτουν). 3

7. Ένας καταναλωτής έχει επιλέξει τον άριστο συνδυασμό αγαθών και, ο οποίος περιλαμβάνει μια θετική ποσότητα και από τα δυο αγαθά. Η τιμή του ενός αγαθού αυξάνεται. Η χρησιμότητα του καταναλωτή είναι σίγουρα μικρότερη μετά την μεταβολή της τιμής. ΣΩΣΤΟ Έχουμε εσωτερική λύση (θετικές ποσότητες και από τα δυο αγαθά). Όταν αυξάνεται η τιμή ενός αγαθού, η γραμμή εισοδηματικού περιορισμού μετατοπίζεται προς τα μέσα, άρα ο καταναλωτής θα βρίσκεται σε χαμηλότερη καμπύλη αδιαφορίας. ΠΡΟΣΟΗ! Αν είχαμε λύση γωνίας τότε η απάντηση θα ήταν λάθος. Έστω η άριστη επιλογή του καταναλωτή είναι > 0 και = 0. Αν αυξηθεί η τιμή του αγαθού, τότε η χρησιμότητα του καταναλωτή δεν μεταβάλλεται. 8. Ένας καταναλωτής ο οποίος μεγιστοποιεί την χρησιμότητα του θα επιλέγει πάντα ένα συνδυασμό αγαθών στον οποίο η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας θα είναι ίση με την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού. ΛΑΘΟΣ Δεν ισχύει σε περιπτώσεις όπου έχουμε λύσεις γωνίας. 9. Ένας καταναλωτής δαπανά όλο του το εισόδημα για τροφή (F) και ρουχισμό (C). Στις τιμές p F = 0 και p C = 5, ο καταναλωτής μεγιστοποιεί την χρησιμότητά του αγοράζοντας θετικές ποσότητες και από τα δυο. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης στο άριστο σημείο επιλογής είναι 2 (ή 0.5). ΣΩΣΤΟ Εφόσον ο καταναλωτής μεγιστοποιεί την χρησιμότητα καταναλώνοντας θετικές ποσότητες και από τα δυο αγαθά (εσωτερική λύση), τότε ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ίσος με την κλίση της γραμμής εισοδηματικού περιορισμού. - Αν στον οριζόντιο άξονα τοποθετήσουμε την τροφή και στον κάθετο τον ρουχισμό ΟΛ = 0/5 = 2, δηλαδή θυσιάζω 2 μονάδες ρουχισμού για μονάδα τροφής. - Αν στον οριζόντιο άξονα τοποθετήσουμε τον ρουχισμό και στον κάθετο την τροφή ΟΛ = 5/0 = 0.5, δηλαδή θυσιάζω 0.5 μονάδα τροφής για μονάδα ρουχισμού. ΠΡΟΣΟΗ! Αν είχαμε λύση γωνίας τότε η απάντηση θα ήταν λάθος. Σε λύσεις γωνίας, η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας δεν θα είναι ίση με την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού. 0. Αν ο καταναλωτής δεν έχει κυρτές προτιμήσεις, τότε ένα σημείο επαφής μεταξύ της καμπύλης αδιαφορίας του και της γραμμής εισοδηματικού περιορισμού του πρέπει να είναι το άριστο σημείο κατανάλωσης. ΛΑΘΟΣ 4

