ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΚΟΤΜΕ ΣΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ Για να οριςκεί μια ςυνάρτθςθ πρζπει να δοκοφν δφο ςτοιχεία : Σο πεδίο οριςμοφ τθσ Α και Η τιμι τθσ f() για κάκε Α. Οριςμζνεσ φορζσ μασ δίνουν μόνο τον τφπο με τον οποίο εκφράηεται το f(). Σε μια τζτοια περίπτωςθ κα κεωροφμε ότι το πεδίο οριςμοφ είναι το «ευρφτερο» υποςφνολο του ςτο οποίο το f() ζχει νόθμα αρικμοφ. Θα προςπακιςουμε εδϊ να κατατάξουμε τισ ςυναρτιςεισ ςε κατθγορίεσ και να δοφμε τον τρόπο με τον οποίο μποροφμε να βρίςκουμε το πεδίο οριςμοφ.. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε θ f() δίνει πραγματικό αρικμό. Οι ςυναρτιςεισ f ( ) 3 3 5 7 3 7 6, g( ) 8 3 ζχουν πεδίο οριςμοφ το.. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΡΗΣΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το με εξαίρεςθ εκείνεσ τισ τιμζσ που μθδενίηουν τον παρονομαςτι. f ( ) 4 0 4 4 άρα πεδίο οριςμοφ το,. 3. Αν θ ςυνάρτθςθ ζχει τφπο f ( ) g( ) (, g( ) ακζραιο πολυώνυμο του ) Σότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διάςτθμα ι τα διαςτιματα για κάκε ςτοιχείο των οποίων g ( ) 0. f ( ) 4 3 6 8 : 4 ( ) 4 3 0 6 4,,,, 3, 6 ( ) 6 3 0, 4,,,,4 4 3 3 4 Από (α) και (β) Άρα πεδίο οριςμοφ *3,4+ 4. Μπορεί ο τφποσ μιασ ςυνάρτθςθσ να περιζχει δφο ι περιςςότερεσ από τισ προθγοφμενεσ μορφζσ. τθν περίπτωςθ αυτι εργαηόμαςτε χωριςτά για κάκε μορφι και βρίςκουμε τθν τομι των διαςτθμάτων. Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Σ Α. Να βρεκεί το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ: ΛΤΗ f( ) 0 ( ) Πρζπει - 0, 0, (β) 0 ( ) 0 - + - Από (α) και (β) ζχουμε, 0,. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ
. Να βρεκεί το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ: ΛΤΗ f( ) 3 Πρζπει --3>0, Δ=4+=6,, = 4,, 3-3 + - + Άρα πεδίο οριςμοφ, 3,. ΑΚΗΕΙ ΣΗΝ ΕΝΟΙΑ ΣΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Ερωτιςεισ τφπου «ςωςτό-λάκοσ». Μία ζσνάρηεζε f: A B, A R και B R λέγεηαι πραγμαηική ζσνάρηεζε πραγμαηικής μεηαβλεηής. Σ Λ. Το ζτήμα παριζηάνει ζσνάρηεζε. Σ Λ 3. Ο ηύπος f() 4 ορίδει ζσνάρηεζε Σ Λ 4. Το πεδίο οριζμού ηες f () είναι ηο R. Σ Λ 5. Αν f() 4 7 ηόηε f (3) 9 7. Σ Λ 6. Το ζύνολο ηιμών ηες f () 3, 3 3 είναι {-, }. Σ Λ Ερωτιςεισ ανάπτυξθσ, αν 0. Αν f (), αν0 4 3, αν 4 να βρεκοφν οι οι τιμζσ: f (3), f (0), f (-), f (5), f (-), f ( ), f ().. Αν f () = -, R να ςυμπλθρϊςετε τισ ιςότθτεσ: α) f (- 3) =...β) f (α) =..., α R γ) f (3) =... δ) f ( )... 3. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ, f () 4, 3, Να ςυμπλθρϊςετε τισ ιςότθτεσ: α) f (-3) =... β) f (-) =... γ) f (0) =... δ) f () =... Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ
4. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f, 0 3, 0 i. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ f. ii. Να βρείτε τα α και β ϊςτε f(-)= και f()=3., 5. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f, Να βρείτε τα α και β ϊςτε f(0)=f()=4. 5, 6. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f, Να λυκεί θ εξίςωςθ λ-f(-4)=λf(0) 7. Να βρεκεί το πεδίο οριςμοφ των παρακάτω ςυναρτιςεων : 3 i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) ( ) ( ) v f vi f viii f. ( ).. 5 4 3 6 8 8.. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ Α των ςυναρτιςεων: 3 α) f () β) g () γ) h () δ) ε) f () 5 4 Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 3 f () ζη) f () δ) f () 5 ( )( 3) 9. Να βρείηε ηα πεδία οριζμού ηων ζσναρηήζεων: α. f β. f 4 γ. 3 f δ. f() ε. f() 3 0. