. Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών Νικόλαος Τσοτουλίδης Μαθηματικός του 5 ου ΓΕΛ Λαμίας Συντονιστής βαθμολογητών.
Εισαγωγή Οι αρακάτω ααντήσεις είναι αυτές ου ροτείνει η Κ.Ε.Ε. καθώς και μερικές ακόμη ου εμφανίζονται συχνά. Προφανώς, όως συνήθως συμβαίνει στα Μαθηματικά, υάρχουν και άλλες ροσεγγίσεις, όσο αφορά τις ααντήσεις στα θέματα των εξετάσεων. Οοιαδήοτε άλλη ροσέγγιση, εκτός αό τις αρακάτω, κρίνεται για την ορθότητά της κατά ερίτωση. Κάθε αάντηση ειστημονικά τεκμηριωμένη είναι αοδεκτή. Ααντήσεις ΘΕΜΑ Α Α Έστω μια συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f'() σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αοδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. ❼ Έστω, Δ με. Θα δείξουμε ότι f( ) f( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις υοθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εομένως, υάρχει ξ, f( ) f( ) τέτοιο ώστε f '(ξ), οότε έχουμε: f( ) f( ) f'(ξ)( ) Εειδή f'(ξ) και, έχουμε f( ) f( ), οότε f( ) f( ). Α Θεωρήστε τον αρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής στο είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α) Να χαρακτηρίσετε τον αραάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β) Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες ) ❹ α) Ψ β) ο Παράδειγμα (αό το σχολικό βιβλίο) Η συνάρτηση f με f(), είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. β) ο Παράδειγμα (αό το σχολικό βιβλίο) Η συνάρτηση f :[, ) με f(), είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
β) ο Παράδειγμα (αό το Θέμα Δ), [,) Για τη συνάρτηση f με f() έχουμε: ημ, [,] lim f() lim lim f() lim( ημ) f() Εομένως limf() f(), οότε η f είναι συνεχής στο. Για την αραγωγισιμότητα της f στο έχουμε: f() f() ( ) lim lim lim lim( ) f() f() ημ ημ lim lim lim lim f() f() f() f() Εομένως lim lim, οότε η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Α Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] ; ❹ Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα α,β, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του α,β και ειλέον lim f() f(α) και α lim f() f(β) β Α Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: και g:, αν lim g(), τότε lim f() g(). lim f() και β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με εδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f(a) B. γ) Για κάθε συνάρτηση f: ου είναι αραγωγίσιμη και δεν αρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f'() για κάθε. ❿ δ) Αν α, τότε lim α. ε) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. α β γ δ ε Λ Σ Λ Σ Σ ❿