Εφόσον δεν είναι κυρτές έστω ότι είναι κοίλες. Σε αυτή την περίπτωση, η άριστη επιλογή θα είναι πάντα μια επιλογή στα άκρα: έχουμε λύση γωνίας στην οποία η καμπύλη αδιαφορίας και η γραμμή εισοδ. περιορ. δεν εφάπτονται. Ένα παράδειγμα δίνεται παρακάτω. Α Β Άριστο σημείο επιλογής είναι το Β και όχι το Α. (το Β βρίσκεται σε υψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας από ότι το Α) Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ/ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (7 μονάδες). Ένα φωτοτυπάδικο χρεώνει 0.05 την σελίδα για τις πρώτες 0.000 φωτοτυπίες μέσα στο μήνα αλλά μετά μειώνει την τιμή σε 0.02 την σελίδα πάνω από τις 0.000. Έστω ότι το οικονομικό τμήμα έχει μηνιαίο προϋπολογισμό 5.000. (α) Βάζοντας «φωτοτυπίες σε πακέτα των 00 σελίδων» στον οριζόντιο άξονα και «ευρώ για άλλα αγαθά» στο κάθετο άξονα, δείξτε διαγραμματικά τον εισοδηματικό περιορισμό. (β) ποθέστε ότι το φωτοτυπάδικο αλλάζει την τιμολογιακή πολιτική του χρεώνοντας 0.05 την σελίδα για όλες τις φωτοτυπίες. Δείξτε στο ίδιο διάγραμμα με το ερώτημα (α) τον νέο εισοδηματικό περιορισμό. ( μον.) (α) Έστω = «φωτοτυπίες σε πακέτα των 00 σελίδων» και = «ευρώ για άλλα αγαθά». Εφόσον μετράμε τις φωτοτυπίες σε πακέτα των 00 σελίδων, για τις πρώτες 0.000 έχουμε = 0.000/00 = 00 και τιμή p X = 0.05 00 = 5. Δηλαδή τα πρώτα 00 πακέτα φωτοτυπιών έχουν τιμή 5 ευρώ. Τα επόμενα πακέτα έχουνε τιμή 2. Επιπλέον, εφόσον το αγαθό μετράει «ευρώ για άλλα αγαθά», δηλαδή είναι σύνθετο αγαθό, η τιμή του είναι. 5 + = 5.000 για 00 2 + = 4.700 για > 00 5

5.000 4.500 00 2.350 Πως βρίσκω το σημείο τομής με τον άξονα των, δηλαδή πως βρίσκω το 2.350? Σε αυτό το σημείο = 0, δηλαδή το οικονομικό τμήμα ξοδεύει όλο το εισόδημα (5.000 ) σε πακέτα φωτοτυπιών. Τα πρώτα 00 πακέτα κοστίζουν 5 άρα ξοδεύει 500 και του μένουν να ξοδέψει άλλα 4.500 στη νέα τιμή 2 /πακέτο: 4.500/2 = 2.250 πακέτα. Άρα σύνολο 00 + 2.250 = 2.350 πακέτα. Πως βρίσκω την εξίσωση του εισοδηματικού περιορισμού μετά την έκπτωση, δηλαδή ουσιαστικά πως βρίσκω το 4.700? Για > 00, 2 + = m. Το σημείο τομής με τον άξονα του ( = 0, = 2.350) που βρήκαμε παραπάνω πρέπει να ικανοποιεί τον περιορισμό οπότε 2 2.350 + 0 = 4.700. (β) 5 + = 5.000 5.000 4.500 00.000 2.350 2. Σχεδιάστε τις καμπύλες αδιαφορίας για τις προτιμήσεις διαφόρων καταναλωτών σχετικά με τα χάμπουργκερ και την μπύρα (τοποθετήστε τα χάμπουργκερ στον οριζόντιο άξονα και την μπύρα στον κάθετο και δείξτε την κατεύθυνση στην οποία η χρησιμότητα αυξάνεται). (α) Η Μαρία έχει κυρτές καμπύλες αδιαφορίας και δεν της αρέσουν ούτε τα χάμπουργκερ ούτε η μπύρα. (β) Στον Ανδρέα του αρέσουν τα χάμπουργκερ και η μπύρα αλλά δεν του αρέσει να τα καταναλώνει μαζί. (γ) Στον Γιώργο του αρέσουν τα χάμπουργκερ αλλά δεν του αρέσει η μπύρα. (δ) Στον Γιάννη του αρέσουν τα χάμπουργκερ και η μπύρα, αλλά επιμένει να καταναλώνει ακριβώς μια μπύρα για κάθε δυο χάμπουργκερ. (ε) Στην ριστίνα της αρέσουν τα χάμπουργκερ αλλά δεν ενδιαφέρεται για την μπύρα (2 μον.) 6

Έστω τα χάμπουργκερ και η μπύρα (α) Και τα δυο αγαθά είναι «κακά» (β) όπως παραπάνω αλλά τα βέλη με αντίθετη φορά (γ) η μπύρα είναι «κακό» αγαθό (δ) τέλεια συμπληρωματικά 2 2 4 7

