ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ - Ενδεικτικές Λύσεις ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.5/10.0 Θέµα 1ο - 0 µονάδες Εστω το περιοδικό σήµα x(t) = (αʹ) (5 µ.) Υπολογίστε την περίοδό του, T 0. 4 (0π(k π(k 1) cos 1)t π ) (1) (ϐʹ) (10.0 µ.) Ενα ιδανικό ϕίλτρο της µορφής h(t) = f c sinc(f c t) δέχεται ως είσοδο το παραπάνω σήµα. Βρείτε µια συχνότητα f c αν ϑέλουµε στην έξοδο να περάσει όχι παραπάνω από το 95% της συνολικής ισχύος του σήµατος. ίνεται ότι P x = 1 () (γʹ) (5 µ.) Ποιά είναι η συχνότητα Nyquist και ποιός ο ϱυθµός Nyquist για το σήµα εξόδου ; (αʹ) Από την έκφραση του x(t) ϐρίσκουµε ότι f 0 = 10 Hz και άρα T 0 = 1/f 0 = 1/10 = 0.1 s. (ϐʹ) Το ϕίλτρο είναι ιδανικό χαµηλοπερατό, άρα ϑέλουµε να κρατήσει το πολύ το 95% της ισχύος του σήµατος. Η ισχύς του σήµατος δίνεται από το ϑεώρηµα Parseval ως P x = + k= X k = 1 (3) Θέλουµε να ϐρούµε το k που δίνει τιµή στην ισχύ όχι µεγαλύτερη από 0.95. Ξέρουµε ότι για την τριγωνοµετρική σειρά Fourier ισχύει 4 X k = π(k 1) X k = (4) π(k 1) και άρα Οπότε P x = + k=,k 0 X k = X k = 4 π (k 1) (5) + X k = 8 π + 1 (k 1) (6) οκιµάζοντας τιµές του k (ή ελέγχοντας το δοσµένο τυπολόγιο) έχουµε ότι P x (k = 4) = 8 4 1 = 0.81057 1.1715 = 0.9496 π (7) (k 1) P x (k = 5) = 8 π 5 1 = 0.81057 1.1839 = 0.9596 (8) (k 1)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 017-18/Τελική Εξέταση Άρα για k = 4 έχουµε ισχύ ίση µε P x (k = 4) = 0.9496 ενώ για k = 5, η ισχύς υπερβαίνει το Ϲητούµενο ϕράγµα του 0.95. Άρα η συχνότητα f c που Ϲητείται πρέπει να είναι ( 4 1)f 0 < f c < ( 5 1)f 0 70 < f c < 90 (9) έτσι ώστε να µένουν στην έξοδο του ϕίλτρου µόνο οι 4 πρώτες (και οι αντίστοιχες αρνητικές) ϕασµατικές συνιστώσες του σήµατος x(t). Μια επιλογή του f c λοιπόν είναι f c = 80 Hz. (γʹ) Η συχνότητα Nyquist είναι f max = 7f 0 = 70 Hz και ο ϱυθµός Nyquist είναι f max = 70 = 140 Hz. Θέµα ο - 0 µονάδες ίνεται η παρακάτω διαφορική εξίσωση που περιγράφει ένα ΓΧΑ σύστηµα : d y(t) dt + 5 dy(t) dt (αʹ) (7.5 µ.) Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς, H(s). (ϐʹ) (.5 µ.) Σχεδιάστε όλους τους πόλους και όλα τα µηδενικά του συστήµατος. + 4y(t) = d x(t) x(t) (10) dt (γʹ) (10.0 µ.) Βρείτε την κρουστική απόκριση h(t) που περιγράφει ένα ευσταθές και αιτιατό σύστηµα. (αʹ) Από ιδιότητες του µετασχ. Laplace έχουµε Οπότε d y(t) dt + 5 dy(t) dt + 4y(t) = d dt x(t) x(t) s Y (s) + 5Y (s) + 4Y (s) = sx(s) X(s) (11) µε πιθανά πεδία σύγκλισης (προαιρετικό) R{s} > 1 R{s} < 4 4 < R{s} < 1 (s + 5s + 4)Y (s) = (s )X(s) (1) s H(s) = s + 5s + 4 (13) s = (s + 4)(s + 1) (14) (ϐʹ) Οι πόλοι ϐρίσκονται στις ϑέσεις s = 4, s = 1 