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f()= 3 -. Να λφςετε : α) Τθν εξίςωςθ f()=0. β) Τθν εξίςωςθ f(-)-f()= γ) Τθν ανίςωςθ f()-8f()<.. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f()= -+5. α) Να εξετάςετε αν το - ανικει ςτο ςφνολο τιμϊν τθσ f. β)να βρείτε το ςφνολο τιμϊν τθσ f.. Ζςτω f: μια ςυνάρτθςθ για τθν οποία ιςχφει f(+y)=f()+f(y), για κάκε, y. Να αποδείξετε ότι: α) f(0)=0 β) f()+f(-)=0, για κάκε. 3. Ζςτω f: μια ςυνάρτθςθ για τθν οποία ιςχφει f(y)=f()+f(y), για κάκε, y. Να αποδείξετε ότι: α) f()=0 β) f f() για κάκε 0. 4. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f: για τθν οποία ιςχφει: f(+)=3f()-(-3) για κάκε.να βρείτε: α) Τθν τιμι f() β) Τον τφπο f() τθσ ςυνάρτθςθσ.
ΚΑΡΣΑΙΑΝΕ ΤΝΣΕΣΑΓΜΕΝΕ Ζνα ηεφγοσ δυο κάκετων αξόνων ϋ και ψϋψ, με κοινι αρχι Ο, το ονομάηουμε καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων και το ςυμβολίηουμε Oy, ενϊ το επίπεδο ςτο οποίο ορίςτθκε αυτό το ςφςτθμα το ονομάηουμε καρτεςιανό επίπεδο. Στθν περίπτωςθ που οι μονάδεσ των αξόνων ϋ και yϋy ζχουν το ίδιο μικοσ το ςφςτθμα λζγεται ορκοκανονικό. Με τθν βοικεια ενόσ ςυςτιματοσ ςυντεταγμζνων μποροφμε να αντιςτοιχίςουμε ζνα διατεταγμζνο ηεφγοσ (α,β) πραγματικϊν αρικμϊν ςε ζνα ςθμείο Μ του επιπζδου και αντιςτρόφωσ. Το Μ ςυμβολίηεται με Μ(α,β). Οι αρικμοί α, β λζγονται ςυντεταγμζνεσ του Μ. Ειδικότερα το α ονομάηεται τετμθμζνθ και το β τεταγμζνθ. Ζνα ςθμείο Μ(α,0) δθλαδι με τεταγμζνθ μθδζν βρίςκεται ςτον άξονα ϋ. Ζνα ςθμείο Μ(0,β) δθλαδι με τετμθμζνθ μθδζν βρίςκεται ςτον άξονα yϋy. Οι άξονεσ χωρίηουν το επίπεδο ςε τζςςερα τεταρτθμόρια, όπωσ φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα. Αν το Μ(α,β) είναι ςθμείο του: ου Τεταρτθμορίου α>0 και β>0 ου Τεταρτθμορίου α<0 και β>0 3 ου Τεταρτθμορίου α<0 και β<0 4 ου Τεταρτθμορίου α>0 και β<0 θμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τουσ άξονεσ. Τα ςθμεία Μ(α,β) και Μϋ(α,-β) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα. Τα ςθμεία Μ(α,β) και Μϋϋ(-α,β) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα y y. Δφο ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα ζχουν ίδια τετμθμζνθ και αντίκετεσ τεταγμζνεσ. Δφο ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα y y ζχουν αντίκετεσ τετμθμζνεσ και ίδια τεταγμζνθ. θμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τθν αρχι των αξόνων. Τα ςθμεία Μ(α,β) και Μϋ(-α,-β) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθν αρχι Ο(0,0) των αξόνων. Δφο ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τθν αρχι των αξόνων, ζχουν αντίκετεσ τετμθμζνεσ και τεταγμζνεσ. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 4
θμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων. Τα ςθμεία Μ(α,β) και Μϋ(β,α) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων. Δφο ςθμεία είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων όταν θ τετμθμζνθ του ενόσ είναι ίςθ με τθν τεταγμζνθ του άλλου. Απόςταςθ ςθμείων. ( ) ( ) (y y ) Εξίςωςθ κφκλου κζντρου Ο(0,0) και ακτίνασ ρ. Η εξίςωςθ +y =ρ λζγεται εξίςωςθ κφκλου με κζντρο Ο και ακτίνα ρ. Ο κφκλοσ με κζντρο Ο και ακτίνα ρ= ζχει εξίςωςθ +y = και λζγεται μοναδιαίοσ κφκλοσ. Ερωτιςεισ ανάπτυξθσ. Το ςθμείο Α(α-7, 3α-9) ανικει ςτον άξονα ϋ και το ςθμείο Β(β+4, 4-β) ανικει ςτον άξονα yϋy, όπου Α,Β. α) Να βρείτε τισ ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων Α και Β. β) Αν το ςθμείο Γ(γ, γ-5) ιςαπζχει από τα Α και Β, να βρείτε τθν τιμι του γ.. Για ποιεσ τιμζσ των κ, λ το τρίγωνο με κορυφζσ τα ςθμεία Α(-, ), Β(, -) και Γ(κ, λ) είναι ιςόπλευρο. 