ικαιώατα αερικανικού τύπου

Κεφάλαιο 5 ικαιώατα αερικανικού τύπου 5.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούε πώς πορούε να τιολογήσουε δικαιώατα αερικανικού τύπου ε βάση το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων. Θα δούε επίσης την έννοια των χρόνων διακοπής και το Θεώρηα Επιλεκτικής ιακοπής για martingale. Με τη βοήθεια αυτών των εργαλείων θα περιγράψουε το πρόβληα της βέλτιστης άσκησης ενός αερικανικού δικαιώατος ως ένα πρόβληα βέλτιστης διακοπής. Παρόοιο υλικό πορείτε να βρείτε στις αναφορές [7] και [8]. 5.2 Αλγόριθος τιολόγησης αερικανικών δικαιωάτων Ας δούε τώρα έναν αλγόριθο για την τιολόγηση και αντιστάθιση αερικανικών δικαιωάτων που είναι αντίστοιχος ε τον αλγόριθο του Κεφαλαίου 3. Οαλγόριθοςαυτόςξεκινάαπότονχρόνοωρίανσηςτου παραγώγου και κατασκευάζει ένα αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο το οποίο οπωσδήποτε αντισταθίζει τις απαιτήσεις που πορεί να εγείρει ο κάτοχος το δικαιώατος. Θα δούε στην τελευταία παράγραφο ότι η αρχική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου είναι η οναδική τιή για το αερικανικό παράγωγο που δεν επιτρέπει ευκαιρίες επιτηδειότητας. Με αυτήν την έννοια, είναι η δίκαια τιή του παραγώγου. Προκειένου να κατανοήσουε τη ηχανική του αλγορίθου είναι χρήσιο να καταλάβουε τι συβαίνει στο διωνυικό υπόδειγα ιας περιόδου. Ας υποθέσουε λοιπόν ότι η σηερινή αξία του πρωτογενούς προϊόντος είναι s 0 και ότι, σε ια επόενη χρονική στιγή h, το πρωτογενές προϊόν θα έχει αξία είτε s 1 ε πιθανότητα p (0, 1) είτε s 2 ε πιθανότητα 1 p. Οπως πάντα η αγορά ας περιλαβάνει ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο το οποίο αποδίδει επιτόκιο r ε συνεχή ανατοκισό. Ηαξίατουπροϊόντοςχωρίςκίνδυνοτηστιγήt k είναι B tk = e rt k. Προκειένου να ην υπάρχουν ευκαιρίες επιτηδειότητας ε στρατηγικές που χρησιοποιούν όνο το πρωτογενές προϊόν και το προϊόν χωρίς κίνδυνο, θα πρέπει s 2 <s 0 e rh <s 1. Ενα αερικανικού τύπου δικαίωα, αποδίδει στον κάτοχό του f 1 ή f 2 στην ωρίανση, ανάλογα ε το αν ητιήτουπρωτογενούςπροϊόντοςείναιs 1 ή s 2, πορεί όως και να ασκηθεί άεσα αποδίδοντας f 0. Ας φανταστούε τώρα ότι κατέχουε αυτό το δικαίωα και θέλουε να αποφασίσουε αν θα το ασκήσουε άεσα ή αν θα επιλέξουε να το κρατήσουε έχρι την ωρίανση. Στην πρώτη περίπτωση το αερικανικό δικαίωα θα ας αποδώσει f 0. Στη δεύτερη περίπτωση θα έχουε στα χέρια ας ένα τίτλο ο οποίος στην επόενη περίοδο θα αποδώσει είτε f 1 είτε f 2. Μπορούε να υπολογίσουε πόσο αξίζει αυτός ο τίτλος ακριβώς όπως στο Κεφάλαιο 2, κατασκευάζοντας ένα χαρτοφυλάκιο (φ, ψ) το οποίο την επόενη περίοδο θα αξίζει όσο και το παράγωγο. Θα βρούε έτσι ότι η παρούσα αξία του δικαιώατός ας, αν επιλέξουε να ην το ασκήσουε άεσα, είναι u 0 = e rh qf 1 +(1 q)f 2, όπου q = e rh s 2 s 1 s 2. 57

Τι θα αποφασίζαε λοιπόν, να ασκήσουε άεσα ή όχι το δικαίωά ας; Ηαπάντησηείναιπώςθααποφασίζαε ό,τι ας συφέρει περισσότερο. Αν f 0 u 0, θα συνέφερε να ασκήσουε άεσα, ενώ, αν f 0 <u 0, θα συνέφερε να περιένουε έχρι την ωρίανση h. έχει νόηα να ορίσουε την αξία του αερικανικού παραγώγου σήερα ως V 0 = max{f 0,u 0 } = f 0 u 0 = f 0 e rh (qf 1 +(1 q)f 2 )=u 0 + f 0 u 0 +. Αυτή είναι η όνη τιή του δικαιώατος η οποία είναι συβατή ε την αρχή της η επιτηδειότητας. Πράγατι, αν πορούσατε να πουλήσετε το παράγωγο για P 0 >V 0, θα πορούσατε να κατασκευάσετε ια στρατηγική επιτηδειότητας ως εξής. Αν το δικαίωα ασκείτο άεσα, θα έχετε κέρδος P 0 f 0 P 0 V 0 > 