και τα µηδενικά στις ϑέσεις s = και s =. (γʹ) Για να είναι ευσταθές και αιτιατό, πρέπει το πεδίο σύγκλισης να είναι το R{s} > 1, αφού είναι δεξιόπλευρο και περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα. Άρα H(s) = s (s + 4)(s + 1) = A s + 4 + B s + 1 (15)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 017-18/Τελική Εξέταση 3 µε οπότε A = s ] s + 1 B = s ] s + 4 s= 4 s= 1 = 6 3 = (16) = 3 = 1 3 (17) H(s) = s + 4 1 s + 1 h(t) = e 4t u(t) e t u(t) (18) Θέµα 3ο - 0 µονάδες Εστω το σήµα x(t) µε µετασχ. Fourier X(f) ως X(f) = 1 π, f < 1 0, f > 1 (19) Εστω το σήµα είξτε ότι y(t) = d x(t) (0) dt y(t) dt = 8 5 (1) Ζητείται να δείξουµε ότι η ενέργεια του y(t) ισούται µε 8/5. Γνωρίζουµε από το ϑεώρηµα του Parseval ότι Από ιδιότητες του Μετασχ. Fourier έχουµε y(t) dt = Y (f) df () Y (f) = (jπf) X(f) = 4π f X(f) = { { 4π f 1, f < 1 π f 0, f > 1 =, f < 1 0, f > 1 (3) Άρα y(t) dt = Y (f) df = 1 1 1 f df = 4 f 4 df = 4 1 5 f 5] 1 = 8 1 5 (4) Θέµα 4ο - 0 µονάδες Ενας από τους πρώτους τρόπους αποδιαµόρφωσης σηµάτων διαµόρφωσης πλάτους (ΑΜ) στις τηλεπικοινωνίες ϕαίνεται στο Σχήµα 1. Θεωρήστε πως η είσοδος δίνεται ως x AM (t) = (A + m(t)) cos(πf c t) (5) µε m(t) το επιθυµητό σήµα που ϑέλουµε να ανακτήσουµε (σήµα πληροφορίας) και f c f m(t) max.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 017-18/Τελική Εξέταση 4 xam () t S1 S S3 yt () Σχήµα 1: Αποδιαµορφωτής Συνήθους ιαµόρφωσης Πλάτους. Τα συστήµατα S i, i = 1,, 3 δίνονται ως εξής : το σύστηµα S 1 υψώνει στο τετράγωνο την είσοδό του, το σύστηµα S αποτελεί ένα χαµηλοπερατό ϕίλτρο µε συχνότητα αποκοπής f c, και το σύστηµα S 3 αποκόπτει όποια σταθερά σήµατα υπάρχουν στο σήµα εισόδου του. (αʹ) (1.5 µ.) Υπολογίστε την έξοδο από κάθε σύστηµα. ) (ϐʹ) (7.5 µ.) είξτε ότι αν η ποσότητα είναι αµελητέα, τότε η έξοδος είναι µια καλή προσέγγιση του σήµατος πληροφορίας m(t), δηλ. ότι ( m(t) A y(t) Am(t) (6) (αʹ) Εστω y 1 (t) και y (t) οι επιµέρους έξοδοι από τα συστήµατα S 1 και S. Θα είναι [ y 1 (t) = x AM(t) = (A + m(t)) cos(πf c t)] = (A + m(t)) cos (πf c t) (7) και Είναι = (A + Am(t) + m (t)) 1 + cos(πf ct) = 1 (A + Am(t) + m (t)) + 1 (A + Am(t) + m (t)) cos(πf c t) (9) y (t) = y 1 (t) h LP (t) Y (f) = Y 1 (f)h LP (f) (30) Y 1 (f) = 1 (Aδ(f) + AM(f) + M(f) M(f))+ (31) + 1 ( 1 (Aδ(f) + AM(f) + M(f) M(f)) δ(f f c) + 1 ) δ(f + f c) (3) = 1 (Aδ(f) + AM(f) + M(f) M(f))+ (33) + 1 4 (Aδ(f f c) + AM(f f c ) + M(f f c ) M(f f c ))+ (34) + 1 4 (Aδ(f + f c) + AM(f + f c ) + M(f + f c ) M(f + f c ))) (35) Το χαµηλοπερατό ϕίλτρο έχει συχνότητα αποκοπής f c και αφού f c f m(t) max, όλες οι συνιστώσες γύρω από τη συχνότητα ±f c (µε