(ε) η μπύρα είναι ουδέτερο αγαθό 3. πολογίστε τον οριακό λόγο υποκατάστασης για τις συναρτήσεις χρησιμότητας (α) U = X 4 Y 3 4 (β) V = 0.25 lnx + 0.75 lny. Να συγκρίνετε τους ΟΛ που βρήκατε. Τι παρατηρείτε? Εξηγήστε. (0.5 μον.) (α) (β) MU X MU Y = Y 3X MV X MV Y = Y 3X Και στις δυο περιπτώσεις ο ΟΛ είναι Y 3X. Η συνάρτηση V είναι θετικός μονοτονικός μετασχηματισμός της U, δηλαδή V = lnu. Γνωρίζουμε ότι o ΟΛ παραμένει αμετάβλητος από έναν θετικό μονοτονικό μετασχηματισμό. 4. Αν ένας καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας U = 4, ποιο ποσοστό του εισοδήματος του θα δαπανήσει για το αγαθό? (0.5 μον.) Έστω η συνάρτηση Cobb-Douglas της μορφής U(, ) = X α Y β. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης του καταναλωτή είναι 8

max U(, ) = X,Y Xα Y β με περιορισμό p x X + p y Y = m Η συνθήκη βελτιστοποίησης είναι MU x MU y = α βx = p x /p y, δηλαδή αp y Y = βp x. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με τον εισοδηματικό περιορισμό, p x X + p y Y = m, βρίσκουμε τις συναρτήσεις ζήτησης κατά Μάρσαλ και = α m α + β p = β m α + β όπου m το εισόδημα και p, p οι τιμές των αγαθών,. Οι παραπάνω συναρτήσεις ζήτησης μπορούν να γραφτούν και ως p και p m = α α + β p m = β α + β O καταναλωτής ξοδεύει ποσοστό α (α + β) του εισοδήματος για το και ποσοστό β (α + β) για το. Στην συγκεκριμένη άσκηση έχουμε α = και β = 4 άρα β (α + β) = 4 5, άρα ο καταναλωτής θα δαπανήσει το 80% του εισοδήματος του στο αγαθό. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Έχετε διδαχθεί 3 τρόπους για το πώς να βρίσκετε τις συναρτήσεις ζήτησης μέσω του προβλήματος μεγιστοποίησης του καταναλωτή. Εδώ παρουσιάζεται ο ένας από αυτούς θα πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε τις παραπάνω συναρτήσεις ζήτησης, αλλά και τις συναρτήσεις ζήτησης οποιουδήποτε προβλήματος μεγιστοποίησης σας δωθεί, και με τους 3 τρόπους. 5. Πιο κάτω δίνεται η εισοδηματική γραμμή ενός καταναλωτή και μια καμπύλη αδιαφορίας για δύο προϊόντα ( και ). Έστω ότι η τιμή του αγαθού είναι 20 ευρώ. (α) Είναι δυνατόν να υπολογιστεί η τιμή του αγαθού ; (β) Ποια είναι η εξίσωση της εισοδηματικής γραμμής; (γ) Αν η τιμή του αυξηθεί σε 25 ευρώ και η τιμή του αγαθού παραμείνει η ίδια, ποια θα είναι η μεταβολή στο πιο πάνω διάγραμμα; Θα επηρεαστεί η συνολική χρησιμότητα του καταναλωτή; ( μον) 9

50 40 Άσκηση 5. (α) Το εισόδημα του καταναλωτή ισούται με 40 20 = 800. Συνεπώς, η τιμή του είναι (800/50) = 6 ευρώ. (β) Η εξίσωση της εισοδηματικής γραμμής είναι 20 + 6 = 800. (γ) Αν η τιμή του αυξηθεί στα 25 ευρώ, θα μπορεί να αγοράσει μόνο 32 μονάδες του με τα 800 ευρώ. Η συνολική χρησιμότητα θα μειωθεί, αφού ο καταναλωτής δε θα μπορεί πια να φτάσει στην προηγούμενη καμπύλη αδιαφορίας. 50 32 40 6. Η συνάρτηση χρησιμότητας ενός καταναλωτή είναι της μορφής U(X, Y) = X + 2 Y To εισόδημα του είναι 0 και οι τιμές των αγαθών και είναι p X = 4 και p Y = 4 αντίστοιχα. (α) Είναι η συνάρτηση χρησιμότητας ομοθετική? 0

