Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 9 Ιουνίου 217 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο το θεώρημα της σελ. 135 (αράγραφος 2.6 ) Α2. α) Ψευδής β) Αό τη θεωρία του σχολικού βιβλίου (αράγραφος 2.1) γνωρίζουμε ως αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη σε σημείο o του εδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο o., Αντιαράδειγμα: f() = {, < η οοία είναι συνεχής στο o = αλλά δεν είναι αραγωγίσιμη στο o =. Α3. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο ορισμός στη σελ. 73 (αράγραφος 1.8) Α4. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ)σωστό ε) Σωστό Θέμα Β B1. Για να ορίζεται η συνάρτηση (f g)() = f(g()) ρέει: D g 1 1 1 { { { { < < 1 g() D f g() > 1 > (1 ) > Εομένως ορίζεται η f g και είναι: (f g)() = f(g()) = ln ( ) για κάθε (,1) 1 B2. H h είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα (,1) ως σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων με : h () = 1 1 ( 1 ) = 1 1 + (1 ) 2
h () = 1 1 1 = 1 >, για κάθε (,1). (1 ) H h είναι γνησίως αύξουσα στο (,1) εομένως έχει την ιδιότητα "1 1" άρα η h είναι αντιστρέψιμη. H h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α = (,1). Εομένως το σύνολο τιμών της είναι: h(a) = ( + h() = ln ( + + h(), h()) = (, + ) διότι: 1 = ln u = u + 1 ) h() = ln ( 1 1 1 ) ln u = + u + 1 = u + u + 1 = u 1 u + Εομένως, η συνάρτηση h 1 έχει εδίο ορισμού το (, + ). Για να βρούμε την αντίστροφη της h θέτουμε: y = h() και λύνουμε ως ρος Έχουμε: y = h() y = ln ( 1 ) e y = 1 e y e y = e y = e y + e y = (e y + 1) και e y + 1 >, για κάθε y R ey = e y + 1 Άρα ο τύος της αντίστροφης είναι: h 1 (y) = ey e y +1, y R. Θέτω όου y το οότε: h 1 () = e e +1, R
B3. H φ είναι αραγωγίσιμη στο (, + ) ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων με φ () = e (e + 1) e e e (e + 1) 2 = (e > για κάθε R + 1) 2 Εομένως η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R και δεν αρουσιάζει ακρότατα στο R. Η συνάρτηση φ είναι αραγωγίσιμη ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο R με φ () = e (e + 1) 2 2(e + 1) e e (e + 1) 4 = = e (e + 1) 2e 2 (e + 1) 3 = e e 2 (e + 1) 3, R Λύνουμε: φ () = e (1 e ) (e +1) 3 = e (1 e ) = e >, R 1 e = = φ () > e (1 e ) (e +1) 3 > 1 e >, διότι e > και (e + 1) 3 > 1 > e e < φ () < e (1 e ) (e +1) 3 < 1 e < 1 < e e > Εομένως ροκύτει ο αρακάτω ίνακας + φ () + φ()
H φ μηδενίζεται στο σημείο = και εκατέρωθεν αλλάζει ρόσημο. Ακόμη ορίζεται η εφατομένη της C φ στο σημείο Α(, φ()). Οότε το σημείο Α (, 1 ) είναι σημείο καμής της 2 C φ. B4. Έχουμε: φ() = e e + 1 = αφού e = Άρα η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ στο. Είσης, έχουμε: φ() = + + e e + 1 + = D. l. H. + (e ) (e + 1) = Άρα η ευθεία y = 1 είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ. + e e = 1 Ειλέον αφού ισχύει φ = h 1, η φ έχει σύνολο τιμών το εδίο ορισμού της h δηλαδή το διάστημα (,1). Σχηματίζουμε τον ίνακα μεταβολών της φ και χαράσουμε τη γραφική της αράσταση. + φ () + + φ () + φ() Γραφική αράσταση: ΣΚ Α (, 1 2 )