κόκκινο) αποκόπτονται από την έξοδο του δεύτερου συστήµατος. Άρα Y (f) = 1 (Aδ(f) + AM(f) + M(f) M(f)) y (t) = 1 (A + Am(t) + m (t)) (36) Τέλος, το τελευταίο σύστηµα αποκόπτει τις σταθερές της εισόδου του, άρα (8) y(t) = 1 (Am(t) + m (t)) (37)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 017-18/Τελική Εξέταση 5 (ϐʹ) Η y(t) γράφεται ως y(t) = Am(t) + 1 m (t) = Am(t) + A δεδοµένου ότι ο δεύτερος όρος είναι αµελητέος. m (t) A = Am(t) + A ( m(t) ) Am(t) (38) A Θέµα 5ο - 0 µονάδες Εστω ότι σας δίνεται η Φασµατική Πυκνότητα Ενέργειας Φ h (f) = (πf) + 100 (πf) + 5 (39) Βρείτε την κρουστική απόκριση δυο αιτιατών και ευσταθών ΓΧΑ συστηµάτων h 1 (t), h (t), µε ϱητή απόκριση συχνότητας, των οποίων η αυτοσυσχέτιση έχει την παραπάνω Φασµατική Πυκνότητα Ενέργειας. Ποιό σύστηµα από τα δυο έχει ευσταθές και αιτιατό αντίστροφο σύστηµα ; Γνωρίζουµε ότι για τις ϕασµατικές πυκνότητες ενέργειας έχουµε ] Φ h (f) = H(f) = H(f)H (f) = H(f)H( f) = H(s)H( s) s=jπf = H(s) ] s=jπf (40) Άρα H(s) = (s/j) + 100 (s/j) + 5 = s + 100 s + 5 (10 s) (10 + s) = (5 + s) (5 s) Εχουµε συνολικά 4 πόλους και µηδενικά. Αν ένας πόλος/µηδενικό s 1 ανήκει στην H(s), τότε ο s 1 ανήκει υποχρεωτικά στην H( s). Άρα ϑα έχουν η καθεµία έναν πόλο κι ένα µηδενικό. Για να είναι το H(s) ευσταθές και αιτιατό, ϑα πρέπει να έχει τον πόλο στο αριστερό ηµιεπίπεδο, και το µηδενικό οπουδήποτε : και άρα H(s) = 10 ± s 5 + s H(f) = 10 ± jπf 5 + jπf Οπότε τα δυο συστήµατα που είναι ευσταθή και αιτιατά είναι (41) (4) (43) H 1 (f) = H (f) = 10 + jπf 5 + jπf 10 jπf 5 + jπf (44) (45) µε κρουστικές αποκρίσεις (από τους Πίνακες Ϲευγών µετ. Fourier) h 1 (t) = F {jπf 1 1 jπf + 5 + 10 } = d jπf + 5 dt e 5t u(t) + 10e 5t u(t) (46) = δ(t) + 5e 5t u(t) (47) { h (t) = F 1 1 jπf jπf + 5 + 10 } = d jπf + 5 dt e 5t u(t) + 10e 5t u(t) (48) = δ(t) + 15e 5t u(t) (49)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 017-18/Τελική Εξέταση 6 Για να υπάρχει ευσταθές και αιτιατό αντίστροφο σύστηµα πρέπει να έχουµε όλους τους πόλους και όλα τα µηδενικά του αρχικού συστήµατος στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο, να είναι δηλ. σύστηµα ελάχιστης ϕάσης. Εχουµε H 1 (s) = 10 + s, R{s} > 5 5 + s (50) H (s) = 10 s, R{s} > 5 5 + s (51) Το H 1 (s) είναι το µόνο σύστηµα που έχει πόλους και µηδενικά στο αριστερό ηµιεπίπεδο, είναι δηλ. ελάχιστης ϕάσης, οπότε έχει ευσταθές και αιτιατό αντίστροφο σύστηµα, το οποίο (προαιρετικά, δε Ϲητείται στην άσκηση) είναι το H 1,inv (s) = 1 H 1 (s) = s + 5, R{s} > 10 (5) s + 10 και στο χώρο του Fourier είναι H 1,inv (f) = jπf + 5 jπf + 10 (53) Συνολικές Μονάδες : 100 - Άριστα : 100 Καλή Επιτυχία!