ΘΕΜΑ B Δίνονται οι συναρτήσεις και f() ln, και g(),. B Να ροσδιορίσετε τη συνάρτηση fog. ❺ Είναι: D f (, ) και D g (,) (, ). Για να ορίζεται η συνάρτηση f g ρέει και αρκεί D g / g() Df. D g Ισοδύναμα έχουμε: g() D ( ) f Εομένως η f g ορίζεται στο σύνολο D f g (,) και έχει τύο: Β Αν f g () f g() ln g() ln h() f g () ln, (,), να αοδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. ❻ ος Τρόος H h είναι αραγωγίσιμη στο (,) ως σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων με h'() ( ) ( ) Εναλλακτικά: h'() ln ln( ) ( ) Ισχύει h'() για κάθε (,). ( ) Εομένως η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα είναι «-» οότε αντιστρέφεται. Tο σύνολο τιμών της συνεχούς και γνησίως αύξουσας συνάρτησης h είναι: lim h(), lim h() h (,) Θέτουμε u, και έχουμε: lim u lim με (u ) lim h() lim ln lim lnu υ lim u lim αφού lim, lim( ) και για lim h() lim ln lim lnu u Τελικά το σύνολο τιμών της h είναι h (,) και εομένως D. h
Β Για την εύρεση του τύου της h h() ln ισοδύναμα έχουμε: ( ), αφού για κάθε Εομένως h () ος Τρόος, ή h (), Για οοιαδήοτε, (,) με h( ) h( ) ισοδύναμα έχουμε: h( ) h( ) ln ln Εομένως η συνάρτηση h είναι «-» άρα αντιστρέφεται. Για την εύρεση του εδίου ορισμού και του τύου της h έχουμε: ln (,) h() ( ), αφού για κάθε Όμως ισχύει για κάθε. Εομένως η συνάρτηση Αν φ() h () h () h ορίζεται στο και έχει τύο:, ή h (),,, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως ρος τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμής. ❹ ❼ Η φ είναι αραγωγίσιμη στο ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ) φ'() ( ) ( ) Ισχύει φ'() για κάθε, εομένως η φ είναι γνησίως αύξουσα ( ) και δεν αρουσιάζει ακρότατα. Η φ είναι αραγωγίσιμη στο ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ''() ( ) ( ) ( )
Έχουμε: φ''() ( ) φ''() ( ) φ''() φ() Η συνάρτηση φ είναι κυρτή στο (,] και κοίλη στο [, ). Σ.Κ. Η γραφική αράσταση της φ έχει σημείο καμής το Α, Β Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. Έχουμε lim φ() lim Άρα η γραφική αράσταση της φ έχει στο οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία Είσης lim φ() lim lim D.L.H. Άρα η γραφική αράσταση της φ έχει στο οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία Η γραφική αράσταση της φ φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: ❼ 5
6
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f() ημ, [,] και το σημείο Α, Γ Να αοδείξετε ότι υάρχουν ακριβώς δύο εφατόμενες ( ε ), ( ε ) της γραφικής αράστασης της f ου άγονται αό το Α, τις οοίες και να βρείτε. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο, με f'() συν. Η εφατομένη (ε) της C στο τυχαίο σημείο της f Μ,f( ), [,] έχει εξίσωση: f( ) f'( )( ) ημ συν ( ) Η (ε) διέρχεται αό το σημείο Α, αν και μόνο αν: ημ συν συν ημ Θεωρούμε τη συνάρτηση h() συν ημ Παρατηρούμε ότι h() και h()., [,] Στη συνέχεια θα αοδείξουμε ότι οι αυτές οι δυο ρίζες της εξίσωσης h() είναι μοναδικές στο [,]. ❽ ος Τρόος για τη μοναδικότητα των ριζών Η συνάρτηση h είναι αραγωγίσιμη στο [,] με h'() συν ( ημ) συν ημ Έχουμε: h'() ημ ή ή h'() ημ h'() h() 9 Η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο, και,. Άρα η εξίσωση h() έχει μοναδική ρίζα το στο,. Η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο, και,. Άρα η εξίσωση h() έχει μοναδική ρίζα το στο,. 7