Θέμα Γ Γ1. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο [, ] με f () = συν. Έστω M(, f( )) το σημείο εαφής της εφατομένης (ε) της C f ου διέρχεται αό το A (, ). Η εξίσωση εφατομένης στο σημείο Μ είναι: 2 2 y f( ) = f ( )( ) y + ημ = συν ( ). Όμως: Α (ε) 2 + ημ = συν ( 2 ) ημ + ( 2 ) συν 2 = Θεωρούμε τη συνάρτηση: g() = ημ + ( ) συν, [, ]. 2 2 Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη στο [, ] ως ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () = ( 2 ) ημ α τρόος: Παρατηρούμε ότι: g() = g() = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [, ]. Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη με: g () = ( ) ημ, [, ] 2 Ισχύει: g () = ( ) ημ = = ή = ή =. 2 2 Είσης: g () > ( ) ημ > < < 2 2 Σχηματίζουμε τον ίνακα μονοτονίας ακροτάτων: /2 g () + g Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 1 = [, 2 ] και Δ 1, οότε η g() = έχει μοναδική ρίζα στο Δ 1 την 1 =. Η g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ 2 = [ 2, ] και Δ 2, οότε η g() = έχει μοναδική ρίζα στο Δ 2 την 2 =. Άρα η εξίσωση g() = έχει δύο ακριβώς ρίζες στο [, ] και συνεώς ροκύτουν δύο ακριβώς σημεία εαφής Μ, δηλαδή δύο ακριβώς εφατομένες (ε 1 ), (ε 2 ) της C f ου διέρχονται αό το σημείο Α. β τρόος: Παρατηρούμε ότι: g() = g() =, άρα η εξίσωση g() = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [, ]. Έστω ότι υάρχει (, ) τρίτη ρίζα της εξίσωσης g() =. Έχουμε ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στα διαστήματα [, ] και [, ] και αραγωγίσιμη στα διαστήματα (, ) και (, ) αντίστοιχα με g() = g( )
και g( ) = g(). Συνεώς, με το θεώρημα Rolle υάρχουν ξ 1 (, ), ξ 2 (, ) τέτοια ώστε g (ξ 1 ) = g (ξ 2 ) =. Όμως g () = ( 2 ) ημ = = ή = 2 ή =. Αλλά: ξ 1, ξ 2 (, ) οότε καταλήγουμε σε άτοο, αφού η εξίσωση g() = έχει μοναδική ρίζα (, ) την = 2. Άρα η εξίσωση g() = έχει δύο ακριβώς ρίζες στο [, ] και συνεώς ροκύτουν δύο ακριβώς σημεία εαφής Μ, δηλαδή δύο ακριβώς εφατομένες (ε 1 ), (ε 2 ) της C f ου διέρχονται αό το σημείο Α. Γ2. Για να βρούμε τα σημεία τομής της C f με τον λύνουμε στο [, ] την εξίσωση: f() = ημ = = ή = γιατί [, ]. Για κάθε [, ] ισχύει ημ ημ f() Εομένως, Ε 2 = f() d = f() d = ημ d Το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ είναι Ε ΟΑΒ = (ΟΒ)(ΑΓ) 2 Συνεώς Ε 1 = Ε ΟΑΒ Ε 2 και τελικά Ε 1 Ε 2 = Ε ΟΑΒ Ε 2 Ε 2 = = [ συν] =1+1=2 τ.μ. = 1 2 2 = 2 2 4 2 = 2 1. 2 8 4 Ο Γ ( 2, ) Β(, ) Α ( 2, 2 )
Γ3. Έχουμε: f() + f() + D f = [, ] = ημ + ημ + (1) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ημ +, [, ]. Η h είναι συνεχής στο [, ] και αραγωγίσιμη στο (, ) ως ράξεις μεταξύ αραγωγίσιμων συναρτήσεων με h () = συν 1 < για κάθε (, ). Εειδή η h είναι συνεχής στο =, η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Άρα για κάθε < h h() > h() h() >. Οότε αό τη σχέση (1) το όριο γίνεται: ημ + ημ + = [( ημ + ) 1 ] = (+ ) = + ημ + αφού ( ημ + ) = και ημ + = h() >, για κάθε (, ). β τρόος: Η f είναι συνεχής στο [, ] και δύο φορές αραγωγίσιμη στο (, ) με f () = ημ > για κάθε (, ). Εομένως, η f είναι κυρτή στο [, ] και η εφατομένη (ε 2 ) της C f βρίσκεται κάτω αό την C f με εξαίρεση το σημείο εαφής Β(, ). Δηλαδή f() > ημ + > για κάθε [, ). γ τρόος: Θέτοντας στην (1) u = έχουμε ότι u + καθώς και το όριο γίνεται: [( u ημ( u)) 1 ] = [( u ημu) 1 ] = (+ ) = +, u + u ημ( u) u + u ημu αφού (u ημu) = και u ημu >, για κάθε u (, ). u + Γ4. Η f είναι αραγωγίσιμη στο [, ] με f () = ημ για κάθε [, ] με την ισότητα να ισχύει μόνο για = και =. Εομένως, η f είναι κυρτή στο [, ] και η εφατομένη (ε 2 ) της C f βρίσκεται κάτω αό την C f με εξαίρεση το σημείο εαφής Β(, ). Δηλαδή f() > > f() > 1 Άρα f() d > 1 e e (1 ) d = 1 για κάθε (1, e). [ ln ] 1 e = e 1 + = e 1
