Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ χ ή, ή χ (, ) (, ) χ 5 χ χ 5 γ) χ 5 ή, ή χ 5,, 5 δ) χ αδύνατη ε) χ χ R στ) χ 5 0 χ 5 χ 5 5 χ 5, ή χ 5, 5 ζ) χ αδύνατη. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις με Απόλυτα Α) αχ θ όπου θ 0. αχ θ θ αχ θ θ αχ θ αν α 0 τότε : αν α 0 τότε : θ θ χ α α θ θ θ θ χ χ α α α α Παρατήρηση : αν θ 0, τότε : αχ 0 αχ 0 αν θ 0, τότε : αχ θ είναι αδύνατη. Β) αχ θ όπου θ 0. αχ θ αχ θ αχ θ ή ή αχ θ αχ θ θ χ α θ θ αν α 0 τότε : ή χ,, α α θ χ α ΣΕΛ. 5
αν α 0 τότε : θ χ α θ θ ή χ,, α α θ χ α Παρατήρηση : αν θ 0, τότε : αχ θ ισχύει πάντα (για κάθε χr) Γ) αχ γχ δ ή αχ γχ δ Εξετάζω περιπτώσεις για το γχ δ ( 0 ή 0 ή 0 ) και λύνω σύμφωνα με τα παραπάνω. Ασκήσεις 45. Να αντιστοιχίσετε κάθε ανίσωση της στήλης (Α) με τις λύσεις της που ρίσκονται στη στήλη (Β) Στήλη (Α) Στήλη (Β) Ανίσωση Λύσεις. χ(,0][,) Α. χ. Αληθεύει για κάθε χr Β. χ 96 Γ. 4 0 χ 004. χ[,] Αδύνατη Απάντηση : Α Β Γ Δ Δ. 4χ 6 5. χ(,][,) 6. χ[0,] 45. Για ποια χr ισχύει η ανίσωση : χ Α. είναι αδύνατη Β. για κάθε χr Γ. μόνο για Δ. μόνο για χ Ε. μόνο για χ 45. Αν χ, y και z 5 να αποδείξετε ότι : 0 χyz 0. χ 45 Να ρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων : χ0 και 5χ8χ Απ: χ [,4] 455. Να λυθούν οι ανισώσεις :. χ 6. χ 5. 5 χ 6 χ 4 5. χ 4 6. χ 7 5 7. 5 χ 9 8. χ χ 9. χ 5 0. d(χ, ). d(χ,). χ7. χ6 χ 5. χ 7 6. χ χ 7. χ 8. d(χ, ) 9. d(χ, ) 0. χ 4χ. χ 5 ΣΕΛ. 6
. 5 d(χ, 6) 9. d(χ, 4) 6 χ 5. χ χ 5 6. χ χ χ 7. 4 χ 5 8. χ χ χ 9. 4 χ 6 0. 5 d( χ, ) χ Απαντήσεις:. [4, 8]. (, 4] [6, ). [5, 4][6, 7] [, 0][, 4] 5. αδύνατη 6. (5, 0)(, 7) 7. [, 0)(6, 8] 8. (, ) (, ) 9. (, 4) (, ) 0. [5, ]. (, 0)(, ). (, 5/), [4, 6] 5. (, 4) (, ). 6. (/,) 7. (, ] [4, ) 8. (, ] [4, ) 9. [4, 0][, 6] 0., 0. (, 0)(, ). (8, 6)(0, ). (, ) (, ) (, 0][, ] 6. (/5, ) 7.,, 5. (, 5] 8.,, 5 9. 8 (, 0), 4,, 7 0. 456. Να λυθούν οι ανισώσεις :. χ 5. 4 χ 7. 7 4χ 5 χ 5. χ χ χ 7 6. χ 4χ χ 5 7. χ 4 8. χ 5 9. 7 χ 0. 4χ 5. χ 4. χ 8 Απαντήσεις:... (, ] 5. (, ] 6. 7. 8., 0, 9. 0... 457. Αν χy α και yω α να αποδείξετε ότι : χω α. 458. Αν ισχύουν οι σχέσεις χ και y 5, να δείξετε ότι : α) χy ) χy 459. Να ρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: χ 5 και χ 460. Να ρεθούν οι κοινές λύσεις των : χ 7 και χ Απ : χ ( 4,] [,6) Απ : χ [ 5, ) (4, 9] 46. Να ρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού χ για τις οποίες ισχύει : χ χ 46. Να λυθεί η ανίσωση : χ χ χ Απ : χ 4 5 46. Που συναληθεύουν οι ανισώσεις : χ(χ)(χ)χ και χ(χ) χ(χ) Απ: χ (,) ΣΕΛ. 7