0. Αν το δικαίωα δεν ασκείτο άεσα, θα πορούσατε να πάρετε θετική θέση στο χαρτοφυλάκιο (φ, ψ), ξοδεύοντας u 0, ενώ θα σας έενε ένα ποσόν P 0 u 0 P 0 V 0 > 0, το οποίο θα πορούσατε να επενδύσετε χωρίς κίνδυνο. Ηθέσησαςστοχαρτοφυλάκιοθασαςεπέτρεπενααντισταθίσετετοπαράγωγοπουπουλήσατετη στιγή h και θα είχατε ένα καθαρό κέρδος ε παρούσα αξία P 0 u 0 χωρίς κίνδυνο. Είναι ακόα πιο εύκολο να δείτε ότι αν P 0 <V 0, πορείτε να κατασκευάσετε ια στρατηγική επιτηδειότητας αγοράζοντας το αερικανικό παράγωγο. Τέλος, πορείτε να ελέγξετε ότι, αν P 0 = V 0, δεν υπάρχει στρατηγική επιτηδειότητας ούτε για τον αγοραστή ούτε για τον πωλητή του παραγώγου. Θα το δούε αυτό άλλωστε στην τελευταία παράγραφο σε πιο γενικό πλαίσιο. Στο διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων, ένα αερικανικό παράγωγο πορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγή από τις t 0,t 1,...,t N, αποδίδοντας στον κάτοχό του Y k, αν ασκηθεί τη στιγή t k. Η {Y k } 0 k N ονοάζεται εγγενής αξία (intrinsic value) του αερικανικού δικαιώατος. Για κάθε k =0, 1,...,N η Y k είναι ια F k -ετρήσιη τυχαία εταβλητή, δηλαδή η απόδοση του αερικανικού παραγώγου τη στιγή που ασκείται εξαρτάται όνο από το παρελθόν του χρόνου που ασκείται. Οποτε χρειάζεται, θα το υπενθυίζουε αυτό γράφοντας Y k = Y k (S 0,S 1,...,S k ), όπου ε S k συβολίζουε την τιή του πρωτογενούς προϊόντος τη στιγή t k = kh. Για παράδειγα, η εγγενής αξία ενός αερικανικού δικαιώατος πώλησης ε τιή άσκησης K είναι Y k = K S k. Αν ένα αερικανικό δικαίωα δεν ασκηθεί έχρι την ωρίανση, ηαξίατουθαείναιτότεv N = Y + N = Y N 0. Αυτό συβαίνει γιατί ο λογικός επενδυτής θα ασκήσει το δικαίωα στην τελευταία ευκαιρία που έχει να το κάνει, αν και όνο αν αυτό έχει θετική εσωτερική αξία. Μία περίοδο πριν την ωρίανση, τη χρονική στιγή t N 1, ένα αερικανικό παράγωγο που δεν έχει ασκηθεί έχρι τότε είναι στην ουσία ένα αερικανικό παράγωγο στο διωνυικό υπόδειγα ιας περιόδου, όπως αυτό που εξετάσαε. Ηόνηδιαφοράπουυπάρχει είναι ότι οι παράετροι του προβλήατος εξαρτώνται από την ιστορία της αγοράς έχρι εκείνη τη στιγή, είναι δηλαδή F N 1 -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές. ΗτιήτουπρωτογενούςπροϊόντοςείναιS N 1 και την επόενη περίοδο (στην ωρίανση) πρόκειται να είναι είτε S N 1 u N 1 είτε S N 1 d N 1. Το αερικανικό δικαίωα έχει εσωτερική αξία Y N 1. Αν δεν ασκηθεί, στην ωρίανση θα έχει απόδοση είτε V N = Y N(S 0,...,S N 1,S N 1 u N 1 ), αν η αξία του πρωτογενούς προϊόντος γίνει S N 1 u N 1, είτε V N = Y N(S 0,...,S N 1,S N 1 d N 1 ), αν η αξία του πρωτογενούς προϊόντος γίνει S N 1 d N 1. Προκειένου ο κάτοχος του δικαιώατος να αποφασίσει αν θα το ασκήσει τη στιγή t N 1 ήαν τον συφέρει να περιένει έχρι την ωρίανση, θα πρέπει να συγκρίνει την εσωτερική αξία του παραγώγου Y N 1 ε την αξία που θα έχει το παράγωγο αν δεν ασκηθεί. Αυτή όως πορεί να υπολογιστεί, αφού πορούε να φτιάξουε ένα χαρτοφυλάκιο (α N 1, β N 1 ), το οποίο τη στιγή t N θα έχει την ίδια απόδοση ε το παράγωγο, ακριβώς όπως κάναε στο Κεφάλαιο 3. Ηαξίατουπαραγώγου, αν δεν ασκηθεί, θα είναι εποένως U N 1 = e rh q N 1 V N +(1 q N 1)VN = e rh E V N F N 1. Αν Y N 1 U N 1, είναι λογικό ο κάτοχος του αερικανικού δικαιώατος να το ασκήσει τη χρονική στιγή t N 1, ενώ, αν Y N 1 <U N 1, είναι λογικό ο κάτοχος του δικαιώατος να περιένει έχρι την ωρίανση. Προσέξτε όως ότι οι Y N 1, U N 1 είναι F N 1 ετρήσιες τυχαίες εταβλητές. πορεί να εξαρτώνται από την ιστορία της αγοράς έχρι και τη στιγή t N 1 και είναι εν γένει διαφορετικές ανάεσα 58