3. Δίνεται το ςθμείο Α(,7). Το ςθμείο Β είναι ςυμμετρικό του Α ωσ προσ τον άξονα yϋy και το ςθμείο Γ είναι το ςυμμετρικό του Α ωσ προσ τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων. α) Να βρείτε τθν απόςταςθ (ΒΓ). β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορκογϊνιο και ιςοςκελζσ, όπυο Ο θ αρχι των αξόνων. 4. Τα ςθμεία Α(α +α, -α) και Β(α+6, α -α) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα ϋ. α) Να βρείτε τον αρικμό α. β) Να βρείτε το ςυμμετρικό του α ωσ προσ : i. Τον άξονα yϋy. ii. Τθν αρχι των αξόνων. iii.τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 5
5. Τα ςθμεία Α(-3,3) και Β(,λ) απζχουν απόςταςθ (ΑΒ)=5. Να βρείτε: α) Τον αρικμό λ. β) Σθμείο Γ του αρνθτικοφ θμιάξονα Οϋ, ϊςτε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ιςοςκελζσ με βάςθ ΑΓ. γ) Τθν περίμετρο του τριγϊνου ΑΒΓ. 6. Τα ςθμεία Α(λ -5, ) και Β(4-6λ, 5 ) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθν αρχι των αξόνων. Να βρείτε: α) τουσ αρικμοφσ λ και μ. β) τθν απόςταςθ (ΑΒ). γ) ςθμείο Γ του αρνθτικοφ θμιάξονα Οyϋ, ϊςτε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορκογϊνιο με υποτείνουςα τθν ΑΒ. 7. Δίνονται τα ςθμεία Α(5, 4), Β(α, 4-α) και Γ(4, 6), με α, για τα οποία ιςχφει (ΑΒ)=(ΑΓ). α) Να βρείτε τον αρικμό α. β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγϊνου ΑΒΓ. γ) Ζςτω Δ ςθμείο του άξονα yϋy το οποίο ιςαπζχει από τα Α και Β. i. Να βρείτε τισ ςυντεταγμζνεσ του ςθμείου Δ. ii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ορκογϊνιο και ιςοςκελζσ. 8. Δίνεται ζνασ κφκλοσ C που ζχει κζντρο τθν αρχι των αξόνων Ο και διζρχεται από τα ςθμεία Α(α-,α) και Β(α-8, 6-α), όπου α. α) Να βρείτε τον πραγματικό αρικμό α και να γράψετε τθν εξίςωςθ του κφκλου C. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορκογϊνιο. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 6
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΤΝΑΡΣΗΗ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ. Γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f με πεδίο οριςμοφ το ςφνολο Α, λζμε το ςφνολο των ςθμείων Μ(, f()), για όλα τα Α.. Τθν εξίςωςθ y=f() τθ λζμε εξίςωςθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f. 3. Ζνα ςθμείο Μ(,y) ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ αν οι ςυντεταγμζνεσ του επαλθκεφουν τθν εξίςωςθ y=f(). 4. Για να βροφμε ποφ θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ τζμνει τον άξονα ϋ βάηουμε ςτον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ όπου y=0. 5. Για να βροφμε ποφ θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ τζμνει τον άξονα yϋy βάηουμε ςτον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ όπου =0. 6. Για να είναι μια καμπφλθ γραφικι παράςταςθ ςυνάρτθςθσ κα πρζπει κάκε ευκεία παράλλθλθ ςτον άξονα yϋy να τθν τζμνει ςε ζνα μόνο ςθμείο. 7. Το πλικοσ των ριηϊν τθσ f()=0 είναι όςα τα κοινά ςθμεία τθσ C f με τον άξονα ϋ. 8. Η γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f βρίςκεται πάνω από τον άξονα ϋ ςτα διαςτιματα του που είναι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ f()>0. 9. Η γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f βρίςκεται κάτω από τον άξονα ϋ ςτα διαςτιματα του που είναι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ f()<0. 