46 Να λυθεί η ανίσωση : χ χ χ. Απ : χ, 465. Να λυθεί το σύστημα : (χ )(χ ) 0. χ 4 χ 466. Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα μεγαλύτερο του και μικρότερο του 7. Να ρεθούν οι αριθμοί αυτοί. ΣΕΛ. 8
Ανισώσεις ου Βαθμού. Μορφές του Τριωνύμου γ γ γ f(χ) αχ +χ+γ αχ χ α χ χ α χ χ α α α α α 4α 4α α αχ χ α α 4α γ αχ α Άρα Δ f(χ) α χ () α 4α α 4α 4αγ 4αγ α χ 4α α 4α Α) Αν Δ0 Δ Δ Δ () f(χ) α χ α χ χ Δ Δ α χ χ α α α α α α α α Δ Δ α χ χ α(χ ρ )(χ ρ ) α α Δηλαδή το τριώνυμο παραγοντοποιείται αχ χ γ α(χ ρ)(χ ρ) Β) Αν Δ0 () f(χ) αχ Συνεπώς το τριώνυμο παραγοντοποιείται και είναι ταυτότητα α Γ) Αν Δ0 (τότε Δ Δ ) Δ () f(χ) αχ το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται στο R α 4α. Πρόσημο Τριωνύμου ( f(χ) αχ χγ ) Δ 0 Δ 0 χ ρ f(χ) f(χ) ρ α ομόσημο του α 0 ετερόσημο του α 0 ομόσημο του α ομόσημο του α 0 ομόσημο του α Δ 0 f(χ) ομόσημο του α. Ανισώσεις ου αθμού Είναι της μορφής αχ +χ+ γ 0 (η 0 η > 0 η < 0) όπου α,, γr, α0. Για να ρούμε τις τιμές του χ που επαληθεύουν μια δευτέρου αθμού ανίσωση, αρκεί να ρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες το τριώνυμο γίνεται ομόσημο ή ετερόσημο του α, δηλ. αναγόμαστε στα γνωστά για το πρόσημο του τριωνύμου. Π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : χ 5χ 0 ΣΕΛ. 9
Απάντηση : Επειδή Δ 4αγ 5 4( )( ) 5 4 Δ 0 και α 0 το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α μεταξύ των ριζών. Βρίσκω τις ρίζες : 5 4 ρ ρ Δ 5 5 6 6 ρ ρ, α ( ) 6 5 6 ρ ρ ρ 6 6 Δηλαδή η ανίσωση αληθεύει για κάθε χ, Χ - / + - χ + 5 χ - - 0 + 0 - Διαφορά ή άθροισμα κύων Το τριώνυμο που προκύπτει αν παραγοντοποιήσουμε μια διαφορά ή ένα άθροισμα κύων έχει αρνητική διακρίνουσα και είναι πάντα θετικό. π, χ, χ (χ )(χ χ ) τότε χ χ 0 α (α )(α α ) τότε α α 0 Ασκήσεις 467. Αντιστοιχίστε κάθε τριώνυμο της στήλης Α με την αντίστοιχη παραγοντοποιημένη μορφή του της στήλης Β: στήλη Α στήλη Β Α. χ (α ) χ α Β. χ (α ) χ α Γ. χ (α ) χ α. (χ α) (χ ). (χ α) (χ ). (χ α) (χ ) (χ α) (χ ) 5. (α χ) (χ ) Απάντηση : Α Β Γ Δ Δ. χ (α ) χ α 6. (α χ) ( χ) 468. Αν f (χ) αχ χ γ και Δ 0 τότε το τριώνυμο f (χ) γράφεται : Α. f (χ) χ Β. f (χ) α Δ Δ. f (χ) α χ Ε. f (χ) α χ 4α χ Γ. f (χ) α α Δ α 4α χ α 469. Αν το τριώνυμο f (χ) χ χ γ έχει Δ 0, ποια από τις παρακάτω ανισώσεις αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό χ; Α. f (χ) 0 B. f (χ) 0 Γ. (χ f(χ) f(χ) ) f (χ) 0 Δ. 0 Ε. 0 χ χ ΣΕΛ. 0