στους κόβους του διωνυικού δέντρου που αντιστοιχούν στη χρονική στιγή t N 1. Αυτό σηαίνει ότι σε κάποιους από αυτούς τους κόβους ενδέχεται να συφέρει τον κάτοχο του δικαιώατος να ασκήσει άεσα, ενώ σε κάποιους άλλους ενδέχεται να τον συφέρει να περιένει. Ορίζουε τώρα V N 1 = Y N 1 e rh E Q V N F N 1, ηοποίαείναιιαf N 1 ετρήσιη τυχαία εταβλητή. Με τον ίδιο τρόπο πορούε τώρα να εργαστούε για τους κόβους που αντιστοιχούν στη χρονική στιγή t N 2, να ορίσουε την V N 2 και τελικά, οπισθοδρο- ώντας ε ανάλογο τρόπο, να ορίσουε τις V k, για k = N 1,N 2,...,1, 0. Οαλγόριθοςπουπεριγράφειαυτήτηδιαδικασίαείναιοεξής. Ορίζουε U N =0και V N = Y N U N = Y + N (S 0,...,S N ). Για k = N,N 1,...,1, έχοντας ορίσει την V k = V k (S 0,...,S k 1,S k ) 0 1. βρίσκουε χαρτοφυλάκιο (α k 1, β k 1 ) ώστε οι α k 1, β k 1 να είναι F k 1 -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές και α k 1 S k + β k 1 e rkh = V k. (5.1) 2. βρίσκουε την αξία του χαρτοφυλακίου (α k 1, β k 1 ) U k 1 = U k 1 (S 0,...,S k 1 ):=α k 1 S k 1 + β k 1 e r(k 1)h (5.2) = e rh q k 1 V k +(1 q k 1)V k = e rh E Q V k Fk 1 0. (5.3) 3. Συγκρίνουε την U k 1 ε την εσωτερική αξία του αερικανικού παραγώγου Y k 1 και ορίζουε V k 1 = Y k 1 U k 1 = U k 1 +(Y k 1 U k 1 ) + (5.4) Για k =0, 1,...,N 1, ορίζουε το χαρτοφυλάκιο (φ k, ψ k ) ως φ k = α k, ψ k = β k + k (Y j U j ) + e rjh. (5.5) Λήα 1 Το χαρτοφυλάκιο {(φ k, ψ k )} 0 k N 1 είναι αυτοχρηατοδοτούενο και η αξία του τη χρονική στιγή t k δίνεται από την k = V k 1 k + (Y j U j ) + e r(k j)h. (5.6) Απόδειξη: Εφόσον οι Y k,u k, α k, β k είναι F k -ετρήσιες για κάθε k =0, 1,...,N 1, οι φ k, ψ k θα είναι οοίως F k -ετρήσιες από τον ορισό τους. Ηαξίατουχαρτοφυλακίουτηχρονικήστιγήt k είναι k = φ ks k + ψ k e rkh = α k S k + β k e rkh + k (Y j U j ) + e r(k j)h k 1 = U k + (Y j U j ) + e r(k j)h +(Y k U k ) + k 1 = V k + (Y j U j ) + e r(k j)h. 59

Ηπροτελευταίαισότηταπροκύπτειαπότην(5.2) και η τελευταία από την (5.4). Για να δείξουε ότι το χαρτοφυλάκιο {(φ k, ψ k )} 0 k N 1 δεν αλλάζει αξία όταν αλλάζουε θέση, παρατηρούε ότι κατά την αλλαγή θέσης τη χρονική στιγή t k, από (φ k 1, ψ k 1 ) σε (φ k, ψ k ) έχουε k 1 φ k 1 S k + ψ k 1 e rkh = α k 1 S k + β k 1 e rkh + (Y j U j ) + e r(k j)h k 1 = V k + (Y j U j ) + e r(k j)h = k, όπου η προτελευταία ισότητα προκύπτει από την (5.1) και η τελευταία ισότητα από το πρώτο έρος της απόδειξης. Στο υπόλοιπο αυτού του Κεφαλαίου θα αποδείξουε το ακόλουθο Θεώρηα. Θεώρηα 14 α) Ηόνηαρχικήαξίαγιατοαερικάνικοδικαίωαεεσωτερικήαξία{Y k } 0 k N ηοποία δεν επιτρέπει στρατηγικές επιτηδειότητας είναι η V 0 που προσδιορίζεται από τον αλγόριθο. β) Ηβέλτιστηπερίοδοςάσκησηςτουδικαιώατοςείναιη k =inf k : Y k U k = e rh E Q V k+1 F k. (5.7) γ) Ηστρατηγικήαντιστάθισηςτουαερικανικούδικαιώατοςαπότονπωλητήτουδίνεταιαπότοχαρτοφυλάκιο {(φ k, ψ k )} 0 k N 1. Παρατήρηση 14 Παρατηρήστε ότι η βέλτιστη πολιτική άσκησης για τον κάτοχο του αερικανικού δικαιώατος είναι να περιένει έχρι τη στιγή που η εσωτερική αξία του δικαιώατος είναι τουλάχιστον όση ηαναενόενη(ως προς το έτρο martingale Q) αξία του δικαιώατος την αέσως επόενη περίοδο. Παράδειγα 21 Ας δούε πώς πορούε να τιολογήσουε ένα αερικανικό δικαίωα πώλησης ε τιή άσκησης 56, χρησιοποιώντας τον αλγόριθο που παρουσιάσαε. Ηδυναικήτουπρωτογενούςπροϊόντος περιγράφεται από το παρακάτω διωνυικό υπόδειγα και e rh = 10 9. 