ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 8 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Να δώσετε τους ορισμούς των: α) Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση β) Ολικό ελάχιστο συνάρτησης γ) Άρτια συνάρτηση. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος. Μονάδες 15 α. Η συνάρτηση έχει μέγιστο στο x0 A, όταν: ( x) ( x0 ) για κάθε x A β. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιττή, αν για κάθε x A Aκαι ( ) ( x) ισχύει γ. Η συνάρτηση ( x) 7x έχει πεδίο ορισμού το R και για οποιουσδήποτε x x1, x R με x ισχύει ( x1) ( x). Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 1 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση x, x R. ( ) x 5 Μονάδες 10 Β1. Να δείξετε ότι η παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0. Β. Είναι η άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3
Β3. Με ποια μετατόπιση της g( x) ; x προκύπτει η ΘΕΜΑ Γ Γ1. Να λυθεί το σύστημα y y 7 9 Μονάδες 9 Γ. Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία οι συναρτήσεις: Μονάδες 9 α) ( x) 8 β) ( x) 7 1 x Γ3. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες η περιττές. α) 5 3 ( x) 6x x x β) x x x ( ) 3 7 1 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση ( x) 8 x 8 x Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Δ. Να εξετάσετε αν η είναι άρτια ή περιττή. Μονάδες 5 Δ3. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. -8 8-8 8-8 8 Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3
Δ. Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g( x) ( x) 3 και h( x) x 3 δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 8 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία Α. α Σωστό β Λάθος γ Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. Για να παρουσιάζει η ελάχιστο στο x 0 πρέπει να ισχύει ( x) (0) για κάθε x R, δηλαδή ( x) (0) x 5 5 x 0 που ισχύει για κάθε x R. Β. Για κάθε x R ισχύει R και ( ) ( ) 5 x 5 ( x). Άρα η είναι άρτια. Β3. Η προκύπτει αν μετατοπίσουμε την g( x) x κατακόρυφα κατά 5 μονάδες προς τα κάτω. ΘΕΜΑ Γ y 9 (1) Γ1. y 7 () Έχουμε: () y 7 x. Οπότε (1) x (7 x) 9 x 9 1x x 9 x 1x 0 0 x 7x 10 0 x ήx 5. Για x, y 7 5 και για x 5, y 75. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3
Γ. α) A R. Για κάθε x1, x R με x1 x έχουμε x x 8 8 ( x ) ( x ). 1 1 1 1 Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα. β) A (,1]. Για κάθε x1, x A με x1 x έχουμε x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 7 1 x 7 1 x ( x ) ( x ). 1 1 Άρα η είναι γνησίως αύξουσα. Γ3. α) A R. Για κάθε x A ισχύει A και x x x x x x x x x x x 5 3 5 3 5 3 ( ) 6( ) ( ) ( ) 6 (6 ) ( ) Άρα η είναι περιττή. β) A R. Για κάθε x A ισχύει A και x x x x x x ( ) 3( ) 7 1 3 7 1 ( ) Άρα η είναι άρτια. ΘΕΜΑ Δ Δ1. Πρέπει και αρκεί (8 x 0 και 8 x 0) ( x 8 και x 8) 8 x 8. Άρα A [ 8,8]. Δ. Για κάθε x A ισχύει A και ( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 x 8 x 8 x 8 x ( x ). Άρα η είναι περιττή Δ3. Η μοναδική γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι η τρίτη. Έχει μέγιστη τιμή την ( 8) 8 8 8 8 και ελάχιστη τιμή την (8) 8 8 8 8 Δ. Η γραφική παράσταση της g( x) ( x) 3 προκύπτει από την γραφική παράσταση της αν την μετατοπίσουμε κατά 3 μονάδες προς τα κάτω όπως φαίνεται στο παρακάτω ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3
σχήμα. Η g δεν είναι ούτε συμμετρική ως προς τον άξονα yy, ούτε ως προς την αρχή των αξόνων. Άρα δεν είναι άρτια ούτε περιττή. 5 5 6 Η γραφική παράσταση της h( x) 3 προκύπτει από την γραφική παράσταση της αν την μετατοπίσουμε κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η h δεν είναι ούτε συμμετρική ως προς τον άξονα yy, ούτε ως προς την αρχή των αξόνων. Άρα δεν είναι άρτια ούτε περιττή. 10 5 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3