470. Αν ρ, ρ (ρ ρ ) είναι ρίζες του τριωνύμου f (χ) αχ χ γ και αf () 0, ο αριθμός ανήκει στο διάστημα : Α. (, ρ ) Β. (ρ, ρ ) Γ. [ρ, ρ ] Δ. [ρ, ) Ε. (ρ, ) 47. Κάθε στοιχείο της στήλης (Α) αντιστοιχεί με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Αντιστοιχίστε τα στοιχεία των δύο στηλών: στήλη (Α) στήλη (Β) Σχέσεις. Δ 0 και α 0. Δ 0 και α 0. Δ 0 και α 0 Α. αληθεύει για κάθε χ αχ χ γ 0 Β. αληθεύει για κάθε χ που ρίσκεται μεταξύ των ριζών του τριωνύμου Γ. αληθεύει για κάθε χ εκτός των ριζών του τριωνύμου Δ. δεν αληθεύει για κανένα χ Ε. αληθεύει για χ ίσο με τις ρίζες του τριωνύμου ΣΤ. δεν μπορούμε να απαντήσουμε για ποια χ αληθεύει η ανίσωση Απάντηση : 47. Το τριώνυμο f (χ) χ 5χ 6 έχει ρίζες τους αριθμούς και 6. Ποια από τις παρακάτω ανισότητες είναι σωστή; Α. f (0) 0 B. f (0) 0 Γ. f (08) 0 Δ. f (08) 0 E. f ( 08) 0 47. Αν f (χ) χ χ, χαρακτηρίστε ως Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ανισότητες :. f ( 08) 0 Σ Λ. f (0 5 ) 0 Σ Λ. f () 0 Σ Λ f 0 08 Σ Λ 5. f (π) 0 Σ Λ 47 Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Για το τριώνυμο f (χ) αχ χ γ 0, α 0 ισχύει αf () 0. Τότε αυτό έχει δύο ρίζες άνισες.. Αν για το τριώνυμο f (χ) αχ χ γ 0, α 0 ισχύει αf () 0, τότε ισχύει ρ ρ (ρ, ρ ρίζες του τριωνύμου).. Αν η εξίσωση χ λχ 0, λ R* έχει δύο ρίζες άνισες, αυτές είναι αντίστροφες. Αν το τριώνυμο αχ χ γ έχει ρίζες αχ χ γ α(χ ρ )(χ ρ ). 5. Αν το τριώνυμο αχ χ γ 0 είναι αδύνατη. ρ, ρ, τότε ισχύει η ταυτότητα αχ χ γ έχει διακρίνουσα Δ 0 και α 0 τότε η ανίσωση 6. Το τριώνυμο αχ χ γ με α 0 γίνεται ετερόσημο του α μόνο όταν Δ 0 Σ Λ και για τις τιμές του χ που ρίσκονται μεταξύ των ριζών. 7. Ο αριθμός α, α 0 χ χ 0. Σ Λ είναι λύση της ανίσωσης 475. α) Βρείτε το λ έτσι ώστε η εξίσωση χ λχ λ 6λ 5 0 να έχει ρίζα το. Στη συνέχεια : ) Βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ 476. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις :. 6χ 7χ. χ 0χ. χ χ 7 ΣΕΛ.