128 96 54 72 36 48 24 64 32 16 Ξεκινάε προσδιορίζοντας την αξία V 3 του παραγώγου, αν αυτό δεν ασκηθεί έχρι την ωρίανση. Αν S 3 = 128 ή S 3 = 64 το δικαίωα πώλησης ε τιή άσκησης 56 έχει αρνητική εσωτερική αξία, εποένως δεν θα ασκηθεί ούτε στην ωρίανση. Αντίθετα, αν S 3 = 32 ή S 3 = 16, το δικαίωα θα ασκηθεί στην ωρίανση. V 3 {S3 = 128} = V 3 {S3 = 64} =0,V 3 {S3 = 32} = 56 32 = 24, V 3 {S3 = 16} = 56 16 = 40. Συνεχίζουε προσδιορίζοντας το χαρτοφυλάκιο (α 2, β 2 ) που αναπαράγει την V 3 στην ωρίανση. α 2 {S2 = 24} = 24 40 32 16 = 1, β 2 {S2 = 24} 9 3 40 32 24 16 9 3 = = 56. 10 32 16 10 60

Ηαξίααυτούτουχαρτοφυλακίουτηστιγήt =2είναι ( 1) 24 + 9 10 56 = 26, 4, δηλαδή U 2 {S2 = 24} = 26, 4. ΗεσωτερικήαξίατουδικαιώατοςότανS 2 = 24 είναι Y 2 {S2 = 24} = 56 24 = 32 > 26, 4. Στο ενδεχόενο {S 2 = 48} έχουε V 2 {S2 = 24} = 32. α 2 {S2 = 48} = 0 24 64 32 = 3 4, β 2 {S2 = 48} 9 3 24 64 0 32 9 3 = = 48. 10 64 32 10 Ηαξίααυτούτουχαρτοφυλακίουτηστιγήt =2είναι ( 3 4 ) 48 + 9 10 48 = 7, 2, δηλαδή U 2 {S2 = 48} =7, 2. ΗεσωτερικήαξίατουδικαιώατοςότανS 2 = 48 είναι Y 2 {S2 = 48} = 56 48 = 8 > 7, 2. V 2 {S2 = 48} =8. Στο ενδεχόενο {S 2 = 96} έχουε α 2 {S2 = 96} = β 2 {S2 = 96} =0και U 2 {S2 = 96} =0. Η εσωτερική αξία του δικαιώατος όταν S 2 = 96 είναι Y 2 {S2 = 96} = 56 96 = 40 < 0. V 2 {S2 = 96} =0. Εχοντας βρει την τυχαία εταβλητή V 2, θα προσδιορίσουε ένα χαρτοφυλάκιο (α 1, β 1 ) που αναπαράγει την V 2 τη στιγή t =2. α 1 {S1 = 36} = 8 32 48 24 = 1, β 1 {S1 = 36} 9 2 32 48 8 24 9 2 = = 56. 10 48 24 10 Ηαξίααυτούτουχαρτοφυλακίουτηστιγήt =1είναι ( 1) 36 + 9 10 56 = 14, 4, δηλαδή U 1 {S1 = 36} = 14, 4. ΗεσωτερικήαξίατουδικαιώατοςότανS 1 = 36 είναι Y 1 {S1 = 36} = 56 36 = 20 > 14, 4. Στο ενδεχόενο {S 1 = 72} έχουε V 1 {S1 = 36} = 20. α 1 {S1 = 72} = 0 8 96 48 = 1 6, β 1 {S1 = 72} 9 2 8 96 0 48 9 2 = = 16. 10 96 48 10 Ηαξίααυτούτουχαρτοφυλακίουτηστιγήt =1είναι 1 6 ) 72 + 9 10 16 = 2, 4, δηλαδή U 1 {S1 = 72} =2, 4. 61

ΗεσωτερικήαξίατουδικαιώατοςότανS 1 = 72 είναι Y 1 {S1 = 72} = 56 72 = 16 < 2, 4. V 1 {S1 = 72} =2, 4. Εχοντας βρει την τυχαία εταβλητή V 1, θα προσδιορίσουε ένα χαρτοφυλάκιο (α 0, β 0 ) που αναπαράγει την V 1 τη στιγή t =1. α 0 = 2, 4 20 72 36 = 22 45, β 0 = 9 20 72 2, 4 36 = 9 37, 6. 10 72 36 10 Ηαξίααυτούτουχαρτοφυλακίουτηστιγήt =0είναι 22 45 54 + 9 10 37, 6=7, 44, δηλαδή Ηεσωτερικήαξίατουδικαιώατοςότανt =0είναι U 0 =7, 44. Y 0 = 56 54 = 2 < 7, 44. V 0 =7, 44. Οαλγόριθοςφαίνεταισχηατικάστοπαρακάτωδέντρο. Με κόκκινο χρώα έχουε σηειώσει τους κόβους στους οποίους η εσωτερική αξία του δικαιώατος είναι εγαλύτερη από την αξία του, αν αυτό δεν ασκηθεί. Σε κόβους ε κόκκινο χρώα ο κάτοχος του αερικανικού δικαιώατος θα επέλεγε να ασκήσει το δικαίωά του. S = 54 α = 22 45 V =7, 44 S = 72 α = 1 6 V =2, 4 S = 36 α = 1 V = 20 Ηβέλτιστηστρατηγικήάσκησηςτουδικαιώατοςείναιηεξής: Να ην ασκήσουε το δικαίωα τη στιγή t =0 S = 96 α =0 V =0 S = 48 α = 3 4 V =8 S = 24 α = 1 V = 32 S = 128 V =0 S = 64 V =0 S = 32 V = 24 S = 16 V = 40 Τη στιγή t =1να ασκήσουε το δικαίωα, αν S 1 = 36 αλλά να ην το ασκήσουε, αν S 1 = 72 Τη στιγή t =2να ασκήσουε το δικαίωα, αν S 2 = 48 αλλά να ην το ασκήσουε, αν S 2 = 96 Να ην ασκήσουε το δικαίωα στην ωρίανση. Παρατήρηση 15 Προσέξτε ότι, προκειένου να αποφασίσει ο κάτοχος του δικαιώατος αν θα ασκήσει το δικαίωά του τη στιγή t k, θα πρέπει να συγκρίνει δύο F k -ετρήσιες τυχαίες εταβλητές, δηλαδή δύο εταβλητές που η τιή τους εξαρτάται όνο από