ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου αφού είναι η αφετηρία των ηλεκτρονικών τα οποία έφεραν επανάταη τους τοµείς των τηλεπικοινωνιών και πληροφόρηης και άλλαξαν τη ζωή του ανρώπου. Θα προπαήουµε να αναλύουµε το φαινόµενο της ερµιονικής εκποµπής ηλεκτρονίων µέα από το πείραµα που ακολουεί, έτι ώτε να γίνει όο το δυνατό πιο κατανοητή η φυική του. Θεωρητική ειαγωγή Το φαινόµενο κατά το οποίο εκπέµπονται ηλεκτρόνια από τα µέταλλα όταν αυτά ερµαίνονται ονοµάζεται ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων. Τα ηλεκτρόνια αυτά υπάρχουν το εωτερικό του µετάλλου και κυκλοφορούν ανάµεα τα ετικά ιόντα του κρυταλλικού πλέγµατος δίνοντας την εικόνα κλαικών ωµατιδίων αερίου περιοριµένων ε χώρο που ορίζεται από τις επιφάνειες του µετάλλου. Τα ηλεκτρόνια είναι κβαντικά ωµατίδια και αυτό έχει ως υνέπεια οι ενέργειές τους να κατανέµονται µε αυνεχή τρόπο. Επίης λόγω της απαγορευτικής αρχής Pauli τα ηλεκτρόνια καταλαµβάνουν ανά δύο ενεργειακές τάµες, από την χαµηλότερη ως µια οριµένη υψηλότερη µέχρι να κατανεµηούν όλα. Η υψηλότερη ενεργειακή τάµη τη ερµοκραία του απόλυτου µηδενός καλείται ενέργεια Fermi Ε F και είναι χαρακτηριτική για κάε τοιχείο. Τα χαρακτηριτικά αυτά καιτούν ακατάλληλα τα µοντέλα κατανοµής ενέργειας αερίων. Αποδεικνύεται ότι τα ηλεκτρόνια ακολουούν τη τατιτική Fermi Dirac (F-D): 1 f ( E ) ( ) (1) E EF / k e + 1 Όπου k1.3807 10-3 J -1 η ταερά Boltzmann και η ερµοκραία ε elvin. Καώς ερµαίνεται το ώµα του µετάλλου ε υψηλές ερµοκραίες τα ηλεκτρόνια αποκτούν µέη ερµική ενέργεια k. Η ενέργεια αυτή είναι χαµηλή ακόµα και ε ερµοκραίες κοντά τη ερµοκραία τήξης του µετάλλου. Οριµένα ηλεκτρόνια όµως την ουρά της κατανοµής F-D έχουν ικανή ενέργεια ώτε να 1
µπορέουν να φύγουν από το µέταλλο. Το ελάχιτο έργο που χρειάζεται ώτε τα ηλεκτρόνια µε την υψηλότερη ενεργειακή τάµη να διαπεράουν το φράγµα δυναµικού V 0 που αποτελούν οι επιφάνειες του µετάλλου ονοµάζεται έργο εξόδου φ και είναι χαρακτηριτικό για κάε µέταλλο. Ιούται µε το φράγµα δυναµικού µείον την ενέργεια Fermi. ϕ ev0 E F () Η εκποµπή των ηλεκτρονίων από το ώµα µετάλλων µπορεί να µελετηεί ε κατάλληλες διατάξεις. Μια από αυτές είναι η ηλεκτρονική λυχνία κενού. Η πιο απλή (δίοδος) αποτελείται από µια µεταλλική πλάκα (κάοδος) που ερµαίνεται µέω ενός ύρµατος βολφραµίου το οποίο διαρρέεται από ρεύµα και ένα ηλεκτρόδιο ανόδου, το οποίο υλλέγει τα ηλεκτρόνια που εκπέµπονται από την κάοδο λόγω διαφοράς δυναµικού που εφαρµόζεται µεταξύ ανόδου-καόδου µε ηλεκτροετικότερη την άνοδο. Σε µικρές διαφορές δυναµικού µόνο τα υψηλότερα ενεργειακά ηλεκτρόνια (από την κατανοµή F-D) καταφέρνουν να φτάουν την άνοδο και αποτελούν το ανοδικό ρεύµα A. Αυξάνοντας προοδευτικά την ανοδική τάη V A, όλο και περιότερα ηλεκτρόνια υλλέγονται από την άνοδο