7. 0.. 6. 9.. χ χ 5. χ χ 6. χ 9χ 6 8. χ 5χ. α 9α 0 (α ) (α ) 7 7. (α 9) (α ) 0. 4 χ χ. 6χ χ 9. χ 4χ 6. χy 6y 0χ 5. (α ) (α ) 4 8. 4 χ 0χ 9. χ 4χ χ 5χ α α 5 4 α α 8 (α ) 5(α ) 4 χ 5χ 4 4χ 4χ χ 6χ 5. χ 4χy y 6. χ ( 5 )χ 5 7. χ χ 8. 9χ 6χ 9. α 5α 0. 6χ 7χ. (χ )(χ ). (χ )(χ ). Δ 9 Δ 5. (χ )(χ ) 6. Δ 8 7. (χ )(χ ) 8. (χ )(χ ) 9. (χ )(χ ) 0. (χ )(χ ). (χ )(χ ). (α )(α 5). (α 5)(α ) (5χ y)(χ y) 5. (α 6)(α ) 6. (α )(α 9) 7. (α 6)(α 4) 8. (α )(α ) 9. (α ) (α 4)(α ) 0... χ χ (χ ). 5. 8. χχ (χ ) χ χ 6. (χ )(χ 5) 7. χ (χ ) (χ ) 9. 0. 6(χ )(χ ) 477. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις : χ 6χ 9 χ χ.. χ χ χ 7. χ χ χ 8 4χ α α α α χ αχ 6α 5. χ 7αχ α 8. χ 5χ 7 χ 6χ 9. 6. 4χ 9 4χ χ 9 χ 5 χ 6χ 5 χ 6 χ χ χ 9. 478. Στον παρακάτω άξονα είναι τοποθετημένες οι ρίζες ρ, ρ της εξίσωσης χ χ γ 0 και οι αριθμοί 7,, 5, 0. Αν f (χ) χ χ γ να συμπληρώσετε το κατάλληλο σύμολο () ή () στα παρακάτω κενά : f ( 7)... 0 f ( )... 0 f (5)... 0 f (0)... 0 479. Δίνεται το τριώνυμο 4χ χ α) Για ποιες τιμές του χ το τριώνυμο γίνεται ίσο με 0; ) Για ποιες τιμές του χ το τριώνυμο γίνεται θετικό; γ) Για ποιες τιμές του χ το τριώνυμο γίνεται αρνητικό; δ) Κάντε το ίδιο για το τριώνυμο χ χ. 480. Δίνεται το τριώνυμο χ 8χ 0. α) Ποιες είναι οι ρίζες του; ) Όταν το χ μεταάλλεται από έως 5, το πρόσημο του χ 8χ μεταάλλεται; ΣΕΛ.
48. Να λυθούν οι ανισώσεις:. χ 5χ 6 0. 7. 0.. χ 4χ 4 0 5. χ. χ χ 0 6. χ 4χ 0 8. 6χ 8 χ χ 9. 5χ 5χ χ 0. χ 0 5χ 8χ 4. χ 5χ 5. χ 9 0 χ χ 5 4χ 5 0 6χ χ 6χ 7χ 6. χ χ 0 7. Απαντήσεις:,,. (,). χ χ 5χ 8. χ 5χ 0.,, 5. αδύνατη 6. 7. (0, 4) 8. 0., 4.. (, ) 6. αδύνατη 7. 5, 4, 5,, 4, 4 5,, 9. (, ).,, 5., 8. 5, 5 48. α) Να λυθεί η εξίσωση χ 4χ 4χ χ. ) Εξετάστε αν οι αριθμοί, 7, είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. 48. Για ποιες τιμές του χ ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω ρίζες :. χ 7χ. χ 4χ 4. χ 9χ 8 χ χ 48 Για ποιες τιμές του χ συναληθεύουν οι ανισώσεις: χ 7 0. χ 6χ 5 0. 5. χ 8χ 6 9 χ 0 χ χ χ χ 5 0 9 χ 0 7. χ χ 0. 6. χ 8 0 χ 5χ 6 0 χ χ 0 χ 5χ 4 0 χ 5 0 χ 0 χ χ 4 0. ( 7,) (5, ).,. (, ) 5. (, 5) 6. 7. (, ) (, ) 5, ΣΕΛ.