τις τιές του πρωτογενούς προϊόντος έχρι τον χρόνο t k. Αυτό είναι κάτι που πορεί να κάνει, έχοντας παρακολουθήσει την ιστορία της αγοράς έχρι τη στιγή t k που αποφασίζει. Ηβέλτιστηπερίοδοςδιακοπήςk είναι ια τυχαία εταβλητή. Ανάλογα ε την εξέλιξη της αγοράς ο κάτοχος του δικαιώατος πορεί να αποφασίσει να ασκήσει το δικαίωά του σε διαφορετικές χρονικές στιγές. Οπως είδαε όως, ηαπόφασήτουανθασταατήσειήόχι, βασίζεται όνο σε ό,τι έχει συβεί έχρι τότε και όχι σε ό,τι πρόκειται να συβεί στο έλλον. Η k είναι ένα παράδειγα χρόνου διακοπής (stopping time), ια έννοια ε την οποία θα ασχοληθούε στην επόενη παράγραφο. 62

5.3 Χρόνοι διακοπής Ορισός: Θα λέε ότι ένα ενδεχόενο A ανήκει στην οικογένεια ενδεχοένων F k, αν η δείκτρια συνάρτηση του A, 1 αν ω A A(ω) = 0 αν ω / A, είναι F k -ετρήσιη. Με βάση τον παραπάνω ορισό, ένα ενδεχόενο A ανήκει στην κλάση F k, αν αρκεί να ξέρουε τις τιές των S 0,S t1,...,s tk, προκειένου να αποφασίσουε ότι συβαίνει. Πρόταση 8 Οι οικογένειες ενδεχοένων {F n } n N0 έχουν τις παρακάτω ιδιότητες. 1. Για κάθε n N 0 έχουε F n F n+1. 2. Ω F n, για κάθε n N 0. 3. Αν A F n, τότε A c F n. 4. Αν A, B F n, τότε A B F n. 5. Αν A, B F n, τότε A B F n. Απόδειξη: Η (1) είναι προφανής, αφού ια συνάρτηση των S 0,...,S tn είναι και συνάρτηση των S 0,...,S tn+1, που δεν εξαρτάται από την τελευταία εταβλητή. Για την (2) παρατηρήστε ότι η Ω είναι σταθερή και ίση ε 1, εποένως είναι (ε τετριένο τρόπο) συνάρτηση των S 0,...,S tn για κάθε n N 0. Η (3) ισχύει γιατί A c =1 A, ενώ η (4) γιατί A B = A B. Τέλος, η (5) προκύπτει από την ταυτότητα A B =(A c B c ) c και τις ιδιότητες (3) και (4) που ήδη αποδείξαε. Ορισός: Θα λέε ια τυχαία εταβλητή T : Ω N 0 { } χρόνο διακοπής (stopping time) της {S tn } n N0, αν για κάθε n N 0, το ενδεχόενο {T = n} ανήκει στην F n. Μπορούε να φανταζόαστε έναν χρόνο διακοπής της {S tn } n N0 ως ια στρατηγική σταατήατος η οποία απαγορεύεται να δει το έλλον. Ηστρατηγικήαυτήπορείναεξαρτάταιαπότηντροχιάτουπρωτογενούς προϊόντος (αφού ένας χρόνος διακοπής είναι ια τυχαία εταβλητή), αλλά ο ορισός επιβάλλει ότι η απόφαση για το αν θα σταατήσουε τη στιγή n ήόχιπορείναεξαρτάταιόνοαπότιςs 0,...,S tn και όχι από τις ετέπειτα τιές του πρωτογενούς προϊόντος. Παράδειγα 22 Οι σταθεροί χρόνοι είναι χρόνοι διακοπής, δηλαδή ο T : Ω N 0 ε T (ω) =N για κάθε ω Ω είναι χρόνος διακοπής. Πράγατι, για κάθε n N 0 έχουε Ω αν n = N {T = n} = αν n = N. Σε κάθε περίπτωση, έχουε Ω F n και = Ω c F n. Παράδειγα 23 Αν A R +, τότε ο χρόνος πρώτης άφιξης (hitting time) στο A, T A =inf{k 0:S tk A} είναι χρόνος διακοπής της {S tn } n N0. Πράγατι, {T A =0} = {S 0 A} F 0, ενώ για κάθε n N, {T A = n} = {S 0 A c } {S tn 1 A c } {S tn A}. Προφανώς, {S tn A} F n, ενώ για k =0,...,n 1 έχουε {S tk A c } F k F n. Εφόσον η F n είναι κλειστή ως προς τις τοές, έχουε ότι {T A = n} F n. 63

Παράδειγα 24 Οχρόνοςk της (5.7) είναι χρόνος διακοπής. Πράγατι, {k = n} = n 1 {Y j <U j } {Y n U n }. Οως οι Y k,u k είναι F k -ετρήσιες, εποένως για k =0, 1,...,n 1 τα ενδεχόενα {Y k <U k } ανήκουν στην F k F n, ενώ για τον ίδιο λόγο {Y n U n } F n. Το ακόλουθο λήα προσφέρει έναν ισοδύναο χαρακτηρισό των χρόνων διακοπής, που είναι συχνά χρήσι- ος. Λήα 2 ΗτυχαίαεταβλητήT : Ω N 0 { } είναι χρόνος διακοπής, αν και όνο αν, για κάθε n N 0, το ενδεχόενο {T n} ανήκει στην F n. Απόδειξη: Εστω ότι ο T είναι χρόνος διακοπής. Για κάθε n N 0 έχουε {T n} = n {T = k}. k=0 Οως {T = k} F k F n για