ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 03-04

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΠΙΝΑΚΑ 6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΙΑ ΟΧΙΚΩΝ ΑΠΑΛΟΙΦΩΝ ΤΟΥ GAUSS 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο CRAMER 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΙΝΑΚΑ 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΤΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ 33 ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ 33 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΝΙΟΣΤΗΣ ΥΝΑΜΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ 34 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΥΤΩΝ ΕΠΙ ΕΝΑΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 43 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ R 3

44 ΜΕΤΡΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟR 45 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ C 47 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 48 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ 49 ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ 40 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνακα (matrix matrices) των ποσοτήτων a, i =,,, m και j =,,,, µια ορθογώνια παράθεση αυτών σε m γραµµές (rows) και στήλες (colums) ως ακολούθως: ij a a a a a a A = a a a A = a ij, i = m j = ή ( ),,,,,,, m m m Ο πιο πάνω πίνακας ονοµάζεται πίνακας τάξης (dimesio) m Τα δε a ij ονοµάζονται στοιχεία (elemets) του πίνακα και είναι πραγµατικοί αριθµοί Για i,,, m b = a a a ονοµάζεται = η διάταξη ( i i i ) i γραµµή του πίνακα και για j =,,, η διάταξη στήλη του πίνακα c j a j a j = ονοµάζεται a mj Αν τώρα ένας πίνακας, έχει µια µόνο γραµµή και στήλες, τότε λέµε ότι έχουµε ένα πίνακα γραµµή Για παράδειγµα ο πίνακας: είναι ένας πίνακας γραµµή A = a a a, Στην περίπτωση που ένας πίνακας έχει µόνο µια στήλη και m γραµµές, τότε λέµε ότι έχουµε ένα πίνακα στήλη Για παράδειγµα ο πίνακας: a a B =, a m 5

είναι πίνακας στήλη υο πίνακες, A = ( a ij ) και B ( β ij ) µόνον αν είναι της ίδιας τάξης και έχουν aij βij = θα λέγονται ίσοι (equal) αν και = για κάθε ζευγάρι (, ) i j Αντίθετος (opposite) πίνακας ενός πίνακα A = ( a ij ) είναι ο A = ( a ij ) Ανάστροφος (traspose) πίνακας ενός πίνακα A = ( a ij ) ονοµάζεται ο πίνακας B = ( β ij ), όπου β ij = a ji ηλαδή, ο πίνακας µε στήλες τις γραµµές του A και συµβολίζεται µε t A Για παράδειγµα, αν 3 A = 4 5 6, τότε t A 4 = 5 3 6 Ένας πίνακας ονοµάζεται τετραγωνικός (square matrix) αν m =, δηλαδή αν έχει τόσες γραµµές όσες και στήλες Σε γενική µορφή ένας τετραγωνικός πίνακας γράφεται ως εξής: a a a a a a A = am am a m m mm Η διαγώνιος a, a, a33,, a mm ονοµάζεται κύρια ή πρωτεύουσα (mai diagoal) διαγώνιος Το άθροισµα aii = a + a + a33 + + amm ονοµάζεται ίχνος (trace) του i= Tr A πίνακα και συµβολίζεται µε ( ) Παράδειγµα, για τον πίνακα: A 3 4 5 6 7 8 9 =, έχουµε ( ) 5 9 5 Tr A = + + = 6

ιαγώνιος (diagoal matrix) πίνακας ονοµάζεται ένας τετραγωνικός πίνακας που έχει µόνο τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου διάφορα του µηδενός Για παράδειγµα ο πίνακας: 5 0 0 0 0 9 0 0 A =, είναι ένας 4 4 διαγώνιος πίνακας 0 0 7 0 0 0 0 4 Μηδενικός πίνακας είναι ο πίνακας οποιασδήποτε τάξης που τα στοιχεία του είναι όλα µηδέν Μοναδιαίος (idetity matrix) πίνακας ονοµάζεται ο διαγώνιος πίνακας µε τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου ίσα µε τη µονάδα και συµβολίζεται µε I m (ή απλά I ) ηλαδή, [ ] 0 0 0 I =, I = 0, I3 = 0 0 0 0 κλπ Αν A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας m m, τότε: I A = A I = A και ακόµη 3 I I I = = I k = =, όπου k ένας θετικός ακέραιος αριθµός Ένας τετραγωνικός πίνακας θα λέγεται τριγωνικός άνω (upper triagular) (ή κάτω) (lower triagular) αν όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω (ή πάνω) από την κύρια διαγώνιο είναι µηδέν Παραδείγµατα: Τριγωνικοί άνω: a 3 A = 0 6 β, 0 0 3 5 3 α 0 3 δ B = 0 0 3 a 0 0 0 9 Τριγωνικοί κάτω: 0 0 Γ = 7 6 0, v 3 5 0 0 0 7 0 0 = s 8 3 0 t 5 9 7

Συµµετρικός (symmetric) ονοµάζεται ένας τετραγωνικός πίνακας, όταν τα στοιχεία του που είναι συµµετρικά ως προς την κύρια διαγώνιό του είναι ίσα µεταξύ τους, δηλαδή aij = a ji Παράδειγµα: 3 A = 3 6 4 4 5 Αντισυµµετρικός (ati-symmetric) ονοµάζεται ένας τετραγωνικός πίνακας, όταν τα στοιχεία του που είναι συµµετρικά ως προς την κύρια διαγώνιό του είναι αντίθετα µεταξύ τους και τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου είναι όλα µηδέν, δηλαδή aij = a ji και a ij = 0, όταν i = j Παράδειγµα: 0 3 5 A = 3 0 4 5 4 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν x A = 3 5 x για τις οποίες A = B 8 και B =, να βρεθούν οι τιµές του x 4x 5 Λύση: Για να είναι ίσοι οι δυο πίνακες, θα πρέπει όλα τους τα στοιχεία να είναι ίσα µεταξύ τους, δηλαδή x = 8 () x 4x = 3 () Από την εξίσωση () έχουµε ότι: x = 9 x = ± 3 Ακόµη, από την εξίσωση () έχουµε ότι: x x x 4 = 3 = ή x = 3 Οι εξισώσεις () και () πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα, δηλαδή θα πρέπει x = 3 Να βρεθεί ο τετραγωνικός πίνακας A = ( a ij ), αν γνωρίζουµε ότι έχει διάσταση 4 και a ij = 0 όταν i j και ij a = όταν i j 8

Λύση: Το ότι a ij = 0 όταν i j σηµαίνει ότι ο πίνακας A είναι τριγωνικός κάτω Επίσης, a ij = όταν i j, σηµαίνει ότι όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου και κάτω από αυτήν είναι ίσα µε τη µονάδα ηλαδή 0 0 0 0 0 A = 0 3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ α Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων Έστω δυο πίνακες A = ( a ij ) και B = ( β ij ) τάξης m και οι δυο µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς Το άθροισµά τους είναι ο πίνακας Γ = ( γ ij ) µε στοιχεία γ ij = aij + βij Για παράδειγµα αν A 3 = 5 και 0 B = 0, τότε το άθροισµα (sum) + 0 3 + A + B = 5 + + 0 4 A + B = 6 Η αφαίρεση (subtractio) πινάκων είναι η πρόσθεση του αντίθετου, δηλαδή A B = A + B ( ) Προφανώς ισχύουν οι πιο κάτω ιδιότητες: (i) A + B = B + A (αντιµεταθετική ιδιότητα) (commutative law) (ii) ( A + B) + Γ = A + ( B + Γ ) (προσεταιριστική ιδιότητα) (associative law) + =, όπου 0 είναι ο µηδενικός πίνακας (iverse law) (iii) A ( A) 0 9

β Εξωτερικός πολλαπλασιασµός (scalar multiplicatio) Έστω λ πραγµατικός αριθµός και A = ( a ij ) ένα πίνακας, τότε ο λ A είναι πίνακας ίδιας τάξης µε τον A και έχει στοιχεία τα ( λ a ij ), δηλαδή αν πχ A = 3 4 0 και λ =, τότε λ A = 3 4 0 4 λ A = 6 8 0 Αν A = ( a ij ), B ( β ij ) (i) ( ) = και k, λ R, τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες: λ A + B = λ A + λ B (distributive law) (ii) ( λ ) k + A = k A + λ A (distributive law) (iii) ( k λ ) A k ( λ A) = (associative law) (iv) I A = A I = A (idetity law) γ Πολλαπλασιασµός Πινάκων (matrix multiplicatio) = είναι πίνακες τάξης m p και p αντίστοιχα, ονοµάζουµε γινόµενο αυτών τον πίνακα τάξης m, Γ = ( γ ij ), Αν A = ( a ij ) και B ( β ij ) γ = a β + a β + + a β = a β και γράφουµε όπου ij i j i j ip pj ik kj k = A B = Γ p Σχηµατικά είναι: A B = A B ( m p) ( p ) ( m ) Παράδειγµα, έστω A 0 = 3 4 και 0 B = 3 0, τότε 0

( ) ( ) ( ) A 0 0 0 3 0 0 B = + + + 3 + 4 3 0 + 4 3 3 + 4 0 0 = 5 3 Παρατηρήσεις: Αν A και B είναι πίνακες m και k p αντίστοιχα, τότε το γινόµενο A B ορίζεται αν και µόνον αν = k, δηλαδή ο αριθµός των στηλών του πίνακα πίνακα B A είναι ίσος µε τον αριθµό των γραµµών του Αν A, B και Γ είναι πίνακες m, k και k p αντίστοιχα, τότε ορίζεται το γινόµενο ( A B) Γ 3 Προφανώς, A B δεν είναι πάντα ίσο µε B A, δηλαδή ο πολλαπλασιασµός πινάκων δεν είναι εν γένει πράξη αντιµεταθετική Παράδειγµα αν 3 A = 4 και 0 B = 7, τότε έχουµε 3 0 + 6 0 + A B = 4 = 7 + 8 0 + 8 8 = 9 8 Επίσης 0 3 + 0 3 + 0 4 3 B A = 7 = 4 + 7 3 + 7 4 = 34 και προφανώς, A B B A Να σηµειώσουµε εδώ ότι πολλές φορές µπορεί να ορίζεται ο πολλαπλασιασµός A B δυο πινάκων A και B και να µην ορίζεται ο πολλαπλασιασµός B A 4 Αν A είναι m m πίνακας, τότε ορίζεται το γινόµενο A A και γράφουµε A A = A Γενικά είναι k k A A A =