(β) πολογίστε τις ποσότητες και που μεγιστοποιούν την χρησιμότητα. (γ) Έστω η τιμή του μειώνεται σε p Y =. πολογίστε τις νέες ποσότητες και οι οποίες μεγιστοποιούν την χρησιμότητα. Τι παρατηρείτε σε σχέση με το ερώτημα (β)? (2 μον) (α) Μια συνάρτηση χρησιμότητας είναι ομοθετική αν ο MRS εξαρτάται μόνο από το λόγο των ποσοτήτων (/) και όχι από τις συνολικές ποσότητες των αγαθών. Για την συγκεκριμένη συνάρτηση χρησιμότητας ισχύει ΜRS = MU X MU Y = Y O MRS εξαρτάται μόνο από την ποσότητα του και όχι από τον λόγο των ποσοτήτων άρα η συνάρτηση χρησιμότητας δεν είναι ομοθετική. (β) Εσωτερική λύση: =, =. 5 Το πρόβλημα μεγιστοποίησης του καταναλωτή είναι max U(, ) = + 2 X,Y με περιορισμό 4 + 4 = 0 Σχηματίζω τη συνάρτηση Lagrange και παίρνω τις συνθήκες πρώτης τάξης L = + 2 λ(4 + 4 = 0) () L X = 0 = 4λ (2) L Y = 0 Y = 4λ (3) L λ = 0 4 + 4 = 0 H (3) ουσιαστικά μας δίνει πίσω τον εισοδηματικό περιορισμό. Διαιρώ () και (2) κατά μέλη και παίρνω (4) = Άρα από (4) έχω =. Αντικαθιστώντας το τελευταίο στον εισοδηματικό περιορισμό και λύνοντας ως προς, έχουμε =.5

(γ) Λύση γωνίας: = 0, = 0 Το πρόβλημα μεγιστοποίησης του καταναλωτή είναι max U(, ) = + 2 X,Y με περιορισμό 4 + = 0 Σχηματίζω τη συνάρτηση Lagrange και παίρνω τις συνθήκες πρώτης τάξης L = + 2 λ(4 + = 0) (5) L X = 0 = 4λ (6) L Y = 0 Y = λ (7) L λ = 0 4 + = 0 H (7) ουσιαστικά μας δίνει πίσω τον εισοδηματικό περιορισμό. Διαιρώ (5) και (6) κατά μέλη και παίρνω (8) = 4 Άρα από (8) έχω = 6. Αντικαθιστώντας το τελευταίο στον εισοδηματικό περιορισμό και λύνοντας ως προς, έχουμε =.5 το οποίο δεν μπορεί να ισχύει! Άρα έχουμε = 0. Αντικαθιστώντας το τελευταίο στον εισοδηματικό περιορισμό έχουμε = 0. Αρχικά, ο καταναλωτής επιλέγει θετικές ποσότητες και από τα δυο αγαθά. Όταν η τιμή του αγαθού μειώνεται, αυτό γίνεται αρκετά φθηνότερο έτσι ώστε ο καταναλωτής πλέον επιλέγει να μην καταναλώσει καθόλου από το άλλο αγαθό. Δηλαδή, η μείωση της τιμής οδήγησε από μια εσωτερική λύση σε μια λύση γωνίας! ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Έχουμε δείξει 3 τρόπους για το πώς υπολογίζουμε τις άριστες ποσότητες των δυο αγαθών. Στα ερωτήματα (β), (γ) παραπάνω παρουσιάζεται η λύση με έναν από αυτούς θα πρέπει να είστε σε θέση να λύσετε αυτά τα ερωτήματα, αλλά και οποιοδήποτε πρόβλημα μεγιστοποίησης σας δωθεί, και με τους 3 τρόπους. 2

P X =4, P Y =4 Άριστη επιλογή *=.5, *= P X =4, P Y = Άριστη επιλογή *=0, *=0 Y 3