485. Για ποιες τιμές του χ το τριώνυμο χ 4χ 50 παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 5 και μικρότερες του 6 ; Απ : χ (, 5) (9,) 486. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω ανισώσεις αληθεύουν για κάθε α,, χr.. χ 6αχ 9α 4 0. α α 0, α 0. 5. α α 0, α 0 4χ χ 0 0 6. ΣΕΛ. 4 6χ 9χ 0 4 χ 4χ 6χ 4χ 0 487. Να ρεθούν οι τιμές του λr, ώστε οι παρακάτω ανισώσεις να ισχύουν για κάθε χr.. χ χ λ 0. (λ )χ 4χ 0. χ (4λ )χ 5λ λ 7 0 χ (λ )χ 9 0 5. (λ )χ (λ )χ λ 0 0 6. (λ 4)χ 6λχ 5λ 0 5. λ. λ 5. λ 4 δεν υπάρχουν 4 5., 6. 5 λ 0 488. Να ρεθεί για ποιες τιμές του λr, οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ρίζες πραγματικές.. λχ (λ )χ λ 0. (λ )χ λχ λ 0. (χ ) (χ ) (χ λ) 0 6. λ ή λ. λ. λ (, ) 5 489. Να ρεθεί για ποιες τιμές του λr, οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες πραγματικές.. λχ (λ )χ λ 0. (λ 5)χ 4λχ λ 0. 8χ (λ )χ λ 7 0 λχ (λ )χ λ 0. λ, 8.. λ R λ R 490. Για ποιες τιμές του λr, τα παρακάτω τριώνυμα έχουν σταθερό πρόσημο για κάθε χr.. (λ )χ 4χ λ, λ. λχ (λ )χ λ, λ 0. λ (, ) (, ). λ (, ), 49. Να ρεθεί για ποιες τιμές του λr, το τριώνυμο λχ (λ )χ, έχει : α) δύο ρίζες άνισες (Απ: για κάθε λr) ) πρόσημο θετικό (Απ: ποτέ) 49. Δίνεται η εξίσωση χ (λ )χ 0,λ R α) Για ποιες τιμές του λ έχουμε μία ρίζα διπλή (Απ: λ, λ) ) Για ποιες τιμές του λ δεν έχουμε ρίζες πραγματικές (Απ: λ(,) ) γ) Για ποιες τιμές του λ έχει δύο ρίζες θετικές (Απ: λ(,) ) 49. Για ποιες τιμές του λr η εξίσωση χ (λ )χ λ 0 έχει : α) δύο ρίζες αρνητικές ) δύο ρίζες ετερόσημες γ) δύο ρίζες αντίστροφες
49 Δίνεται η εξίσωση () R. χ λχ λ, λ α) Δείξτε ότι η () έχει δύο ρίζες πραγματικές ρ, ρ με ρ ρ. ) Δείξτε ότι ρ ρ. γ) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε οι ρίζες ρ, ρ να είναι αρνητικοί αριθμοί. δ) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε ρ ρ ρ ρ 0. 495. Δίνεται το τριώνυμο χ (λ )χ λ 7, λ R. α) Να ρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να λύσετε την εξίσωση Δ 0. ) Να ρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει χ (λ )χ λ 7 0 για κάθε λr. γ) Να ρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το παραπάνω τριώνυμο έχει άνισες και ομόσημες ρίζες. 496. Να λυθούν οι ανισώσεις :. χ 5 χ 6 0.. 5. χ χ 4 7χ χ χ χ χ χ χ 8 8 χ 4 χ 5χ χ χ. χ (, ) (, ). χ (, 0) (0,) (, ). χ (, ] [, ) χ (, ) (5, ) 5. χ (, ) 497. Για τις διάφορες τιμές του λr να διερευνηθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : χ χ χ λ. λ 498. Να λυθεί η ανίσωση : χ χ 4 0. 499. Να λυθεί η εξίσωση : χ χ χ 4χ. (Απ: χ ή χ, απορρίπτονται 0, ) 4 Γενικές Ασκήσεις 500. Να αποδειχθεί ότι αν α,, γ είναι μέτρα πλευρών τριγώνου, τότε το τριώνυμο f(χ) χ ( γ α )χ γ είναι θετικό για οποιαδήποτε τιμή του χ. (χ y) (χ y) 4α (χ y) (χ y) α, χ, y, αr, να αποδείξετε ότι χ y. 50. Αν 50. α) Να ρείτε το πρόσημο του τριωνύμου f(χ) χ χ. 5 4 ) Να απλοποιήσετε την παράσταση : ω. 7 γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς : f(ω) και f 8. ΣΕΛ. 5
ΣΕΛ. 6