5 Αν A = ( a ij ), B = ( β ij ), ( γ ij ) Γ = είναι πίνακες τάξης m, k, k p αντίστοιχα, τότε: ( A B) Γ = A ( B Γ ), δηλαδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασµό πινάκων 6 Αν A B = 0, δεν σηµαίνει οπωσδήποτε ότι A = 0 ή B = 0 Παράδειγµα αν 0 0 A = 0 0 και 0 0 B = 0 0, τότε 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 + 0 A B = 0 0 = 0 + 0 0 0 + 0 0 0 = 0 0 7 Στους τετραγωνικούς πίνακες έχουµε: (i) (ii) (iii) Ο πολλαπλασιασµός είναι πράξη προσεταιριστική (associative), A B Γ = A B Γ δηλαδή ( ) ( ) Επιµεριστική (distributive) ως προς την πρόσθεση, δηλαδή A B Γ = A B A Γ B + Γ A = B A + Γ A ( + ) + και ( ) Υπάρχει ο µοναδιαίος πίνακας I (idetity matrix) έτσι ώστε να είναι: A I = I A = A (iv) Αν για ένα πίνακα A ( m m), υπάρχει ένας πίνακας A ( m m) τέτοιος ώστε: A A A A I, = = (*) τότε ο του την (*) A ονοµάζεται αντίστροφος (iverse matrix) πίνακας πίνακα A, λέµε δε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Από δηλαδή ( ) A έπεται ότι και ο A είναι αντίστροφος του = A A, Έτσι όταν δυο πίνακες ικανοποιούν τη σχέση (*) λέγονται αντίστροφοι Αν για τον A υπάρχει ο A, τότε αυτός είναι µοναδικός (uique) Πράγµατι: Αν A A = A A = I και A B = B A = I, τότε: B = B I = B A A = B A A = I A = A ( ) ( )

(v) Για το γινόµενο οσονδήποτε ανάστροφων (traspose) πινάκων, A B Γ = Γ B A, δηλαδή ο πχ τριών, ισχύει: ( ) t t t t ανάστροφος του γινοµένου ισούται µε το γινόµενο των ανάστροφων, αλλά µε αντεστραµµένη φορά παράταξης των παραγόντων Παράδειγµα: Αν 3 A = 5, 5 B =, t 5 A = 3 και t B = [ 5 ], τότε 3 5 5 + 3 A B = 5 = = 5 5 + 9 t ( A B ) = [ 9] Επίσης t t 5 B A = [ 5 ] = [ 5 + 3 5 5 + ] = [ 9] 3 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν A = [ 3 ] και και B A 4 B = 5, να υπολογιστούν τα γινόµενα A B Λύση: Ο A είναι ένας ( 3) πίνακας και ο B είναι ένας ( 3 ) και είναι ένας ( ) πίνακας ορίζεται το γινόµενο A B Έτσι έχουµε: 4 A B = = + + = [ 3 ] 5 [ 4 3 5 ] [ 4] Τώρα ο B είναι ένας ( 3 ) και ο A είναι ένας ( 3) το γινόµενο B A και είναι ένας ( 3 3) πίνακας Έτσι έχουµε:, άρα πίνακας, άρα ορίζεται 3

4 4 4 3 4 8 4 B A = 5 [ 3 ] = 5 5 3 5 = 0 5 5 3 3 Αν 3 4 A = να υπολογιστεί ο A Λύση: A 3 4 3 4 4 + 3 + 4 6 + 3 + 4 8 + 3 + 4 = A A = 3 4 = + + + + + + + + 3 + + 4 + + A 3 5 = 4 5 6 4 5 6 3 Αν δυο πίνακες A και B είναι τέτοιοι ώστε να ορίζονται το άθροισµα A + B και το γινόµενο A B, να δειχθεί ότι και οι δυο είναι τετραγωνικοί πίνακες Λύση: Έστω ότι A και B είναι ( m ) και ( r) πίνακες αντίστοιχα Αφού ορίζεται το άθροισµα A + B θα πρέπει ο αριθµός των γραµµών και των στηλών τους να είναι ίσοι µεταξύ τους, δηλαδή m = r και = k Επίσης, αφού ορίζεται το γινόµενο A B θα πρέπει ο αριθµός των στηλών του A να είναι ίσος µε τον αριθµό των γραµµών του B, δηλαδή = r Συνεπώς έχουµε ότι m = = r = k και έτσι οι A και B πρέπει να είναι τετραγωνικοί πίνακες 0 4 Αν A = 3 4 5, να δειχθεί ότι οι πίνακες t A A και συµµετρικοί t A A είναι Λύση: Ο t A είναι ο ( 3 ) πίνακας: 3 A = 4 0 5 και ο A είναι ( 3) πίνακας Έτσι ορίζονται τα δυο γινόµενα t A A ( ) και t A A ( 3 3) 4

α) 3 t 0 + + 0 0 3 + 4 + 0 5 A A = 4 3 4 5 = 3 4 5 0 3 3 4 4 5 5 + + + + 0 5 t 5 A A = 50 β) 3 + 3 3 + 3 4 0 + 3 5 t 0 A A = 4 4 3 4 4 0 4 5 3 4 5 = + + + 0 5 0 + 5 3 + 4 4 0 0 + 5 5 0 4 5 t A A = 4 0 0 5 0 5 5 Έστω 7 4 6 6 3 A = 5 4 0 8 0 0 α) Τι είδους πίνακας είναι ο A; β) Να βρεθούν τα στοιχεία: a 43, a, a 3, a 34, a 4, a 44 γ) Να υπολογιστεί το ίχνος του A 6 Να λυθούν οι εξισώσεις: α) β) x 3 5 5 y = 4 4 x 6 3 3 4 y = 4 5

γ) 0 8 x 0 + 0 + = 4 3 6 3 3x + 3y 7 Να υπολογιστούν τα γινόµενα: α) a a b b a a b b 3, β) [ 6] γ) 3 0 0 5 3 δ) 0 4 500 5 0 6 7 7 800 7 8 9 500 6 5 8 5 3 00 000 6 ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΠΙΝΑΚΑ (DETERMINANT OF A MATRIX) Έστω ο ( ) πίνακας a b c d, ο αριθµός a d b c ονοµάζεται det A ή ορίζουσα (determiat) του A και συµβολίζεται µε A ή ( ) a b Κατά τον ίδιο τρόπο ορίζεται η ορίζουσα οποιουδήποτε τετραγωνικού c d πίνακα Για παράδειγµα, για τους πίνακες 3 ης τάξης : a a a A a a a 3 = 3 a a a 3 3 33 επιλέγουµε µια γραµµή ή µια στήλη (συνήθως αυτή που περιέχει τα περισσότερα µηδενικά) και στη συνέχεια υπολογίζουµε τις υπό-ορίζουσες (cofactors) των στοιχείων της επιλεγµένης γραµµής ή στήλης Με τον όρο υπό-ορίζουσα ενός στοιχείου του πίνακα A, 3 ης τάξης, εννοούµε την ορίζουσα ης τάξης που προκύπτει από τον A αν απαλείψουµε τη γραµµή και τη στήλη στην οποία ανήκει το συγκεκριµένο στοιχείο, 6

Πχ, για τον πίνακα A πιο πάνω, αν επιλέξουµε την πρώτη γραµµή έχουµε τις εξής υπό-ορίζουσες: Για το στοιχείο a έχουµε: Για το στοιχείο a έχουµε: Για το στοιχείο a 3 έχουµε: a a a a a a a 3 a 3 33 a 3 a 3 33 a a 3 3 = a a a a 33 3 3 = a a a a 33 3 3 = a a a a 3 3 Τώρα η ορίζουσα του A δίνεται από τη σχέση: a a a a a a A = a a + a 3 3 3 a3 a33 a3 a33 a3 a3 ( ) ( ) ( ) A = a a a a a a a a a a + a a a a a 33 3 3 33 3 3 3 3 3 ηλαδή, για τον υπολογισµό της ορίζουσας ενός πίνακα 3 ης τάξης πολλαπλασιάζουµε κάθε στοιχείο µιας επιλεγµένης γραµµής ή στήλης του µε την αντίστοιχη υπό-ορίζουσα ης τάξης, σχηµατίζοντας έτσι τρεις όρους, τους οποίους προσθέτουµε µεταξύ τους µε εναλλαγή των πρόσηµων + +, αρχίζοντας πάντοτε από την πρώτη γραµµή, πρώτη στήλη µε + Για πίνακες ανώτερης τάξης πχ τάξης m 3 οι υπό-ορίζουσες των στοιχείων του είναι ορίζουσες τάξης m, στη συνέχεια σχηµατίζονται υπόορίζουσες m κοκ Παραδείγµατα: α) Για τον πίνακα A 9 6 = 3, η ορίζουσα είναι: 9 6 A = = 9 3 6 ( ) = 7 + = 39 3 β) Για τον πίνακα 0 B = 3, επιλέγουµε την πρώτη γραµµή και έχουµε: 3 7