αυξάνοντας έτι το ανοδικό ρεύµα µέχρι µια οριµένη µέγιτη τιµή (ρεύµα κόρου ) που εξαρτάται από τη ερµοκραία καόδου. Είναι προφανές, ότι υµβαίνει αυτό, γιατί όταν εµφανίζεται το ρεύµα κόρου όλα τα παραγόµενα ηλεκτρόνια από την κάοδο υλλέγονται την άνοδο και δεν είναι δυνατό να αυξηούν όο και αν αυξηεί η τάη ανόδου κρατώντας ταερή τη ερµοκραία καόδου. Για την ιχυρή εξάρτηη του ρεύµατος κόρου από τη ερµοκραία της καόδου προτάηκε από τον Richardson µια εµπειρική χέη: ( b ) Af e (3) ( ) όπου Α και b είναι ταερές χαρακτηριτικές της καόδου της λυχνίας και f () n όρος εξαρτώµενος από τη ερµοκραία µικρού βαµού. Η παραπάνω χέη µπορεί να παραχεί εωρητικά µε µελέτη της τατιτικής υµπεριφοράς του ηλεκτρονικού νέφους, όπου αν λάβουµε υπ όψιν µας την κατανοµή F-D εωρώντας τα ηλεκτρόνια φερµιόνια γίνεται:
emk 3 h π e ϕ k () πemk έτοντας A και 3 h πράξεις έχουµε: B ϕ και λογαριµίζοντας την χέη () µετά από k 1 ln B + ln A (5) η οποία είναι µια χέη του τύπου bx+a. Από την κλίη της ευείας που αναπαριτά µπορούµε να υπολογίουµε το έργο εξόδου φ. Πειραµατική διάταξη και εκτέλεη πειράµατος Για τις ανάγκες του πειράµατος χρηιµοποιήαµε µια δίοδο λυχνία κενού εµµέου έρµανης, ένα τροφοδοτικό υνεχούς τάης 0-5V για την τροφοδοία των νηµάτων έρµανης της καόδου, ένα αναλογικό βολτόµετρο περιοχής 0-5V µε διαγράµµιη ανά 0.5V υνδεδεµένο τα νήµατα έρµανης, ένα αναλογικό αµπερόµετρο περιοχής 0-00mA µε διαγράµµιη ανά 5mA υνδεδεµένο το κύκλωµα έρµανης, ένα τροφοδοτικό υνεχούς τάης 0-300V για τη διαφορά δυναµικού ανόδου-καόδου και ένα ψηφιακό αµπερόµετρο µε διαβάµιη 0.01mA για τη µέτρηη του ανοδικού ρεύµατος. Για τα νήµατα έρµανης εωρήηκε ότι ο ερµικός υντελετής είναι ταερός ε όλες τις ερµοκραίες, ότι το νήµα είχε ταερή ερµοκραία ε όλο το µήκος του και ότι οι κολλήεις και οι ύνδεµοι το κύκλωµα έρµανης είχαν µηδενική τιµή αντίταης. Η ερµοκραία της καόδου δεν ήταν δυνατό να µετρηεί άµεα και για αυτό το λόγο υπολογίτηκε έµµεα µε την παρακάτω µέοδο. Σε πρώτη προέγγιη η αντίταη ενός µετάλλου µεταβάλλεται µε τη ερµοκραία γραµµικά ύµφωνα µε τη χέη: ( ) R R0 1+ a (6) 3
Από παλαιότερο πείραµα ήταν γνωτό ότι τα νήµατα έρµανης τους 5 ο C είχαν αντίταη: R 5 6.3Ω. Το α ήταν γνωτό και ίο µε a.5 10-3 grad -1. Με βάη αυτές τις τιµές βρήκαµε από τη χέη (6) ότι ε ερµοκραία 0 ο C η αντίταη των νηµάτων R 0 ήταν : R 0 5.66Ω. Από την ίδια χέη λύνοντας ως προς τη ερµοκραία υπολογίαµε τη υνέχεια τη ερµοκραία των νηµάτων: R R0 + 73 R 39. + 50. 7 3.5 10 R 0 (7) και το φάλµα τη µέτρηη της ερµοκραίας είναι: R 39. (8) Η τιµή της R υπολογίζεται εύκολα µε το νόµο του Ohm από τις τιµές τάης V και ρεύµατος Ι το κύκλωµα των νηµάτων έρµανης: V R (9) και το φάλµα την τιµή της αντίταης υπολογίζεται από τη χέη: R R V R V V V + R + (10) Αρχικά κάναµε οριµένες µετρήεις για να µελετήουµε τα χαρακτηριτικά της λυχνίας. Για τάη έρµανης V.5V και V V και µετά από παραµονή αρκετής ώρας την κάε µια από αυτές, για όο το δυνατό καλύτερη ταεροποίηη της ερµοκραίας, καταγράψαµε τις τιµές ανοδικού ρεύµατος Ι Α για διάφορες τάεις ανόδου-καόδου V A από 0-300V. Παρατηρήαµε ότι µέγιτο ρεύµα έχουµε για ανοδική τάη V A 300V το οποίο και εωρούµε ρεύµα κόρου Ι Κ. Οι µετρήεις
παρουιάζονται τον πίνακα Ι. Με βάη τις µετρήεις αυτές χαράξαµε τη χαρακτηριτική καµπύλη της διόδου για κάε περίπτωη. Πίνακας Ι. Ανοδικό ρεύµα Ι Α για διάφορες τάεις ανόδου-καόδου V A µε δύο διαφορετικές τάεις τα νήµατα έρµανης καόδου V. V.5V V V α/α V A A V A A 1 0 0.00 0 0 50 0.01 50 0.17 3 100 0.0 100 0.75 150 0.03 150 1.53 5 00 0.05 00.0 6 50 0.06 50 3.30 7 300 0.07 300.80 5 ΑΝΟ ΙΚΟ ΡΕΥΜΑ A (ma) 3 1 0 V V V.5V 0 50 100 150 00 50 300 ΑΝΟ ΙΚΗ ΤΑΣΗ V A (Volt) Σχήµα 1. Χαρακτηριτική καµπύλη λυχνίας Στη υνέχεια µετρήαµε το ρεύµα κόρου Ι Κ για διάφορες τιµές τάης έρµανης V µεταξύ.5v και 5V. Επειδή η ερµοκραία της καόδου α έπαιρνε µέγιτη τιµή ε άπειρο εωρητικά χρόνο µετά την αποκατάταη της τάης έρµανης, κάτι που δεν ήταν δυνατό να περιµένουµε να υµβεί, οι µετρήεις όλες 5
έγιναν για την κάε φορά 3 λεπτά ακριβώς µετά την αποκατάταη της νέας τάης έρµανης. Αυτό αναµένεται, όµως, να ειάγει ένα υτηµατικό φάλµα τους υπολογιµούς µας. Υπολογίαµε την ωµική αντίταη R και τη ερµοκραία των νηµάτων έρµανης Τ της καόδου για την κάε µια τάη έρµανης V που εφαρµόαµε. Θεωρήαµε ότι αυτή είναι και η ερµοκραία καόδου ύµφωνα µε τις παραδοχές που κάναµε παραπάνω. Ανάλογα µε το είδος του οργάνου που έγινε η µέτρηη εωρήαµε ως φάλµα µέτρηης τη µιή τιµή της ελάχιτης υποδιαίρεη της κλίµακας του οργάνου για τα αναλογικά όργανα και µια µονάδα του λιγότερο ηµαντικού ψηφίου για το ψηφιακό. Συγκεκριµένα για την τάη έρµανης V εωρήαµε φάλµα µέτρηης V 0.15V, για το ρεύµα έρµανης Ι φάλµα Ι.5mA και για το ανοδικό ρεύµα Ι Α φάλµα ΙΑ 0.01mA. Το φάλµα τον υπολογιµό της αντίταης έρµανης και της ερµοκραίας καόδου που προέκυψε για την κάε µέτρηη δίνεται τον πίνακα ΙΙ µαζί µε τις υπόλοιπες µετρήεις. Πίνακας ΙΙ. Ρεύµα έρµανης Ι και ρεύµα κόρου Ι Κ που µετρήηκαν, τιµή αντίταης R και ερµοκραίας Τ νηµάτων έρµανης µε τα φάλµατά τους Ri, Τi που υπολογίηκαν για κάε τάη έρµανης V. α/α V (V) Ι (ma) R (Ω) R (Ω) Τ (Κ) Τ (Κ) Ι Κ (ma) 1.50 95 6.3 1.9 1083 103 0.05.75 98 8.06 1.6 115 100 0.1 3 3.00 10 9.1 1. 105 96 0.1 3.5 105 30.95 1.0 165 93 0.90 5 3.50 110 31.8 1.35 199 89 1.73 6 3.75 115 3.61 1.30 1330 85 3.05 7.00 10 33.33 1.5 1359 8.90 8.5 13 3.55 1. 107 80 6.0 9.50 17 35.3 1.1 11 77 8.30 10.75 130 36.5 1.19 18 75 11.30 11 5.00 135 37.0 1.15 150 73 1.30 Από τον πίνακα ΙΙ παρατηρούµε ότι το ρεύµα κόρου Ι Κ αυξάνει όο αυξάνει η ερµοκραία καόδου. Με βάη τις τιµές ερµοκραίας καόδου Τ και ρεύµατος κόρου Ι Κ του πίνακα ΙΙ και την εξίωη (5) χαράξαµε ένα διάγραµµα του ln( / ) 6
