ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι x1 x και x y1 y Μονάδες 15 y Α. Έστω δυο διανύσματα,. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α και β. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Δίνονται α 1, αβ αβ 16. α β α β 4 και Β1. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο αβ και το β. Μονάδες 10 Β. Να βρείτε τη γωνία, Β3. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού R ώστε 7 Μονάδες 5 Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Γ Δίνονται τα σημεία 1, 4, 0, και 4, 0 Γ1. Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. Μονάδες 1 Γ. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ Μονάδες 13 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται κύκλος με εξίσωση C:x y 0 και σημείο A6, Δ1. Να αποδείξετε ότι το Α είναι εξωτερικό του κύκλου. Μονάδες 5 Δ. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που διέρχονται από το Α. Μονάδες 10 Δ3. Αν Β, Γ τα σημεία τομής των εφαπτόμενων του ερωτήματος Δ. με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 10
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου x y ρ στο σημείο του Αx,y έχει εξίσωση xx yy ρ. Μονάδες 15 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Έστω, δύο μη μηδενικά διανύσματα. Είναι: //. Έστω, δύο μη μηδενικά διανύσματα. Ισχύει η ισοδυναμία: det, 0 μόνο όταν: 3. Αν xby 0 με 0 ή 0 τότε η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη,. προς το διάνυσμα 4. Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας y y0 5. Αν τότε αποκλειστικά Μονάδες 10
ΘΕΜΑ B Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία 1, 1, 4, και 0, 6 Β1. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ Μονάδες 8 Β. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. Μονάδες 9 Β3. Να βρείτε το εμβαδόν AMB. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Αν για τα διανύσματα, βρείτε: Γ1. το εσωτερικό γινόμενο ισχύει ότι: α 1, β,, 3 και είναι v α 1 β τότε να Μονάδες 5 Γ. το μέτρο v του διανύσματος v. Μονάδες 10 Γ3. τη γωνία,v. Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x1 y xy 5 Δ1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει εξίσωση κύκλου. Μονάδες 5 Δ. Για λ = 1, να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που έχουν συντελεστή διεύθυνσης ίσο με. Μονάδες 10 Δ3. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων του παραπάνω κύκλου. Μονάδες 10
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου x y ρ στο σημείο του Αx,y έχει εξίσωση xx yy ρ. Μονάδες 15 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Έστω,. Έστω, δύο μη μηδενικά διανύσματα. Είναι: δύο μη μηδενικά διανύσματα. Ισχύει η ισοδυναμία: μόνο όταν: 1 3. Αν x By 0 με 0 ή 0 τότε η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη n A,B. προς το διάνυσμα 4. Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας x x0 5. Αν τότε ή Μονάδες 10
ΘΕΜΑ B Δίνονται τα διανύσματα 1, και, 3 Β1. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος, αν 53 Μονάδες 8 Β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα xx. Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε το k R ώστε το διάνυσμα u k k,k να είναι κάθετο στο. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία 1,, 1, 3 και 5, 1 Γ1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της ΒΓ και την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ Μονάδες 8 Γ. Να αποδείξετε ότι η ΒΓ έχει εξίσωση x3y8 0. Μονάδες 9 Γ3. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου AB. Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση C :x x y4 y 0 1 Δ1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει εξίσωση κύκλου για κάθε R και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Μονάδες 10 Δ. Για βρείτε το α, αν ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία :y x. Μονάδες 7 Δ3. Για α =, να αποδείξετε ότι η ευθεία :3x4y10 0 δεν τέμνει τον κύκλο. Μονάδες 8
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ A Α1. Θεωρούμε δύο διανύσματα x,y 1 1 και x,y με συντελεστές 1 και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: // 1. Μονάδες 15 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν x By 0 με 0 ή 0 τότε η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη,. προς το διάνυσμα. Αν 1, οι συντελεστές διεύθυνσης δύο κάθετων διανυσμάτων τότε ισχύει: 1 1 3. Αν x,y και x,y 1 1 x x με 1, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ΑΒ) είναι: y x y 1 x 1 4. Η εξίσωση x y Ax By 0 με 5. Αν 0 τότε 0 ή 0 4 παριστάνει κύκλο. Μονάδες 10
ΘΕΜΑ B Δίνονται τα διανύσματα, v, να βρείτε: με 1, και,. Αν u 3 3 και Β1. Το εσωτερικό γινόμενο Μονάδες 5 Β. Τα μέτρα u,v. Μονάδες 8 Β3. Το εσωτερικό γινόμενο u v Β4. Το u, v Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση x y680, R Γ1. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες παριστάνει ευθεία. Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 7 Γ3. Αν ε: 4x + 5y = 0, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ε με την ευθεία :4x y 4 και τον άξονα xx. Μονάδες 1
ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι κύκλοι: C 1 :x y x y10 0 C :x y x y 10 0 Αν οι κύκλοι διέρχονται από το σημείο 3, 1, R, Δ1. Να βρείτε τις τιμές των α, β. Μονάδες 4 Για, 6 Δ. Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες τους. Μονάδες 6 Δ3. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων στο σημείο Α Μονάδες 8 Δ4. Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν οι παραπάνω εφαπτόμενες. Μονάδες 7
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι αv απροβ αv όπου α, v δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου με α 0 και προβ αv η προβολή του διανύσματος v στο α. Μονάδες 10 A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα σε κάθε γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: 1. H εξίσωση Ax By Γ 0 παριστάνει πάντα ευθεία. είναι κάθετη στο διάνυσμα δ Α,Β. H ευθεία Ax By Γ 0 3. Αν α β τότε αβ αβ. 4. Αν για τα διανύσματα α x,y και β x,y det α, β 1. 1 1 ισχύει ότι α//β τότε 5. Η εξίσωση x y AxByΓ 0 με Α Β 4Γ 0 παριστάνει κύκλο. Μονάδες 15
ΘΕΜΑ B Δίνονται τα διανύσματα BA, 4 και BΓ, 4 B1. Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆΒ είναι οξεία. Μονάδες 9 Β. Να βρείτε το διάνυσμα ΑΓ Μονάδες 8 B3. Να βρείτε την προβολή του AΒ στο AΓ. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Έστω η ευθεία (ε) : x y k 0 και τα σημεία 7,, 5,. Γ1. Αν η απόσταση των σημείων Α και Β είναι ίση με την απόσταση του Α από την ευθεία (ε), να βρείτε το k. Μονάδες 8 Γ. Αν k =, να βρείτε την προβολή του σημείου Α στην ευθεία (ε). Μονάδες 8 Γ3. Αν η προβολή του σημείου Α στην (ε) είναι το σημείο Γ(3, 4), να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Δ Αν ένας κύκλος C διέρχεται από τα σημεία Α(0, 1) και Β(4, 5) και το κέντρο του βρίσκεται πάνω στην ευθεία (ε): 3x y + = 0. Δ1. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (C). Μονάδες 7 Δ. Αν η εξίσωση (C) του κύκλου είναι: x y 4x4y5 0, να βρείτε την εφαπτόμενη του στο σημείο του Α(0, 1). Μονάδες 8 C : x y4 13. Να βρείτε τη σχετική θέση του παραπάνω Δ3. Έστω ο κύκλος 1 κύκλου και του (C 1 ). Μονάδες 10