0 3 3 B = 3 = 0 + 3 3 3 B = ( 3 ) 0 ( 3) + ( 3 3) = 5 0 7 = γ) Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα: 0 0 0 0 3 Γ = 0 0 3 0 Ο πίνακας Γ είναι ένας ( 4 4) πίνακας, οπότε για τον υπολογισµό της ορίζουσάς του θα δηµιουργηθούν κατ' αρχάς υπό-ορίζουσες ( 3 3) και στη συνέχεια άλλες ( ) Επιλέγουµε την 3 η γραµµή, πάντα έχοντας υπ' όψη την εναλλαγή των προσήµων και έχουµε: 0 0 0 0 0 0 0 3 Γ = = + 0 3 0 0 0 0 0 3 3 0 Τώρα, για τις δυο ( 3 3) υπό-ορίζουσες επιλέγουµε, για την µεν πρώτη τη δεύτερη στήλη, για δε την άλλη την πρώτη γραµµή και έχουµε: 0 0 0 0 0 Γ = + 0 3 0 0 = + 3 0 3 0 3 Γ = ( 0 ) 3 ( 0 ) ( 3 0 ) = 3 4 4 3 = 5 Όπως είδαµε στα πιο πάνω απλά παραδείγµατα ο υπολογισµός της ορίζουσας ενός πίνακα µπορεί να είναι δύσκολη και επίπονη διαδικασία Πολλές φορές όµως αυτή η διαδικασία γίνεται απλούστερη αν παρατηρήσουµε ορισµένα στοιχεία του πίνακα και τις ακόλουθες ιδιότητες 8

6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ (IDENTITIES) Αν όλα τα στοιχεία µιας γραµµής (ή στήλης) ενός πίνακα Α είναι µηδέν, τότε η ορίζουσα αυτού είναι Α = 0 Για παράδειγµα για τον πίνακα: 6 5 A = 9 3 4 0 0 0 έχουµε A = 0 λόγω της τρίτης γραµµής Αν δυο γραµµές (ή στήλες) ενός πίνακα Α έχουν τα στοιχεία τους ίσα µεταξύ τους, τότε A = 0 Για παράδειγµα για τον πίνακα: 5 6 3 A = 0 6 6 9, A = 0, αφού η πρώτη στήλη είναι ίδια µε την τρίτη 3 Αν όλα τα στοιχεία κάτω ή πάνω από την κύρια διαγώνιο ενός πίνακα Α είναι 0, τότε η ορίζουσα του πίνακα ισούται µε το γινόµενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου Για παράδειγµα για τον πίνακα: 6 9 0 5 8 6 A = 0 0 7 0 0 0 έχουµε: A = 5 ( ) = 0 4 Αν ένας πίνακας B προκύπτει από την πρόσθεση ενός πολλαπλάσιου µιας γραµµής (ή στήλης) ενός άλλου πίνακα A σε µια άλλη γραµµή (ή στήλη), τότε A = B Για παράδειγµα έστω ο πίνακας: 4 6 3 5 A = 3 0 5 6 Αν πολλαπλασιάσουµε την τρίτη γραµµή ( ) και την προσθέσουµε στην πρώτη, παίρνουµε τον πίνακα: 9

0 0 0 0 3 5 B =, άρα A = B και λόγω της () παραπάνω A = B = 0 3 0 5 6 5 Αν ένας πίνακας B προκύπτει από την εναλλαγή δυο γραµµών (ή στηλών) ενός άλλου πίνακα A, τότε A = B Για παράδειγµα έστω ο πίνακας: 6 0 0 0 A =, ο πίνακας 0 0 0 0 3 4 6 0 3 4 B = 0 0 0 0 0 0 προκύπτει από την εναλλαγή της δεύτερης και τέταρτης γραµµής Άρα A της (3) πιο πάνω A B = = 4 = ( ) = B και λόγω 6 Αν ένας πίνακας B προκύπτει πολλαπλασιάζοντας επί κάποιον αριθµό, k, τα στοιχεία µιας γραµµής (ή στήλης) ενός άλλου πίνακα A, τότε B = k A Για παράδειγµα έστω ο πίνακας: 6 3 9 A = 7 3 5, τότε 0 5 8 3 3 3 3 B = 7 3 5 0 5 8 και έτσι 3 A = 3 7 3 5 0 5 8 7 Η ορίζουσα του γινοµένου δυο πινάκων τάξης m ισούται µε το γινόµενο των οριζουσών των δυο πινάκων Για παράδειγµα έστω οι πίνακες: A 5 = 3 7 και B = 0 9, τότε AB = A B 5 = 3 7 0 9 ( ) ( ) AB = 7 5 3 9 0 = 6 0

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογιστούν οι ορίζουσες των εξής πινάκων: α) γ) 6 0 0 0 A =, β) 0 0 0 0 3 4 3 Γ = 3 3, δ) 3 4 5 B = 3 4, 0 6 3 4 3 4 E = 4 6 8 0 3 Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x = 6, β) 7 7 x 3 x x 0 x 99 = 60, γ) 0 0 x 3 4 z = Λύση: α) x = 6 7 7 x x( x) ( ) 7 7 = 6 x 7x + = 0 x 3 x 4 = 0 x = 3 ή x = 4 ( )( ) β) Αφού τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι όλα 0, έχουµε ότι 3 x x 0 x 99 = 60 0 0 x 3 ( ) 60 x x = x x 0 0 = ( x )( x ) 5 + 4 = 0 x = 5 ή x = 4 3 Να υπολογιστούν οι εκφράσεις:

α) 3 4 5 6, β) 6 5 6, γ) 0 5 3 x y 4 Για τον πίνακα: 3 A = 4 5 6 7 8 9 να υπολογιστούν οι υπό-ορίζουσες των στοιχείων: α) a 3, β) a, γ) a 3, δ) a 3 8 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ (INVERSE MATRIX) Αν ενός τετραγωνικού πίνακα A η ορίζουσα είναι µηδέν, τότε ο πίνακας αυτός δεν έχει αντίστροφο Αν όµως A 0, τότε ο πίνακας A έχει αντίστροφο ηλαδή, για τον πίνακα A υπάρχει ένας πίνακας A A A A I = = A, τέτοιος ώστε: Γενικά αν A 0, a a a a a a A = a a a m m m m mm = ( a ij ) είναι ένας πίνακας τάξης m και τότε έχουµε ότι: A = A A A A A A A A A A m m m m mm, όπου A ji είναι οι υπό-ορίζουσες των στοιχείων t A µε εναλλασσόµενο πρόσηµο + + a ji του ανάστροφου πίνακα

Ο πίνακας A A A A A A A A A m m m m mm ονοµάζεται προσαρτηµένος (adjoit of a matrix) πίνακας του πίνακα A και συµβολίζεται µε adja Οπότε για τον αντίστροφο ενός πίνακα A έχουµε: A = adja A Παραδείγµατα: 3 A = 3 0 5, να υπολογιστεί ο A Λύση: Για τον υπολογισµό της ορίζουσας του πίνακα επιλέγουµε τη δεύτερη στήλη και έχουµε: A 3 3 5 3 3 = 3 0 5 = ( ) + 0 3 5 ( ) ( ) = 3 + 5 5 3 3 = 3 Αφού η ορίζουσα είναι διάφορη του µηδενός, υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας Επίσης έχουµε: t A 3 = 0 3 5 και οι υπό-ορίζουσες (cofactor) των στοιχείων του ανάστροφου πίνακα, µε εναλλασσόµενο πρόσηµο, είναι οι εξής: 0 : + = 0 ( 5) = 5 5 3

3: = ( 3) = 4 3 0 : + = ( 5) 0 3 = 5 3 5 3 : 3 ( 5) 3 5 = = 0 : + = 3 = 4 3 : ( 5) 3 3 9 3 5 = = 3: 3 + 0 = ( 3 0) = 3 5 : = ( ) = 4 : 3 + 0 = 0 3 ( ) = 3 Άρα ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα A είναι: A 5 4 5 = adja = 3 4 9 A 3 3 4 3 Αν 3 B = 8 6 να υπολογιστεί ο B Λύση: Υπολογίζουµε πρώτα την ορίζουσα του πίνακα B B 3 = = ( 3) ( 6) 8 = 8 6 = 0 8 6 4

Άρα υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας B Τώρα t B 3 8 = 6 και οι ορίζουσες των στοιχείων αυτού µε εναλλασσόµενο πρόσηµο είναι: 3: + ( 6) = 6 8 : ( ) = : ( 8) = 8 6 : + ( 3) = 3 Άρα ο αντίστροφος πίνακας είναι: 6 B = 8 3 Μπορούµε να ελέγξουµε αν ένας πίνακας είναι πράγµατι ο αντίστροφος ενός δοσµένου πίνακα αρκεί να τους πολλαπλασιάσουµε για να προκύψει ο µοναδιαίος πίνακας Έτσι στο πιο πάνω παράδειγµα έχουµε: 3 6 B B = 8 6 8 3 9 8 3 3 0 = = = I 4 + 4 8 + 9 0 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογιστούν οι αντίστροφοι των πινάκων: α) 0 A = 4, β) 0 4 5 3 B =, γ) 3 3 0 5 3 E = 0, 4 5 5