k =0, 1,...,n. Εφόσον η F n είναι κλειστή ως προς τις ενώσεις, έχουε ότι {T n} F n. Για το αντίστροφο, ας υποθέσουε ότι {T n} F n για κάθε n N 0. Εχουε {T =0} = {T 0} F 0, ενώ για n N {T = n} = {T n} {T n 1} c F n, αφού όλες οι F n είναι κλειστές ως προς συπληρώατα και τοές. Εποένως ο T είναι χρόνος διακοπής. Πόρισα 2 Αν οι T,S είναι χρόνοι διακοπής, τότε οι T S, ε (T S)(ω) =min{t (ω),s(ω)} και T S, ε (T S)(ω) = max{t (ω),s(ω)}, είναι κι αυτοί χρόνοι διακοπής. Απόδειξη: ΟισχυρισόςπροκύπτειάεσααπότοΛήα2 και την κλειστότητα της F n σε ενώσεις και τοές, αφού {T S n} = {T n} {S n} και {T S n} = {T n} {S n}. Είδαε στο προηγούενο κεφάλαιο ότι η αναενόενη τιή ιας martingale είναι η ίδια σε οποιαδήποτε χρονική στιγή n N 0. Ενα πολύ χρήσιο αποτέλεσα είναι ότι η παραπάνω ιδιότητα παραένει σε ισχύ, ακόα κι αν αυτή η χρονική στιγή είναι ένας φραγένος χρόνος διακοπής. Θεώρηα 15 επιλεκτικής διακοπής (optional stopping) Αν η διαδικασία {V n } n N0 είναι F n -martingale και ο τυχαίος χρόνος T είναι φραγένος χρόνος διακοπής της {S tn } n N0, τότε E V T = E V0. Απόδειξη: Εστω N ένα άνω φράγα του χρόνου T. Εχουε τότε ότι 1= N k=0 {T = k} και E N V T = E V T {T = k} = k=0 N E V k {T = k}. (5.8) Από το Θεώρηα 9 έχουε ότι E V N F k = Vk, για k =0, 1,...,N 1. Εφόσον ο T είναι χρόνος διακοπής, η {T = k} εξαρτάται όνο από τις S 0,...,S tk. από το Θεώρηα 7 έχουε ότι k=0 E V N {T = k} = E V k {T = k}. 64

Αντικαθιστώντας το δεξί έλος της παραπάνω σχέσης στην (5.8) έχουε ότι E N V T = E V N {T = k} = E V N = E V0, k=0 όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει πάλι από το Θεώρηα 9. Είδαε ότι η προεξοφληένη αξία οποιουδήποτε αυτοχρηατοδοτούενου χαρτοφυλακίου είναι martingale ως προς το έτρο martingale Q. Στην επόενη παράγραφο θα χρησιοποιήσουε το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής για να αποδείξουε το Θεώρηα 14. 5.4 Ηβέλτιστηστρατηγικήάσκησης Σ αυτήν την παράγραφο θα αποδείξουε το Θεώρηα 14. Για την απόδειξη θα χρειαστούε τα επόενα δύο λήατα. Λήα 3 Εστω k οχρόνοςδιακοπήςτης(5.7). Ηαρχικήαξίατουχαρτοφυλακίου{(φ k, ψ k )} k της (5.5) δίνεται από τη σχέση V 0 = 0 = EQ e rτ Y τ +, (5.9) όπου τ = k N. Απόδειξη: Από το Λήα 1 το χαρτοφυλάκιο {(φ k, ψ k )} k είναι αυτοχρηατοδοτούενο και από το Θεώρηα 12 ηπροεξοφληένηαξίατου M k = e rkh k είναι martingale. Είδαε στο Παράδειγα 24 ότι ο χρόνος k =inf{k 0:Y k U k } είναι χρόνος διακοπής. Από το Παράδειγα 22 και το Πόρισα 2 ο τ είναι ένας φραγένος χρόνος διακοπής. από το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής (15) έχουε Επιπλέον, από την (5.6) βλέπουε ότι 0 = EQ M τ = E Q e rhτ τ. (5.10) k = V k, αν k k και συπεραίνουε ότι τ = V τ. Μπορούε λοιπόν να ξαναγράψουε την (5.10) ως 0 = EQ e rhτ V τ. Αν τ = N, έχουε V τ = V N = Y + N = Y τ +. Αν τ <N, έχουε ότι τ = k και V k = Y k U k = Y k = Y + k, αφού 0 U k Y k. Σε κάθε περίπτωση έχουε λοιπόν ότι V τ = Y τ + και ο ισχυρισός προκύπτει από την προηγούενη εξίσωση. Παράδειγα 25 Στο Παράδειγα 21 έχουε Y τ + > 0 όνο στα ενδεχόενα {S 1 = 36} και {S 1 = 72, S 2 = 48}. Επιπλέον, q = erh 10 d u d = 9 2 3 = 2 3. Εχουε λοιπόν 4 3 2 3 Q S 1 = 36 =1 q = 1 3 και Q S 1 = 72, S 2 = 48 = q(1 q) = 2 9. V 0 = 1 3 9 10 (56 36) + 2 9 9 10 2 (56 48) = 6 + 1, 44 = 7, 44. 65