ος Τρόος για τη μοναδικότητα των ριζών Έστω ότι υάρχει και τρίτη ρίζα, Η h είναι συνεχής στα διαστήματα της εξίσωσης h(). Τότε: Η h είναι αραγωγίσιμη στα διαστήματα h() h( ) h(), και,, και, Συνεώς αό το θεώρημα Roll ροκύτει ότι υάρχουν ξ, και ξ, τέτοια ώστε h'(ξ ) h'(ξ ) το οοίο είναι άτοο διότι μόνη ρίζα της εξίσωσης h'() στο (,) είναι η h'() ημ και η. Τελικά η εξίσωση h() έχει δυο ακριβώς ρίζες στο [,], το και το. Αό αυτές τις δυο ρίζες ροκύτουν δυο ακριβώς σημεία εαφής Μ,h(), Μ,h(). Οι δύο εφατόμενες ( ε ) και ( ε ) στα σημεία αυτά διέρχονται αό το Α και είναι: για (ε ): και για (ε ): Γ Αν (ε ): και (ε ): είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ, τότε να σχεδιάσετε τις ( ε ), ( ε ) και τη γραφική αράσταση της f, και να αοδείξετε ότι Ε, όου: Ε 8 Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f και τις ευθείες ( ε ), ( ε ), και Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f και τον άξονα '. ❻ Στο αρακάτω σχήμα φαίνονται οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) καθώς και η γραφική αράσταση της συνάρτησης f. 8
Ε f() d f()d ημd συν Ε (ΟΑΒ) Ε Τελικά Ε Ε 8 Γ Να υολογίσετε το όριο f() lim f() ❹ Αρχικά θα αοδείξουμε ότι: f() ημ (I) για κάθε [,). ος Τρόος (για τη σχέση Ι) Η f είναι συνεχής στο, και δυο φορές αραγωγίσιμη στο (,) με f''() ημ. Ισχύει f''() για κάθε (,). Εομένως η f είναι κυρτή στο, και η εφατομένη ( ε ) της C f βρίσκεται κάτω αό τη C f με εξαίρεση το σημείο εαφής Β(,). Άρα ισχύει: f() ημ για κάθε [,). ος Τρόος (για τη σχέση Ι),, Θεωρούμε τη συνάρτηση g() ημ. Η g είναι συνεχής στο [,] και αραγωγίσιμη στο (,) με g'() συν Ισχύει g'() για κάθε [,), άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] Έτσι έχουμε: g() g() ημ ος Τρόος (για τη σχέση Ι) Για κάθε [,) ισχύει: ημ( ) ημ( ) ημ ημ f() f() f() έχουμε: Τελικά για το όριο lim lim f() lim f() lim( ημ ) lim f() lim( ημ ) και lim, αφού f() ημ f() f() lim lim f() ( ) f() f() Εομένως 9
ος Τρόος (για όλο το ερώτημα) Θέτουμε u και έχουμε limu lim( ) και το δοσμένο όριο γίνεται: f() lim lim ημ f() ημ lim ημ( u) u u ημ( u) u lim ημu u ( ) u u ημu αφού lim(uημu) και ημu u uημu για κάθε u (,) u Γ Να αοδείξετε ότι f() d ❼ ος Τρόος Η f είναι συνεχής στο, και δυο φορές αραγωγίσιμη στο (,) με f''() ημ. Ισχύει f''() για κάθε (,). Άρα η f είναι κυρτή στο, και η εφατομένη ( ε ) της C f βρίσκεται κάτω αό τη C f με εξαίρεση το σημείο εαφής Β(,). Συνεώς ισχύει: f() f() για κάθε [,] (,). Εομένως f() f() f() d d d ln d ❹ ος Τρόος Για κάθε [,] [,] ισχύει: Η ισότητα δεν ισχύει αντού, άρα Όμως, οότε ος Τρόος Για κάθε u [,] ισχύει: ημ f() ημ ημ f() f() f() d d d ln d f() d u u u ημ ημ f( ). u u u Η ισότητα δεν ισχύει αντού, άρα Θέτουμε u u ln και έχουμε: Όμως, οότε f( )du ( )du f( )du u f( )du du d. Οότε: f() d f() f( )du d u ❹ ❹ Σχόλιο: Το κάτω φράγμα είναι μεγαλύτερο του ζητούμενου κάτω φράγματος.
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(), [,) ημ, [,] Δ Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Το εδίο ορισμού της f είναι το [,) [,] [,]. Η f είναι συνεχής στο [,) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι συνεχής στο (,] ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Ειλέον έχουμε: lim f() lim lim f() lim( ημ) f() Εομένως limf() f(), οότε η f είναι συνεχής στο. Τελικά η f είναι συνεχής στο [,] Η f είναι αραγωγίσιμη στο [,) με Για (,) ισχύει f'() ( ) ( ) ( )'. Άρα f'() για κάθε (,). f'() Η f είναι αραγωγίσιμη στο (,] με Για (,) έχουμε: f'() ( ημ)' ημ συν (ημ συν) (ημσυν) ημ συν συν ημ (ημ για ) σφ σφ σφ Εξετάζουμε αν η f είναι αραγωγίσιμη στο. Έχουμε: f() f() ( ) lim lim lim lim( ) f() f() ημ ημ lim lim lim lim Εομένως η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Κρίσιμα σημεία της f είναι τα εσωτερικά σημεία του [,] στο οοία η f δεν είναι αραγωγίσιμη ή f'() Εομένως κρίσιμα σημεία της f είναι το και το ❺
Δ Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της., αν [,) Έχουμε f'() (ημσυν), αν (,] Αν [,) ισχύει f'() Αν, ισχύει f'() (ημ συν) και αφού η f είναι συνεχής, διατηρεί ρόσημο στο,. Όμως f', άρα f'() για κάθε,. Αν, ισχύει f'() (ημ συν) και αφού η f είναι συνεχής, διατηρεί ρόσημο στο,. Όμως f', άρα f'() για κάθε,. f'() f() 9 Τ.Μ. Τ.Ε. Τ.Μ. Τ.Ε. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, Η f αρουσιάζει τοικό μέγιστο στο το f( ) Η f αρουσιάζει τοικό ελάχιστο στο το f() Η f αρουσιάζει τοικό μέγιστο στο το f Η f αρουσιάζει τοικό ελάχιστο στο το f() Εύρεση του συνόλου τιμών ος Τρόος (για το σύνολο τιμών) Το ολικό ελάχιστο της f είναι το m και το ολικό μέγιστο είναι το Μ αφού ου ισχύει. Η f είναι συνεχής, εομένως το σύνολο τιμών της είναι το [m,m], ❻
ος Τρόος (για το σύνολο τιμών) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ [,], άρα f(δ ) [f(),f( )] [,] Δ Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ,, άρα f(δ ) f(),f, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ,, άρα f(δ ) f(),f, Εομένως το σύνολο τιμών της f είναι f(δ ) f(δ ) f(δ ), Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση 5 της f, τη γραφική αράσταση της g, με g(),, τον άξονα ' και την ευθεία. 5 5 Το ζητούμενο εμβαδό είναι: Ε f() d ημ d Όμως για κάθε [,] έχουμε: 5 ημ (ημ ) αφού με την ισότητα να ισχύει για ημ με την ισότητα να ισχύει για Άρα ημ. 5 5 Εομένως το εμβαδόν είναι: Ε ( ημ)d d ημd I I ❻ I 5 5 5 d 5 5 Ι ( )'ημd ημ συνd ( )'συνd συν ημd Ι Άρα Ι Ι 5 Τελικά Ε 5 Δ Να λύσετε την εξίσωση 6 f() ( ) 8 ❽ ος Τρόος ( ) 8 Έχουμε: 6 f() ( ) 8 f() 6 6 Προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι το. f()
Το είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης διότι: f() f() λόγω του συνόλου τιμών της f και η ισότητα ισχύει μόνο για. και η ισότητα ισχύει μόνο για. ❹ ος Τρόος Λόγω του ολικού μέγιστου της f έχουμε: f() 6 f() 8 με τη ισότητα να ισχύει μόνο για. ❹ Είσης έχουμε: ( ) με τη ισότητα να ισχύει μόνο για. Με ρόσθεση κατά μέλη ροκύτει: 6 f() ( ) 8 Η ισότητα ισχύει μόνο για. Εομένως η μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι.
Παρατηρήσεις Για το ερώτημα Γ f() ημ Όως φαίνεται στην εόμενη εικόνα, μια ροσέγγιση του ολοκληρώματος d d ημ είναι: d,8795 7. Με ένα smartphon βρίσκουμε μια ροσέγγιση του ου είναι:, Για το ερώτημα Δ Στο εόμενο σχήμα φαίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(), [,) ημ, [,] 5