δ) 5 3 G = 4, ε) 7 3 N 4 0 9 9 = 0, 9 9 8 36 9 στ) M 5 3 3 4 0 = 3 3 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (LINEAR SYSTEMS) 5 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Μέσω των πινάκων και των οριζουσών µπορούµε εύκολα να επιλύσουµε συστήµατα γραµµικών εξισώσεων της µορφής: a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b m m m m Το παραπάνω είναι ένα γραµµικό σύστηµα ( m ) (), δηλαδή m εξισώσεων µε αγνώστους, όπου τα a ij και b i είναι σταθερές ποσότητες, ενώ τα i =,,, m, j =,,, είναι οι ζητούµενες ποσότητες (µεταβλητές) Μπορούµε να γράψουµε το παραπάνω γραµµικό σύστηµα υπό µορφή πινάκων ως εξής: x j, a a a x b a a a x b =, () am am am x bm ή A X = B, όπου A = ( a ij ) a a a a a a a a a = m m m, X x x = x και b b B = b m Ο µεν A είναι ο ( m ) πίνακας των συντελεστών των αγνώστων (factors of the ukows) του συστήµατος, ο X είναι ο ( ) πίνακας των αγνώστων (ukow) και ο B είναι ο ( m ) πίνακας των σταθερών όρων (costat terms) του συστήµατος Ακόµη, ο πίνακας: 7

a a a b a a a b am am am bm (3) ονοµάζεται επαυξηµένος (augmeted matrix) πίνακας του παραπάνω συστήµατος Για το παραπάνω σύστηµα, λύση ονοµάζεται κάθε -άδα πραγµατικών x, x,, x, από την οποία επαληθεύονται και οι m εξισώσεις του ταυτόχρονα αριθµών ( ) Ένα γραµµικό σύστηµα, της µορφής () µπορεί να µην έχει καµία λύση και σε αυτή την περίπτωση ονοµάζεται ασυµβίβαστο ή αδύνατο, να έχει άπειρες λύσεις και τότε καλείται αόριστο ή, τέλος, να έχει µία και µόνο λύση και τότε λέµε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση Ένα σύστηµα που έχει τουλάχιστον µια λύση ονοµάζεται συµβιβαστό Στην περίπτωση που ο πίνακας B = 0, δηλαδή b = 0, i =,,, m, τότε το σύστηµα () ονοµάζεται οµογενές, ενώ αν B 0, δηλαδή αν έστω ένα από τα bi 0, τότε ονοµάζεται µη-οµογενές Ένα οµογενές σύστηµα έχει τουλάχιστον µια λύση, η οποία είναι προφανώς η µηδενική λύση ηλαδή η - άδα ( 0, 0,, 0) επαληθεύει πάντα ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα και κατά συνέπεια, αυτά είναι πάντα συµβιβαστά Τέλος, δυο συστήµατα που έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις ονοµάζονται ισοδύναµα Παραδείγµατα: Το σύστηµα 3x 6y + z = 5, x + y 4z = 7 είναι ένα ( 3) µη-οµογενές γραµµικό σύστηµα, το οποίο υπό µορφή πινάκων γράφεται ως εξής: x 3 6 5 y 4 = 7 z i, ή A X = B, όπου 8

Το σύστηµα x 3 6 5 A =, X y, B 4 = 7 z x + y + 8z = 0 0x + 0y 45z = 0, 5x + 9y + 4z = 0 είναι ένα ( 3 3) οµογενές (homogeeous) γραµµικό σύστηµα, το οποίο υπό µορφή πινάκων γράφεται: 8 x 0 0 0 45 y = 0 5 9 4 z 0 Η διαδικασία υπολογισµού των στοιχείων (αριθµών) εκείνων που επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις ενός γραµµικού συστήµατος ταυτόχρονα, ονοµάζεται επίλυση του συστήµατος Είναι αυτονόητο, βέβαια, ότι για να µιλάµε για επίλυση ενός συστήµατος πρέπει αυτό να είναι συµβιβαστό Γραµµικά συστήµατα, όπως είναι τα παραπάνω, επιλύονται µε διάφορους τρόπους, ορισµένους εκ των οποίων θα περιγράψουµε παρακάτω 6 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΙΑ ΟΧΙΚΩΝ ΑΠΑΛΟΙΦΩΝ ΤΟΥ GAUSS Η µέθοδος των διαδοχικών απαλοιφών, γνωστή και ως µέθοδος του Gauss, επιτυγχάνεται µε τη χρήση πράξεων στον επαυξηµένο πίνακα ενός γραµµικού συστήµατος Οι πράξεις αυτές έχουν ως στόχο τη µετατροπή των στοιχείων του πίνακα που αντιστοιχούν στους συντελεστές των αγνώστων, δηλαδή τα a, σε 0 και, µε τρόπο ώστε να υπάρχει ένα µόνο x σε κάθε γραµµή του ij πίνακα, µε τρόπο ώστε: () το πρώτο µη-µηδενικό στοιχείο σε κάθε γραµµή να είναι το, ενώ όλα τα άλλα στη στήλη που αυτό αντιστοιχεί να είναι 0, () το πρώτο µη-µηδενικό στοιχείο σε κάθε γραµµή, δηλαδή το, να βρίσκεται στα δεξιά του της προηγούµενης γραµµής, (3) κάθε γραµµή που περιέχει µόνο µηδενικά να βρίσκεται κάτω από κάθε γραµµή που περιέχει µη-µηδενικά στοιχεία j Gauss, Carl F (777 855) Γερµανός µαθηµατικός, αστρονόµος και φυσικός 9

Ένας πίνακες που πληροί τις πιο πάνω τρεις συνθήκες καλείται κλιµακωτός (row echelo form) πίνακας Παραδείγµατα: Ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι κλιµακωτοί; α) γ) 0 0 0 0 0, β) 0 0 0 0, δ) 0 0 3, 0 0 3 0 0 0 0 0 0 Λύση: α) Αφού η δεύτερη γραµµή του πίνακα που περιέχει µόνο µηδενικά δεν βρίσκεται κάτω από όλες τις γραµµές που περιέχουν µη-µηδενικά, δεν είναι κλιµακωτός Αυτό επιτυγχάνεται αν αλλάξουµε τις θέσεις της δεύτερης και τρίτης γραµµής του πίνακα αντίστοιχα β) Αφού το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο της δεύτερης γραµµής δεν είναι το, ο πίνακας δεν είναι κλιµακωτός Ο πίνακας όµως, γίνεται κλιµακωτός αν πολλαπλασιάσουµε τη δεύτερη γραµµή του επί (/3) γ) εν είναι κλιµακωτός αφού το πρώτο µη-µηδενικό στοιχείο της δεύτερης γραµµής δεν βρίσκεται δεξιά του πρώτου µη-µηδενικού της πρώτης Αν αλλάξουµε τη θέση των δυο γραµµών του πίνακα, τότε γίνεται κλιµακωτός δ) Είναι ένας κλιµακωτός πίνακας Για την εφαρµογή της µεθόδου των διαδοχικών απαλοιφών ακολουθούµε τα εξής Αν στον επαυξηµένο πίνακα ενός γραµµικού συστήµατος κάνουµε τις παρακάτω πράξεις, ο πίνακας που θα προκύψει θα είναι ισοδύναµος µε τον αρχικό Το ίδιο, βέβαια, ισχύει και για το αρχικό και τελικό σύστηµα Οι πράξεις αυτές είναι οι παρακάτω: Αν αλλάξουµε τη θέση δυο γραµµών του πίνακα µεταξύ τους Αν προσθέσουµε ένα πολλαπλάσιο µιας γραµµής του πίνακα σε µια άλλη γραµµή αυτού Αν πολλαπλασιάσουµε µια γραµµή του πίνακα επί κάποιο k R, k 0 Με τις πράξεις, επί των γραµµών ενός πίνακα, σκοπός µας είναι να πάρουµε έναν κλιµακωτό πίνακα, ισοδύναµο µε τον αρχικό και, να προκύψει έτσι η 30

λύση του γραµµικού συστήµατος από το οποίο προέρχεται ο συγκεκριµένος πίνακας Παραδείγµατα: Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο του Gauss 3 x + 3y = x + y = 5 x + y = x + y + 4z 6 = 0 z + y 3 = 0 x + y + z = 0 x + 3y + z + 6w = 0 y + z + w = 3x 3z + 6w = 9 Λύση: Για να λύσουµε τα συστήµατα, γράφουµε τον επαυξηµένο πίνακα και στη συνέχεια κάνουµε τις πράξεις απαλοιφής, δηλαδή µετατροπής του αρχικού πίνακα σε έναν ισοδύναµο κλιµακωτό 3 5 5 3 0 3 3 αλλάζουµε την πρώτη µε την τρίτη γραµµή και έχουµε: προσθέτουµε (-) φορές την πρώτη γραµµή στη δεύτερη: προσθέτουµε (-) φορές την πρώτη γραµµή στην τρίτη: 3

0 3 0 3 0 3 0 3 πολλαπλασιάζουµε τη δεύτερη γραµµή επί (-): προσθέτουµε (-) φορές τη δεύτερη γραµµή στην πρώτη: 0 4 0 3 0 3 προσθέτουµε (-) φορές τη δεύτερη γραµµή στην τρίτη: 0 4 0 3, τώρα το αρχικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το εξής: 0 0 0 x + 0 y = 4 0 x + y = 3 0 x + 0 y = 0 Άρα το αρχικό γραµµικό σύστηµα έχει τη µοναδική λύση: x = 4, y = 3 Κατ' αρχάς τοποθετούµε τις µεταβλητές των τριών εξισώσεων στη σωστή τους θέση, δηλαδή τα x πρώτα, µετά τα y και τέλος τα z Επίσης οι σταθερές ποσότητες πρέπει να βρίσκονται στο δεξί µέλος των εξισώσεων Οπότε το σύστηµα γράφεται: x + y + 4z = 6 y + z = 3 και ο επαυξηµένος πίνακάς του είναι ο εξής: x + y + z = 4 6 0 3 προσθέτουµε (-) φορές την πρώτη γραµµή στην τρίτη: 3

4 6 0 3 0 5 0 0 0 0 3 0 5 προσθέτουµε (-) φορές τη δεύτερη γραµµή στην πρώτη: προσθέτουµε τη δεύτερη γραµµή στην τρίτη: 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 πολλαπλασιάζουµε την τρίτη γραµµή επί (-/): προσθέτουµε (-3) φορές την τρίτη γραµµή στη δεύτερη: 0 0 0 0 0 Τώρα το αρχικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το εξής: 0 0 0 x = 0 y + z = 0 0 = Το σύστηµα δεν έχει καµία λύση λόγω της τρίτης εξίσωσης αφού 0 και κατά συνέπεια είναι ένα αδύνατο σύστηµα 3 x + 3y + z + 6w = 0 y + z + w = Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο εξής: 3x 3z + 6w = 9 3 6 0 0 πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή επί (/): 3 0 3 6 9 33