Λήα 4 Εστω τ χρόνος διακοπής της {S tk } k ε τ N. Τότε 0 EQ e rhτ Y τ +. Απόδειξη: Από τη σχέση (5.6) έχουε ότι k V k για κάθε k N. Επιπλέον, εφόσον U k 0 έχουε ότι V k = Y k U k Y + k. Άρα, Vτ φ Y τ +. (5.11) Πολλαπλασιάζοντας τα δύο έλη της παραπάνω σχέσης ε e rhτ και παίρνοντας την αναενόενη τιή των δύο ελών ως προς το Q έχουε ότι E Q e rhτ τ E Q e rhτ Y +. Από το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής το αριστερό έλος ισούται ε 0 τ και ο ισχυρισός έπεται. Παρατήρηση 16 Συνδυάζοντας τα δύο προηγούενα λήατα πορούε να συπεράνουε ότι, 0 =sup τ N E Q e rhτ Y τ + και το supremum επιτυγχάνεται για τον χρόνο διακοπής τ = k N. Απόδειξη του Θεωρήατος 14: α) Εστω P 0 ητιήδιαπραγάτευσηςτουαερικανικούδικαιώατος. Αν P 0 >V 0, οπωλητήςτουδικαιώατοςέχειευκαιρίαεπιτηδειότητας. Πράγατι, αν χρησιοποιήσει V 0 για να πάρει θετική θέση στο χαρτοφυλάκιο {(φ k, ψ k )} 0 k N 1 και επενδύσει P 0 V 0 χωρίς κίνδυνο, από την (5.11) φαίνεται ότι η αξία του χαρτοφυλακίου υπερκαλύπτει την αξίωση που πορεί να εγείρει ο κάτοχος της θετικής θέσης στο αερικανικό δικαίωα. ηθέσητουπωλητήστηνωρίανσηθααξίζει τουλάχιστον όσο το ποσό που αυτός έχει επενδύσει χωρίς κίνδυνο. Αν P 0 <V 0, οαγοραστήςτουδικαιώατοςέχειευκαιρίαεπιτηδειότητας. Θα πορούσε να πάρει αρνητική θέση στο χαρτοφυλάκιο {(φ k, ψ k )} 0 k N 1 και να εισπράξει V 0. Με αυτό το ποσόν θα πορούσε να αγοράσει το αερικανικό δικαίωα, να επενδύσει V 0 P 0 χωρίς κίνδυνο και να ακολουθήσει τη στρατηγική k για την άσκηση του δικαιώατος. Αν k N, από την (5.6) παίρνουε k = V k = Y k U k = Y k, οπότε από την άσκηση του δικαιώατος θα κάλυπτε την αρνητική θέση στο χαρτοφυλάκιο. Αν πάλι k >N, αυτό σηαίνει ότι Y N < 0, οπότε η αξία του (φ N 1, ψ N 1 ) στην ωρίανση θα ήταν V N =0. Σε κάθε περίπτωση, ηθέσητουστηνωρίανσηθαάξιζετουλάχιστονόσοηεπένδυσηχωρίςκίνδυνο. Θα δείξουε στη συνέχεια ότι, αν P 0 = V 0, τότε ούτε ο αγοραστής ούτε ο πωλητής του δικαιώατος έχουν ευκαιρία επιτηδειότητας. Οπωλητήςτουδικαιώατοςθαείχεευκαιρίαεπιτηδειότητας, αν πορούσε ε αρχικό κεφάλαιο V 0 να κατασκευάσει ένα αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο A που του δίνει τη δυνατότητα κέρδους χωρίς κίνδυνο. Αυτό σηαίνει ότι για κάθε στρατηγική που θα πορούσε να ακολουθήσει οαγοραστήςτουαερικανικούδικαιώατος, δηλαδή για κάθε χρόνο διακοπής τ, αν ορίσουε X =(V A τ Y τ ) {τ N} + V A N {τ >N} = V A τ N Y τ {τ N}, τότε P X 0 =1 και P X>0 > 0. Εφόσον τα έτρα P και Q είναι ισοδύναα θα είχαε επίσης Q X 0] = 1 και Q X>0 > 0= E Q e rhτ N X > 0. 66

E Q e rhτ N V A τ N > E Q e rhτ Y τ {τ N}. Το αριστερό έλος της παραπάνω σχέσης ισούται ε V A 0 από το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής. Από το Λήα 5.9, επιλέγοντας τ = k, το δεξί έλος της παραπάνω σχέσης ισούται ε V 0. θα είχαε V A 0 >V 0. Οαγοραστήςτουδικαιώατοςθαείχεευκαιρίαεπιτηδειότητας, αν πορούσε να πάρει θέση σε ένα χαρτοφυλάκιο A ε αρχική αξία V 0 και να βρει έναν χρόνο διακοπής σ τέτοιον ώστε, αν X =(V A σ + Y σ ) {σ N} + V A N {σ >N} = V A σ N + Y σ {σ N}, να ισχύει P X 0 =1 και P X>0 > 0. Θέτοντας τ = σ N έχουε ότι Vτ A + Y τ + =(Vσ A + Y σ + ) {σ N} +(VN A + Y + N ) {σ >N} X. αν ο αγοραστής του δικαιώατος είχε ευκαιρία επιτηδειότητας, θα υπήρχε χρόνος διακοπής τ N τέτοιος ώστε P Vτ A + Y τ + 0 =1 και P Vτ A + Y τ + > 0 > 0. Οπως πριν, τούτο συνεπάγεται ότι E Q e rhτ V A τ + E Q e rhτ Y + > 0. Από το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής ο πρώτος προσθετέος ισούται ε V0 A και από το Λήα 4 οδεύτερος προσθετέος είναι το πολύ ίσος ε V 0. ηπροηγούενησχέσησυνεπάγεταιότιv0 A + V 0 > 0. β) Από την (5.6), παρατηρώντας ότι