0. Ζςτω οι ςυναρτιςεισ f, g με πεδίο οριςμοφ το Α. Τα κοινά ςθμεία των C f και C g ζχουν τετμθμζνεσ τισ ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ f()=g(). H C f βρίςκεται πάνω από τθν C g ςτα διαςτιματα του που είναι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ f()>g(). H C f βρίςκεται κάτω από τθν C g ςτα διαςτιματα του που είναι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ f()<g().. Εφρεςθ πεδίου οριςμοφ και ςυνόλου τιμϊν από τθν C f. Το πεδίο οριςμοφ τθσ f είναι το ςφνολο το οποίο ζχει ςτοιχεία τισ τετμθμζνεσ των ςθμείων τθσ C f. Δθλαδι θ προβολι τθσ C f πάνω ςτον άξονα ϋ. y A Το ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι το ςφνολο το οποίο ζχει ςτοιχεία τισ τεταγμζνεσ των ςθμείων τθσ C f. Δθλαδι θ προβολι τθσ C f πάνω ςτον άξονα yϋ y. f(a) y Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 7
Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 8
Ερωτιςεισ ανάπτυξθσ. Ζςτω θ ςυνάρτθςθ f()=α 3 -(α+) -β-. Αν θ C f διζρχεται από τα ςθμεία Α(, -) και Β(-,3), να βρείτε τα α, β και τθν f.. Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f()= -3- και g()=-7. Να βρείτε : i. Τα κοινά ςθμεία των C f και C g. ii. Τα διαςτιματα του που θ C f βρίςκαται: α. Πάνω από τθν C g. β. Κάτω από τθν C g. 3. Να βρείτε τα ςθμεία τομισ των γραφικϊν παραςτάςεων των ςυναρτιςεων f() = 3 - και g () = -. 4. Στο δίπλα ςχιμα είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Να βρείτε τα f(-), f(0), f(- 3 ), f(3) - - 3 y - 3 5. Στο δίπλα ςχιμα είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ και το ςφνολο τιμϊν τθσ f. 6. Στο δίπλα ςχιμα είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Να βρείτε: i. τα f(0), f(-), f() ii. το πεδίο οριςμοφ τθσ f iii.το ςφνολο τιμϊν τθσ f iv.τισ ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ f()=0 v. τα διαςτιματα του που θ C f είναι : α. πάνω από τον άξονα ϋ β. κάτω από τον άξονα ϋ Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 9
7. Στο διπλανό ςχιμα είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Να λφςετε τθν i. εξίςωςθ f()=0 ii. ανίςωςθ f()>0 iii. ανίςωςθ f()<0 8. Ζςτω θ ςυνάρτθςθ f()= -α+α. Να βρείτε το α ϊςτε θ γραφικι παράςταςθ τθσ f να διζρχεται από το ςθμείο Α(-, 5). 9. Να βρεκοφν τα ςθμεία που θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f()= -5+6 τζμνει τουσ άξονεσ ϋ και yϋy. 0. Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f()= -3+λ και g()= 5 +μ. Το ςθμείο Κ(-, 6) ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ f. α) Να βρείτε τον αρικμό λ. β) Αν οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f και g τζμνουν τον άξονα yϋy ςτο ίδιο ςθμείο, να βρείτε τον αρικμό μ. γ) Για τισ παραπάνω τιμζσ των λ και μ, να βρείτε τα διαςτιματα ςτα οποία: i. θ C f βρίςκεται κάτω από τον άξονα ϋ. ii. θ C g βρίςκεται πάνω από τον άξονα ϋ.. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f() 3 4. α) Να βρεκεί το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ f. β) Να βρεκεί το ςθμείο ςτο οποίο θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει τον yϋy. γ) Να βρεκοφν τα ςθμεία που θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει τον ϋ. δ) Να εξετάςετε αν θ γραφικι παράςταςθ τθσ f διάρχεται από τα ςθμεία Σ(,-) και Λ(-,3). ε) Να απλοποιθκεί ο τφποσ τθσ f. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 0