3 3 5 0 3 0 3 6 9 προσθέτουµε (-3) φορές την η γραµµή στην 3 η : 3 3 5 0 0 9 6 3 6 0 3 0 0 9 6 3 6 προσθέτουµε (-3/) φορές τη η γραµµή στην η : προσθέτουµε (9/) φορές τη η γραµµή στην 3 η : 0 3 0 0 0 3 3 3 0 3 0 0 0 πολλαπλασιάζουµε την 3 η γραµµή επί (/3): προσθέτουµε () φορές την 3 η γραµµή στην η : 0 0 5 4 0 0 0 προσθέτουµε (-) φορές την 3 η γραµµή στη η :] 0 0 5 4 0 0 0 0 Ο πίνακας είναι πλέον κλιµακωτός 0 0 Τώρα το αρχικό σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το εξής: 5 x + w = 4 y = 0 z + w = 5 x = w + 4 y = 0 z = w + w = w 34

Προφανώς υπάρχουν άπειρες λύσεις του συστήµατος αυτού, αφού η τελευταία εξίσωση ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό Για την ακρίβεια, η τελευταία µεταβλητή w είναι µια παράµετρος (parameter) ή ελεύθερη µεταβλητή του συστήµατος και από αυτή εξαρτώνται οι µεταβλητές x και z Μπορούµε να έχουµε µια ειδική λύση του συστήµατος θέτοντας µια τιµή για την w, πχ έστω w =, τότε έχουµε την ειδική λύση: x =, y = 0, z = 0, w = Για οµογενή γραµµικά συστήµατα: A X = 0, ισχύουν τα ακόλουθα: Θεώρηµα: Έστω A ɶ ο κλιµακωτός ισοδύναµος του πίνακα A, των m συντελεστών των αγνώστων ενός οµογενούς γραµµικού συστήµατος ( ) Αν ο A ɶ έχει ακριβώς k γραµµές, οι οποίες περιέχουν µη-µηδενικά στοιχεία, τότε k και ακόµη ) Αν k, τότε το σύστηµα έχει άπειρο αριθµό λύσεων ) Αν k =, τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση, τη µηδενική, δηλαδή x = 0, j =,,, j 3) Αν το σύστηµα έχει λιγότερες εξισώσεις από τους αγνώστους, τότε αυτό έχει άπειρο αριθµό λύσεων Παραδείγµατα: Να ελεγχθούν ως προς τις λύσεις τους τα παρακάτω οµογενή γραµµικά συστήµατα α) x y + z = 0 x y + 5z = 0, β) x + y + 4z = 0 3x + 4y = 0 x y = 0 x + y = 0 x + 3y = 0 Λύση: Βρίσκουµε τον κλιµακωτό ισοδύναµο πίνακα των συντελεστών των αγνώστων: α) 5 4 προσθέτουµε (-) φορές την η γραµµή στη η : 35

0 3 3 4 0 3 3 0 3 3 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 προσθέτουµε (-) φορές την η γραµµή στην 3 η : προσθέτουµε (-) φορές τη η γραµµή στη 3 η : πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί (/3): προσθέτουµε () φορές τη η γραµµή στην η : 0 3 0 0 0 0 Συνεπώς ο κλιµακωτός ισοδύναµος πίνακας έχει δυο γραµµές µε µη- µηδενικά στοιχεία, ενώ το αρχικό σύστηµα έχει τρεις αγνώστους Άρα, σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρηµα, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις που είναι οι εξής: x = 3 z, y = z, z = z, (η z είναι η ελεύθερη µεταβλητή) β) 3 4 3 4 3 3 πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή επί (/3): προσθέτουµε (-) φορές τη η γραµµή στην 3 η και 4 η : 36

4 3 0 5 0 7 προσθέτουµε (-7/5) φορές την 3 η γραµµή στην 4 η : 4 3 0 5 0 0 προσθέτουµε (-) φορές την η γραµµή στη η : 4 3 0 0 3 0 5 0 0 4 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 προσθέτουµε (5/0) φορές τη η γραµµή στην 3 η : προσθέτουµε (4/0) φορές τη η γραµµή στην η : πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί (-3/0): 0 0 0 0 0 0 Συνεπώς ο κλιµακωτός ισοδύναµος πίνακας έχει δυο γραµµές µε µη- µηδενικά στοιχεία, όσους ακριβώς αγνώστους έχει το αρχικό σύστηµα Και έτσι, σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρηµα, το σύστηµα έχει µοναδική λύση, τη µηδενική, x = 0, y = 0 37

7 ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο CRAMER Μπορούµε να επιλύσουµε ένα γραµµικό σύστηµα µε τη βοήθεια της ορίζουσας πινάκων που προκύπτουν από αυτό, αρκεί το σύστηµα να έχει τόσες γραµµές, όσες και στήλες, δηλαδή να είναι ( ) Η πρώτη µέθοδος επίλυσης γραµµικών συστηµάτων µε τη βοήθεια οριζουσών, που θα περιγράψουµε, στηρίζεται στον κανόνα του Cramer και είναι η ακόλουθη Κανόνας Cramer: Έστω ένα γραµµικό σύστηµα µε εξισώσεις και αγνώστους: a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b και οι ορίζουσες: = a a a a a a a a a, = x b a a b a a b a a, = x a b a a b a a b a, Cramer, Gabriel (704 75) Ελβετός µαθηµατικός 38

= x a a b a a b a a b Αν 0, τότε το σύστηµα (4) έχει µοναδική λύση (uique solutio), η οποία δίνεται από τα εξής πηλίκα: x x x =, =,, = (5) x x x Παραδείγµατα: ) Cramer Να επιλυθεί το παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο x + y + z = 0 4x + 3y + z = x y 3z = 0 ) Να επιλυθεί το παρακάτω συστήµατα, ως προς z, µε τη µέθοδο Cramer x + y + 5w = 6 x + y + z = 4 y + z + w = 6 3x 4w = Λύση: ) = 4 3 3 3 4 4 3 = + 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 3 4 3 + 4 3 ( ) ( ) ( ) = 7 6 + 0 = 4 + 6 0 = 8 Αφού = 8 0, το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση και µε τη µέθοδο του Cramer, πρέπει να υπολογίσουµε τις εξής ορίζουσες: 39

x y 0 = 3 = = ( 3 + ) = 4 3 0 3 0 = 4 = = ( 3 ) = 6 3 0 3 0 z = 4 3 = = ( ) = 8 0 Συνεπώς η λύση του συστήµατος είναι: x 4 x = =, x =, 8 y 6 y = = y =, 8 z 8 z = = z = 8 ) x + y + 5w = 6 x + y + z = 4 y + z + w = 6 3x 4w = 0 5 0 = 0 3 0 0 4 Για να υπολογίσουµε την πιο πάνω ορίζουσα ευκολότερα, κάνουµε τις εξής πράξεις, εφαρµόζοντας τις ιδιότητες των οριζουσών Προσθέτουµε (-) φορές την πρώτη γραµµή στη δεύτερη και παίρνουµε: 0 5 0 5 = 0, προσθέτουµε (-) φορές τη η γραµµή στην 3 η : 3 0 0 4 40

0 5 0 5 = 0 0, προσθέτουµε (-3) φορές την η γραµµή στην 4 η : 3 0 0 4 0 5 0 5 = 0 0, προσθέτουµε (3) φορές τη η γραµµή στην 4 η : 0 3 0 9 0 5 0 5 = 0 0, προσθέτουµε (3) φορές την 3 η γραµµή στην 4 η : 0 0 3 34 0 5 0 5 = 0 0 = ( ) ( ) = 0 0 0 (Λόγω της 3 ης ιδιότητας της ορίζουσας) Τώρα η ορίζουσα που αντιστοιχεί στη ζητούµενη µεταβλητή z είναι: z 6 5 4 0 = 0 6 3 0 4 Και πάλι απλοποιούµε την ορίζουσα αυτή µε τη χρήση των ιδιοτήτων Προσθέτουµε (-) φορές την πρώτη γραµµή στη δεύτερη: z 6 5 0 5 = 0 6 3 0 4, προσθέτουµε (-) φορές τη η γραµµή στην 3 η : 4

z 6 5 0 5 = 0 0 0, προσθέτουµε (-3) φορές την η γραµµή στην 4 η : 3 0 4 z 6 5 0 5 = 0 0 0, προσθέτουµε (3) φορές τη η γραµµή στην 4 η : 0 3 6 9 z 6 5 0 5 = 0 0 0, προσθέτουµε (/0) φορές την 3 η γραµµή στην 4 η : 0 0 34 6 5 z = 0 5 0 0 0 0 0 0 49 5 49 = 0 = 98 5 Άρα z 98 z = = z = 98 8 ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΙΝΑΚΑ rak A, Ορισµός: Έστω ένας ( m ) πίνακας A, βαθµό r, συµβολικά ( ) αυτού ονοµάζουµε τον αριθµό των γραµµών του ισοδύναµου κλιµακωτού πίνακα, οι οποίες περιέχουν έστω και ένα µη-µηδενικό στοιχείο Ισοδύναµα, µπορούµε να πούµε ότι ο βαθµός r του πίνακα A, είναι η τάξη της µέγιστης υπό-ορίζουσας (cofactor) αυτού που είναι διάφορη του µηδενός ηλαδή, αν για παράδειγµα ένας πίνακας ( 3 4) έχει όλες τις ( 3 3) υπό-ορίζουσες ίσες µε µηδέν και µια τουλάχιστον εκ των ( ) υπόορίζουσα διάφορη του µηδενός, τότε rak ( A ) = 4