V k Y k = Y k U k Y k =(U k Y k ) +, για κάθε k =0, 1,...,N έχουε k Y k 1 k = (Y j U j ) + e rh(k j) +(U k Y k ) + 0. Βλέπουε λοιπόν ότι, για οποιαδήποτε στρατηγική άσκησης τ έχουε τ Y τ {τ N} τ N. (5.12) ησηερινήαξίαοποιασδήποτεστρατηγικήςάσκησηςτουδικαιώατοςδενπορείναξεπερνάτην 0. Οταν τ = k, έχουε ισότητα στην (5.12) και k >N= N =0. ησηερινήαξίατης k είναι 0. γ) Από την (5.12) βλέπουε ότι το χαρτοφυλάκιο {(φ k, ψ k )} k εξουδετερώνει τον κίνδυνο από την πώληση του αερικανικού δικαιώατος. Θα δείξουε τώρα ότι, οποιοδήποτε αυτοχρηατοδοτούενο χαρτοφυλάκιο A έχει αυτήν την ιδιότητα θα πρέπει να έχει αρχική αξία εγαλύτερη ή ίση ε 0. Οπως και στην απόδειξη του πρώτου ισχυρισού, για κάθε χρόνο διακοπής τ έχουε P τ N Y τ {τ N} =1= E Q e rhτ N τ N E Q e rhτ Y τ {τ N}. Από το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής το αριστερό έλος της τελευταίας ισότητας είναι V0 A, ενώ, επιλέγοντας τ = k, το δεξί έλος είναι ίσο ε 0. 67

5.5 Ασκήσεις Άσκηση 39 Για τη δυναική ας ετοχής ε S 0 = 86,40 θεωρήστε ένα διωνυικό υπόδειγα 3 περιόδων ε e rh =4/3, u =5/3, d =2/3. Βάσει αυτού του υποδείγατος τιολογήστε ένα αερικανικό δικαίωα πώλησης ε ωρίανση σε 3 περιόδους και τιή άσκησης 86,40. Άσκηση 40 Ητιήιαςετοχήςείναισήερα50. Σε καθένα από τα επόενα δύο τρίηνα αναένεται να παρουσιάσει είτε 10% αύξηση είτε 10% είωση. Το επιτόκιο ενός προϊόντος χωρίς κίνδυνο είναι 12% υπολογισένο ε συνεχή ανατοκισό. α) Ποια είναι η αξία ενός εξάηνου αερικανικού δικαιώατος πωλησης ε τιή άσκησης 52,50; β) Κατασκευάστε ια στρατηγική επιτηδειότητας, αν η τρέχουσα τιή διαπραγάτευσης αυτού του δικαιώατος είναι 3,5. Άσκηση 41 Για το υπόδειγα της προηγούενης άσκησης βρείτε τη ικρότερη τιή άσκησης K, για την οποία η άεση άσκηση του αερικανικού δικαιώατος είναι η βέλτιστη στρατηγική για τον κάτοχό του. (Θα χρειαστεί να διακρίνετε αρκετές περιπτώσεις). Άσκηση 42 ίνεται το ακόλουθο δυωνυικό υπόδειγα για τη δυναική ιας ετοχής. 160 140 100 120 80 100 60 120 80 40 Ηκάθεπερίοδοςστοπαραπάνωδέντροαντιστοιχείσεδιάστηατεσσάρωνηνών. Στην αγορά υπάρχει επίσης ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο ε επιτόκιο 14,637% υπολογισένο ε συνεχή ανατοκισό. α) Τιολογήστε ένα αερικανικό δικαίωα πώλησης της ετοχής ε ωρίανση σε ένα έτος και τιή άσκησης 100. Βρείτε τη βέλτιστη στρατηγική άσκησης για ένα κάτοχό του. β) Επαναλάβετε το προηγούενο ερώτηα αν το επιτόκιο είναι r =0. Πώς ερηνεύεται η απάντησή σας από το αποτέλεσα της Άσκησης 15; Άσκηση 43 ΗτρέχουσατιήιαςετοχήςείναιS 0 = 80. Θα υποθέσουε ότι σε καθένα από τα επόενα τρία εξάηνα η τιή της είτε θα ανέβει κατά 10% είτε θα κατέβει κατά 5%. Στην αγορά υπάρχει επίσης ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο ε απόδοση 5% ανά εξάηνο, ενώ είναι γνωστό ότι η ετοχή δεν θα αποδώσει έρισα στους επόενους 18 ήνες. α) Τιολογήστε βάσει αυτού του υποδείγατος ένα αερικανικό δικαίωα πώλησης ε ωρίανση έπειτα από T = 18 ήνες και τιή άσκησης K = 82 και βρείτε τη βέλτιστη στρατηγική άσκησης του δικαιώατος για τον κάτοχό του. β) Ποιο είναι το χαρτοφυλάκιο που πρέπει αρχικά να κατέχει ο πωλητής του δικαιώατος προκειένου να αντισταθίσει τον κίνδυνο από την πώλησή του και πώς πρέπει να αλλάξει την θέση του, αν ετά από έξι ήνες η αξία της ετοχής είναι 88; Άσκηση 44 Στο υπόδειγα της Άσκησης 39 τιολογήστε ένα αερικανικό δικαίωα που αποδίδει στην άσκησή του (100 S) +, όπου S είναι ο έσος όρος των τιών της ετοχής έχρι την άσκηση του δικαιώατος. 68