0 Μαΐου 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων & Γενικών Λυκείων Περιεχόμενα ΘΕΜΑ Α... Α.... Α.... Α.... Α4.... ΘΕΜΑ Β... B.... B.... B.... ΘΕΜΑ Γ... 4 Γ.... 4 Γ.... 4 Γ.... 5 Γ4.... 6 ΘΕΜΑ Δ... 7 Δ.... 7 Δ.... 8 Δ.... 9 Δ4.... 0
ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Α4. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Ω= ω, ω, ω, ω { } 4 {, } Α= ω ω 4 {, } Β= ω ω B. x + x+ Ρ( ω ) = lim x x + x x lim x + x + = = 0 lim x + x = + = 0 x Για x κοντά στο -, θέτω: g x x + x+ x + x+ ( x + x+ )( x + x+ + ) x + x x ( x+ ) x ( x+ )( x + x+ + ) ( x + x+ ) x + x ( + )( + + + ) ( + )( + + + ) = = = = = x x x x x x x x ( + ) x x = = x x x x x x x ( + )( + + + ) ( + + + )
Άρα lim g x = lim = = x( x + x+ + ) ( + ) x x B. Οπότε, P ω = = 4 x = + είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγισίμων με Η f( x) lnx, x ( 0, ) x x x f x = ln x ln x + = ln x + = ln x + x Άρα για x = έχω f () = ( ln+ ) = = P( ω ) Α= { ω, ω } άρα Α=ω ' {, ω } 4 { ω } Α' Ρ( ω ) Ρ( Α' ) Ρ( Α ') () { ω } Α Ρ( ω ) Ρ( Α) Ρ( Α' ) Ρ( Α' ) Από ()(, ): Ρ ( Α ') 4 4 4 B. Ρ Α = Ρ Α = Ρ Α = 4 4 4 ( ') Οπότε, Ρ( Α ) =Ρ( ω ) +Ρ( ω4) =Ρ( ω ) +Ρ( ω4) = +Ρ( ω4) Ρ( ω 4) = 0 4 4 4 Γνωρίζουμε ότι: Ρ( ω ) +Ρ( ω ) +Ρ( ω ) +Ρ( ω 4) = +Ρ( ω ) + + 0= 4 4 5 Ρ( ω ) = Ρ( ω ) = Ρ( ω ) = 4 Α Β= { ω 4 } άρα Ρ( Α Β ) =Ρ( ω 4 ) = 0 ()
Β Α= { ω } άρα Ρ( Β Α ) =Ρ( ω ) = Ρ ( Α Β) ( Β Α ) =Ρ( Α Β ) +Ρ( Β Α) αφού Οπότε, (, ) Α=ω ' {, ω } Β= ' { ω, ω } Θέμα Γ Ρ Α Β Β Α = 0 + = 4 ος τρόπος : Α Β ' ' = { ω }, άρα ( ' ') Α Β Β Α = ος τρόπος : Άρα, Α Β ' ' = { ω } οπότε, ( ' ') Συνεπώς, Ρ Α Β =Ρ ω = 5 Ρ Α Β =Ρ ω = 5 9 5 4 Ρ( Α' Β ') =Ρ( Α' ) Ρ( Α' Β ') = = = Ρ( Α' Β ') = 4 Γ. Έστω οι 4 ισοπλατείς κλάσεις, πλάτους c i κλάσεις x i [ 50,50 + c) [ 50 + c,50 + c) [ 50 + c,50 + c) 4 [ 50 + c,50 + 4c) 85 Άρα 50 + c + 50 + 4c = 85 00 + 7c = 70 7c = 70 c = 0 Γ. f = f Από το ερώτημα (Γ): c=0 και από δεδομένα 4 Άρα κλάσεις: [ 50,60 ), [ 60,70 ), [ 70,80 ), [ 80,90 ) 50 + 60 60 + 70 x = = 55 x = = 65 70 + 80 80 + 90 x = = 75 x4 = = 85 4
Αφού δ= 75 = x και γνωρίζουμε ότι οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα και συμμετρικά κατανεμημένες σε κάθε κλάση γύρω από την κεντρική τιμή και η διάμεσος χωρίζει το δείγμα σε δύο ίσα μέρη: f f f+ f + = + f4 f+ f = f4 Γνωρίζουμε ότι: f+ f + f + f4 = f4 + f+ f4 = f4 + f = 4f+ f = 5f = f = 0, Από () :f4= 0, = 0,4 4 x = 74 x f = 74 55 f + 65 f + 75 0, + 85 0,4 = 74 55f + 65f + 5 + 4 = 74 i= i i 55f + 65f = 5 f + f = 5 ( ): f + f = 0, 4 f = 0, 4 f ( 4) Οπότε: ( 4 ) 0,4 f + f = 5 4,4 f + f = 5 f = 0,6 f = 0, Συνεπώς: f = 0,4 0, = 0, Ο πίνακας συμπληρωμένος είναι: κλάσεις x i f i 50,60 55 0, [ ) [ 60,70 ) 65 0, [ 70,80 ) 75 0, [ 80,90 ) 85 0,4 Σύνολο - Γ. Το πλήθος των παρατηρήσεων με τιμή μικρότερη του 80 είναι: ν +ν +ν x v x f i v f v i ν i= i i= i v v i ( f x f x f x = x f v+ x f v+ x f v + + = = = ) = v+ v + v f v+ f v+ f v v ( f+ f + f) 55 0,+ 65 0, + 75 0, 40 400 00 = = = = 0,+ 0, + 0, 0, 6 6 5