υναρτήει του x1/. Οι τιµές των x και που χρηιµοποιήαµε και των φαλµάτων που προκύπτουν παρουιάζονται τον πίνακα ΙΙΙ. Πίνακας ΙΙΙ. Τιµές των x1/ και ln( / ) και φαλµάτων αυτών. α/α x1/ x Ι Κ /Τ ln( / ) 1 9.3 10-8.5 10-5.6 10-11 9.68 10-1 -3.88 0.3 8.68 10-7.5 10-5 1.06 10-10 1.9 10-11 -.97 0.1 3 8.30 10-6.89 10-5.8 10-10.70 10-11 -1.99 0.10 7.90 10-6.5 10-5 5.6 10-10.9 10-11 -1.30 0.09 5 7.70 10-5.9 10-5 1.0 10-9 0.8 10-10 -0.70 0.08 6 7.5 10-5.65 10-5 1.7 10-9 1.3 10-10 -0.18 0.08 7 7.36 10-5. 10-5.65 10-9 1.9 10-10 -19.75 0.07 8 7.11 10-5.05 10-5 3.3 10-9.3 10-10 -19.55 0.07 9 6.9 10 -.8 10-5.00 10-9.63 10-10 -19.3 0.07 10 6.7 10 -.5 10-5 5.13 10-9 3.3 10-10 -19.09 0.06 11 6.65 10 -. 10-5 6.3 10-9 3.80 10-10 -18.88 0.06 10-8 - (Ampere x elvin - ) 10-9 10-10 10-11 0.00065 0.00070 0.00075 0.00080 0.00085 0.00090 0.00095 x -1 (elvin -1 ) Σχήµα. ιάγραµµα του / υναρτήει του x1/ 7
Στο διάγραµµα του χήµατος χρηιµοποιήηκαν οι τιµές [x -1, - ] λόγω του ότι έγινε χρήη λογαριµικής κλίµακας την τεταγµένη, ενώ τη µέοδο ελαχίτων τετραγώνων, παρακάτω, χρηιµοποιήηκαν οι τιµές [x -1, ln( - )]. Οι τιµές των φαλµάτων για x -1 προέκυψαν από τη χέη: x x x (11) των φαλµάτων για - από τη χέη: 6 + + (1) και για ln( - ) από τη χέη : + + (13) Παρατηρούµε ότι οι τιµές [x -1, - ] διατάονται την λογαριµική κλίµακα χεδόν ε ευεία γραµµή, όπως άλλωτε περιµέναµε από την εξίωη (5). Η εξίωη αυτή, όµως, προέκυψε από επεξεργαία της χέης του Richardson. Για αυτό και η διάταξη των ηµείων που παρατηρείται αποτελεί πειραµατική επιβεβαίωη της χέης του Richardson. Με τη µέοδο των ελαχίτων τετραγώνων προδιορίαµε τη ταερά a και την κλίη b µε τα φάλµατά τους από τις τιµές [x -1, ln( - )] για την ευεία που προκύπτει. Βρέηκαν : a(-6.1±0.8) και b-(1909±1036). Από τις αντικατατάεις που κάναµε την αρχή της ελίδας 3 (και επειδή alnα και b-b) προκύπτει ότι το έργο εξόδου είναι φ(.63±0.1) 10-19 Joule(1.6±0.09)eV. [k1.3807 10-3 J -1, ev1.6 10-19 J] 8
Συµπεράµατα Από το πείραµα που εκτελέαµε διαπιτώαµε ότι ο αριµός των εκπεµπόµενων ηλεκτρονίων εξαρτάται από τη ερµοκραία καόδου και αυξάνεται όο αυξάνει αυτή. Μελετώντας τη υνέχεια το ρεύµα κόρου για διάφορες ερµοκραίες καόδου αποδείξαµε πειραµατικά τη χέη του Richardson. Με τη βοήεια της χέης του Richardson τη υνέχεια υπολογίαµε το έργο εξόδου για το υλικό της καόδου το οποίο βρήκαµε να κυµαίνεται πολύ κοντά την τιµή που αναφέρει το εγχειρίδιο του εργατηρίου. Σηµαντική επίδραη για την ακρίβεια του αποτελέµατος έχει ο ακριβής προδιοριµός της ερµοκραίας καόδου. Για αυτό οι παραδοχές που κάναµε τη ελίδα 3 και το υτηµατικό φάλµα που αναφέραµε την αρχή της ελίδας 6 πιανόν να επηρέααν το αποτέλεµά µας. Πορλιδάς ηµήτριος 9