Για έναν τετραγωνικό πίνακα A ( ) A rak ( A) = και αντιστρόφως, δηλαδή 0 ( ) Παραδείγµατα: ) Ο ( 3 ) πίνακας, αν 0, τότε, προφανώς, A rak A = 3 A = 4, 0 έχει βαθµό, αφού µία τουλάχιστον ( ) υπό-ορίζουσα αυτού, πχ η 4 = ( 4) 0 = 0 0 ) Ο ( 4 4) πίνακας 3 4 3 4 B =, 4 6 8 0 3 έχει µηδενική ορίζουσα, αφού η τρίτη γραµµή του προκύπτει από την πρώτη επί (-) Ακόµη η ( 3 3) υπό-ορίζουσα: 3 4 6 4 6 = 3 + = 3 4 8 + 6 3 3 0 3 Άρα rak ( B ) = 3 = 4 0 = 5 0 ( ) ( ) Με τη χρήση του βαθµού και του αντίστροφου ενός πίνακα µπορούµε να m επιλύσουµε γραµµικά συστήµατα τάξης ( ) Έστω το γραµµικό σύστηµα: 43

a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b m m m m, ή A X = B, όπου A a a a a a a a a a = m m m, X x x = x και b b B = b m Για να το επιλύσουµε µε τη βοήθεια του αντίστροφου πίνακα, βρίσκουµε το βαθµό r του πίνακα A, των συντελεστών των αγνώστων και έχουµε τις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: (i) Αν r = m =, δηλαδή ο πίνακας A είναι τετραγωνικός µε A 0 Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας οποίο µπορούµε να υπολογίσουµε A του A, τον Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουµε επί A X = B και παίρνουµε: A εξ αριστερών την εξίσωση A A X A B ( ) = A A X A B = I X A B = X A B = Συνεπώς έχουµε τη λύση του συστήµατος, η οποία βρίσκεται αν πολλαπλασιάσουµε τη στήλη των σταθερών ποσοτήτων εξ αριστερών επί A (ii) Αν r = m, δηλαδή ο πίνακας A δεν είναι τετραγωνικός, τότε r µεταβλητές x, i =,,, r παίρνουν αυθαίρετες τιµές και i για τις υπόλοιπες προκύπτει ένα γραµµικό σύστηµα r αγνώστων µε r 44

εξισώσεις, το οποίο µπορούµε να λύσουµε όπως στην προηγούµενη περίπτωση (iii) Αν r m, τότε υπολογίζουµε το βαθµό του επαυξηµένου πίνακα: E a a a b a a a b am am am bm = και µπορεί να προκύψει µια από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) rak ( E) = r = και το αρχικό σύστηµα έχει µοναδική λύση (β) rak ( E) r και το αρχικό σύστηµα είναι αδύνατο (γ) rak ( E) = r και το αρχικό σύστηµα είναι αόριστο Παραδείγµατα: πίνακα Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα µε τον αντίστροφο 3 x z = 4x y + z = x + y 0z = x z + w = 3x + y z w = 4 x + y + 6z w = 3 x + y + z = 3 3x y z = 5 x + 5y + 3z = 0 x + 3y + 4z = Λύση: Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι: 45

0 A = 4 0, που είναι ένας τετραγωνικός πίνακας ( 3 3) Υπολογίζουµε την ορίζουσα του πίνακα αυτού, A 4 = = ( 0 ) ( 8 + ) = 0 0 Συνεπώς υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας και προχωρούµε στην εύρεσή του Ο ανάστροφος πίνακας είναι: t A 4 = 0 0 Για τις υπό-ορίζουσες αυτού, µε εναλλασσόµενο πρόσηµο, έχουµε: : + = 8 4: 0 0 0 = 4 : 0 + = 4 0: 4 = 4 -: 0 + 8 0 = : 4 = 9 -: 4 + = 0 : = -0: 0 4 + = 0 Οπότε ο αντίστροφος πίνακας είναι: 9 4 9 A = 4 5 σχέση: και έτσι η λύση του συστήµατος δίνεται από τη 46

9 9 + 4 x 7 4 9 4 9 y = 4 = + 8 = 7 z 4 5 5 + Άρα x = 7, y = 7 και z = 4 x z + w = 3x + y z w = 4 Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι: x + y + 6z w = 3 0 A = 3 6 που είναι ένας ( 3 4) Για το βαθµό αυτού έχουµε: 0 3 3 = = 8 5 = 3 6 6 Άρα rak ( A) = 3 r = m και έτσι ισχύει η περίπτωση (ii) πιο πάνω Γράφουµε το αρχικό σύστηµα ως εξής: x z = w 0 x w 3x + y z = 4 + w 3 y 4 w = + x + y + 6z = 3 + w 6 z 3 + w ή A X = B, όπου 0 x w A = 3, X = y, B = 4 + w 6 z 3 + w Τώρα πρέπει να βρούµε τον A 47

t A 3 = 0 6 Για τις υπό-ορίζουσες αυτού, µε εναλλασσόµενο πρόσηµο, έχουµε: : + = 8 3: 6 0 6 = : + 0 = 0: 3 6 = 9 : + = 7 : 6 3 = -: 3 + = 5 -: = 6: 0 3 + = 0 Οπότε ο αντίστροφος πίνακας είναι: A 8 3 3 3 9 7 = Συνεπώς 3 3 3 5 3 3 3 X A B = 8 3 3 3 x w 9 7 y 4 w = + 3 3 3 z 3 + w 5 3 3 3 48

8 8w 8 4w 3 + w + 3 3 3 x 9 9w 8 4w 6 w y + + = + 3 3 3 z 5 5w 8 4w 3 w + + + 3 3 3 3 + w 3 x 3 + 3w y = 3 z 8w 3 3 + 3 3 8 Άρα w + x =, y = w, z = w και το αρχικό σύστηµα είναι 3 3 3 αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις 3 x + y + z = 3 3x y z = 5 x + 5y + 3z = 0 x + 3y + 4z = ή 3 3 x 5 y = 5 3 0 z 3 4 Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι ο ( 4 3) πίνακας: 3 A =, για τον οποίο έχουµε 5 3 3 4 3 3 3 = + 5 3 3 5 5 3 = ( 6 + 5) ( 9 + ) + ( 5 + ) = 0 + 34 = 3 0 49

Συνεπώς για τον πίνακα των συντελεστών των αγνώστων έχουµε r = 3 m = 4 και έτσι πρέπει να εξετάσουµε το βαθµό του επαυξηµένου πίνακα: 3 3 E = 5 3 0 3 4 Η ορίζουσα αυτού είναι: 3 3 5 3 0 3 4 Πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή, διαδοχικά επί (-3) και την προσθέτουµε στη η, επί (-) και την προσθέτουµε στην 3 η και 4η Έτσι η πιο πάνω ορίζουσα είναι ίση µε την 3 0 8 7 8 E = 0 3 3 0 γραµµή µεταξύ τους) 3 0 = 0 3 3 0 8 7 8 (αλλάξαµε τη η και την 4 η Τώρα πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή διαδοχικά επί (-3) και επί (8) και την προσθέτουµε στην 3 η και 4 η αντίστοιχα Έτσι παίρνουµε: E 3 0 = 0 0 5 3 0 0 9 4 προσθέτουµε (9/5) επί 3 η γραµµή στην 4 η και έχουµε: 50

E 3 0 = 0 0 5 3 0 0 0 93 5 93 = ( 5) = 93 5 Αφού η ορίζουσα του επαυξηµένου πίνακα είναι διάφορη του µηδενός, ο βαθµός αυτού είναι rak ( E ) = 4 ενώ rak ( A ) = 3 σύστηµα δεν έχει καµία λύση, δηλαδή είναι αδύνατο Συνεπώς το αρχικό 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο Gauss α) γ) x + y + z = x y + z = 4, β) 3x + y 4z = x + y z = 0 x 4y + 5z = 0 8x + 3y z = 30 3x + y z = 0 4x + y z =, x 3y + 3z = Να λυθούν τα ακόλουθα συστήµατα µε τη µέθοδο Cramer α) γ) 5x + y + z = 0 x + z = 4, β) 4x + y 5z = 6 x + y + z = 9 4y + 5z = 8x z = 0 x + y 7 = 0 x + y z = 0, 3y + 3z + = 0 3 Να λυθούν τα συστήµατα: 5

α) γ) 5x + y + z 5w = 3 x + z + w = 5, β) 6x + y z = 6 x + y + z = 9 4y + 5z = δ) 8x z = 0 x + 7w = 6 x + y z w =, 3y + 3z + w = 0 x 3y = 6 x + y z = 3y + 3z = 0 5x 3y + z = 9 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ (DIAGONALIZATION) 3 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ (EIGENVALUES & EIGENVECTORS) Ορισµός: Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας A = ( a ), i, j =,,, m, όπου a R (τα στοιχεία του πίνακα A θα µπορούσαν να είναι και µιγαδικοί ij αριθµοί, δηλαδή aij C ) Ένας πραγµατικός (ή µιγαδικός) αριθµός λ ονοµάζεται ιδιοτιµή ή χαρακτηριστική τιµή του πίνακα A, αν υπάρχει µη- µηδενικός ( m ) πίνακας X, ij X x 0 x 0 =, xm 0 όπου xi R, i =,,, m (ή xi C ), τέτοιος ώστε: Με άλλα λόγια ισχύει το σύστηµα: A X = λ X ή ( A λ I ) X = 0 ( λ ) ( λ ) a x + a x + + a x = 0 m ax + a x + + amxm = 0 () ( λ ) a x + a x + + a x = 0 m m mm m Ο ( m ) πίνακας X ονοµάζεται ιδιοδιάνυσµα ή χαρακτηριστικό διάνυσµα του πίνακα A, το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Το οµογενές σύστηµα () πιο πάνω έχει µη-µηδενικές λύσεις αν και µόνον αν η ορίζουσα: m A a λ a a m a a λ a m λ I = = a a a m m mm λ 0 () 53