Θέμα Δ Δ.1. Για την συνέχεια της f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ 1,) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Η f είναι συνεχής στο (, ] ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων 3 f() = 4 = f() = + +(e ημ) =, άρα f() = = f() και η f συνεχής στο. Τελικά η f είναι συνεχής στο [ 1, ]. Τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος όου η f δεν είναι αραγωγίσιμη ή ισχύει f () =. H f είναι αραγωγίσιμη στο ( 1,) με f 3 () = ( 4 4 ) = ( 3) = (( ) 4 3) = 4 3 ( )1 3( ) = 4 3 3 < H f είναι αραγωγίσιμη στο (, ) με f () = (e ημ) = e ημ + e συν = e (ημ + συν) και f () = e (ημ + συν) = ημ + συν = ημ = συν εφ = 1 = 3 4 3 f() = 4 = 4 ( ) 3 ( ( ) ) = ( ( )1 3) = f() + = e ημ ημ = + + e + = 1 1 = 1 Άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Τελικά τα κρίσιμα της f στο [ 1, ] είναι τα 1 = και 2 = 3 4. ( 3 ) =
Δ2. Οι ρίζες και το ρόσημο της αραγώγου φαίνονται στον αρακάτω ίνακα: 1 3 4 f () + + f() Τοικό Μέγιστο Ελάχιστο Μέγιστο Ελάχιστο Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα [ 1,], [ 3 4, ] και γνησίως αύξουσα στο [, 3 4 ]. Έχει τοικό μέγιστο για = 1, το f( 1) = 1 και για = 3 έχει ολικό μέγιστο το 4 f ( 3 ) = 2 4 2 e3 4 = M και ολικό ελάχιστο για =, το f() = = m και για =, το f() = = m. Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής (ΘΜΕΤ), η f έχει σύνολο τιμών το 2 [m, M] = [, 2 e3 4 ], όου m το ελάχιστο και Μ το μέγιστο της f. Δ3. Ε = f() e 5 d = e ημ e 5 Ισχύει: e ημ e 5 = e (ημ e 4 ) Για κάθε [, ] είναι: d (1) 4 e 4 1 ημ και άρα ημ e 4. Η (1) γίνεται: 2 4 1 2 e3 Ε = (e 5 e ημ) d e 5 d e ημ d = = Ι 1 Ι 2 Για το ολοκλήρωμα Ι 1 έχουμε Ι 1 = e 5 d = [ 1 5 e5 ] = 1 5 e5 1 5
Για το ολοκλήρωμα Ι 2 έχουμε Ι 2 = e ημ d = = e συν d = ( e 1) I 2 2 I 2 = e + 1 I 2 = e + 1 2 (e ) ημ d = [e ημ] Άρα Ε = Ι 1 Ι 2 = 1 5 e5 1 5 e + 1 2 Δ4. Είναι: = (e ) συν d = [e συν] 16 e 3 4 f() e 3 4 (4 3) 2 = 8 2, [ 1, ] e συν d e ημ d 16 f() (4 3) 2 = 8 2 e 3 4 (4 3)2 f() 16 f() ( 3 4 ) 2 = 2 2 e3 4 = 2 2 e3 4 ( 3 4 ) 2 = f() M Άρα ( 3 2 4 ) = 3 4 = = 3 4 Ειμέλεια: Γιάννης Μερτίκας, Δημήτρης Βλάχος, Χρήστος Αναστασίου, Μάριος Πααδιαμαντής, Αλέξανδρος Φιτσόουλος, Αοστόλης Κωτσιαρίνης, Κωνσταντίνα Μωραΐτη, Δημήτρης Κότσιρας, Γιάννης Αλεξόουλος, Ιάσονας Μαρκάκης, Ηρώ Μαρκάκη Ευχόμαστε καλά αοτελέσματα! Για την εύστοχη Συμλήρωση του Μηχανογραφικού Δελτίου συμβουλευτείτε τη νέα έκδοση του Οδηγού Σουδών: «ΣΠΟΥΔΕΣ & ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ 217». Όλες οι ααραίτητες ληροφορίες για τις Σχολές, τις Σουδές και τα Εαγγέλματα! Περισσότερες ληροφορίες στην ιστοσελίδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ: