Άσκηση Η εταιρία ηλεκτρισμού ELECTRON έχει τρείς μονάδες ηλεκτροπαραγωγής Α, Β, C και θέλει να καλύψει τη ζήτηση σε τέσσερις πόλεις W, Χ, Υ, Ζ. Η μέγιστη παραγωγή, η απαιτούμενη ζήτηση και το κόστος μεταφοράς της ηλεκτρικής ενέργειας ( /GWh) φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα. Πόλη Μονάδες W X Y Z Δυναμικότητα (GWh) A 8 6 9 B 9 7 C 4 9 6 4 Ζήτηση (GWh) 4 Ποιο είναι το βέλτιστο πρόγραμμα διανομής ηλεκτρικής ενέργειας από τις μονάδες παραγωγής της εταιρίας στις τέσσερις πόλεις;
Άσκηση Μεταβλητές Απόφασης: x ij : η ποσότητα ηλεκτρισμού από την μονάδα i=a,b,c στην πόλη j= W, X, Y, Z (σύνολο ). Κριτήριο Απόφασης: z : Ελαχιστοποίηση κόστους διανομής [min]z = 8 x AW + 6 x AX + x AY + 9 x AZ + 9 x BW + x BX + x BY + 7 x BZ + 4 x CW + 9 x CX + 6 x CY + x CZ Περιορισμοί: I. Κάλυψη ζήτησης II. Περιορισμοί δυναμικότητας x AW + x BW + x CW 4 x AX + x BX + x CX x AY + x BY + x CY x AW + x AX + x AY + x AZ x ΒW + x ΒX + x ΒY + x ΒZ x CW + x CX + x CY + x CZ 4 x AZ + x BZ + x CZ
Άσκηση Ένας επιχειρηματίας διαθέτει μια αποθήκη που εκμεταλλεύεται ως εξής: αγοράζει ποσότητες εποχιακού προϊόντος, που η τιμή του μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του έτους, όταν η τιμή του βρίσκεται σε χαμηλά επίπεδα, τις αποθηκεύει και μετά τις μεταπωλεί σε εποχή ανόδου της τιμής. Η χωρητικότητα της αποθήκης ανέρχεται σε μονάδες του προϊόντος. Η τιμή που μπορεί να διατεθεί το προϊόν κατά τη διάρκεια του έτους είναι: ο Τρίμηνο: ο Τρίμηνο: ο Τρίμηνο: 4ο Τρίμηνο: ευρώ / μονάδα 9 ευρώ / μονάδα ευρώ / μονάδα ευρώ / μονάδα Σε κάθε τρίμηνο ο επιχειρηματίας αγοράζει και πωλεί το προϊόν στην ίδια τιμή. Το κόστος αποθήκευσης ανέρχεται σε ευρώ / μονάδα προϊόντος σε κάθε τρίμηνο και στην αρχή του έτους υπάρχει απόθεμα μονάδων. Ζητείται η κατάρτιση γραμμικού υποδείγματος για την βελτιστοποίηση του προβλήματος.
Άσκηση Μεταβλητή Απόφασης: Χ ιj : Οι μονάδες προϊόντος που αγοράζει στο i τρίμηνο και πουλάει στο j τρίμηνο. Συμβολίζουμε Χ j τα αρχικά αποθέματα που πουλάμε στο j τρίμηνο Κριτήριο Απόφασης: Μεγιστοποίηση κέρδους maxz = (-) Χ + (9--) Χ + (---) Χ + (----) Χ 4 + (9-9) Χ + (-9-) Χ + (-9--) Χ 4 + (-) Χ + (--) Χ 4 + (-) Χ 44 + Χ + (9-) Χ + (-4) Χ + (-6)Χ 4
Άσκηση Περιορισμοί: Χ + Χ + Χ + Χ 4 Χ + Χ + Χ 4 + Χ + Χ + Χ 4 Χ + Χ 4 + Χ + Χ 4 + Χ + Χ 4 Χ 4 + Χ 4 + Χ 4 + Χ 4
Άσκηση Η διεύθυνση μικρής μηχανουργικής βιομηχανίας ειδικευμένης στην παραγωγή τύπων οδοντωτών τροχών, τους,, επιθυμεί να καταρτίσει το πρόγραμμα παραγωγής του επόμενου μήνα. Η επιχείρηση διαθέτει δύο τμήματα κατεργασίας οδοντωτών τροχών: το τμήμα Α όπου περιλαμβάνονται οι γραναζοκόπτες και το τμήμα Β όπου περιλαμβάνονται τα λειαντικά μηχανήματα. Την πρώτη ύλη (κυλίνδρους από χάλυβα έτοιμους να υποστούν κατεργασία από γραναζοκόπτη) η επιχείρηση προμηθεύεται από το εμπόριο. Στο τμήμα κατεργασίας Α (γραναζοκόπτες) υπάρχουν δύο τύποι μηχανών: μηχανές τύπου Α και μηχανές τύπου Α. Στο τμήμα κατεργασίας Β υπάρχουν επίσης δύο τύποι μηχανών: μηχανές τύπου Β και μηχανές τύπου Β.: Για να κατασκευασθεί ένας τροχός οποιουδήποτε τύπου, απαιτείται κατεργασία σε δύο μόνο μηχανές: ένα γραναζοκόπτη και ένα λειαντικό μηχάνημα. Ειδικότερα: Ο τροχός τύπου απαιτεί κατεργασία σε οποιονδήποτε τύπο γραναζοκόπτη και σε οποιονδήποτε τύπο λειαντικού μηχανήματος. Ο τροχός τύπου απαιτεί κατεργασία στον γραναζοκόπτη τύπου Α και το λειαντικό μηχάνημα τύπου Β. Ο τροχός τύπου απαιτεί κατεργασία στον γραναζοκόπτη τύπου Α και το λειαντικό μηχάνημα τύπου Β. Προκειμένου να προσδιορισθεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής για την περίοδο του μήνα, ζητούνται:. Η ανάλυση της δράσης της επιχείρησης σε παραγωγικές δραστηριότητες.. Τα διανύσματα των δραστηριοτήτων.. Οι περιορισμοί που πρέπει να ικανοποιούνται από κάθε πρόγραμμα δραστηριοτήτων. 4. Η οικονομική συνάρτηση που πρέπει να μεγιστοποιηθεί.
Άσκηση
Άσκηση Δραστηριότητες: Παραγωγή τροχού τύπου Μηχ Α Μηχ Β Μηχ Α Μηχ Β Μηχ Α Μηχ Β Μηχ Α Μηχ Β Παραγωγή τροχού τύπου Παραγωγή τροχού τύπου Μεταβλητές απόφασης: Χ (ΑΒ), Χ (ΑΒ), Χ (ΑΒ), Χ (ΑΒ), Χ, Χ, όπου Χ (ΑΒ) η ποσότητα τεμαχίων τροχού τύπου που παράγεται με γραναζοκόπτη τύπου Α και λειαντικό μηχάνημα τύπου Β. Κριτήριο Απόφασης: Μεγιστοποίηση κέρδους
Άσκηση Περιορισμοί: x x +.x 4 (ΑΒ) (ΑΒ).x +.x.x.x + x 4 (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) ( ΑΒ) + x. x +.x +.x 4 (ΑΒ) (ΑΒ) Οικονομική συνάρτηση: Ζ= (έσοδα από πωλήσεις) - (έξοδα πρώτης ύλης) (κόστος λειτουργίας μηχ.) =*(x x +x x ) +.* x + 6.* x - (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) -(.6*(x x +x x ) +.7* x +.9* x - -((+.*.6)*x (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (+.*.7)*x +(.*.+.*.6)*x (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (.*.+.)*x + (.+.6)* x + (*.+.*.7)* x ) (ΑΒ) Τελικά: maxz=.x.9x +.66x.7x +.7x +.x (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ)
Άσκηση Δίνεται το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: maxz = x + x με τους περιορισμούς: x + x 8 7x + 4x 8 x, x, x, x Να λυθεί γραφικά το πρόβλημα. Να διερευνηθεί πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση στις μεταβολές των διαφόρων παραμέτρων.
Άσκηση x maxz = x + x x + x 8 ( I ) 7 ( II ) ( III ) 7x + 4x 8 ( II ) 4,6 x, x, x, x α) ( III ) ( IV ), Σημείο Β: ( I ) ( IV x =, x =, ) A x + x, = 8 x =,8 Ζ(x,x ) =,49 B Γ, Δ 4 ( I ) ( IV ) 6 x Σημείο Γ: ( II ) ( I ) x + x = 8 x = 6 x x =,9 7x + 4x = 8 4 8 - x + 4 x = x =,86 7 Ζ(x,x ) =,76
Άσκηση Σημείο Δ: (III) (II) β) λ ΙΙΙ λ ΙΙ λ Ι λ AΣ λ ΙV Άρα το Β είναι βέλτιστο. x =, x =, Ζ(x 7x + 4x = 8,x ) = x =,87 7 4 I IV c c Ανάλυση ευαισθησίας ως προς c c c c c c c c 6 Ανάλυση ευαισθησίας ως προς c c c c c c c c
Άσκηση 4 Δίνεται το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: minz = x + x με τους περιορισμούς: x x + x x x x, x Να λυθεί γραφικά το πρόβλημα. Να διερευνηθεί πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση στις μεταβολές των διαφόρων παραμέτρων.
Άσκηση 4 minz = x + x x x + x x x x, x α) x ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) Σημείο Β: ( II ) ( I ) x = x = 7 A B ( I ) ( III ) Δ Γ ( II ) x + x = x = Ζ(x,x ) = 76 ( IV ) x Σημείο Γ: (II) (III) x = x = x + x = x =7 Ζ(x,x ) = 7 Άρα το Γ είναι βέλτιστο.
Άσκηση 4 β) λ ΙΙΙ, λ ΙΙ λ Ι λ AΣ λ ΙV - Προσοχή: Παρ ότι η κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης βρίσκεται μεταξύ των κλίσεων των περιορισμών ΙΙ και ΙV, η βέλτιστη λύση προκύπτει από την τομή των περιορισμών ΙΙ και ΙΙΙ. Αυτό συμβαίνει γιατί η τομή των ΙΙ και IV βρίσκεται εκτός του χώρου των εφικτών λύσεων. II IV Παρατηρούμε επίσης, ότι η μεταβολή των παραμέτρων της αντικειμενικής συνάρτησης, μία ανά φορά, μπορεί να μας στείλει μόνο στη λύση του σημείου Β. Επομένως: Ανάλυση ευαισθησίας ως προς c c c c Ανάλυση ευαισθησίας ως προς c c c c
Άσκηση Μια νοικοκυρά επιθυμεί να καταρτίσει για κάθε μέλος της οικογένειάς της το βέλτιστο ημερήσιο διαιτολόγιο, έτσι ώστε να τηρούνται ορισμένες προδιαγραφές για την ημερήσια λαμβανόμενη ποσότητα των βιταμινών Α και Β, που την ενδιαφέρουν περισσότερο. Για το λόγο αυτό εξετάζει συνδυασμούς από βασικές τροφές Τ, Τ, Τ, Τ4 και Τ. Η περιεκτικότητα κάθε τροφής σε βιταμίνες (mg/g), το κόστος των τροφών ( /kg) καθώς και η ποσότητα κάθε βιταμίνης που πρέπει να λαμβάνεται (mg), φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Τροφή Βιταμίνη Τ Τ Τ Τ4 Τ Ακόμα είναι γνωστό ότι η νοικοκυρά μπορεί να βρει τις παραπάνω βιταμίνες στο φαρμακείο της γειτονιάς της με τη μορφή δισκίων των mg ( mg βιταμίνης ανά δισκίο). Ζητείται:. Να διατυπωθεί το μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού για τη λύση του παραπάνω προβλήματος.. Να διατυπωθεί και να λυθεί το δυαδικό του παραπάνω προβλήματος.. Να βρεθεί σε ποια τιμή είναι η νοικοκυρά διατεθειμένη να αγοράσει δισκία βιταμινών Α και Β από το φαρμακείο. 4. Να βρεθούν οι βέλτιστες ποσότητες τροφών του διαιτολογίου της νοικοκυράς. Αναγκαία Ποσότητα(mg) Α (mg/g) Β (mg/g) Τιμή ( /kg),,
Άσκηση Διατύπωση προβλήματος Μεταβλητή απόφασης: x i, η ποσότητα τροφής T i σε gr. Κριτήριο Απόφασης: Ελαχιστοποίηση κόστους απόκτησης των απαραίτητων βιταμινών. Εφόσον η μεταβλητή απόφασης είναι σε gr, θα κάνουμε αναγωγή στα δεδομένα μας. Βιταμίνη Τροφή Τ Τ Τ Τ4 Τ Α (mg/gr) Β (mg/gr) Τιμή ( /gr) * - * - * -,* -,* - Αναγκαία Ποσότητα /kg = / gr = * - /gr
Άσκηση Αντικειμενική συνάρτηση: min Z(x i ) * *x * *x * *x, * *x 4, * *x Με περιορισμούς: *x *x *x *x *x *x *x *x 4 4 *x *x Το παραπάνω πρόβλημα δεν λύνεται γραφαναλυτικά εφόσον έχει μεταβλητές και περιορισμούς. Η ύπαρξη περιορισμών μας οδηγεί να αναζητήσουμε λύση μέσω του δυαδικού προβλήματος.
Άσκηση Δυαδικό πρόβλημα Πρωτεύον πρόβλημα: MIN Δυαδικό πρόβλημα: MAX Διατύπωση δυαδικού προβλήματος Μεταβλητή απόφασης: π i,η τιμή (Euro/mg) της αντίστοιχης βιταμίνης (Α,Β) Κριτήριο Απόφασης: Εύρεση του μέγιστου τιμήματος που είναι διατεθειμένη η νοικοκυρά να πληρώσει για την διατροφή της. Αντικειμενική Συνάρτηση: max U( i ) * * Με περιορισμούς: ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) ( V ) *π *π *π *π *π *π *π *π *π *π * * *,*,*
Άσκηση Γραφαναλυτική επίλυση δυαδικού προβλήματος x,* -,* - ( V ) ( I ) * - ( II ),* - A B ( IV ) Γ Βέλτιστο σημείο το Β ( III ) ( III ) * -,* - ( V ) * - 4 *π *π *,* /mg 4 *π *π,* 9,* /mg x Άρα τα δισκία των βιταμινών των mg πωλούνται για, / δισκίο και,9 /δισκίο αντίστοιχα.
Άσκηση Δυαδικό πρόβλημα: Περιορισμοί I, II και IV είναι μη κορεσμένοι Πρωτεύον πρόβλημα: Μεταβλητές απόφασης X, X και Χ 4 είναι Άρα Πρωτεύον πρόβλημα μεταβλητές & περιορισμοί Λύση x *x *x x x x x x 4 x
Άσκηση 6 Η δραστηριότητα ενός συνεταιρισμού παρασκευής κρασιού μιας πόλης, περιλαμβάνει την παραλαβή σταφυλιών και τη ζύμωση του μούστου, με σκοπό τη δημιουργία κρασιού. Η ζύμωση πραγματοποιείται σε δύο οινοποιεία που βρίσκονται, το ένα παραλιακά στην πόλη και το άλλο στο κέντρο της. Η ελάχιστη εβδομαδιαία ζήτηση κρασιού στην πόλη ανέρχεται στους τόνους. Σαν σύμβουλος του συνεταιρισμού καλείστε να καθορίσετε τα βέλτιστα επίπεδα δραστηριότητας των δύο οινοποιείων του. Τα τεχνοοικονομικά δεδομένα του προβλήματος συνοψίζονται στα ακόλουθα: κιλά σταφύλια αντιστοιχούν σε 6 κιλά κρασί. Το κόστος ζύμωσης συμπεριλαμβάνει την απασχόληση του εργατικού δυναμικού. Περιορισμοί που οφείλονται στα μεταφορικά μέσα, δεν επιτρέπουν τη μεταφορά περισσοτέρων από τόνους σταφυλιών προς τα δύο οινοποιεία εβδομαδιαίως. Σε εβδομαδιαία βάση διατίθενται ώρες εργασίας που κατανέμονται ελεύθερα στα δύο οινοποιεία. Οινοποιείο Κόστος μεταφοράς ανά τόνο σταφυλιών Κόστος ζύμωσης ανά τόνο σταφυλιών Απαιτούμενη εργασία ανά τόνο σταφυλιών Εβδομαδιαία μέγιστη δυνατότητα ζύμωσης Παραλιακό 4, ώρες τόνοι Κεντρικό, ώρες 4 τόνοι
Άσκηση 6. Να διατυπωθούν και επιλυθούν τα μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού που εντοπίζουν: a) την εβδομαδιαία παραγωγή κρασιού που ελαχιστοποιεί το κόστος του συνεταιρισμού. b) τη μέγιστη δυνατή εβδομαδιαία παραγωγή των οινοποιείων.. Να διατυπωθεί το δυαδικό πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του κόστους, (a), να δοθεί η ερμηνεία κάθε μιας δυαδικής μεταβλητής και να προσδιορισθεί η βέλτιστη λύση του.. Προσδιορίστε για ποια τιμή κόστους ζύμωσης στο κεντρικό οινοποιείο, θα έχουμε απειρία λύσεων στο πρωτεύον πρόβλημα (a) αν όλες οι υπόλοιπες μεταβλητές παραμείνουν σταθερές. 4. Κατασκευάστε τον πρώτο πίνακα Simplex του προβλήματος (b). Ποια είναι η εισερχόμενη και ποια η εξερχόμενη μεταβλητή;