Αν αναπτύξουµε την ορίζουσα της παραπάνω σχέσης (), θα προκύψει ένα πολυώνυµο χ ( λ ), ως προς την ιδιοτιµή λ, το οποίο είναι βαθµού m, και ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο (characteristic polyomial) του πίνακα A Ακόµη, η εξίσωση: ( ) A λ I 0 χ λ = =, (3) ονοµάζεται χαρακτηριστική εξίσωση (characteristic equatio) του A Για τον υπολογισµό των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων ενός τετραγωνικού πίνακα A κάνουµε τα ακόλουθα: Επιλύουµε τη χαρακτηριστική εξίσωση του δοθέντος πίνακα A, οι ρίζες της οποίας είναι οι ιδιοτιµές αυτού Αν από την επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης προκύψει έστω και µια ιδιοτιµή λ, του πίνακα A, τότε είναι προφανές ότι το οµογενές σύστηµα () έχει µη-µηδενικές λύσεις x, x,, x m και οι πίνακες στήλη ( m ) X είναι τα ιδιοδιανύσµατα του A που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ Παράδειγµα: Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε αυτές, των παρακάτω πινάκων: α) A = 3, β) 0 3 B = 0 3, 0 0 γ) 0 Γ =, δ) E 0 = 0 Λύση: α) Πρώτα λύνουµε τη χαρακτηριστική εξίσωση χ ( λ ) = A λ I = 0 του πίνακα A και έχουµε: λ A λ I = 0 = 0 ( λ )( λ ) 6 = 0 3 λ 54

λ 3λ 4 = 0 ( λ )( λ ) + 4 = 0 Άρα λ = 4 και λ = είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα A Τώρα για την πρώτη ιδιοτιµή λ = 4 αντιστοιχεί στον πίνακα A είναι: ( ) x ( ), το γραµµικό σύστηµα () που 4 x + x = 0 3x + x = 0 3x x = 0 3x = x 3 3 + 4 x = 0 x x = 0 Άρα ένα µη-µηδενικό ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 4 είναι το X = 3 Προφανώς υπάρχουν άπειρα µη-µηδενικά ιδιοδιανύσµατα για αυτή την ιδιοτιµή, της µορφής: k 3, k R { 0} Για την ιδιοτιµή λ =, το γραµµικό σύστηµα () που αντιστοιχεί στον πίνακα A είναι: ( ) x ( ) + x + x = 0 x + x = 0 x + x = 0 x = x 3 3 + + x = 0 x + 3x = 0 Άρα ένα µη-µηδενικό ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = είναι το X = Επίσης κάθε πολλαπλάσιο αυτού είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = β) 0 3 B = 0 3 0 0 Λύνουµε τη χαρακτηριστική εξίσωση χ ( λ ) λ 0 και έχουµε: = B I = του πίνακα B 55

( ) λ 0 3 χ λ = B λ I = 0 λ 3 = 0 0 0 λ ( λ ) ( λ ) ( λ ) = 0 Άρα λ =, λ = και λ 3 = είναι οι τρεις ιδιοτιµές του πίνακα B Τώρα για την πρώτη ιδιοτιµή λ =, το γραµµικό σύστηµα () που αντιστοιχεί στον πίνακα B είναι: ( ) + x + 3x3 = 0 3x3 = 0 x = x ( + ) x 3x3 = 0 3x 3x3 = 0 x = 0 ( ) x 3 0 x3 = 0 x3 = 0 + = X Άρα ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = είναι το k = 0 Υπάρχουν δε άπειρα µη-µηδενικά ιδιοδιανύσµατα, της µορφής 0, 0 0 k R { 0} που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = Για την ιδιοτιµή λ =, το γραµµικό σύστηµα () που αντιστοιχεί στον πίνακα B είναι: ( ) x + 3x3 = 0 x + 3x = 0 x = 3x 3 = 0 X ( ) x ( ) 3 3 x3 x 3x3 = 0 x = 3x3 x 3 = 0 Άρα ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = είναι το 3 = 6 Επίσης, όλα τα πολλαπλάσια k X, k R { 0} πίνακα B που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = είναι ιδιοδιανύσµατα του Για την ιδιοτιµή λ 3 =, το γραµµικό σύστηµα () που αντιστοιχεί στον πίνακα B είναι: 56

( ) x + 3x3 = 0 3x + 3x3 = 0 x = x3 ( ) x 3x3 = 0 3x3 = 0 x = x ( ) x3 0 x3 = 0 x3 = 0 = 0 Άρα ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ 3 = είναι το X 3 = 0 0 Επίσης υπάρχουν άπειρα µη-µηδενικά ιδιοδιανύσµατα, της µορφής k, 0 k R { 0} που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ 3 = γ) 0 Γ = χ λ = Γ λ = του πίνακα Γ Λύνουµε τη χαρακτηριστική εξίσωση ( ) I 0 και έχουµε: λ 0 Γ λ I = 0 = 0 ( λ ) = 0 λ = λ Άρα έχουµε µια ιδιοτιµή λ = (διπλή ρίζα) του πίνακα Γ, για την οποία το γραµµικό σύστηµα () που αντιστοιχεί στον πίνακα Γ είναι: 0 x + 0 x = 0 x = 0 x + 0 x = 0 x = x Συνεπώς τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = του πίνακα Γ είναι της µορφής: δ) 0 k, k R { 0} E 0 = 0 Λύνουµε τη χαρακτηριστική εξίσωση χ ( λ ) E λ I 0 και έχουµε: = = του πίνακα Ε 57

λ ( ) E λ I = 0 = 0 λ + = 0 λ = λ Η εξίσωση που προέκυψε δεν έχει πραγµατικές, αλλά µιγαδικές λύσεις, δηλαδή λ C και οι οποίες είναι, λ = i και λ = i, ( i = ή i = ) Τώρα τα γραµµικά συστήµατα που αντιστοιχούν στις δυο αυτές (µιγαδικές) χαρακτηριστικές τιµές του πίνακα Ε είναι Για την λ = i : ix + x = 0 ix = x x ix = 0 x = ix Άρα ένα χαρακτηριστικό διάνυσµα του πίνακα Ε που αντιστοιχεί στην λ = i είναι το X = i Επίσης όλα τα πολλαπλάσια αυτού είναι χαρακτηριστικά διανύσµατα που αντιστοιχούν στην λ = i Για την λ = i : ix + x = 0 ix = x x + ix = 0 x = ix Άρα ένα χαρακτηριστικό διάνυσµα του πίνακα Ε που αντιστοιχεί στην λ = i είναι το X = i Επίσης όλα τα πολλαπλάσια αυτού είναι χαρακτηριστικά διανύσµατα που αντιστοιχούν στην λ = i Στη συνέχεια παραθέτουµε ένα από τα σηµαντικότερα θεωρήµατα της γραµµικής άλγεβρας, το Θεώρηµα Cayley 3 - Hamilto 4 Θεώρηµα ο (Cayley - Hamilto): Κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι ρίζα του χαρακτηριστικού του πολυωνύµου 3 Cayley, Arthur (8 895) Άγγλος µαθηµατικός 4 Hamilto, William (805 865) Ιρλανδός µαθηµατικός, φυσικός και αστρονόµος 58

Στο παράδειγµα (α) πιο πάνω, A = 3 και το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι λ 3λ 4 = 0, οπότε σύµφωνα µε το θεώρηµα Cayley- Hamilto θα πρέπει να έχουµε: 0 3 4 3 = 3 0 7 6 3 6 4 0 = 9 0 9 6 0 4 7 3 4 6 6 0 0 0 = = 9 9 0 0 6 4 0 0 Από το παραπάνω θεώρηµα βλέπουµε τη στενή σχέση των ιδιοτιµών και των χαρακτηριστικών πολυωνύµων ενός πίνακα Επίσης ισχύει και το ακόλουθο αποτέλεσµα Θεώρηµα ο : Έστω ένας ( ) πίνακας A µε στοιχεία πραγµατικούς (ή µιγαδικούς) αριθµούς Μια σταθερά λ R ή ( λ C) είναι ιδιοτιµή του A αν και µόνον αν η λ είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του A 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΤΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ Με τη χρήση του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ενός τετραγωνικού πίνακα A, µπορούµε να υπολογίσουµε τον αντίστροφο πίνακα ακόλουθου θεωρήµατος Θεώρηµα 3 ο : Αν ένας ( ) A, µέσω του πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε όπου ( ) a a a A = I A + + + A a0 a0 a0 χ λ = A λ I = a + a λ + a λ + + a λ, a = A 0 0 είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα, 59

Παραδείγµατα: Να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας των παρακάτω, µε τη βοήθεια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου α) 3 A = 0 0, β) 3 4 8 A = 0 6 Λύση: α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι: ( ) λ 3 χ λ = A λ I = 0 λ 0 λ ( ) λ 3 = λ λ ( λ ) ( λ ) λ ( λ ) = 6 Η ορίζουσα του A είναι: 3 = λ + 5λ λ 8 A 3 3 = 0 0 = = 8, δηλαδή a 0 = 8 Αυτό βέβαια είναι προφανές και από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο, ότι δηλαδή a 0 = 8 Επίσης a =, a = 5 και a 3 = Άρα a a a3 A = I + A + A a0 a0 a0 0 0 3 3 5 = 0 0 0 0 0 0 8 8 8 0 0 60

