ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν τρπεζίου ισούτι µε το γινόµενο του ηµιθροίσµτος των βάσεών του επί το ύψος του. Μονάδες 10 Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη "Σωστό" ή "Λάθος" δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Το Ρ είνι εξωτερικό σηµείο του κύκλου (Ο, R), ν κι µόνο ν Ρ (Ο, R) > 0, όπου Ρ η δύνµη του σηµείου Ρ ως (Ο, R) προς τον κύκλο (Ο, R). β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισοδυνµί: < β + γ, ν κι µόνο ν A^ < 90. γ. Το εµβδόν Ε κάθε τριγώνου ΑΒΓ δίνετι πό τον τύπο 1 E = β ηµβ. δ. Σε κύκλο (Ο, R), το εµβδόν Ε κυκλικού τοµέ µ ο δίνετι πό τον τύπο E πr µ 180 =. ε. Το 1ο θεώρηµ των διµέσων σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ εκφράζετι πό τον τύπο: µ + = +. β γ Β.. Ν εγγρφεί κνονικό εξάγωνο σε κύκλο (Ο, R) κι ν ποδείξετε ότι λ 6 = R, όπου λ 6 η πλευρά του εξγώνου. Μονάδες 6 β. Ν ποδείξετε ότι R 3 6 =, όπου 6 το πόστηµ του εξγώνου. Μονάδες 4 1
ΘΕΜΑ ο ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές, β, γ κι διάµεσο ΑΜ = µ. Αν ισχύει η σχέση µ βγ =,. ν ποδείξετε ότι = β + γ - βγ, Μονάδες 15 β. ν υπολογιστεί η γωνί ^A. Μονάδες ΘΕΜΑ 3ο Μονάδες 10 Στο σχήµ που κολουθεί, δίνετι κύκλος (Ο,R) διµέτρου ΒΓ κι ηµιευθεί Βx τέτοι, ώστε η γωνί ΓΒx ν είνι 30 ο. Έστω ότι η Βx τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Α. Φέρουµε την εφπτοµένη του κύκλου στο Γ, η οποί τέµνει τη Βx στο σηµείο Ρ. Α Ρ x Β 30 0 Ο Γ Ν ποδείξετε ότι:. ΑΓ = R. PBΓ = 4. β. ( ) ( PAΓ) R 3 3 γ. ΡΓ=. Μονάδες 5 Μονάδες 10 10
ΘΕΜΑ 4ο Στο σχήµ που κολουθεί, σε τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς 7 cm, εγγράφουµε τετράγωνο ΕΖΗΘ έτσι, ώστε: ΑΕ = ΒΖ = ΓΗ = Θ = 3 cm. Η Γ Θ Α Ε Κ. Ν βρεθεί το εµβδόν του τετργώνου ΕΖΗΘ. Μονάδες 5 β. Ν υπολογίσετε το εµβδόν του τριγώνου ΕΒΖ κι ν ποδείξετε ότι η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου (Λ, ρ) στο τρίγωνο ΕΒΖ είνι ρ = 1cm. Μονάδες 1 γ. Εάν (Κ, R) είνι ο εγγεγρµµένος κύκλος στο τετράγωνο ΕΖΗΘ, ν υπολογίσετε το λόγο του εµβδού του κύκλου (Κ, R) προς το εµβδόν του κύκλου (Λ, ρ). Μονάδες 8 Λ Ζ Β 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Θεωρί, θεώρηµ IV σελ. 14 σχολ. βιβλίου. Α.. Σ β Σ γ Λ δ Λ ε Λ Β. Θεωρί σελ. 38 σχολ. βιβλίου. ΘΕΜΑ ο. Από το πρώτο θεώρηµ διµέσων έχουµε: β + γ = µ + µ = β + γ. Έτσι η δοσµένη σχέση µ βγ = γράφετι: β + γ βγ = β + γ βγ =. β. Από το νόµο των συνηµιτόνων έχουµε: = β + γ βγ συνα. ΘΕΜΑ 3ο Λόγω της σχέσης = β + γ βγ του () ερωτήµτος προκύπτει: 1 συνα = 1 συνα =. Άρ η γωνί Α είνι 60 ο.. Στο εγγεγρµµένο στον κύκλο τρίγωνο Α ΒΓ η γωνί Â είνι 90 ο, ως εγγεγρµµένη που βίνει σε ηµικύκλιο. Εποµένως το τρίγωνο Α ΒΓ είνι ορθογώνιο στο Α. Επειδή η γωνί Bˆ =30 ο, προκύπτει πό γνωστό θεώρηµ ότι: ΒΓ R ΑΓ = = = R. β. Το τρίγωνο B Γ Ρ είνι ορθογώνιο στο Γ, φού ΓΡ εφπτόµενη στον κύκλο, στο σηµείο Γ. 4
Τ τρίγων Ρ ΒΓ κι Ρ Γ A είνι όµοι γιτί είνι ορθογώνι κι έχουν την Ρˆ κοινή γωνί. Εποµένως: ( ΡΒΓ) = λ, όπου λ ο λόγος οµοιότητς των τριγώνων. ( ΡΑΓ) ΒΓ R Όµως λ = = =. ΑΓ R Οπότε ( ΡΒΓ) = 4 ( ΡΑΓ) =. γ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο Α ΒΓ έχουµε: ΑΒ = ΒΓ - ΑΓ οπότε ΑΒ = (R) - R = 3R Άρ ΑΒ = R 3 (1) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Β Γ Ρ έχουµε: ΑΓ ΒΡ ΘΕΜΑ 4ο Εποµένως ΑΓ = ΑΒ ΑΡ οπότε R = R 3 ΑΡ ή R R 3 ΑΡ = = () R 3 3 Ακόµ στο ορθογώνιο τρίγωνο Α Ρ Γ έχουµε Ρ =60 ο, οπότε Α ΓΡ =30 ο. Εποµένως ΡΓ=ΑΡ R 3 κι λόγω της () προκύπτει ότι ΡΓ =. 3. Η πλευρά του τετργώνου ΕΖΗΘ είνι υποτείνουσ ορθογωνίου τριγώνου µε κάθετες πλευρές 3cm κι 4cm. Έτσι: = 3 + 4 = 5cm = 5cm. Το εµβδόν του ΕΖΗΘ είνι 5cm. EB ZB 4 3 β. (EBZ) = = = 6cm. 3 + 4 + 5 Όµως είνι κι (ΕΒΖ) = ρ τ όπου τ = = 6cm. Έτσι: 5
6 ρ = 6 άρ ρ = 1cm. 5 γ. Είνι R = cm κι ρ = 1cm, οπότε ο ζητούµενος λόγος ισούτι µε: πr πρ R 5 5 = = =. ρ 4 6