Γ4. 0.5%.5%.5% 4% 4%,5%.5% 0,5% x s x s x s x x+ s x+ s x+ s 68% 95% 99,7%,5% είναι τουλάχιστον 74 δηλαδή x 74. Όμως το,5% περικλείεται ή για x x s ή x x s x+ s= 74 6% είναι το πολύ 68 δηλαδή x 68. Όμως το 6% περικλείεται ή για + άρα + άρα x s= 68 x x s ή x x s Αφαιρώντας κατά μέλη τις (), (): s = 6 s = Από (): x = 68 x = 70 Οπότε s 7 CV = = < = άρα ομοιογενές το δείγμα. x 70 70 0 6
Θέμα Δ f(x) = x lnx +κ, x> 0, κ Z, κ > Η εφαπτόμενη στο (, f()) σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες με Ε <. Δ. f() = ln+κ f() = κ Άρα το σημείο επαφής είναι το Α(, κ). 0 0 0 () y y = f (x )(x x ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ), με: f (x) = ( x) lnx+ x ( lnx) + ( κ ) = lnx+ x = lnx+ x f() = ln+ = οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (, κ) είναι : () y κ= x y= x+κ και τέμνει τον xx στο σημείο Α(x o,0) οπότε 0 x x 0 = o +κ o = κ< και τον yy στο Β(0,y o ) οπότε o o y = 0+κ y =κ > 0 7
E= κ κ = κ = ( κ ) < <κ< <κ< ( κ ) < 4 κ < <κ < κ= κ> κ Ζ Για κ = : f( x) = xlnx+ και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι (ε): y = x +. Δ. Έστω Α (x, y ), Α (x, y ),, Α 50 (x 50, y 50 ) 50 σημεία της (ε): y = x +. Οι τεταγμένες y i, i=,,, 50, έχουν y =. α) Αφού Α, Α,, Α 50 (ε) : y = x + () Οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την () δηλ., y i = x i +, i =,,..., 50 Τότε : 50 50 50 yi xi + 50 xi i= x+ + x + +... + x50 + i= i= y = = = = + v 50 50 50 = x + x = 0 β) Οι x, x,, x 0 αυξάνονται κατά. Οι x, x,, x 5 παραμένουν σταθερές. Οι x 6, x 7,, x 50 ελαττώνονται κατά λ > 0. Η νέα μέση τιμή είναι x=. x + + x + +... + x + + x + x +... + x + x λ+ x λ+... + x λ x= 50 0 5 6 7 50 50 50 xi + 0 5 λ xi i= i= 0 5 λ 6 λ = = + = x + 50 50 50 50 5 0 x= 0 λ 6 λ = 0 + = λ= 0 5 0 5 8
Δ. α β γ α β γ = 7 <α<β<γ< f( x) = xlnx+ παραγωγίσιμη στο ( 0, + ) με: f x 0 lnx lnx ln x x 0 + f x - + f( x ) Αφού Αφού f x = lnx+ f O.E. f x < 0 στο 0,, η f στο 0, και f x > 0 στο, +, η f στο, + Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0 =, το f = ln + = ( ) + = > 0 f στο,, + <α<β<γ< f < f α < f β < f γ < f f = 0 Απ ό, : f < f α < f β < f γ < f () R = μεγαλύτερη μικρότερη παρατήρηση R = f ( ) f R = ln+ 0 R = + () 9
f + f ( α ) + f( β ) + f( γ ) + f ( ) x = 5 0 ln ln ln ln x +α α+ +β β+ +γ γ+ + + = 5 α β γ 7 α β γ 8 ln ln ln 8+ + ln α β γ 8 ln x + α + β + γ + + + = x = x = 5 5 5 8 7 5 x + + + = x = 5 5 Δ4. Ω= t n, n =,,...,0 : 0 < t < t <... < t0 < < t <... < t0 = A { t :f () t 0} ( ) t Ω : η εϕαπτομένη της C στο t,f t σχηματίζει f = με τον άξονα x'x οξεία γωνία = Ω > = { Ω () > + }, () B t : f t f t α) f () t = lnt+, t > 0 f t = tlnt+, t > 0 f () t > 0 lnt > x > Οπότε: A = { t, t,..., t = } N( A) = 0 N( Ω ) = 0 0 Ν Α 0 Ρ( Α ) = = Ρ( Α ) = Ν Ω 0 0
β) Για το ενδεχόμενο Β: () > () + + > + + > ( ) > () f t f t t ln t ln t t ln t ln t 0 ln t t 0 0< t< t < 0 Από ( )(, ): ln t < 0 ln t < ln 0 < t < Οπότε B = { t, t,..., t } 9 Α Β :" πραγματοποιούνται συγχρό νως τα Α, Β" Αφού: { 9} N( A B) 9 ( B) = = N( Ω) 0 A B = t, t,..., t, N A B = 9 P A