5 5 5 0 0 4 4 8 8 3 5 = 0 0 + 0 0 0 0 4 4 8 5 5 5 0 0 4 4 8 8 0 5 5 0 9 0 0 8 8 8 8 8 8 8 0 4 = 0 0 + 0 0 + 0 0 8 8 8 0 5 5 6 7 0 0 8 8 8 8 8 8 8 0 0 5 5 9 + + 8 8 8 8 8 8 8 0 4 = 0 + 0 8 8 8 0 6 5 5 7 + 8 8 8 8 8 8 8 3 4 4 A = 0 0 β) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι: ( ) χ λ = A λ I = 3 λ 4 8 0 λ 6 5 4 6 4 = λ λ = λ λ + 6

a =, a = 5, a = και ο αντίστροφος πίνακας είναι: 4 Άρα 0 a a a0 a0 A = I + A 3 0 4 8 = 0 4 0 0 6 0 6 9 4 9 0 0 4 0 6 = A = 33 ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισµός: Έστω δυο τετραγωνικοί πίνακες A και B, για τους οποίους υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P, τέτοιος ώστε B = P AP, τότε λέµε ότι ο πίνακας B είναι όµοιος (equivalet matrices) µε τον πίνακα A, ή ότι οι δυο πίνακες A και B είναι όµοιοι Θεώρηµα 4 ο : Έστω ένας ( ) πίνακας A µε στοιχεία πραγµατικούς (ή µιγαδικούς) αριθµούς Μια σταθερά λ R ή ( λ C ) είναι ιδιοτιµή του A αν και µόνον αν η λ είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του A Από το παραπάνω θεώρηµα έχουµε και τα εξής αποτελέσµατα Πόρισµα : Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο χ ( λ ) ενός ( ) A είναι γινόµενο διαφορετικών παραγόντων, δηλαδή ( ) ( a ) ( a ) ( a ) χ λ = λ λ λ, πίνακα όπου,,, χ λ διάφορες µεταξύ τους, τότε ο πίνακας A είναι όµοιος µε έναν διαγώνιο πίνακα, του οποίου η κύρια διαγώνιος a a a είναι ρίζες του ( ) αποτελείται από τα a, i =,,, i 6

Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας λέει ότι κάθε πολυώνυµο στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών έχει τουλάχιστον µια ρίζα Αυτό, µαζί µε το παραπάνω θεώρηµα µας δίνουν το ακόλουθο Πόρισµα : Κάθε ( ) έχει τουλάχιστον µια ιδιοτιµή πίνακας A στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών Θεώρηµα 5 ο : υο όµοιοι πίνακες A και B έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές και ακόµη A = B Και κατά συνέπεια, έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο Ορισµός: Ένας ( ) όταν είναι όµοιος προς ένα διαγώνιο πίνακα πίνακας A λέµε ότι είναι διαγωνοποιήσιµος Ορισµός: Τα ιδιοδιανύσµατα X, X,, X k ενός πίνακα ονοµάζονται γραµµικώς ανεξάρτητα αν για κάθε c, c,, ck R (ή C), ισχύει το εξής: c X + c X + + c X = Ο c = c = = c = 0 k k k Θεώρηµα 6 ο : Ένας ( ) πίνακας A µε στοιχεία πραγµατικούς ή µιγαδικούς αριθµούς είναι διαγωνοποιήσιµος, αν και µόνον αν, έχει το πλήθος γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Ο πίνακας P, της σχέσης B = P AP, όπου ο B είναι όµοιος προς τον A, έχει στήλες τα γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα του A και επί πλέον ισχύει: B λ 0 0 0 λ 0, 0 0 λ = P AP = όπου λ i, i =,,, είναι οι ιδιοτιµές του A Θεώρηµα 7 ο : Αν ένας ( ) πίνακας A µε στοιχεία πραγµατικούς ή µιγαδικούς αριθµούς έχει διαφορετικές ανά δυο ιδιοτιµές, τότε διαγωνοποιήσιµος Για να διαγωνοποιηθεί ένας ( ) πίνακας A κάνουµε τα ακόλουθα: είναι 63

Βρίσκουµε πρώτα τις ιδιοτιµές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του δοθέντος πίνακα Εξετάζουµε αν ο πίνακας έχει το πλήθος γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Σε περίπτωση που αυτό συµβαίνει, σχηµατίζουµε τον αντιστρέψιµο πίνακα P, χρησιµοποιώντας τα ιδιοδιανύσµατα του A Αν υπάρχουν k γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα του A, τότε αυτός δεν είναι διαγωνοποιήσιµος και σταµατάµε εκεί Παραδείγµατα: α) Να δειχθεί ότι ο παρακάτω ( 3 3) πίνακας δε διαγωνοποιείται στο R, αλλά διαγωνοποιείται στο C Να βρεθεί ο B = P AP 3 0 0 A = 0 5 0 Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι: 3 λ 0 0 λ 5 χ ( λ ) = 0 λ 5 = ( 3 λ ) λ 0 λ ( λ ) ( λ )( λ ) = 3 + 5 ( 3 λ )( λ ) = + Τώρα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει τις εξής ρίζες: ( ) χ λ = 0 λ = 3, λ = i και λ 3 = i Συνεπώς, στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών, ο πίνακας A έχει µόνον µια ιδιοτιµή, τη λ = 3 και έτσι δεν είναι διαγωνοποιήσιµος στο R 64

Στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, όµως, ο πίνακας A έχει τρεις διαφορετικές ιδιοτιµές, ήτοι τις λ = 3, λ = i και λ 3 = i Άρα είναι διαγωνοποιήσιµος στο C Τέλος ο A είναι όµοιος προς τον 3 0 0 = = 0 0 0 0 i B P AP i β) Να δειχθεί ότι ο πίνακας 4 6 0 A = 3 5 0 3 6 5 διαγωνοποιείται στο R και να βρεθεί ο αντιστρέψιµος πίνακας P, για τον οποίον B = P AP Να επαληθευθεί ότι ο B = P AP είναι διαγώνιος και η κύρια διαγώνιός του αποτελείται από τις ιδιοτιµές του A Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι: 4 λ 6 0 4 λ 6 χ ( λ ) = 3 5 λ 0 = ( 5 λ ) 3 5 λ 3 6 5 λ ( λ ) ( λ )( λ ) = 5 4 5 + 8 ( λ 5)( λ λ ) = + + ( λ 5)( λ )( λ ) = + + Άρα οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι λ = 5, λ = και λ 3 = Συνεπώς ο A διαγωνοποιείται Τώρα βρίσκουµε τα ιδιοδιανύσµατα του A 65

(i) Για την ιδιοτιµή λ = 5 λύνουµε το γραµµικό σύστηµα: ( A λ ) = I X 0 9 6 0 x 3 0 0 x = 0 3 6 0 x3 X 9x + 6x = 0 x = 0 3x = 0 x = 0 3x 6x = 0 x3 x = 3 Οπότε τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = 5 είναι τα 0 = 0 x 3 (ii) Για την ιδιοτιµή λ = λύνουµε το γραµµικό σύστηµα: ( A λ ) = I X 0 6 6 0 x 3 3 0 x = 0 3 6 3 x3 X 6x + 6x = 0 x = x 3x 3x = 0 x = x 3x 6x 3x3 = 0 x3 x = Οπότε τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = είναι τα x = x x (iii) Για την ιδιοτιµή λ 3 = λύνουµε το γραµµικό σύστηµα: ( A λ ) = 3I X 3 0 3 6 0 x 3 6 0 x = 0 3 6 6 x3 66

3x + 6x = 0 x = x 3x 6x = 0 x = x 3x 6x 6x3 = 0 x3 = 0 X Οπότε τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ 3 = είναι τα x = x 0 3 Θέτοντας x 3 = και x = έχουµε τον πίνακα P : Για να επαληθεύσουµε ότι ο 0 P = 0 0 B = P AP είναι διαγώνιος και η κύρια διαγώνιός του αποτελείται από τις ιδιοτιµές του A, βρίσκουµε τον αντίστροφο πίνακα P P 0 = 0 = = 0 Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα P είναι: ( ) λ χ λ = P λ I = 0 λ λ λ 3 = λ + = λ + λ 3λ + λ λ Οπότε a0 =, a = 3, a = και a 3 = a a a3 P = I + P + P a0 a0 a0 67

0 0 0 0 = 3 0 0 0 0 + 0 0 0 0 3 0 0 0 = 0 3 0 0 0 + 0 0 3 0 0 3 3 0 0 + + 0 + = 0 0 3 0 0 + + + 0 + 0 0 + 3 0 3 P 0 = 0 Τώρα 4 6 0 0 B = P AP = 0 3 5 0 0 0 3 6 5 0 4 0 5 0 = 4 0 0 0 0 5 0 0 0 5 5 0 + 5 0 0 5 0 = 0 4 0 0 4 0 4 4 0 0 + + 0 0 + 0 0 + 0 0 5 0 0 B = P AP = 0 0 0 0 γ) Να δειχθεί ότι ο πίνακας 5 6 6 A = 4 3 6 4 είναι διαγωνοποιήσιµος 68

Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι: ( ) 5 λ 6 6 χ λ = A λ I = 4 λ 3 6 4 λ λ = + + 6 4 λ 6 4 λ 4 λ ( ) 4 6 5 λ 6 3 6 6 ( 5 λ ) ( 4 λ )( 4 λ ) ( 4 6λ 36) 3( 6λ ) = + + + + ( )( ) = 5 λ λ 4 λ + 4 ( 5 λ )( λ )( λ ) ( λ ) = + ( λ )( λ 3λ ) = + ( λ )( λ )( λ ) = Άρα λ = και λ = λ3 = (διπλή ρίζα), οπότε οι ιδιοτιµές του πίνακα A δεν είναι διαφορετικές ανά δυο και πρέπει έτσι να ελέγξουµε αν υπάρχουν τρία γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα αυτού (i) Για την ιδιοτιµή λ = λύνουµε το γραµµικό σύστηµα: ( A λ ) = I X 0 4 6 6 x 3 x = 0 3 6 5 x3 4x 6x 6x3 = 0 x = x3 x + 3x + x3 = 0 x = x 3x 6x 5x = 0 x = 3x 3 3 Οπότε ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = 3x 3 X = x x = 3x 3 είναι τα 69